16
� �
{ ∑
� �
� � �
[ � ]
[ � ]
,
di mana 0 adalah parameter yang menggambarkan korelasi antara return
dan perubahan volatilitas, dan
�
Φ �
�
,
�
adalah parameter time-varying untuk beberapa koefisien a dan b, di mana
menyatakan fungsi sebaran normal baku, sehingga
�
Φ �
� √
∫ .
8 Dengan menggunakan
�
,
�
, dan
�
, akan didapat bentuk sederhana dari
�
dan
�
, yaitu
�
[
� �
� �
� �
� �
�
]
[
� �
� �
� �
�
], dan
�
[
� �
� �
� �
� �
�
]
[
� �
� �
� �
�
] .
Pasangan �
�
�
�
merupakan model Hidden Markov, dan berdasarkan persamaan 1-8, model Hidden Markov untuk volatilitas tersebut
dicirikan oleh .
3.2 Dugaan Maksimum Likelihood
Misalkan proses �
�
merupakan 3-state rantai Markov yang tak diamati dengan ruang state
� �
� dan �
�
proses yang diamati. Sebaran �
�
dengan
17
diketahui
�
adalah �
� �
∑ �
�
�
� �
� �
∑ �
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
�
. 9
Sementara itu, dengan menggunakan hukum total peluang, bentuk �
�
�
� �
dirinci sebagai �
�
�
� �
∑ �
�
�
�
�
�
�
�
∑ �
�
�
�
|�
�
� �
�
�
�
�
�
. 10
Sehingga persamaan 10 menjadi �
� �
∑ ∑ �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
|�
�
� �
� �
�
�
�
�
11 Dari persamaan 1,
�
� �
� �
� �
, di mana
�
merupakan perubahan return yang diasumsikan menyebar Student’s-t.
Asumsi tersebut didasarkan pada penelitian Bollerslev 1987 bahwa sebaran Student’s-t lebih tepat untuk menggambarkan tingkat return.
Diketahui fungsi kepekatan peluang dari sebaran Studen t’s-t adalah
, dengan
, dan .
Kvam Vidakovic 2007.
Misalkan
�
adalah sebaran Student’s-t yang dibakukan dan misalkan pula,
. Maka
� �
dan
�
. Dengan menggunakan metode transformasi, maka fungsi kepekatan peluang dari
�
adalah
� �
� �
18
� �
Dari persamaan 12, misalkan �
� �
�
� �
� �
. Maka,
�
�
�
dan �
�
. Dengan menggunakan metode transformasi, maka fungsi kepekatan peluang dari
�
�
adalah �
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
� �
�
� �
�
�
� �
� �
�
� �
�
�
� �
� �
�
� �
�
�
� �
� �
�
Oleh karena itu �
�
�
�
�
� �
� �
� �
�
, 12 yang konvergen ke fungsi kepekatan sebaran normal, yaitu
� �
�
� �
� �
� �
�
ketika .
Bagian kedua dari persamaan 11 yaitu �
�
�
�
|�
�
� �
� �
�
, sedangkan
�
�
� |
�
persamaan 11 merupakan filtrasi dugaan state yang didapat dengan memproses pengamatan masa lalu dan sekarang. Rekursif
filter yang digunakan di sini adalah mengadaptasi rekursif filter yang diajukan oleh Hamilton dan Susmel 1994.
Karena
�
�
merupakan 3-state rantai Markov, maka memiliki 3 fungsi kerapatan peluang bagi
�
�
. Fungsi kerapatan tersebut dikumpulkan dalam sebuah vektor, yaitu
19
�
[ �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
].
Misalkan �
� �
� �
� �
[ �
� �
�
� �
�
� �
] di mana �
� � �
merepresentasikan
� �
� �
dan
merupakan Hadamard product, maka �
� � �
[
� �
�
� �
�
� �
�
] [ �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
]
[
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
]. 13
Diketahui bahwa sebaran bersama �
�
dan
�
�
adalah
�
�
� �
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
14 sehingga diperoleh
�
� �
∑ �
�
� �
� �
�
∑ �
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
15 di mana
merupakan vektor satuan berukuran . Jika persamaan 15 dibagi dengan
�
� �
, maka diperoleh �
�
�
�
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
20 �
�
�
� �
. 16
Sehingga berdasarkan persamaan 14, 15, dan 16 maka diperoleh �
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
� �
di mana �
�
�
� �
merupakan �
� � �
. Oleh karena itu
�
� �
. 17
Dari persamaan 2 didapat
�
� �
�
�
� �
� �
�
�
� �
�
�
� �
�
� � �
�
� �
18
yang merupakan harapan �
�
berada pada suatu state dengan diberikan pengamatan sebelumnya.
Sehingga persamaan 17 menjadi �
� �
. 19
Menggunakan persamaan 11 dan mengamati bahwa
�
�
�
� �
�
�
[ �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
]
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
[∑ �
�
�
�
� |
�
] �
�
�
� �
�
�
�
� �
, maka bentuk umum fungsi likelihood dari proses return yang diamati adalah
�
� �
∑ ∑ �
�
�
�
�
� �
� �
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
[
�
� �
� � �
� �
� � �
� �
� �
] �
�
�
�
�
�
[
�
� �
� � �
� �
� � �
� �
� �
] �
�
�
�
�
�
[
�
� �
� � �
� �
� � �
� �
� �
]
21
20 dengan
� �
� �
, jika �
�
atau
� �
� �
, jika �
�
. Fungsi log-likelihood didefinisikan sebagai
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
�
� �
∑ �
� �
� �
, dengan
�
�
�
�
�
� .
Untuk pendugaan parameter yang memaksimumkan fungsi log-likelihood digunakan algoritma Berndt, Hall, Hall, Hausman BHHH. Langkah algoritma
BHHH pada penelitian ini mengadapatasi langkah algoritma BHHH yang diuraikan oleh Arneric dan Rozga 2009. Berikut langkah algoritma tersebut:
Langkah 1
Tentukan vektor parameter awal dan kriteria kekonvergenan tol 0, dengan
tol merupakan toleransi. Mulai dengan i = 0.
Langkah 2
Hitung
� �
∑
� �
|
�
∑
� �
|
�
di mana skalar yang digunakan untuk memodifikasi panjang langkah, dan
�
�
� �
. Mulai dengan
. Jika
�
∑
� �
|
�
∑
� �
|
�
maka coba dengan .
Jika ∑
| ∑
|
∑ |
∑ |
22
maka coba dengan dan seterusnya hingga
didapatkan di mana
�
∑
� �
|
�
∑
� �
|
�
maksimum.
Langkah 3
Jika kriteria kekonvergenan terpenuhi maka hentikan algoritma, jika tidak maka i
i + 1, kembali ke langkah 2. Kriteria kekonvergenan yang digunakan adalah
| | .
Algoritma ini diimplementasikan dengan menggunakan software pemrograman MATLAB 7.7.
3.3 Algoritma Pemrograman