BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul
dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama,
disebut percobaan acak. Hogg Craig 1995
Definisi 2.1.1 Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan
. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari . Grimmet Stirzaker 1992
Definisi 2.1.2 Medan-
Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut:
1. 2. Jika A
1
, A
2
, … maka
� �
3. Jika maka
Grimmet Stirzaker 1992 Definisi 2.1.3 Ukuran Peluang
Misalkan adalah medan- dari ruang contoh . Ukuran peluang adalah suatu
fungsi pada yang memenuhi:
1. .
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas yaitu
�
untuk setiap pasangan , maka
� �
∑
� �
. Pasangan
disebut ruang peluang. Grimmet Stirzaker 1992
5
Definisi 2.1.4 Kejadian Saling Bebas
Misalkan adalah ruang peluang dan Kejadian A dan B dikatakan
saling bebas jika .
Misalkan I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian
�
dikatakan saling bebas jika
i i
i j i j
P A
P A
untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I. Grimmet Stirzaker 1992
Definisi 2.1.5 Peluang Bersyarat Misalkan
sehingga PA
1
0. Misalkan pula A
2
adalah sebarang himpunan dalam
. Peluang bersyarat dari A
2
jika diketahui A
1
, dinotasikan dengan
, ialah
Hogg Craig 1995
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 2.2.1 Peubah Acak
Misalkan adalah medan- dari ruang contoh . Suatu peubah acak X adalah
suatu fungsi dengan sifat untuk setiap .
Grimmet Stirzaker 1992 Catatan:
Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar seperti X, Y, Z, sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z.
Definisi 2.2.2 Fungsi Sebaran Misalkan
adalah ruang peluang. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi
yang didefinisikan oleh .
Grimmet Stirzaker 1992
6
Definisi 2.2.3 Peubah Acak Diskret
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari
. Grimmet Stirzaker 1992 Catatan:
Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas himpunan bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan
bulat positif.
Definisi 2.2.4 Fungsi Massa Peluang
Misalkan adalah ruang peluang. Fungsi massa peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi � yang diberikan oleh
� .
Grimmet Stirzaker 1992
Definisi 2.2.5 Nilai Harapan
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang �
, maka nilai harapan dari X adalah
∑ � asalkan jumlah di atas konvergen
mutlak. Hogg Craig 1995
Lemma 2.2.6 Sifat Nilai Harapan Beberapa sifat nilai harapan, antara lain:
1 Jika k adalah suatu konstanta, maka E[k] = k.
2 Jika k adalah suatu konstanta dan V adalah peubah acak, maka E[kV] = kE[V].
3 Jika k
1
, k
2
adalah konstanta dan V
1
, V
2
adalah peubah acak, maka E[k
1
V
1
+ k
2
V
2
] = k
1
E[V
1
] + k
2
E[V
2
]. Bukti lihat Hogg Craig 1995
Definisi 2.2.7 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi
yang didefinisikan oleh � .
Grimmet Stirzaker 1992
7
Definisi 2.2.8 Fungsi Gamma
Fungsi gamma, , didefinisikan sebagai
∫
�
. Grimmet Stirzaker 1992
Definisi 2.2.9 Sebaran Student’s-t
Peubah acak X memiliki sebaran Student’s-t dengan k derajat kebebasan, X ~ t
k
, jika fungsi kepekatan peluangnya
√ Kvam Vidakovic 2007
Definisi 2.2.10 Sebaran Normal Baku
Peubah acak X disebut normal baku jika fungsi sebarannya adalah Φ, yaitu jika
Φ √
∫
�
Ghahramani 2005
Definisi 2.2.11 Sebaran Normal
Peubah acak X disebut normal dengan parameter dan � , jika fungsi
kepekatannya adalah �√
Ghahramani 2005
Definisi 2.2.12 Peubah Acak yang Dibakukan
Misalkan X sebuah peubah acak dengan nilai harapan
dan simpangan baku �.
Peubah acak disebut sebagai X yang dibakukan. Ghahramani 2005
Definisi 2.2.13 Metode Transformasi
Misalkan X peubah kontinu dengan fungsi kepekatan dan himpunan nilai yang
mungkin yaitu A. Untuk fungsi yang invertible , misalkan Y = hX
sebagai peubah acak dengan himpunan nilai yang mungkin adalah
8 . Misalkan bahwa inverse dari y = hx adalah fungsi x = h
-1
y, yang terdiferensialkan untuk semua nilai
. Maka , fungsi kepekatan Y, yaitu
, .
Ghahramani 2005
2.3 Penduga
Kategori