Tujuan Penulisan Sistematika Penulisan Model Ragam Sisaan ARCH

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bursa saham merupakan salah satu tempat kegiatan jual beli saham dalam sektor ekonomi. Saham adalah nilai atau pembukuan dengan berbagai instrumen finansial yang mengacu pada bagian kepemilikan sebuah perusahaan. Keuntungan yang menarik merupakan alasan seorang investor berinvestasi. Pergerakan harga saham berkaitan dengan faktor ketidakpastian sehingga investor harus terlebih dahulu mempertimbangkan dengan baik sebelum berinvestasi agar risiko yang ditanggung tidak terlalu besar. Pergerakan harga saham yang naik turun disebabkan oleh permintaan dan penawaran atas saham tersebut. Semakin banyak investor yang membeli saham maka pergerakan harga saham akan cenderung naik. Sebaliknya, jika banyak investor yang menjual saham maka pergerakan harga saham akan cenderung turun. Namun pada kenyataannya, pergerakan harga saham tidak ada yang terus-menerus naik atau terus- menerus turun. Pergerakan harga saham yang selalu berfluktuasi atau tidak berbentuk linear sehingga diperlukan metode khusus untuk memodelkan secara matematis. Peramalan harga saham sangat dibutuhkan bagi para pelaku perdagangan saham, dimana besar keuntungan dari perdagangan tersebut memiliki risiko kerugian yang sama besar pula. Oleh karena itu, peramalan harga saham yang akurat diharapkan pelaku perdagangan saham akan memiliki risiko yang lebih kecil. Pada kenyataannya, data di sektor keuangan sangat tinggi volatilitasnya. Kondisi tersebut menyebabkan terjadi masalah heteroskedastisitas dimana ragam sisaan tidak konstan. Oleh karena itu, peramalan dengan model ARIMA saja belum cukup. Sehingga diperlukan peramalan menggunakan model ARIMA- GARCH dimana heteroskedastisitas diperhitungkan. Selain memodelkan harga saham, dibutuhkan pula peramalan harga saham untuk memperoleh keuntungan yang maksimal. Bagi perusahaan, peramalan harga saham sangat dibutuhkan untuk meminimalkan risiko yang akan dihadapi dalam sebuah pengambilan keputusan. Sedangkan bagi investor, peramalan harga saham merupakan salah satu pertimbangan yang penting untuk melakukan investasi sehingga peramalan harga saham dibutuhkan untuk mengetahui fluktuasi harga saham yang ada di perusahaan tersebut ke depannya. Ide karya ilmiah berasal dari tulisan Teguh Santoso pada tahun 2011 yang berjudul “Aplikasi Model GARCH pada Data Inflasi Bahan Makanan Indonesia Periode 2005.1-2010.6”. Karya ilmiah ini menggunakan model ARIMA-GARCH dengan aplikasi yang berbeda yaitu memodelkan harga saham.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan utama dari penulisan karya ilmiah ini adalah 1. memodelkan harga saham menggunakan model ARIMA, 2. menyelesaikan keberadaan masalah heteroskesdasitisitas yang terjadi dengan menggunakan model ARIMA-GARCH.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga dilakukan pemodelan harga saham dengan melakukan model ARIMA-GARCH untuk menyelesaikan masalah heteroskedastisitas. Pada bab empat akan dipaparkan simpulan serta saran dari karya ilmiah ini. II LANDASAN TEORI

2.1 Berbagai Definisi

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. Ross 2003

2.1.1 Ruang Contoh

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω. Grimmett Stirzaker1992

2.1.2 Peubah Acak

Suatu peubah acak random variable adalah suatu fungsi : Ω → dengan sifat bahwa { Ω; ≤ } ℱ, untuk setiap , dengan ℱ adalah sebuah medan- dari suatu ruang contoh Ω. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X,Y,Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x,y,z. Grimmett Stirzaker1992

