102
Bilangan ini dinamakan menurut Moritz Weber 1871 - 1951 dari Lembaga Politeknik Berlin, yang mengembangkan hukum-hukum kemiripan dalam bentuk modern. Weber lah
yang menamakan Re dan Fr dengan nama Reynolds dan Froude. Bilangan Weber hanya penting kalau nilainya satu atau kurang, dan ini lazimnya terjadi bila kelengkungan
permukaannya sepadan dengan kedalaman zat cair, misalnya dalam tetes, aliran kapler riak, dan model hidraulik yang sangat kecil. Kalau We besar, pengaruhnya bisa diabaikan.
2. PARAMETER-PARAMETER
MAMPU-MAMPAT COMPRESSIBILITY
PARAMETERS
Dalam aliran gas yang kecepatannya tinggi terjadi perubahan-perubahan yang berarti dalam tekanan, rapat, dan suhu, yang harus saling terkait dalam persamaan keadaan seperti hukum
gas sempurna. Perubahan-perubahan termodinamika ini menimbulkan dua parameter bilangan tak berdimensi lagi, yang telah disinggung dalam bab-bab sebelumnya:
Bilangan Mach Ma = Nisbah bahang-ijenis =
……………………… 5-31 Bilangan Mach dinamakan menurut nama Ernst Mach 1838 - 1916, seorang fisikawan
Austria. Pengaruh hanya kecil atau sedang saja, tetapi Ma menimbulkan efek yang kuat pada besaran-ibesaran aliran termampatkan kalau nilainya lebih besar dari sekitar 0,3.
3. ALIRAN BERALUN OSCILLATING FLOWS
Kalau pola alirannya beralun atau bergetar, parameter yang ketujuh masuk melalui syarat- batas di lubang-masuk. Misalnya, aliran di lubang-masuk itu berbentuk
u = U cos ωt
…………………………….. 5-32 Bilangan tak berdimensi persamaan ini menghasilkan
= = cos
……………………………… 5-33 Argumen fungsi kosinus ini mengandung sebuah parameter baru, yakni
Bilangan Strouhal St = …………………………… 5-34
Gaya dan momen bilangan tak berdimensi, gesekan, dan pemindahan bahang, dan sebagainya, dalam aliran beralun semacam itu akan merupakan fungsi bilangan Reynolds dan
103
bilangan Strouhal, Parameter ini dinamakan menurut nama seorang fisikawan Jerman yang pada tahun 1878 melakukan percobaan-percobaan dengan kawat yang berdesing bila ditimpa
angin, V. Strouhal.
IV.
TEOREMA THE PI THEOREM
Pada tahun 1915 E. Buckingham memberikan prosedur alternatif yang sekarang disebut teorem pi Buckingham. Istilah pi diambil dari notasi matematika
π,
yang berarti darab variable-variabel. Kelompok-kelompok bilangan tak berdimensi yang didapatkan dari teorem
itu berupa darab pangkat yang dinyatakan dengan
, ,
, dan sebagainya. Metode ini memungkinkan kita untuk memperoleh pi
— pi itu secara berurutan, tanpa harus memakai pangkat-pangkat yang bebas.
Bagian pertama dari teorema pi menjelaskan tentang pereduksian variabel yang dapat diharapkan:
Kalau suatu proses fisika memenuhi AKD dan mengandung
n
variable berdimensi, proses itu dapat direduksi menjadi hubungan antara
k
variabel bilangan tak berdimensi saja, atau
k
buah
π.
Rcduksinya
i = n-k
sama dengan jumlah maksimum variable yang tidak membentuk suatu pi di antara variable-variabel itu sendiri, dan senantiasa kurang dari,
atau sama dengan, jumlah dimensi yang melukiskan variable-variabel tersebut. Tinjaulah kasus kakas pada benda yang terbenam: Persamaan 5-1 mengandung lima
variabel L, U, f, p dan µ yang dilukiskan oleh tiga dimensi MLT. Jadi n = 5 dan j ≤ 3.
Karena itu kita bisa menduga bahwa soal ini dapat direduksi menjadi k buah pi,
Kekasaran mudah lepas dari perhatian sebab ia adalah efek geometrik yang kecil, yang tidak tampak dalam persamaan gerak.
