8 . Misalkan bahwa inverse dari y = hx adalah fungsi x = h
-1
y, yang terdiferensialkan untuk semua nilai
. Maka , fungsi kepekatan Y, yaitu
, .
Ghahramani 2005
2.3 Penduga
Definisi 2.3.1 Statistik
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui. Hogg Craig 1995
Definisi 2.3.2 Penduga estimator dan Dugaanestimate
Misalkan X
1
, X
2
, …, X
n
adalah peubah
acak. Suatu
statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter
g , dikatakan sebagai penduga estimator bagi g. Nilai amatan
dari U dengan nilai amatan disebut
sebagai dugaan estimate bagi g . Hogg Craig 1995
2.4 Proses Stokastik
Definisi 2.4.1 Ruang State
Misalkan merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang
state. Grimmet Stirzaker 1992 Definisi 2.4.2 Proses Stokastik
Proses Stokastik
�
yang terdefinisi pada ruang peluang adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh
ke ruang state S. Ross 1996 Definisi 2.4.3 Proses Stokastik dengan Waktu Diskret dan Kontinu
Suatu proses stokastik
�
disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks T adalah himpunan terhitung countable set, sedangkan
�
disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. Ross 1996
9
Catatan: Contoh himpunan indeks T pada proses stokastik dengan waktu diskret adalah T =
{0, 1, 2, …}, sedangkan contoh himpunan indeks T pada proses stokastik dengan waktu kontinu adalah T = [0,
, atau himpunan bilangan nyata. Definisi 2.4.4 Filtrasi
Misalkan adalah barisan submedan- dari , disebut filtrasi
jika untuk semua
. Grimmet Stirzaker 1992
Definisi 2.4.5
MeasurableTerukur
Misalkan adalah ruang peluang. Jika fungsi memiliki sifat
untuk setiap maka X dikatakan terukur- Grimmet Stirzaker 1992
Definisi 2.4.6
Adapted
Misalkan adalah ruang peluang. Barisan peubah acak
�
dikatakan adapted ke filtrasi jika
�
merupakan terukur- untuk semua t.
Grimmet Stirzaker 1992 Definisi 2.4.7 Martingale
Proses Stokastik
�
disebut proses Martingale jika
�
untuk semua t dan
� �
�
. Ross 1996 Definisi 2.4.8 Variasi Hingga
Misalkan merupakan proses CADLAG kontinu kanan dengan
limit kiri. Variasi A didefinisikan sebagai proses naik V yaitu
�
{ ∑|
� ⋀ �
� ⋀ �
| }
Sebuah proses A disebut memiliki variasi hingga jika proses variasi bersama V hingga maksudnya, jika untuk setiap t dan
,
t
V
. Bain 2009
10
Definisi 2.4.9 Waktu Acak
Misalkan adalah ruang peluang. . T disebut waktu acak
dari proses
�
jika kejadian {T = t} ditentukan oleh peubah acak X
1
, …, X
t
. Artinya dengan mengetahui X
1
, …, X
t
maka diketahui apakah T = t atau tidak. Jika
, maka waktu acak T disebut sebagai stopping time. Ross 1996
Definisi 2.4.10 Lokal Martingale
{ ,
} , 0
t t
t M
M
adalah lokal martingale jika dan hanya jika terdapat barisan stopping time T
n
yang menuju tak hingga sedemikian sehingga
n
T
M merupakan martingale untuk setiap n. Bain 2009
Definisi 2.4.11 Semimartingale
Sebuah proses X adalah semimartingale jika X proses adapted CADLAG kontinu kanan dengan limit kiri yang memiliki dekomposisi
X = X + M + A,
di mana M lokal martingale, null pada saat nol dan A proses null pada saat nol, dengan jalur variasi hingga. Bain 2009
Catatan: Null pada saat nol untuk proses stokastik Xt maksudnya adalah meskipun pada
saat t 0 nilai dari Xt itu acak, pada saat t = 0 waktu mulai diketahuiditetapkan nilainya adalah nol: X0 = 0 atau, secara lebih formal,
bahwa PX0 = 0 = 1. Contoh khusus ini merupakan proses random walk paling dasar.
Definisi 2.4.12 Rantai Markov dengan Waktu Diskret Misalkan
adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses stokastik
�
dengan ruang state S disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika
berlaku:
� �
� �
� �
�
untuk semua kemungkinan nilai dari
� �
Grimmet Stirzaker 1992
11
Definisi 2.4.13 Matriks Transisi
Misalkan �
�
adalah rantai Markov dan S adalah ruang state yang berukuran N. Matriks transisi
�
berukuran adalah matriks dari peluang
transisi
� �
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
untuk i = 1, 2, …, N. Rossi Gallo 2006
Definisi 2.4.14 Nilai Harapan Bersyarat Misalkan
adalah ruang peluang dan adalah submedan- dari . Jika X adalah peubah acak tak negatif dan terintegralkan, maka
didefiniskan sebagai peubah acak yang terukur-
dan bersifat tunggal kecuali pada kejadian berpeluang nol, serta memenuhi:
∫ ∫
. Elliot et al. 1995
2.5 Vektor
