Stock Price Modelling Using Generalized Wiener Process and ARIMA Model.

PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN

GENERALISASI PROSES WIENER DAN MODEL ARIMA

MUTIA INDAH SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

ABSTRAK

MUTIA INDAH SARI. Pemodelan Harga Saham Menggunakan Generalisasi Proses Wiener dan Model ARIMA. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI.

Saham dari suatu badan usaha merupakan modal awal yang dibayarkan atau diinvestasikan dalam bisnis oleh pendirinya. Seperti diketahui bahwa harga saham berfluktuasi seiring dengan bertambahnya waktu, maka diperlukan model harga saham untuk meramalkan harga saham pada masa yang akan datang. Dalam studi ini, harga saham diasumsikan mengikuti proses stokastik kontinu. Salah satu model stokastik yang dapat digunakan untuk model harga saham adalah generalisasi proses Wiener. Model ini menggambarkan evolusi waktu dari suatu harga saham sebagai variable stokastik dengan drift rate dan ragam konstan. Di sisi lain, diketahui harga saham merupakan data yang sangat memperhatikan waktu. Sehingga model ARIMA juga dapat digunakan dalam memodelkan fenomena ini dan untuk memprediksi harga saham pada masa yang akan datang. Kedua model ini menggunakan sejumlah data. Kemudian hasilnya digunakan untuk meramalkan harga saham pada waktu yang akan datang. Dapat disimpulkan bahwa studi peramalan menggunakan generalisasi proses Wiener menunjukkan hasil yang sedikit lebih baik daripada model ARIMA.

ABSTRACT

MUTIA INDAH SARI. Stock Price Modelling Using Generalized Wiener Process and ARIMA Model. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI.

The capital stock of a business entity represents the original capital paid or invested in the business by its founders. Since it is known that the stock price fluctuates in time, it is necessary to have a model to forecast the stock price in the future. In this study, stock price is assumed to follow a continous stochastic process. One of stochastic models that can be used to model the stock price is a model of generalized Wiener process. This model describes the time evolution of stock price as a stochastic variable with constant drift and variance rate. On the other hand, since stock prices data are time series data, so ARIMA model can also be used to model this phenomena and to predict the stock price in the future. Both models are estimated using a chosen set of data. The result is then used to forecast the stock price in the future time. It can be concluded that forecasting study using generalized Wiener process shows a slightly better result than the ARIMA model.

PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN

GENERALISASI PROSES WIENER DAN MODEL ARIMA

MUTIA INDAH SARI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul Skripsi

: Pemodelan Harga Saham Menggunakan Generalisasi

Proses Wiener dan Model ARIMA

Nama

: Mutia Indah Sari

NIM

: G54070028

Disetujui

Pembimbing I

Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS

NIP. 19631228 198903 2 001

Pembimbing II

Ir. Retno Budiarti, MS

NIP. 19610729 198903 2 001

Diketahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Keluargaku tercinta: Ibu (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayang, motivasi dan segalanya), adikku (terima kasih atas doa, dukungan,dan kasih sayang), Keluarga Mayor H. Djasman Chaizar (terima kasih atas doa, bantuan, dukungan, kepercayaan, kasih sayang, dan motivasinya), serta keluarga besar (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang, dan motivasinya).

2. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

3. Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing II terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

4. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 5. Segenap dosen Departemen Matematika: Bu Anggi, Bu Ida, Pak Hadi, Pak Wayan, Pak Prapto, Pak Siswadi, Pak Budi, dan lainnya (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).

6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, dan Mas Deni, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya).

7. Sahabat-sahabat di matematika 44: Sri Septiana, Ayu Lembayung, Nurrachmawati, Fajar Gumilang, Denda Rinaldi Hadinata, M. Rofi Hidayat, Della Azizah Munawar, Aulia Retnoningtyas, Dian Nugraha, M. Rizqy Hidayatsyah, Pandi, Nurisma, Imam Ekowicaksono (terima kasih atas doa, bantuan, dukungan, motivasi, persahabatan, dan kebersamaannya). 8. Sahabat-sahabat terbaik: Feni Shintarika, Arumi Pitaloka, Andini Widya Astuti, Cyindi

Andari Agmer, Dellyna Septia, Marisa Purnamarini, Firdha Lystia Utami, Desy Caesary, Marista Gilang Mauldina, Pradipta Safitri, Anneke Puspa Caliandra, Sylvanie Ratna Permatasari, Hernani Maryulianti, Rezano Prayudi Putra, Tajudin Noor, Rima Rahayu, Annisa Rahmalia Fitriani, Anisah Anshari, Ikhlasul Amal, dan Pandudamai Insani Taufiq (terima kasih atas doa, dukungan, motivasi, persahabatan, dan kebersamaannya).

9. Teman-teman Matematika angkatan 44:Ali, Arina, Aswin, Ayum, Christoper, Devi, Devina, Diana, Andika,Tanti, Eka, Fani, Fikri, Fitri, Gan-gan, Ihda, Ikhsan, Indin, Iresa, Lazuardi, Lilis, Lili, Lina, Lingga, Lugina, Lukman, Mariam, Masayu, Endro, Aqil, Nadiroh, Cita, Vani, Naim, Nurul, Nunuy, Nurus, Vianey, Wahyu, Wenti, Yanti, Yogie, Yuli, dan Zae (terima kasih atas doa, semangat, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya).

10. Kakak-kakak 41,42,43 dan S2: Kak Agung, Kak Ratna, Kak Slamet, Kak Sofyan, Kak Supri, Kak Apri, Kak Arum, Kak Nia, Kak Elly, Kak Rangga, Kak Eyyi, Kak Hesti, Kak Ryu, Kak Adi, Kak Aini, Kak Putri, Kak Dandi, Kak Destya, Kak Faizul, Kak Kabil, Kak Kunto, Kak Fadhan, Kak Resti, Kak Kiki, Kak Narsih, Kak Erlin, Kak Tami, Kak Vera, Kak Wira, Om Baist, dan yang lainnya (terima kasih atas doa, bantuan, ilmu, dukungan, dan motivasinya). 11. Adik-adik Matematika angkatan 45 (terima kasih atas doa, bantuan, dan dukungannya). 12. Rizka Nuridha Putri , Asep Khoerudin, Putranto Hadi (terima kasih atas doa, bantuan, ilmu,

dan motivasinya).

13. Teman-teman TPB dan teman-teman Asrama Putri A2 lorong 2 (terima kasih atas doa, dukungan, kebersamaan, dan motivasinya).

14. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, November 2011

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Yogyakarta pada tanggal 28 Juli 1989 dari bapak Yanto dan ibu Rina. Penulis merupakan putri sulung dari dua bersaudara.

Penulis mengemban ilmu di SD Negeri Semplak 2 dan lulus pada tahun 2001, selanjutnya penulis melanjutkan studinya di SMP Negeri 1 bogor dan lulus pada tahun 2004, SMA Negeri 1 Bogor menjadi pilihan penulis untuk melanjutkan pendidikannya dan lulus pada tahun 2007, di tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika minor Statistika Terapan, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S1) pada semester ganjil tahun akademik 2009-2010. Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai staf Departemen Pengembangan Sumber Daya Manusia Gugus Mahasiswa Matematika periode 2008-2009 dan Bendahara Umum Gugus Mahasiswa Matematika periode 2009-2010. Berbagai kegiatan kepanitian penulis ikuti selama menjadi mahasiswi seperti MPKMB 2008 sebagai staf Divisi Komisi Disiplin, Math Expo 2008 sebagai staf Divisi Acara, Liga Gumatika 2009 sebagai staf Divisi Publikasi dan Dekorasi, MPD 2009 sebagai Sekretaris , Math Expo 2009 sebagai staf Divisi Acara, Pesta Sains 2009 Sebagai Kepala Divisi Dana Usaha, Lomba Karya Cipta Mahasiswa 2009 sebagai staf Divisi Acara. Di luar dunia perkuliahan penulis pernah menjadi panitia kegiatan Peduli Anak Yatim 2011 yang diselenggarakan oleh Ikatan Alumni SMP Negeri 1 Bogor dan tergabung dalam kepanitiaan KIRIN Family Day 2011 dalam naungan Event Organizer Dinda Entertainment.