2.1.3 Peubah Acak Kontinu

Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi sehingga fungsi sebaran dapat dinyatakan sebagai = , ∈ ℝ, dengan ∶ ℝ → [0, ∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak X. Grimmett Stirzaker1992

2.1.4 Fungsi Sebaran

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi : ℝ → [0, 1] yang dinyatakan sebagai = ≤ . Grimmett Stirzaker1992

2.1.5 Fungsi Kepekatan Peluang

Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi sebaran = ≤ dapat diekspresikan sebagai = , untuk suatu fungsi ∶ → [0, ∞] yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi = disebut juga fungsi kepekatan peluang probability density function bagi . Grimmett Stirzaker1992

2.1.6 Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu

Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah = , asalkan integral di atas konvergen. Grimmett Stirzaker1992 Lema 1 Sifat Nilai Harapan Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1. Jika k adalah suatu konstanta, maka = . 2. Jika k adalah suatu konstanta dan V adalah peubah acak, maka = . 3. Jika , adalah konstanta dan , adalah suatu peubah acak, maka + = + . Hogg Craig 1995 2.1.7 Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan = adalah nilai harapan dari , dengan fungsi kepekatan peluang , maka ragam variance dan simpangan baku standard deviation dari X dinotasikan dengan VarX dan sama dengan = [ − ] = − ∞ ∞ dan = [ − ]. Ghahramani 2005 Lema 2 Sifat Ragam Beberapa sifat dari ragam, antara lain : 1. Jika suatu konstanta, maka = . 2 2. Jika suatu konstanta dan , adalah peubah acak, maka + = + + 2 − − . Ghahramani 2005

2.1.8 Sebaran Normal

Misalkan diberikan peubah acak . Peubah acak dikatakan menyebar normal dengan rata-rata dan ragam jika memiliki fungsi kepekatan peluang probability density function sebagai berikut: = 1 √2 . Sebaran normal yang memiliki nilai rata- rata 0 dan ragam 1 disebut sebaran normal baku. Misalkan peubah acak menyebar normal baku, maka memiliki fungsi kepekatan peluang = 1 √2 . Grimmett Stirzaker1992

2.2 Definisi Dasar Deret Waktu Strict stationarity

Deret waktu ∈ dikatakan strict stationarity jika , … , = , … , untuk semua , … , , ℤ dan untuk semua ℤ. McNeil et al. 2005

2.2.1 Covarian stationarity

Deret waktu ∈ dikatakan covarian stationarity jika = , , = + , + . McNeil et al. 2005

2.2.2 Autocorelation Function ACF Autocorelation funcion ACF, ℎ, dari

proses covarian stationary ∈ adalah ℎ = , = , ∀ℎ ∈ ℤ. McNeil et al. 2005

2.2.3 White noise

Proses ∈ dikatakan proses white noise jika covarian stationary dengan fungsi autokorelasi ℎ = 1, ℎ = 0 0, ℎ ≠ 0. Proses white noise yang dipusatkan untuk memiliki rata-rata 0 dengan ragam = akan dinotasikan dengan WN 0, . McNeil et al. 2005

2.2.4 Strict White Noise SWN

Proses ∈ merupakan proses strict white noise jika merupakan deret yang iid, peubah acak dengan ragam berhingga. Proses strict white noise SWN yang dipusatkan untuk mendapatkan rata-rata 0 dengan ragam akan dinotasikan SWN0, . McNeil et al. 2005

