, ,
4 ,
, ,
, Bukti: lihat Lampiran 5
3.3 Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan
Perluasan Model Vasicek Misalkan
, , adalah harga pada
saat dari zero coupon bond yang jatuh
tempo pada saat . Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut,
, , ,
,
. Menggunakan lema Itô, diperoleh volatilitas
, , adalah
σ ,
. Bukti: lihat Lampiran 6
Karena volatilitas tersebut tidak bergantung pada r, distribusi harga obligasi
pada waktu tertentu tergantung pada harga pada waktu sebelumnya harus lognormal.
Diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik opsi
X = harga strike
L = nilai pari par value
T = waktu jatuh tempo opsi
s = waktu jatuh tempo obligasi
t = waktu,
. Opsi call dapat dianggap sebagai pilihan
untuk pertukaran unit X dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada T waktu untuk satu
unit zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat s. Diberikan
= volatilitas harga zero coupon bond yang jatuh tempo pada waktu s, pada
waktu = volatilitas harga zero coupon bond
yang jatuh tempo pada waktu T, pada waktu
= korelasi langsung antara dua harga obligasi.
sehingga nilai opsi C diberikan oleh , ,
, , 26
dimana log
, , , ,
27 dan
• adalah fungsi distribusi kumulatif normal. Salah satu karakteristik dari model
satu-faktor adalah instantaneous returns pada obligasi adalah berkorelasi positif sempurna,
sehingga, . Selanjutnya, volatilitas
dari obligasi yang jatuh tempo pada s dan T dapat ditulis
, , , .
Sehingga, ,
, .
Dari persamaan 22 menjadi ,
, ,
. 28
Bukti: lihat Lampiran 7 Persamaan 26 dan 28 memberikan solusi
analitik sederhana untuk harga opsi call tipe Eropa.
3.4 Model Cox-Ingersoll-Ross
Model Cox-Ingersoll-Ross CIR adalah model satu-faktor dan pertama kali
menghilangkan kemungkinan dari suku bunga yang negatif. Model CIR dapat dinyatakan
oleh persamaan 5 dengan . .
√ 29 dimana, dz adalah proses Wiener untuk
mengukur risiko netral. Model CIR ini juga dapat digunakan dalam penentuan tingkat
suku bunga derivatif. Faktor standar deviasi
model CIR ini adalah √ , sehingga
memastikan bahwa tingkat bunga tidak akan menjadi negatif.
Pada model CIR, formulasi untuk menghitung harga zero coupon bond pada
waktu t dengan nilai pari sebesar 1 pada saat jatuh tempo T diberikan oleh teorema 3.2
Teorema 3.2 Misalkan t adalah waktu, dengan T adalah
waktu jatuh tempo obligasi dan r adalah suku bunga bebas risiko. Maka harga zero coupon
bond untuk
adalah ,
,
,
30 dengan
, 31
, 32
dimana .
Bukti: lihat Rolski et al. 1999. 3.5 Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa
pada Zero Coupon Bond menggunakan Model Cox-Ingersoll-Ross
Misalkan diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik
opsi X
= harga strike L
= nilai pari par value T
= waktu jatuh tempo opsi s
= waktu jatuh tempo obligasi t
= waktu, sehingga nilai opsi C, diberikan oleh
persamaan 33
, ,
; 4
, ,
, ;
4 ,
dimana
log ,
, • adalah fungsi distribusi noncentral khi-
kuadrat. Cox et al. 1985
IV. SIMULASI
Kategori