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

DAFTAR TABEL ... viii

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penulisan ... 1

1.3 Sistematika Penulisan ... 1

II LANDASAN TEORI ... 2

2.1 Berbagai Definisi ... 2

2.2 Proses Stokastik dan Proses Markov ... 2

2.3 Proses Wiener ... 3

2.4 Generalisasi Proses Wiener ... 3

2.5 Proses Itô ... 4

2.6 Proses untuk Harga Saham ... 4

2.7 Proses Analisis untuk Data Deret Waktu ... 5

2.8 Model Deret Waktu ARIMA ... 5

III PEMBAHASAN ... 7

3.1 Model Wiener ... 7

3.2 Model ARIMA ... 8

3.3 Pembandingan dan Peramalan ... 11

IV SIMPULAN DAN SARAN ... 12

4.1 Simpulan ... 12

4.2 Saran ... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 12

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Data Saham Mc-Donald Selama Tahun 2010 ... 8

2 Plot Korelasi Diri (ACF) ... 9

3 Plot Korelasi Diri Parsial (PACF) ... 9

4 Plot Output Stasioner ... 9

5 Plot Korelasi Diri (ACF) Setelah Pembedaan Satu Kali ... 9

6 Plot Korelasi Diri Parsial (PACF) Setelah Pembedaan Satu Kali ... 9

7 Plot Residual Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 Model ARIMA ... 10

8 Plot Kenormalan Sisaan Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 Model ARIMA ... 11

9 Plot Data Aktual, Data Peramalan Model Wiener dan Model ARIMA ... 11

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Tabel Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 ... 14

2 Komputasi dari Volatility ... 16

3 Pengolahan Data Menggunakan Minitab ... 21

4 Tabel Simulasi Monte Carlo ... 22

5 Hasil Uji Augmented Dickey-Fuller Data Asli ... 23

6 Hasil Uji Augmented Dickey-Fuller Data Penutupan Harga Saham Setelah Pembedaan Satu Kali ... 23

7 Output Minitab Model ARIMA (1,1,0) ... 24

8 Output Minitab Model ARIMA (2,1,0) ... 26

9 Output Minitab Model ARIMA (1,1,1) ... 28

10 Plot Residual ACF dan PACF Data Harga Penutupan Saham Mc-Donald Selama Tahun 2010 ... 30

11 Perbandingan Peramalan Model Wiener dan Model ARIMA ... 31

12 Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald Menggunakan Software SAS 9.1.3 ... 33

13 Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald dengan Pembedaan Satu Kali Menggunakan Software SAS 9.1.3 ... 34

DAFTAR TABEL

Halaman 1 Alternatif Model ARIMA Tentatif untuk Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 ... 10

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Setiap variabel yang nilainya berubah seiring waktu dengan cara yang tidak pasti dikatakan mengikuti proses stokastik. Proses stokastik dapat diklasifikasikan sebagai waktu diskret atau waktu kontinu. Proses stokastik waktu diskret merupakan salah satu proses dimana nilai dari variabel yang dapat diubah hanya pada titik-titik tetap tertentu dalam waktu, sedangkan proses stokastik waktu kontinu adalah salah satu proses di mana perubahan bisa terjadi setiap saat. Proses stokastik juga dapat diklasifikasikan sebagai variabel kontinu atau variabel diskret. Dalam proses variabel kontinu, variabel yang mendasari dapat mengambil nilai apapun dalam jarak tertentu, sedangkan dalam proses variabel diskret, nilai-nilai diskret tertentu yang hanya mungkin.

Dalam hal ini yang akan dikembangkan adalah proses stokastik dengan waktu kontinu untuk harga saham. Dalam prakteknya, kita tidak memperhatikan harga saham yang mengikuti variabel kontinu, proses waktu kontinu. Harga saham dibatasi dengan nilai-nilai diskret (misalnya kelipatan persen) dan perubahan dapat diamati hanya ketika pertukaran terbuka. Walaupun demikian variabel kontinu, proses waktu kontinu terbukti menjadi model yang bermanfaat untuk berbagai tujuan.

Saham merupakan modal yang dikeluarkan perusahaan atau perseroan terbatas kepada masyarakat agar seseorang atau badan hukum memiliki sebagian hak dari perusahaan tersebut. Hal ini dilakukan karena pemilik perusahaan membutuhkan modal untuk proses produksi dalam perusahaan. Dengan menjual sahamnya, maka perusahan harus berbagi kepemilikan perusahaan tersebut dengan pemegang saham (stockholder), begitu pula dengan keuntungan yang berupa uang tunai yang harus dibagi bersama.

Saham adalah tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perusahaan terbatas.

Wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan siapa pemiliknya. Akan tetapi, dimulai dari beberapa tahun yang lalu sistem tanpa warkat sudah dilakukan di bursa efek Jakarta (saat ini berubah menjadi bursa efek Indonesia) dimana bentuk kepemilikan tidak lagi berupa lembaran saham yang diberi nama pemiliknya tapi sudah berupa account atas nama pemilik atau saham tanpa warkat. Jadi penyelesaian transaksi akan semakin cepat dan mudah karena tidak melalui surat, formulir, dan prosedur yang berbelit-belit.

Perubahan harga saham dari waktu ke waktu sangat berpengaruh bagi para pemegang saham. Perubahan harga tersebut menentukan apakah sebuah saham akan dijual atau dibeli. Seperti diketahui bahwa harga saham berfluktuasi seiring dengan bertambahnya waktu karena itu diperlukan model harga saham untuk meramalkan harga saham untuk masa yang akan datang. Sehingga perlu dicari model yang paling baik dalam meramalkan harga saham tersebut.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan utama dari penulisan karya ilmiah ini adalah

1. Memodelkan harga saham menggunakan generalisasi proses Wiener dan model ARIMA.

2. Membandingkan hasil peramalan menggunakan proses Wiener dan model ARIMA.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pemodelan Harga Saham sekaligus pembandingan hasil peramalan antara proses Wiener dan model ARIMA akan dibahas pada bab tiga. Pada bab empat akan dipaparkan simpulan serta saran dari karya ilmiah ini.

II LANDASAN TEORI

2.1 Berbagai Definisi

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.

(Ross 2003)

Ruang Contoh

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan

(Grimmett dan Stirzaker 1992)

Peubah Acak

Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa , untuk setiap dengan adalah sebuah medan- dari suatu ruang contoh .

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z. sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Fungsi Sebaran

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi yang dinyatakan sebagai .

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Fungsi Kepekatan Peluang

Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi sebaran dapat diekspresikan sebagai

∫

untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut juga fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi .

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah

∫

Jika integral di atas konvergen.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu

Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan adalah nilai harapan dari , dengan fungsi kepekatan peluang , maka simpangan baku (standard deviation) dan ragam (variance) dari X dinotasikan dengan dan Var(X) sama dengan

√ dan ∫ (Ghahramani 2005) Sebaran Normal

Misalkan diberikan peubah acak . Peubah acak dikatakan menyebar normal dengan rata-rata dan ragam jika memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai berikut:

√

Sebaran normal yang memiliki nilai rata-rata 0, dan ragam 1 disebut sebaran normal baku, Misalkan peubah acak _menyebar normal baku, maka _{memiliki fungsi} kepekatan peluang

√

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Ruang State

Misalkan Ѕ adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

2.2 Proses Stokastik dan Proses Markov Proses stokastik X={X(t) ,t



T

} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state S.