104
Tabel 5-2 :Kelompok-kelompok bilangan tak berdimensi dalam Mekanika Fluida
Parameter Defenisi
Nisbah efek kualitatif
Paling dalam
Bilangan Reynolds Setiap hal
Bilangan Mach Ma =
Aliran termampatkan
Bilangan Froude Fr =
Aliran permukaan bebas
Bilangan Weber We =
Aliran permukaan bebas
Bilangan peronggaan bilangan Euler
Ca = Peronggaan
Kavitasi
Bilangan Prantl Pr =
Ilian bahang
konveksi kalor Bilangan Eckert
Ec = Lesapan Dissipasi
Nisbah bahang-ijenis y =
Aliran termampatkan
Bilangan Strouhal St =
Aliran beralun Bilangan kekasaran
Aliran bergolak,
dinding kasar Bilangan Grashop
Gr = Ilian alam
Nisbah suhu Pemindahan
bahang
dengan k = n dimensi 5 – 3 = 2. Dan memang inilah yang kita dapatkan: duavariabel
takberdimensi, =
dan = Re. Barangkali diperlukan lebih banyak pi daripada
jumlah minimum ini. Bagian kedua dari teorem itu menunjukkan bagaimana mencari pi - pi itu satu demi satu:
Agar spesifik, misalkan bahwa proses itu melibatkan lima variabel
105
= ƒ
Misalkan ada tiga dimensi MLT dan kita mencari-icari dan ternyata memang ϳ = 3. Maka k
= 5 - 3 = 2 dan kita mengharapkan, berdasarkan teorem Itu, bahwa hanya ada dua kelompok pi saja. Pilihlah tiga variable yang mudah yang tidak membentuk suatu pi dan misalkan
ini ternyata ialah dan
. Maka kedua kelompok pi itu dibentuk oleh darab pangkat ketiga variable ini plus satu variable lagi
= = M°L°T°
= = M°L°T°
Dl sini kita secara sebarang memilih dan
dengan pangkat satu. Dengan menggunakan pangkat-pangkat berbagai dimensi itu menurut teorem tersebut kita pasti mernperoleh nllai-
inilal a, b, dan c yang amung untuk setiap pi. Dan nilai-inilai ini tak tergantung pada satu sama lain, sebab hanya
yang mengandung dan
saja yang memuat . Cara ini amat
rapi bila anda telah terbiasa dengan prosedurnya. Kita akan menunjukkannya dengan beberapa contoh. Lazimnya ada enam langkah:
1. Daftar dan hitunglah n variabel yang ada dalam soal. Kalau ada variabel yang penting
kelewatan, analisis dimensi akan gagal. 2.
Daftar dimensi setiap variabelnya menurut MLTΘ atau FLTΘ. Daftar ini bisa dilihat dalam Tabel 5-1.
3. Carilah . Mula-mula tebak saja sama dengan jumlah dimensi berbeda yang ada, dan carilah
variabel yang tidak membentuk suatu darab pi. Kalau tak berhasil, kurangi dengan satu, lalu cari lagi. Dengan latihan anda akan dapat menemukan dengan cepat.
4. Pilihlah variabel yang tidak membentuk suatu darab pi. Yakinkan diri anda bahwa anda
senang dengan pilihan itu, dan bahwa yang anda pilih itu bersifat umum kalau mungkin, sebab pilihan tersebut akan muncul dalam setiap kelompok pi. Pilihlah rapat, atau
kecepatan, atau panjang. Jangan memilih tegangan muka, misalnya, sebab anda akan membentuk enam parameter bilangan-iWeber yang bebas dan berbeda, dun menjengkelkan
rekan-irekan anda. 5.
Tambahkan satu variabel pada variabel anda dan bentuklah sebuah darab pangkat. Secara aljabar carilah pangkat-ipangkat yang memuat darab itu menjadi bilangan tak berdimensi.
Usahakan variabel-variabel keluaran anda kakas, penurunan tekanan, momen gaya, daya muncul sebagai pembilang agar grafiknya tampak lebih bagus. Kerjakan ini berturut-turut
106
dengan menambahkan satu variabel baru setiap kali, dan anda akan memperoleh semua n dimensi = k darab pi yang dicari.
6. Tulislah fungsi bilangan tak berdimensi yang diperoleh dan periksalah hasil itu, apakah
semua kolompok pi dimensinya bilangan tak berdimensi.
V. PEMBANGUNAN MODEL DAN HAL-HAL YANG PERLU DIPERHATIKAN MODELING AND ITS PITFALLS
