BAB III MODEL
HIDDEN MARKOV
3.1 Model Hidden Markov
Misalkan
�
harga sebuah aset pada waktu t. Return atas aset tersebut, yaitu �
� �
�
, dianggap sebagai peubah acak yang dapat diamati pada waktu t, untuk t = 1,
…,T. Volatilitasnya dikendalikan oleh 3-state rantai Markov �
�
dengan ruang state
� �
� dengan �
�
adalah vektor satuan di .
Model volatilitas stokastik ditulis dalam format ruang
–state: �
� �
� �
� �
1 �
� �
�
� �
, 2
di mana
�
adalah bentuk autoregresi sederhana:
�
�
�
. 3
�
dan
�
diasumsikan bebas, di mana
�
merupakan perubahan return yang diasumsikan menyebar Student’s-t dengan varians satu dan derajat kebebasan ,
sedangkan
�
merupakan representasi semi-martingale,
�
�
� �
�
� �
�
dan
�
adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh �
� � �
�
adalah nilai volatilitas yang terjadi pada waktu t, dengan σ
sebuah fungsi penskalaan bernilai positif yang bernilai
� ketika
�
�
= �
, �
ketika �
�
= �
, dan
� ketika
�
�
= �
. Jika �
� �
� , maka � �
�
�
�
�
�
. Misalkan
�
�
�
�
dan �
� �
, di mana i = 1, 2, 3, maka
� �
�
{ �
�
� �
�
� �
�
� ,
di mana dan adalah konstanta. Ketika positif, �
dapat diartikan bahwa varians berada pada regime state volatilitas terendah, dan
� varians berada pada
regime state volatilitas tertinggi. Berdasarkan hal tersebut, maka return pada persamaan 1 menjadi
15
�
�
{ �
� �
�
�
� �
� �
�
�
� �
� �
�
�
� .
4
�
pada persamaan 2 adalah matriks transisi berukuran 3
3 dari rantai Markov �
�
dengan elemennya:
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
, 5
dengan
�
adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh �
� , yang
menggambarkan peluang transisi rantai Markov. Entri dari
�
memenuhi
� �
≥ 0, dan
∑
� �
�
= 1, untuk setiap 1 ≤ i, j ≤ 3 dan t. Untuk menggambarkan keadaan di mana volatilitas dibangkitkan oleh
return pada waktu t, maka matriks transisi didefinisikan sebagai berikut:
�
{
�
[
� �
] �
� �
[
� �
] �
�
, 6
dengan
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
dan
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
.
Keadaan model ini menunjukkan return dan perubahan volatilitas berkorelasi negatif. Jika pada waktu t harga aset turun, maka peluang bahwa
suatu vektor state bergerak menuju tingkat volatilitas yang lebih tinggi harus lebih tinggi dari pada kasus harga aset naik. Jadi syarat untuk
adalah :
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
. Sementara itu untuk hal sebaliknya harus muncul ketika
. Sehingga elemen matriks didefinisikan sebagai berikut:
� �
{
� �
[ � ]
�
[ � ]
7
16
� �
{ ∑
� �
� � �
[ � ]
[ � ]
,
di mana 0 adalah parameter yang menggambarkan korelasi antara return
dan perubahan volatilitas, dan
�
Φ �
�
,
�
adalah parameter time-varying untuk beberapa koefisien a dan b, di mana
menyatakan fungsi sebaran normal baku, sehingga
�
Φ �
� √
∫ .
8 Dengan menggunakan
�
,
�
, dan
�
, akan didapat bentuk sederhana dari
�
dan
�
, yaitu
�
[
� �
� �
� �
� �
�
]
[
� �
� �
� �
�
], dan
�
[
� �
� �
� �
� �
�
]
[
� �
� �
� �
�
] .
Pasangan �
�
�
�
merupakan model Hidden Markov, dan berdasarkan persamaan 1-8, model Hidden Markov untuk volatilitas tersebut
dicirikan oleh .
3.2 Dugaan Maksimum Likelihood