3

Proses Markov

Misalkan merupakan barisan peristiwa dari variabel acak yang nilainya diambil dari titik , yang disebut ruang state. Misalkan adalah variabel acak diskret yang diambil dari salah satu nilai yang mungkin, dengan | | bisa bernilai . Proses dikatakan rantai Markov jika memenuhi persamaan berikut

|

|

untuk semua dan untuk semua .

_{(Grimmett & Stirzaker 1992)}

2.3 Proses Wiener

Proses Wiener merupakan salah satu proses Markov dengan perubahan rata-rata nol dan volatility satu per tahun. Disajikan secara formal, variabel mengikuti proses Wiener jika memiliki dua sifat berikut:

Sifat 1. Perubahan selama jangka waktu terkecil adalah

√ (2.1) dengan є memiliki sebaran normal baku ∅ (0,1).

Sifat 2. Nilai untuk dua interval waktu yang berbeda, saling bebas. Ini mengikuti dari sifat pertama yang sendiri memiliki sebaran normal dengan

Rata- rata ∆z = 0 Standar deviasi = _√

Ragam =

Sifat 2 menunjukkan bahwa mengikuti proses Markov.

Perubahan nilai selama waktu yang relatif lama, , dapat dinyatakan dengan . Hal ini dapat dianggap sebagai jumlah perubahan dalam interval waktu pendek , dengan

maka,

∑ √ (2.2)

Diketahui dengan sebaran ∅ Kita tahu dari sifat kedua bahwa saling bebas satu sama lain. Ini mengikuti persamaan (2.2) yaitu menyebar normal, dengan

Rata- rata Standar deviasi

Ragam √ (Hull 2006)

2.4 Generalisasi Proses Wiener

Perubahan rata-rata per satuan waktu untuk proses stokastik dikenal sebagai drift rate dan ragam per satuan waktu dikenal sebagai volatility. Proses Wiener dasar, , yang telah dikembangkan sejauh ini memiliki drift rate nol dan volatility 1. Drift rate nol berarti bahwa nilai yang diharapkan dari pada setiap saat untuk waktu yang akan datang sama dengan nilai saat ini. Volatility 1 berarti bahwa perubahan ragam dalam interval waktu dengan panjang bernilai . Generalisasi proses Wiener untuk suatu variabel dapat didefinisikan dalam sebagai

(2.3) dengan

= perubahan variabel acak = konstanta drift rate = perubahan waktu

= konstanta volatility = proses Wiener ~ ∅ (0,1)

dengan dan adalah konstanta. Untuk memahami persamaan (2.3). Istilah menyiratkan bahwa memiliki tingkat penyimpangan yang diharapkan sebesar per unit waktu. Tanpa besaran , persamaan menjadi , yang menyiratkan bahwa . Jika diintegralkan dengan memperhatikan waktu, kita mendapatkan

dengan adalah nilai pada waktu 0. Dalam jangka waktu panjang , variabel meningkat sebesar . Istilah di sisi kanan dari persamaan (2.3) dapat dianggap sebagai penambahan variabel ke persamaan yang diikuti oleh . Jumlah dari variabel adalah kali proses Wiener. Proses Wiener

4

memiliki volatility 1. Oleh karena itu, kali proses Wiener memiliki volatility . Dalam interval jangka waktu pendek , maka perubahan dalam nilai diberikan oleh persamaan (2.1) dan (2.3) sebagai

√

seperti sebelumnya, є memiliki sebaran normal baku. Jadi memiliki sebaran normal dengan

Rata- rata Standar deviasi √

Ragam

serupa dengan argumen yang diberikan untuk menunjukkan proses Wiener bahwa perubahan nilai dalam interval waktu biasanya didistribusikan dengan

Rata- rata perubahan di Standar deviasi perubahan di √

Ragam perubahan di Dengan demikian, generalisasi proses Wiener diberikan dalam persamaan (2.3) memiliki drift rate yang diharapkan (yaitu, drift rata-rata per unit waktu) dan volatility (yaitu, ragam per unit waktu) dari .

(Hull 2006)

2.5Proses Itô

Proses Itô adalah generalisasi proses Wiener dengan parameter dan merupakan fungsi dari variabel yang mendasari dan waktu . Sebuah Proses Itô dapat ditulis secara aljabar sebagai

(2.4) drift rate dan volatility dari Proses Itô memungkinkan perubahan dari waktu ke waktu. Dalam jangka waktu pendek antara dan , perubahan variabel dari ke , dengan

√ Hubungan ini melibatkan sedikit pendekatan. Ini dapat diasumsikan bahwa drift rate dan volatility dari tetap konstan, sama dengan dan , masing-masing, selama selang waktu antara dan .

(Hull 2006)

2.6Proses untuk Harga Saham

Dapat dikatakan bahwa harga saham mengikuti generalisasi proses Wiener, yaitu, bahwa ia diharapkan memiliki drift rate konstan dan volatility konstan. Diharapkan persentase pengembalian yang didapatkan para investor saham adalah bebas dari harga saham. Jelas, asumsi drift rate diharapkan konstan tidak tepat dan perlu diganti dengan asumsi bahwa pengembalian yang diharapkan konstan. Jika adalah harga saham pada waktu , maka drift rate yang diharapkan pada dianggap menjadi untuk beberapa parameter yang konstan. Ini berarti bahwa dalam interval waktu yang singkat, , peningkatan yang diharapkan dalam adalah . Parameter μ adalah tingkat pengembalian yang diharapkan pada saham, dinyatakan dalam bentuk desimal.

Jika volatility harga saham selalu nol, maka model ini menyiratkan bahwa

dengan limit, dengan ,

dengan pengintegralan antara waktu 0 dan waktu T, dapat dihasilkan

= (2.5)

Diketahui dan adalah harga saham pada waktu 0 dan waktu . Persamaan (2.5) menunjukkan bahwa, ketika volatility adalah nol, harga saham tumbuh pada tingkat kontinu majemuk per unit waktu.

Dalam prakteknya, harga saham tidak memperlihatkan volatility. Asumsi yang masuk akal adalah bahwa variabilitas dari persentase pengembalian dalam waktu singkat, , sama tanpa mempedulikan harga saham. Dengan kata lain, seorang investor tidak dapat memastikan persentase pengembalian ketika harga saham adalah $ 50 maupun pada saat harga saham $ 10. Hal ini menunjukkan bahwa volatility dari perubahan dalam waktu singkat harus proporsional terhadap harga saham dan mengarah ke model

5

Persamaan (2.6) adalah model yang paling banyak digunakan perilaku harga saham. Variabel adalah volatility dari harga saham. Variabel adalah tingkat pengembalian yang diharapkan.

(Hull 2006)

2.7 Proses Analisis untuk Data Deret Waktu

Dalam analisis data deret waktu, proses baku yang harus dilakukan adalah

1. Memetakan nilai data terhadap waktu, hal ini dilakukan untuk menelaah kestasioneran data, sebab jika data tidak stasioner maka harus distasionerkan melalui proses stasioneritas.

2. Menggambarkan korelogram (gambar fungsi autokorelasi), untuk menelaah apakah autokorelasi signifikan atau tidak, dan perlu-tidaknya proses diferensi dilakukan. Jika autokorelasi data tidak signifikan, analisis data cukup menggunakan analisis regresi sederhana data atas waktu, sedangkan jika signifikan harus menggunakan analisis regresi deret waktu. Jika data ditransformasikan, maka proses pemetaan data dan penggambaran korelogram, sebaiknya dilakukan juga pada data hasil transformasi, untuk menelaah apakah proses transformasi ini sudah cukup baik dalam upaya menstasionerkan data. 3. Jika dari korelogram disimpulkan bahwa

autokorelasi signifikan, maka bangun model regresi deret waktunya, dan lakukan penaksirannya baik dalam kawasan waktu maupun kawasan frekuensi.