2.3 Proses Analisis untuk Data Deret Waktu

Dalam analisis data deret waktu, proses baku yang harus dilakukan adalah 1. Memetakan nilai data terhadap waktu, hal ini dilakukan untuk menelaah kestasioneran data, sebab jika data tidak stasioner maka harus distasionerkan melalui proses stasioneritas. 2. Menggambarkan fungsi autokorelasi untuk menelaah apakah autokorelasi signifikan atau tidak, dan perlu-tidaknya proses diferensi dilakukan. Jika autokorelasi data tidak signifikan, analisis data cukup menggunakan analisis regresi sederhana data atas waktu, sedangkan jika signifikan harus menggunakan analisis regresi deret waktu. Jika data ditransformasikan, maka proses pemetaan data dan penggambaran korelogram, sebaiknya dilakukan juga pada data hasil transformasi, untuk menelaah apakah proses transformasi ini sudah cukup baik dalam upaya menstasionerkan data. 3. Jika dari korelogram disimpulkan bahwa autokorelasi signifikan, maka bangun model regresi deret waktunya, dan lakukan penaksirannya baik dalam kawasan waktu maupun kawasan frekuensi. 4. Lakukan proses peramalan dengan metode yang sesuai dengan kondisi datanya, dan untuk mendapatkan hasil yang memuaskan, digunakan metode Box-Jenkins . Mulyana 2004

2.3.1 Tren dan kestasioneran

Tren adalah komponen data deret waktu yang menunjukkan peningkatan atau penurunan dalam jangka panjang selama periode waktu yang diamati. Sebagai contoh data dengan tren diindikasikan antara lain dengan koefisien autokorelasi beberapa beda kala pertama tinggi dan berbeda dengan nol secara signifikan, lalu turun mendekati nol saat deret meningkat. Data dengan tren berarti data tidak stasioner.Data yang stasioner adalah data dengan rataan dan ragam konstan sepanjang waktu pengamatan. Data ini dicirikan oleh koefisien autokorelasi pada beberapa beda kala pertama mendekati nol atau tidak terdapat autokorelasi antar deret. Firdaus 2006

2.4 Model Deret Waktu ARIMA

Model Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses Autoregressive AR berordo- atau proses Moving Average MA berordo-q atau merupakan kombinasi keduanya. Pembeda berordo-d dilakukan jika data deret waktu bersifat non-stasioner, padahal aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA menghendaki data yang stasioner. Bentuk umum model ARIMA , , adalah 1 − = dengan = derajat autoregressive AR = derajat pembeda = derajat moving average MA = waktu = peubah acak ke-t = parameter yang menjelaskan AR = 1 − − ⋯ − = parameter yang menjelaskan MA = 1 − − ⋯ − = sisaan acak pada waktu ke-t yang diasumsikan menyebar normal bebas stokastik = operator backshift = . Jika ditetapkan nilai = 0 model tersebut menjadi model autoregressive ordo yang disingkat AR . Sebaliknya jika ditentukan bahwa = 0 , menjadi model moving average ordo yang disingkat MA . Cryer 1986

2.4.1 Model ARMA p,q

Model ARMA p,q adalah model yang menyatakan bahwa data pada periode sekarang dipengaruhi oleh data p-periode sebelumnya dan q-periode sebelumnya. Model umum ARMA p,q adalah = ∅ + ⋯+ ∅ + + − − ⋯ − −∅ − ⋯− = + − − ⋯ −  Model ARMA 1,1 −∅ = + − Dengan operator pembeda, yaitu = maka −∅ = + − 1−∅ = + 1 − . proses AR proses MA

2.4.2 Model ARIMA p,d,q

Model ARMA p,q yang masih belum stasioner sehingga diperlukan pembedaan d kali.  Model ARIMA 1,1,1 1−∅ = + 1 − dimana = − = − = 1 − sehingga 1 − 1−∅ = + 1 − . beda proses AR proses MA satu kali Makridakis et al. 1999

2.4.3 Metode Box dan Jenkins

Metode yang biasa digunakan dalam pembuatan model Autoregressive Moving Average ARMA adalah metode Box dan Jenkins Makridaskis et al. 1983 dengan prosedur sebagai berikut: 1. Identifikasi model: Identifikasi model beranjak dari struktur data yang bersifat stasioner. Dari data yang stasioner dapat diperoleh model sementara dengan mengamati fungsi korelasi diri autocorrelation function ACF dan fungsi korelasi diri parsialnya Partial autocorrelation function PACF. Ordo proses AR dapat ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri parsial PACF yang tidak nol. Sedangkan ordo proses MA ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri ACF pertama yang tidak nol Bowerman O’Connel 1987. Identifikasi proses ARMA dari plot autokorelasi dan plot korelasi parsialnya.

