dan seterusnya.
B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger
Dipandang persamaan Burger sebagai berikut: 3.31
dengan nilai awal,
Persamaan 3.31 di atas akan ditulis dalam bentuk: 3.32
Misalkan dan
. Maka persamaan 3.31 di atas ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
3.33 Dengan mensubsitusikan
pada kedua sisi persamaan 3.33, diperoleh:
lalu, dengan menggunakan operasi ∫
maka:
atau
atau 3.34
Misalkan ∑
dan ∑
dengan merupakan bentuk
polinomial Adomian, sehingga persamaan 3.34 ditulis sebagai berikut:
∑ ∑
3.35
Karena ∑
, dan ∑ , maka
persamaan 3.35 diatas menjadi:
atau
atau
Oleh sebab itu diperoleh solusi sebagai berikut:
3.36 Diketahui bahwa
∑ maka:
Sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
dan sebagainya maka diperoleh: 3.37
Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka
dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut,yaitu:
∑ 3.38
Sebagai contoh penerapan MDA pada persamaan Burger maka akan dipandang nilai awal sebagai berikut:
Dengan menggunakan program MAPLE maka solusi penyelesaian untuk adalah sebagai berikut:
3.39
Karena telah diketahui bahwa ∑
maka solusi pendekatan suku ke-4 adalah
. Sehingga ilustrasi solusi pendekatan untuk kecepatan aliran
dapat dilihat pada gambar 3.1 dan gambar 3.2 di bawah ini
Gambar 3. 1 Solusi penyelesaian untuk kecepatan aliran
.
a b
Gambar 3.2 Solusi untuk kecepatan aliran
saat a dan saat b.
Jadi, setiap iterasi pada persamaan 3.39 diatas jika dijumlahkan akan menghasilkan suatu deret, yaitu:
atau
atau 3.40
Akibatnya, diperoleh solusi eksak sebagai berikut: 3.41
dengan
| | atau jaminan kekonvergenan solusi eksak tersebut yaitu .
C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air
Dangkal
Dipandang persamaan gelombang air dangkal PGAD adalah sebagai berikut:
3.42
dengan , , dan memenuhi kondisi awal
3.43 dengan
adalah ketinggian air dari permukaan air hingga dasar tanah, adalah kecepatan fluida, dan adalah kedalaman air dari permukaan
air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen dan
secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Persamaan 2.1 dapat ditulis ke bentuk yang lebih sederhana, yaitu:
3.44 dengan
3.45 Untuk menyelesaikan PGAD dengan menggunakan MDA, maka persamaan di
atas akan ditulis sebagai berikut: 3.46
dan 3.47
dengan nilai awal:
dan
Misalkan dan
sehingga persamaan 3.46 dan 3.47 ditulis sebagai berikut:
dan
Dengan mensubsitusikan operasi pada kedua sisi persamaan di atas maka
diperoleh:
3.48 dan
3.49 Lalu, dengan menggunakan operasi
∫ pada persamaan 3.48 maka
diperoleh:
atau
atau
untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk dan
pada persamaan diatas akan diubah menjadi:
. Misalkan
dan , sehingga diperoleh:
[ ]
3.50 Selanjutnya, dengan menggunakan operasi
∫ pada persamaan 3.49
maka diperoleh:
atau
karena ,maka
[ ]
untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk pada persamaan diatas akan
diubah menjadi: [
] Misalkan
, maka: [
] 3.51
Berdasarkan hasil penurunan persamaan 3.46 dan 3.47 dengan MDA ,maka diperoleh:
[ ]
3.52 dan
[ ]
3.53 dengan:
Misalkan ∑
, ∑
dan ∑
∑
∑
dengan ,
, dan adalah bentuk polinomial Adomian. Ketiga permisalan
diatas akan disubsitusikan ke dalam persamaan 3.52 dan 3.53 untuk memperoleh solusi
dan . Untuk mencari solusi
, maka akan disubsitusikan ketiga permisalan di atas, sehingga di peroleh:
[∑ ∑
]
Karena ∑
dan ∑ , maka:
[ ]
Sehingga diperoleh:
Lalu untuk mencari solusi , maka akan disubsitusikan ketiga permisalan di
atas, sehingga di peroleh: [
∑ ∑
]
karena ∑
dan ∑ , maka:
[ ]
sehingga diperoleh:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Diketahui bahwa ∑
, maka:
Sehingga diperoleh:
Karena diketahui ∑
, maka:
Sehingga diperoleh:
Dan karena diketahui ∑
, maka:
Sehingga diperoleh:
Berdasarkan hasil dari penggunaan MDA ke dalam PGAD, maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut:
dan [
] dengan kondisi awal:
dan
Sehingga solusi penyelesaian untuk dan adalah sebagai berikut:
dan
dengan
∑
dan
∑
Untuk lebih memahami mengenai penerapan MDA dalam PGAD maka akan diperlihatkan sebuah contoh. Dengan mengacu pada persamaan 3.44 dan
3.45 maka dipandang
dengan ketinggian awal dan kecepatan awal dari air secara berurut-urut ditentukan oleh:
dan
Dengan menggunakan program MAPLE, maka solusi untuk ketinggian air dan kecepatan fluida dapat dihitung. Solusi untuk ketinggian air
adalah sebagai berikut:
dan solusi untuk kecepatan fluida adalah sebagai berikut:
Karena diketahui ∑
dan ∑
maka solusi pendekatan suku ke 3 untuk
dan secara berurut-urut adalah dan
. Sehingga ilustrasi solusi pendekatan untuk
dan dapat dilihat pada gambar 3.3, gambar 3.4, dan gambar 3.5 di bawah ini
a b
Gambar 3. 3 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air
a dan kecepatan fluida
b.
a b
Gambar 3.4 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air
saat a dan saat
b.
a b
Gambar 3.5 Solusi penyelesaian untuk kecepatan fluida
saat a dan saat
b
D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi
Kategori