4. Lakukan proses peramalan dengan metode yang sesuai dengan kondisi datanya, dan untuk mendapatkan hasil yang memuaskan, digunakan metode Box-Jenkins .

(Mulyana 2004)

Trend danKestasioneran

Trend adalah komponen data deret waktu yang menunjukkan peningkatan atau penurunan dalam jangka panjang selama periode waktu yang diamati. Sebagai contoh data dengan trend diindikasikan antara lain dengan koefisien autokorelasi beberapa beda kala pertama tinggi dan berbeda dengan nol secara signifikan, lalu turun mendekati nol saat series meningkat. Data dengan trend berarti data tidak stasioner. Data yang stasioner adalah data dengan rataan dan ragam konstan sepanjang waktu pengamatan. Data

ini dicirikan oleh koefisien autokorelasi pada beberapa beda kala pertama mendekati nol atau tidak terdapat autokorelasi antar series.

(Firdaus 2006)

2.8 Model Deret Waktu ARIMA

Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses Autoregressive (AR) berordo- atau proses Moving Average (MA) berordo- atau merupakan kombinasi keduanya. Pembeda berordo- dilakukan jika data deret waku bersifat non-stasioner, padahal aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA menghendaki data yang stasioner. Bentuk umum model ARIMA adalah

dengan

= derajat autoregressive (AR) = derajat pembeda

= derajat moving average (MA) = waktu

= operator backshift

= parameter yang menjelaskan AR = parameter yang menjelaskan MA = galat acak pada waktu ke-t yang diasumsikan menyebar normal bebas stokastik.

= =

Jika ditetapkan nilai model tersebut menjadi model autoregressive ordo yang disingkat AR( ). Sebaliknya jika ditentukan bahwa , menjadi model moving average ordo yang disingkat MA( ).

(Cryer 1986)

Metode Box dan Jenkins

Metode yang biasa digunakan dalam pembuatan model ARIMA adalah metode Box dan Jenkins (Makridaskis et al. 1983) dengan prosedur sebagai berikut:

1. Identifikasi model: Identifikasi model beranjak dari struktur data yang bersifat stasioner. Dari data yang stasioner dapat diperoleh model sementara dengan

6

mengamati fungsi korelasi diri (ACF) dan fungsi korelasi diri parsialnya (PACF). Ordo proses AR dapat ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri parsial (PACF) yang tidak nol. Sedangkan ordo proses MA ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri (ACF) pertama yang tidak nol (Bowerman & O’Connel, 1987). Identifikasi proses ARIMA dari plot autokorelasi dan plot korelasi parsialnya. 2. Pendugaan parameter: Banyaknya

parameter yang akan diduga bergantung pada banyaknya koefisien model awal. Penduga parameter dikatakan berpengaruh jika nilai mutlak yang berpadanan dengan parameter tersebut lebih besar daripada nilai- tabel pada taraf nyata berderajat bebas minus banyaknya parameter (Bowerman & O’Connel, 1987).

3. Diagnostik model: Statistik uji Q Box- Pierce dapat digunakan untuk menguji kelayakan model, yaitu dengan menguji apakah sekumpulan korelasi diri untuk nilai sisa tersebut tidak nol. Statistik uji Q Box-Pierce menyebar mengikuti sebaran dengan derajat bebas dimana adalah lag maksimum yang diamati, adalah ordo AR, dan adalah ordo MA. JIka nilai Q lebih besar nilai

untuk tingkat

kepercayaan tertentu atau nilai peluang statistik Q lebih kecil dari taraf nyata maka dapat disimpulkan bahwa model tidak layak. Persamaan statistik uji Q Box- Pierce menurut Makridaskis et al. (1983) adalah:

∑

dengan

= nilai korelasi diri pada lag = banyaknya amatan pada data awal = ordo pembedaan

= lag maksimum

4. Peramalan: Peramalan merupakan suatu proses untuk memperoleh data beberapa periode waktu ke depan. Untuk memperoleh sejauh period ke depan dari titik waktu ke , maka dipilih satu model yang memiliki nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG) minimum. Perhitungan dilakukan secara rekursif, yaitu menghitung peramalan satu periode kemudian dua periode, dan seterusnya sampai periode ke depan.

Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung Mean Absolute Percentage Error (MAPE), dengan rumus sebagai berikut:

∑ | |

Dengan adalah pengamatan pada waktu dan adalah ramalan pada waktu ke- . Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual.

III PEMBAHASAN

3.1 Model Wiener

Harga saham diasumsikan mengikuti proses Wiener. Dalam penentuan model maka terlebih dahulu dibutuhkan data. Data yang diperoleh adalah data harga penutupan saham Mc-Donald selama tahun 2010. Data tersebut terdapat pada Lampiran 1.

Model Wiener dapat dicari dengan mencari model perubahan harga terlebih dahulu. Dengan asumsi tingkat pengembalian konstan dan volatility konstan model perubahan harga saham adalah

dengan

: harga saham pada waktu

: tingkat pengembalian yang diharapkan : perubahan waktu

: volatility dari harga saham : proses Wiener ~ ∅ (0,1)

Setelah data didapatkan, selanjutnya dilakukan pengolahan data untuk proses selanjutnya. Untuk menduga tingkat pengembalian yang diharapkan, digunakan asumsi volatility harga saham nol, maka model menjadi

jika , maka

Kemudian dengan menggunakan software minitab dapat diketahui bahwa analisis regresi antara harga saham terhadap waktu menghasilkan tingkat pengembalian ( sebesar 0.0316 (Lampiran 3).

Selanjutnya yang harus dicari adalah penduga volatility dari harga saham tersebut. Biasanya data yang diambil berasal dari interval yang tepat dari waktu (misalnya harian, bulanan atau tahunan). Dalam kasus ini yang diambil adalah data harian.

Misalkan

(

)

dengan

: banyaknya amatan

: harga akhir saham pada interval ke-, dengan

: panjang interval waktu dalam satu tahun

dan untuk mencari standar deviasi dari dengan rumus

√ _∑ ̅

dimana ̅ adalah rata- rata dari .

Dari Lampiran 1, dapat diketahui bahwa , karena data yang diambil adalah data 80%, sisanya yang 20% digunakan untuk peramalan. Karena data tersebut sebanyak 202 data, maka panjang waktu dalam setahun menggunakan formulasi

sehingga didapatkan

dari Lampiran 2 didapatkan

Penduga volatility dapat dicari dengan formulasi

̂ √ sehingga didapatkan

̂

8

dan standar deviasi dari pendugaan tersebut dapat dicari dengan formulasi

̂ √

̂

sehingga didapatkan hasilnya sebesar

̂

√

Dari hasil di atas diketahui bahwa penduga volatility ( ) adalah sebesar 0.142685 atau 14.27%.

Berdasarkan hasil perhitungan di atas perubahan harga berdasarkan proses Wiener adalah

(3.1) Pada Gambar 1 dapat terlihat bahwa data tersebut memiliki drift rate positif dan volatility kecil, sesuai dengan teori maka data tersebut cocok mengikuti proses Wiener. 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 1 80 75 70 65 60 Waktu H a r g a S a h a m

Gambar 1 Data Saham Mc-Donald Selama Tahun 2010

Setelah didapatkan model perubahan harga saham, maka dilakukan simulasi Monte Carlo untuk mendapatkan nilai peramalan untuk selang waktu berikutnya. Simulasi tersebut dapat dilihat di Lampiran 4.

3.2 Model ARIMA

Selanjutnya akan dilakukan pengujian menggunakan analisis deret waktu. Harga penutupan saham Mc-Donald meningkat seiring dengan bertambahnya waktu. Harga saham terendah terjadi pada bulan minggu pertama Januari 2010 (61.45) sedangkan

harga saham tertinggi terjadi pada minggu pertama Desember 2010 (80.34).