2. Pendugaan parameter: Banyaknya

parameter yang akan diduga bergantung pada banyaknya koefisien model awal. Penduga parameter dikatakan berpengaruh jika nilai mutlak yang berpadanan dengan parameter tersebut lebih besar daripada nilai- tabel pada taraf nyata 2 berderajat bebas minus banyaknya parameter Bowerman O’Connel 1987.

3. Diagnostik model: Statistik uji Q Box-

Pierce dapat digunakan untuk menguji kelayakan model, yaitu dengan menguji apakah sekumpulan korelasi diri untuk nilai sisa tersebut tidak nol. Statistik uji Q Box-Pierce menyebar mengikuti sebaran dengan derajat bebas − − , dimana adalah lag maksimum yang diamati, adalah ordo AR, dan adalah ordo MA. JIka nilai Q lebih besar nilai − − untuk tingkat kepercayaan tertentu atau nilai peluang statistik Q lebih kecil dari taraf nyata , maka dapat disimpulkan bahwa model tidak layak. Persamaan statistik uji Q Box-Pierce menurut Makridaskis et al. 1983 adalah: = − dengan = nilai korelasi diri pada lag ke- = banyaknya amatan pada data awal = ordo pembedaan = lag maksimum

4. Peramalan: Peramalan merupakan

suatu proses untuk memperoleh data beberapa periode waktu ke depan. Untuk memperoleh sejauh periode ke depan dari titik waktu ke , maka dipilih satu model yang memiliki nilai Kuadrat Tengah Galat KTG minimum. Perhitungan dilakukan secara rekursif, yaitu menghitung peramalan satu periode kemudian dua periode, dan seterusnya sampai periode ke depan. Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung Mean Absolute Percentage Error MAPE, dengan rumus sebagai berikut: MAPE = ∑ | − | x 100. Dengan adalah pengamatan pada waktu ke- dan adalah ramalan pada waktu ke- . Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual. Makridaskis et al. 1983

