Model Hidden Markov MODEL

BAB III MODEL

HIDDEN MARKOV

3.1 Model Hidden Markov

Misalkan � harga sebuah aset pada waktu t. Return atas aset tersebut, yaitu � � � � , dianggap sebagai peubah acak yang dapat diamati pada waktu t, untuk t = 1, …,T. Volatilitasnya dikendalikan oleh 3-state rantai Markov � � dengan ruang state � � � dengan � � adalah vektor satuan di . Model volatilitas stokastik ditulis dalam format ruang –state: � � � � � � � 1 � � � � � � , 2 di mana � adalah bentuk autoregresi sederhana: � � � . 3 � dan � diasumsikan bebas, di mana � merupakan perubahan return yang diasumsikan menyebar Student’s-t dengan varians satu dan derajat kebebasan , sedangkan � merupakan representasi semi-martingale, � � � � � � � � dan � adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh � � � � � adalah nilai volatilitas yang terjadi pada waktu t, dengan σ  sebuah fungsi penskalaan bernilai positif yang bernilai � ketika � � = � , � ketika � � = � , dan � ketika � � = � . Jika � � � � , maka � � � � � � � . Misalkan � � � � dan � � � , di mana i = 1, 2, 3, maka � � � { � � � � � � � � � , di mana dan adalah konstanta. Ketika positif, � dapat diartikan bahwa varians berada pada regime state volatilitas terendah, dan � varians berada pada regime state volatilitas tertinggi. Berdasarkan hal tersebut, maka return pada persamaan 1 menjadi 15 � � { � � � � � � � � � � � � � � � � � � . 4 � pada persamaan 2 adalah matriks transisi berukuran 3  3 dari rantai Markov � � dengan elemennya: � � � � � � � � � � � � � � � , 5 dengan � adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh � � , yang menggambarkan peluang transisi rantai Markov. Entri dari � memenuhi � � ≥ 0, dan ∑ � � � = 1, untuk setiap 1 ≤ i, j ≤ 3 dan t. Untuk menggambarkan keadaan di mana volatilitas dibangkitkan oleh return pada waktu t, maka matriks transisi didefinisikan sebagai berikut: � { � [ � � ] � � � [ � � ] � � , 6 dengan � � � � � � � � � � dan � � � � � � � � � � . Keadaan model ini menunjukkan return dan perubahan volatilitas berkorelasi negatif. Jika pada waktu t harga aset turun, maka peluang bahwa suatu vektor state bergerak menuju tingkat volatilitas yang lebih tinggi harus lebih tinggi dari pada kasus harga aset naik. Jadi syarat untuk adalah : � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . Sementara itu untuk hal sebaliknya harus muncul ketika . Sehingga elemen matriks didefinisikan sebagai berikut: � � { � � [ � ] � [ � ] 7 16 � � { ∑ � � � � � [ � ] [ � ] , di mana 0 adalah parameter yang menggambarkan korelasi antara return dan perubahan volatilitas, dan � Φ � � , � adalah parameter time-varying untuk beberapa koefisien a dan b, di mana  menyatakan fungsi sebaran normal baku, sehingga � Φ � � √ ∫ . 8 Dengan menggunakan � , � , dan � , akan didapat bentuk sederhana dari � dan � , yaitu � [ � � � � � � � � � ] [ � � � � � � � ], dan � [ � � � � � � � � � ] [ � � � � � � � ] . Pasangan � � � � merupakan model Hidden Markov, dan berdasarkan persamaan 1-8, model Hidden Markov untuk volatilitas tersebut dicirikan oleh .

3.2 Dugaan Maksimum Likelihood