Plot deret waktu terhadap harga penutupan saham dari Januari 2010 hingga Desember 2010 menunjukkan perkembangan yang cenderung meningkat.

Model umum ARIMA ( adalah

dengan

= derajat autoregressive (AR) = derajat pembeda

= derajat moving average (MA) = waktu

= operator backshift

= parameter yang menjelaskan AR = parameter yang menjelaskan MA = galat acak pada waktu ke- yang diasumsikan menyebar normal bebas stokastik.

= =

Tahap awal sebelum mengidentifikasi model ARIMA data Harga Pentupan Saham adalah pemeriksaan kestasioneran data tersebut. Plot data asli pada Gambar 1 dan plot korelasi diri (ACF) pada Gambar 2 yang menunjukkkan pola dies down atau turun secara eksponensial serta plot korelasi diri parsial (PACF) pada Gambar 3 yang menunjukkan pola terputus setelah lag-1 menunjukkan bahwa data tidak stasioner. Hal tersebut juga dapat dilihat dari uji Augmented Dickey-Fuller pada Lampiran 5, pada plot data asli masih mengandung

lebih besar dari 0.05 yang menunjukkan data tidak stasioner. Karena itu dilakukan pembedaan satu kali ( ) untuk mencari output yang stasioner. Setelah dilakukan pembedaan satu kali dapat dilihat pada Gambar 4 bahwa plot data menunjukkan kecenderungan berada di sekitar nilai tengah nol. Dapat pula dilihat dari plot ACF pada Gambar 5 dan plot PACF pada Gambar 6. Selain itu dari uji Augmented Dickey-Fuller juga mengandung nilai- yang kurang dari

9

0.05 yang menunjukkan data telah stasioner (Lampiran 6). Karena itu tidak diperlukan pembedaan dua kali atau lebih.

60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Lag A u to c o rr e la ti o n

Gambar 2 Plot Korelasi Diri (ACF)

60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Lag P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n

Gambar 3 Plot Korelasi Diri Parsial (PACF)

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1 3 2 1 0 -1 -2 Index

Gambar 4 Plot Output Stasioner

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Lag A u t o c o r r e la t io n

Gambar 5 Plot Korelasi Diri (ACF) Setelah Pembedaan Satu Kali

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Lag P a r t ia l A u t o c o r r e la t io n

Gambar 6 Plot Korelasi Diri Parsial (PACF) Setelah Pembedaan Satu Kali

Pada plot ACF dan PACF di atas garis yang berwarna biru menunjukkan pola dari data yang diolah sedangkan garis yang berwarna merah menunjukkan batas grafik dikatakan bernilai nol atau bukan nol.

Setelah data stasioner, tahap selanjutnya adalah mengidentifikasi model tentatif berdasarkan karakteristik ACF (Gambar 5) dan PACF (Gambar 6). Plot korelasi diri menunjukkan ordo- dan plot korelasi ordo parsial menunjukkan ordo- . Dari kedua plot tersebut ada tiga model yang teridentifikasi yaitu ARIMA (1,1,0), ARIMA (2,1,0), dan ARIMA (1,1,1).

Tahap selanjutnya adalah pendugaan parameter dengan proses trial and error, yaitu dengan memperkecil ordo- atau yang mempunyai -hitung kecil atau menambah ordo- atau yang mempunyai -hitung besar sehingga memperoleh kandidat- kandidat model. Hasil pendugaan parameter tersebut dapat dilihat pada Tabel 1.

10

Tabel 1 Alternatif Model ARIMA Tentatif untuk Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010

Model

ARIMA Parameter

Koefisien Kesignifikanan Uji

Ljung-Box-Pierce _MS

Parameter parameter (nilai-p) Lag ke- Nilai-p ARIMA

(1,1,0) Konstanta 0.08467 0.081 12 0.512 0.469

AR(1) -0.1611 0.022 24 0.484

38 0.668

48 0.514

ARIMA

(2,1,0) Konstanta 0.09254 0.057 12 0.409 0.4679

AR(1) -0.1751 0.014 24 0.252

AR(2) -0.085 0.232 38 0.398

48 0.258

ARIMA

(1,1,1) Konstanta 0.06418 0.059 12 0.402 0.4692

AR(1) 0.1251 0.419 24 0.298

MA(1) 0.3007 0.746 38 0.47

48 0.325

Setelah dilakukan pengujian seperti yang dilampirkan pada Lampiran 7, 8 dan 9. Dapat dilihat bahwa model yang memiliki parameter yang nyata adalah ARIMA (1,1,0) karena nilai- koefisien AR = 0.022, kurang dari = 0.05. ARIMA (2,1,0) memiliki nilai MS lebih kecil, namun nilai- kofisien AR(2)= 0.232, melebihi nilai . Sehingga model yang dipilih adalah model yang memiliki nilai parameter nyata, yaitu ARIMA (1,1,0). Koefisien parameter AR (1) pada model ARIMA (1,1,0) yaitu -0.1611, merupakan konstanta untuk model peramalan.

Setelah didapatkan model terbaik, selanjutnya adalah diagnostik terhadap model sisaan. Pengujian Ljung-Box-Pierce (uji kelayakan model) pada Tabel 1 menunjukkan nilai korelasi diri sisaan tidak berbeda nyata dengan nol pada semua lagnya (nilai- lebih dari ), artinya model ARIMA (1,1,0) layak.

Hal tersebut juga dapat dilihat secara visual, yaitu dapat dilihat pada Gambar 7 bahwa plot residual terhadap waktu sudah tidak memiliki pola tertentu atau sudah bersifat acak. 200 150 100 50 0 2 1 0 -1 -2 waktu R e s id u a l 0

Gambar 7 Plot Residual Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 Model ARIMA

Dari plot residual fungsi korelasi diri (RACF) dan plot residual fungsi korelasi diri parsial (RPACF) juga tidak menujukkan nilai autokorelasi yang nyata, artinya model sudah besifat acak (Lampiran 10).

Selain bersifat acak, sisaan harus normal. Hal tersebut dapat dilihat pada Gambar 8 yang menunjukkan bahwa plot kenormalan cenderung lurus, yang berarti bahwa sisaan mengikuti sebaran normal.

11 2 1 0 -1 -2 99.9 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1 Residual P e rc e n t

Gambar 8 Plot Kenormalan Sisaan Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 Model ARIMA

Dengan demikian asumsi keacakan dan kenormalan terpenuhi. Maka model ARIMA (1,1,0) merupakan model terbaik untuk meramalkan harga penutupan saham Mc-Donald. Model tersebut adalah

(3.2)

Untuk hasil peramalan serta pembandingan dapat dilihat pada subbab selanjutnya.

3.3 Peramalan dan Pembandingan

Peramalan dengan model Wiener dapat dilakukan dengan mengolah data menggunakan persamaan (3.1). Persamaan tersebut merupakan model perubahan harga, sehingga untuk melakukan peramalan nilai yang akan datang dapat dilakukan dengan menambahkan perubahan harga saham pada waktu- dengan harga saham pada waktu-untuk mendapatkan nilai harga saham pada waktu- .

Pada model ARIMA sendiri peramalan dapat dilakukan dengan mengolah persamaan (3.2), karena persamaan tersebut sudah merupakan model untuk meramalkan harga saham pada waktu yang akan datang. Hasil pengolahan data tersebut dapat dilihat pada Lampiran 7.

Validasi model diperlukan untuk melihat keakuratan model, yaitu membandingkan antara data aktual dengan data peramalan yang dihasilkan oleh model. Perbandingan hasil peramalan antara model Wiener, model ARIMA dengan data aktual dapat dilihat pada Lampiran 11. Nilai MAPE hasil peramalan dengan model Wiener adalah 0.0172797 sedangkan pada model ARIMA sebesar 0.020014. Nilai MAPE model Wiener lebih kecil dibandingkan dengan model ARIMA, hal tersebut menunjukkan bahwa model Wiener lebih baik untuk pemodelan dibandingkan model ARIMA.