2.5 Model Ragam Sisaan ARCH

Model Autoregressive Conditionally Heteroscedastic ARCH diperkenalkan oleh Engle pada tahun 1982. Modifikasi model AR p dengan mentransformasi sisaan menjadi bentuk sisaan kuadrat menghasilkan model ARCH. Diberikan ∈ yang SWN0,1. Proses ∈ adalah proses ARCH p jika strictly stationary dan memenuhi persamaan sisaan dan ragam sebagai berikut 5 = = + untuk semua ∈ ℤ dimana α 0 dan α ≥ 0, i = 1, … , p. 2.6 Model Ragam Sisaan GARCH Pada tahun 1986, Bollerslev dan Taylor membuat bentuk umum dari ARCH dengan maksud menghindarkan struktur lag ragam sisaaan yang panjang pada model ARCH yang dibuat Engle. Model ini dikenal dengan Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedastic GARCH. Diberikan ∈ yang SWN 0,1. Proses ∈ adalah proses GARCH p,q jika proses tersebut adalah strictly stationary dan jika memenuhi, untuk semua ∈ ℤ dan beberapa nilai positif sempurna yang mengolah ∈ , persamaan sisaan dan ragamnya adalah = σ = α + α + β dimana 0, ≥ 0, = 1, … , dan ≥ 0, = 1, … , McNeil et al. 2005 2.6.1 Pengujian Model Ragam Sisaan GARCH Pada model ARIMA asumsi ragam dari sisaan harus konstan dimana = . Jika terjadi pelanggaran dari asumsi tersebut dimana ragam sisaan tidak konstan yaitu = maka model tersebut masih mengandung masalah heteroskedasitisitas sehingga perlu pemodelan ragam sisaan dengan GARCH untuk menyelesaikannya. Keberadaan heteroskedastisitas dapat dideteksi dengan uji LM yaitu = dengan = ∑ − ̅ ∑ − ̅ . Jika maka = yang berarti masih ada heteroskedastisitasdimana = banyaknya data = banyaknya data periode sebelumnya yang memengaruhi data sekarang = besarnya kontribusi keragaman yang dapat dijelaskan data deret waktu sebelumnya. Simanjutak 2009 2.6.2 Pengepasan Model GARCH pada Data Untuk melakukan pengepasan model GARCH pada data diperlukan tiga tahap. Tiga tahap tersebut adalah membangun kemungkinan, mendapat estimasi parameter dan memeriksa model. Menduga kemungkinan Dalam prakteknya, pendekatan yang paling banyak digunakan untuk pengepasan model GARCH pada data adalah maximum likelihood. Dengan menganggap pada pengepasan model ARCH 1 dan GARCH 1,1 sebagai pengepasan umum dari model ARCH p dan GARCH p, q, model akan lebih sederhana. Untuk model ARCH 1 dan GARCH 1,1 anggap mempunyai total dari n+1 data nilai , , … , . Berdasarkan hal tersebut, fungsi kepekatan bersama dari peubah acak yang sesuai dapat ditulis seperti ,…, , …, = | …., | , … , . Model GARCH p,q dianggap memiliki n+p nilai data yang berlabel , … , , , … , . Evaluasi peluang bersyarat di nilai teramati dari , … , serta nilai tak teramati dari , … , . Sehingga peluang bersyarat menjadi ; = 1 − dimana σ mengikuti spesifikasi GARCH dan mengikuti spesifikasi ARMA. McNeil et al. 2005 Mendapatkan estimasi parameter Anggap fungsi likelihood sebagai berikut ; = ; dengan ; = 1 √2π ℯ sehingga ; = 1 √2 = 1 2 ∑ = = ; = − 2 2 − 2 − 1 2 Kemudian akan dicari nilai parameter dengan menggunakan turunan = 0. = − 2 + 2 = 0 ↔ − + = 0 ↔ − + = 0 ↔ ∑ = . Sehingga penaksir maksimum likelihood dari adalah : = ∑ . Myers Milton 1991 Memeriksa model Seperti model ARMA, memeriksa kecocokan model GARCH menggunakan sisaan juga. Dengan menganggap model umum ARMA-GARCH dari bentuk − = = . Model dibedakan antara sisaan unstandardized dan standardized. Yang pertama adalah sisaan ̂ , … , ̂ dari bagian model ARMA. Selanjutnya realisasi yang direkonstruksi dari SWN yang diasumsikan mendorong bagian model GARCH, dan dihitung dari sebelumnya dengan = ̂ = + ̂ + . Untuk menggunakannya, perlu beberapa nilai awal yang satu solusinya adalah untuk menetapkan nilai awal ε sama dengan nol dan nilai awal volatilitas σ sama dengan ragam contoh atau nol. Karena beberapa nilai pertama akan dipengaruhi oleh nilai awal, serta nilai awal diperlukan untuk menghitung sisaan unstrandardized maka mungkin analisis selanjutnya akan diabaikan. Sisaan standardized harus seperti SWN yang dapat diteliti dengan membangun correlograms sisaan baku. Dengan mengasumsikan bahwa hipotesis SWN tidak ditolak, validitas distribusi yang digunakan dalam pengepasan ML juga dapat diselidiki menggunakan QQplots dan goodness-of-fit test untuk sebaran normal atau sebaran-t. McNeil et al. 2005 7 III PEMBAHASAN

3.1 Data