Gambar 9 Plot Data Aktual, Data Peramalan Model Wiener dan Model ARIMA

Dari plot data aktual, data peramalan model Wiener dan Model ARIMA pada Gambar 9, diketahui pola data aktual lebih mirip dengan model Wiener dibandingkan dengan model ARIMA yang cenderung memiliki pola trend linier. Peramalan dengan model Wiener masih mempertimbangkan fluktuasi sehingga peramalannya lebih mendekati data yang sebenarnya. Selain itu model ARIMA mengikuti proses deterministik yang tidak memperhitungkan peluang, sehingga terlihat bahwa peramalannya cenderung linier mengikuti garis lurus. 74 76 78 80 82

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

H ar g a P er amal an Waktu

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

Harga saham dapat dimodelkan dengan menggunakan generalisasi proses Wiener maupun dengan model ARIMA. Proses Wiener merupakan proses stokastik, sedangkan ARIMA adalah proses deterministik yang tidak memperhitungkan peluang. Karena harga saham sendiri dipengaruhi oleh peluang maka akan lebih cocok jika dimodelkan menggunakan generalisasi proses Wiener. Hal tersebut juga dapat dilihat pada hasil peramalan yang menunjukkan bahwa model Wiener sedikit lebih baik dalam peramalan harga penutupan saham Mc-Donald. Hasil

peramalan menggunakan model ARIMA kurang memuaskan, hal tersebut dapat dikarenakan adanya variabel lain yang mempengaruhi harga saham tersebut yang tidak dipertimbangkan dalam model.

4.2 Saran

Penulis menyarankan untuk mengkaji pemodelan dan peramalan dengan metode lain yang mungkin lebih representatif. Selain itu tipe plot data harga saham dapat lebih divariasikan, tidak hanya yang memiliki drift rate positif yang dijadikan data untuk pemodelan.

DAFTAR PUSTAKA

Bowerman BL, O’ Connell, RT. 1987. Time

Series Forecasting. Inufied Concepts and Computer Implementation. 2nd edition. Boston: Duxbury Press. Cryer JD. 1986. Time Series Analysis.

Boston : Duxbury Press.

Firdaus, M. 2006. Analisis Deret Waktu Satu Ragam. Bogor: IPB Press.

Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd edition. Oxford: University Press. Hull JC. 2006. Options, Futures, and Other

Derivatives. 6th edition. New Jersey:Pearson Education.

http://finance.yahoo.com/q/hp?s=MCD+Hist orical+Prices [18 februari 2011] Makridaskis S, Whelwright SC, VE McGee

VE. 1983. Forecasting: Methods and Applications. 2nd edition. New York: John Wiley and Sons.

Mulyana. 2004. Analisis Data Deret Waktu. http://resources.unpad.ac.id/unpad-content/uploads/publikasi_dosen/PEN GUJIAN%20AUTOKORELASI%20 PERIODIK%20UNTUK%20DATA %20DERET%20WAKTU.PDF [13 Maret 2011].

Ross SM. 2003. Introduction to Probability Models. Burlington: Elsevier, Inc.

14

Lampiran 1 Tabel Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010

No Tanggal Saham No Tanggal Saham No Tanggal Saham 1 1/4/10 62.78 43 3/5/10 63.67 85 5/5/10 70.66 2 1/5/10 62.30 44 3/8/10 65.12 86 5/6/10 69.42 3 1/6/10 61.45 45 3/9/10 65.10 87 5/7/10 68.01 4 1/7/10 61.90 46 3/10/10 64.94 88 5/10/10 70.58 5 1/8/10 61.84 47 3/11/10 65.21 89 5/11/10 70.48 6 1/11/10 62.32 48 3/12/10 65.53 90 5/12/10 70.67 7 1/12/10 62.66 49 3/15/10 65.93 91 5/13/10 70.50 8 1/13/10 62.59 50 3/16/10 66.07 92 5/14/10 69.59 9 1/14/10 62.65 51 3/17/10 66.38 93 5/17/10 70.14 10 1/15/10 62.28 52 3/18/10 66.68 94 5/18/10 70.02 11 1/19/10 63.48 53 3/19/10 66.53 95 5/19/10 69.40 12 1/20/10 63.01 54 3/22/10 67.01 96 5/20/10 67.66 13 1/21/10 63.20 55 3/23/10 67.35 97 5/21/10 67.86 14 1/22/10 63.39 56 3/24/10 66.80 98 5/24/10 67.66 15 1/25/10 63.09 57 3/25/10 66.90 99 5/25/10 67.84 16 1/26/10 63.81 58 3/26/10 67.26 100 5/26/10 66.01 17 1/27/10 63.73 59 3/29/10 67.07 101 5/27/10 67.20 18 1/28/10 62.83 60 3/30/10 67.24 102 5/28/10 66.87 19 1/29/10 62.43 61 3/31/10 66.72 103 6/1/10 66.36 20 2/1/10 63.89 62 4/1/10 67.58 104 6/2/10 67.77 21 2/2/10 64.03 63 4/5/10 68.03 105 6/3/10 67.85 22 2/3/10 65.21 64 4/6/10 67.81 106 6/4/10 66.70 23 2/4/10 64.06 65 4/7/10 67.70 107 6/7/10 66.75 24 2/5/10 63.37 66 4/8/10 68.76 108 6/8/10 68.38 25 2/8/10 62.92 67 4/9/10 68.68 109 6/9/10 68.26 26 2/9/10 63.57 68 4/12/10 68.53 110 6/10/10 69.37 27 2/10/10 63.25 69 4/13/10 68.92 111 6/11/10 69.54 28 2/11/10 63.79 70 4/14/10 69.42 112 6/14/10 69.30 29 2/12/10 63.59 71 4/15/10 69.16 113 6/15/10 70.40 30 2/16/10 64.01 72 4/16/10 69.03 114 6/16/10 70.29 31 2/17/10 64.26 73 4/19/10 69.92 115 6/17/10 70.05 32 2/18/10 64.48 74 4/20/10 70.34 116 6/18/10 69.88 33 2/19/10 64.74 75 4/21/10 70.36 117 6/21/10 69.92 34 2/22/10 64.77 76 4/22/10 71.03 118 6/22/10 68.64 35 2/23/10 64.87 77 4/23/10 71.15 119 6/23/10 68.63 36 2/24/10 65.26 78 4/26/10 71.02 120 6/24/10 67.73 37 2/25/10 64.38 79 4/27/10 70.53 121 6/25/10 67.42 38 2/26/10 63.85 80 4/28/10 70.34 122 6/28/10 67.33 39 3/1/10 63.98 81 4/29/10 71.52 123 6/29/10 66.46 40 3/2/10 64.07 82 4/30/10 70.59 124 6/30/10 65.87 41 3/3/10 63.63 83 5/3/10 71.42 125 7/1/10 66.71 42 3/4/10 63.43 84 5/4/10 70.64 126 7/2/10 66.14

15

No Tanggal Saham No Tanggal Saham No Tanggal Saham 127 7/6/10 66.11 169 9/2/10 75.02 211 11/2/10 78.40 128 7/7/10 67.31 170 9/3/10 75.09 212 11/3/10 78.50 129 7/8/10 69.02 171 9/7/10 75.80 213 11/4/10 79.18 130 7/9/10 69.22 172 9/8/10 76.08 214 11/5/10 79.30 131 7/12/10 69.94 173 9/9/10 74.37 215 11/8/10 79.31 132 7/13/10 70.84 174 9/10/10 75.01 216 11/9/10 79.10 133 7/14/10 70.90 175 9/13/10 74.57 217 11/10/10 79.50 134 7/15/10 71.33 176 9/14/10 73.94 218 11/11/10 79.70 135 7/16/10 69.94 177 9/15/10 74.71 219 11/12/10 78.85 136 7/19/10 69.91 178 9/16/10 74.80 220 11/15/10 79.07 137 7/20/10 70.87 179 9/17/10 74.32 221 11/16/10 77.42 138 7/21/10 70.11 180 9/20/10 75.11 222 11/17/10 78.37 139 7/22/10 71.40 181 9/21/10 75.51 223 11/18/10 79.02 140 7/23/10 69.90 182 9/22/10 75.13 224 11/19/10 79.64 141 7/26/10 70.87 183 9/23/10 74.64 225 11/22/10 79.52 142 7/27/10 70.40 184 9/24/10 75.10 226 11/23/10 79.01 143 7/28/10 69.77 185 9/27/10 74.76 227 11/24/10 79.48 144 7/29/10 69.38 186 9/28/10 74.63 228 11/26/10 78.54 145 7/30/10 69.73 187 9/29/10 74.45 229 11/29/10 78.26 146 8/2/10 70.25 188 9/30/10 74.51 230 11/30/10 78.30 147 8/3/10 70.45 189 10/1/10 74.92 231 12/1/10 79.29 148 8/4/10 70.69 190 10/4/10 74.95 232 12/2/10 79.38 149 8/5/10 70.45 191 10/5/10 75.82 233 12/3/10 79.76 150 8/6/10 71.74 192 10/6/10 75.56 234 12/6/10 79.58 151 8/9/10 72.92 193 10/7/10 75.86 235 12/7/10 80.34 152 8/10/10 72.84 194 10/8/10 76.10 236 12/8/10 78.74 153 8/11/10 71.57 195 10/11/10 75.59 237 12/9/10 77.61 154 8/12/10 72.06 196 10/12/10 75.58 238 12/10/10 77.56 155 8/13/10 71.89 197 10/13/10 75.75 239 12/13/10 77.11 156 8/16/10 71.79 198 10/14/10 77.04 240 12/14/10 77.11 157 8/17/10 73.22 199 10/15/10 77.48 241 12/15/10 76.98 158 8/18/10 73.25 200 10/18/10 77.32 242 12/16/10 76.71 159 8/19/10 72.97 201 10/19/10 76.99 243 12/17/10 76.81 160 8/20/10 73.08 202 10/20/10 77.41 244 12/20/10 76.92 161 8/23/10 73.34 203 10/21/10 78.44 245 12/21/10 76.86 162 8/24/10 72.72 204 10/22/10 78.55 246 12/22/10 77.01 163 8/25/10 73.19 205 10/25/10 78.70

247 12/23/10

76.96

164 8/26/10 73.16 206 10/26/10 78.76

248 12/27/10

76.43

165 8/27/10 73.99 207 10/27/10 77.48

249 12/28/10

76.43

166 8/30/10 72.74 208 10/28/10 77.48

250 12/29/10

76.99

167 8/31/10 73.06 209 10/29/10 77.77

251 12/30/10

76.76

168 9/1/10 74.54 210 11/1/10 77.88

252 12/31/10

76.76

16

Lampiran 2 Komputasi dari Volatility

No Date Close ( )

Price Relative ( )

Daily Return ( ) 1 04/01/2010 62.78

2 05/01/2010 62.30 0.992354253 -0.007675126 3 06/01/2010 61.45 0.986356340 -0.013737590 4 07/01/2010 61.90 1.007323027 0.007296344 5 08/01/2010 61.84 0.999030695 -0.000969775 6 11/01/2010 62.32 1.007761966 0.007731997 7 12/01/2010 62.66 1.005455712 0.005440884 8 13/01/2010 62.59 0.998882860 -0.001117765 9 14/01/2010 62.65 1.000958620 0.000958160 10 15/01/2010 62.28 0.994094174 -0.005923334 11 19/01/2010 63.48 1.019267823 0.019084549 12 20/01/2010 63.01 0.992596093 -0.007431452 13 21/01/2010 63.20 1.003015394 0.003010857 14 22/01/2010 63.39 1.003006329 0.003001819 15 25/01/2010 63.09 0.995267392 -0.004743842 16 26/01/2010 63.81 1.011412268 0.011347639 17 27/01/2010 63.73 0.998746278 -0.001254509 18 28/01/2010 62.83 0.985877922 -0.014222743 19 29/01/2010 62.43 0.993633615 -0.006386737 20 01/02/2010 63.89 1.023386193 0.023116926 21 02/02/2010 64.03 1.002191266 0.002188869 22 03/02/2010 65.21 1.018428861 0.018261108 23 04/02/2010 64.06 0.982364668 -0.017792687 24 05/02/2010 63.37 0.989228848 -0.010829581 25 08/02/2010 62.92 0.992898848 -0.007126485 26 09/02/2010 63.57 1.010330579 0.010277583 27 10/02/2010 63.25 0.994966179 -0.005046533 28 11/02/2010 63.79 1.008537549 0.008501311 29 12/02/2010 63.59 0.996864712 -0.003140213 30 16/02/2010 64.01 1.006604812 0.006583096 31 17/02/2010 64.26 1.003905640 0.003898033 32 18/02/2010 64.48 1.003423592 0.003417745 33 19/02/2010 64.74 1.004032258 0.004024150 34 22/02/2010 64.77 1.000463392 0.000463285 35 23/02/2010 64.87 1.001543925 0.001542734 36 24/02/2010 65.26 1.006012024 0.005994024 37 25/02/2010 64.38 0.986515477 -0.013576265 38 26/02/2010 63.85 0.991767630 -0.008266443 39 01/03/2010 63.98 1.002036022 0.002033952 40 02/03/2010 64.07 1.001406690 0.001405701 41 03/03/2010 63.63 0.993132511 -0.006891178

17

No Date Close ( )

Price Relative ( )

Daily Return ( ) 42 04/03/2010 63.43 0.996856829 -0.003148122 43 05/03/2010 63.67 1.003783699 0.003776558 44 08/03/2010 65.12 1.022773677 0.022518228 45 09/03/2010 65.10 0.999692875 -0.000307172 46 10/03/2010 64.94 0.997542243 -0.002460783 47 11/03/2010 65.21 1.004157684 0.004149065 48 12/03/2010 65.53 1.004907223 0.004895222 49 15/03/2010 65.93 1.006104074 0.006085520 50 16/03/2010 66.07 1.002123464 0.002121213 51 17/03/2010 66.38 1.004691993 0.004681020 52 18/03/2010 66.68 1.004519434 0.004509252 53 19/03/2010 66.53 0.997750450 -0.002252084 54 22/03/2010 67.01 1.007214790 0.007188888 55 23/03/2010 67.35 1.005073870 0.005061041 56 24/03/2010 66.80 0.991833705 -0.008199822 57 25/03/2010 66.90 1.001497006 0.001495887 58 26/03/2010 67.26 1.005381166 0.005366739 59 29/03/2010 67.07 0.997175141 -0.002828856 60 30/03/2010 67.24 1.002534665 0.002531458 61 31/03/2010 66.72 0.992266508 -0.007763550 62 01/04/2010 67.58 1.012889688 0.012807323 63 05/04/2010 68.03 1.006658775 0.006636703 64 06/04/2010 67.81 0.996766133 -0.003239108 65 07/04/2010 67.70 0.998377820 -0.001623497 66 08/04/2010 68.76 1.015657312 0.015536001 67 09/04/2010 68.68 0.998836533 -0.001164144 68 12/04/2010 68.53 0.997815958 -0.002186430 69 13/04/2010 68.92 1.005690938 0.005674806 70 14/04/2010 69.42 1.007254788 0.007228599 71 15/04/2010 69.16 0.996254682 -0.003752350 72 16/04/2010 69.03 0.998120301 -0.001881468 73 19/04/2010 69.92 1.012892945 0.012810539 74 20/04/2010 70.34 1.006006865 0.005988896 75 21/04/2010 70.36 1.000284333 0.000284293 76 22/04/2010 71.03 1.009522456 0.009477403 77 23/04/2010 71.15 1.001689427 0.001688002 78 26/04/2010 71.02 0.998172874 -0.001828797 79 27/04/2010 70.53 0.993100535 -0.006923376 80 28/04/2010 70.34 0.997306111 -0.002697524 81 29/04/2010 71.52 1.016775661 0.016636504 82 30/04/2010 70.59 0.986996644 -0.013088639 83 03/05/2010 71.42 1.011758039 0.011689451 84 04/05/2010 70.64 0.989078689 -0.010981386

18

No Date Close ( )

Price Relative ( )

Daily Return ( ) 85 05/05/2010 70.66 1.000283126 0.000283086 86 06/05/2010 69.42 0.982451175 -0.017704631 87 07/05/2010 68.01 0.979688850 -0.020520257 88 10/05/2010 70.58 1.037788561 0.037092065 89 11/05/2010 70.48 0.998583168 -0.001417837 90 12/05/2010 70.67 1.002695800 0.002692173 91 13/05/2010 70.50 0.997594453 -0.002408445 92 14/05/2010 69.59 0.987092199 -0.012991831 93 17/05/2010 70.14 1.007903434 0.007872366 94 18/05/2010 70.02 0.998289136 -0.001712329 95 19/05/2010 69.40 0.991145387 -0.008894048 96 20/05/2010 67.66 0.974927954 -0.025391704 97 21/05/2010 67.86 1.002955956 0.002951596 98 24/05/2010 67.66 0.997052756 -0.002951596 99 25/05/2010 67.84 1.002660361 0.002656828 100 26/05/2010 66.01 0.973024764 -0.027345746 101 27/05/2010 67.20 1.018027572 0.017867002 102 28/05/2010 66.87 0.995089286 -0.004922811 103 01/06/2010 66.36 0.992373262 -0.007655971 104 02/06/2010 67.77 1.021247740 0.021025154 105 03/06/2010 67.85 1.001180463 0.001179767 106 04/06/2010 66.70 0.983050847 -0.017094433 107 07/06/2010 66.75 1.000749625 0.000749344 108 08/06/2010 68.38 1.024419476 0.024126087 109 09/06/2010 68.26 0.998245101 -0.001756441 110 10/06/2010 69.37 1.016261354 0.016130554 111 11/06/2010 69.54 1.002450627 0.002447629 112 14/06/2010 69.30 0.996548749 -0.003457220 113 15/06/2010 70.40 1.015873016 0.015748357 114 16/06/2010 70.29 0.998437500 -0.001563722 115 17/06/2010 70.05 0.996585574 -0.003420268 116 18/06/2010 69.88 0.997573162 -0.002429788 117 21/06/2010 69.92 1.000572410 0.000572246 118 22/06/2010 68.64 0.981693364 -0.018476276 119 23/06/2010 68.63 0.999854312 -0.000145698 120 24/06/2010 67.73 0.986886201 -0.013200544 121 25/06/2010 67.42 0.995423003 -0.004587503 122 28/06/2010 67.33 0.998665085 -0.001335807 123 29/06/2010 66.46 0.987078568 -0.013005640 124 30/06/2010 65.87 0.991122480 -0.008917160 125 01/07/2010 66.71 1.012752391 0.012671764 126 02/07/2010 66.14 0.991455554 -0.008581159 127 06/07/2010 66.11 0.999546417 -0.000453686

19

No Date Close ( )

Price Relative ( )

Daily Return ( ) 128 07/07/2010 67.31 1.018151566 0.017988793 129 08/07/2010 69.02 1.025404843 0.025087504 130 09/07/2010 69.22 1.002897711 0.002893521 131 12/07/2010 69.94 1.010401618 0.010347893 132 13/07/2010 70.84 1.012868173 0.012786081 133 14/07/2010 70.90 1.000846979 0.000846621 134 15/07/2010 71.33 1.006064880 0.006046563 135 16/07/2010 69.94 0.980513108 -0.019679265 136 19/07/2010 69.91 0.999571061 -0.000429031 137 20/07/2010 70.87 1.013731941 0.013638512 138 21/07/2010 70.11 0.989276139 -0.010781776 139 22/07/2010 71.40 1.018399658 0.018232432 140 23/07/2010 69.90 0.978991597 -0.021232220 141 26/07/2010 70.87 1.013876967 0.013781564 142 27/07/2010 70.40 0.993368139 -0.006653950 143 28/07/2010 69.77 0.991051136 -0.008989145 144 29/07/2010 69.38 0.994410205 -0.005605476 145 30/07/2010 69.73 1.005044681 0.005032000 146 02/08/2010 70.25 1.007457335 0.007429667 147 03/08/2010 70.45 1.002846975 0.002842930 148 04/08/2010 70.69 1.003406671 0.003400882 149 05/08/2010 70.45 0.996604895 -0.003400882 150 06/08/2010 71.74 1.018310859 0.018145234 151 09/08/2010 72.92 1.016448285 0.016314478 152 10/08/2010 72.84 0.998902907 -0.001097695 153 11/08/2010 71.57 0.982564525 -0.017589263 154 12/08/2010 72.06 1.006846444 0.006823114 155 13/08/2010 71.89 0.997640855 -0.002361932 156 16/08/2010 71.79 0.998608986 -0.001391982 157 17/08/2010 73.22 1.019919209 0.019723417 158 18/08/2010 73.25 1.000409724 0.000409640 159 19/08/2010 72.97 0.996177474 -0.003829850 160 20/08/2010 73.08 1.001507469 0.001506334 161 23/08/2010 73.34 1.003557745 0.003551431 162 24/08/2010 72.72 0.991546223 -0.008489713 163 25/08/2010 73.19 1.006463146 0.006442350 164 26/08/2010 73.16 0.999590108 -0.000409976 165 27/08/2010 73.99 1.011344997 0.011281125 166 30/08/2010 72.74 0.983105825 -0.017038509 167 31/08/2010 73.06 1.004399230 0.004389582 168 01/09/2010 74.54 1.020257323 0.020054873 169 02/09/2010 75.02 1.006439496 0.006418851 170 03/09/2010 75.09 1.000933085 0.000932649

20

No Date Close ( )

Price Relative ( )

Daily Return ( ) 171 07/09/2010 75.80 1.009455320 0.009410899 172 08/09/2010 76.08 1.003693931 0.003687126 173 09/09/2010 74.37 0.977523659 -0.022732784 174 10/09/2010 75.01 1.008605621 0.008568803 175 13/09/2010 74.57 0.994134115 -0.005883156 176 14/09/2010 73.94 0.991551562 -0.008484328 177 15/09/2010 74.71 1.010413849 0.010359998 178 16/09/2010 74.80 1.001204658 0.001203933 179 17/09/2010 74.32 0.993582888 -0.006437790 180 20/09/2010 75.11 1.010629709 0.010573611 181 21/09/2010 75.51 1.005325523 0.005311392 182 22/09/2010 75.13 0.994967554 -0.005045151 183 23/09/2010 74.64 0.993477972 -0.006543390 184 24/09/2010 75.10 1.006162915 0.006144002 185 27/09/2010 74.76 0.995472703 -0.004537576 186 28/09/2010 74.63 0.998261102 -0.001740411 187 29/09/2010 74.45 0.997588101 -0.002414812 188 30/09/2010 74.51 1.000805910 0.000805585 189 01/10/2010 74.92 1.005502617 0.005487533 190 04/10/2010 74.95 1.000400427 0.000400347 191 05/10/2010 75.82 1.011607738 0.011540886 192 06/10/2010 75.56 0.996570826 -0.003435067 193 07/10/2010 75.86 1.003970355 0.003962494 194 08/10/2010 76.10 1.003163723 0.003158729 195 11/10/2010 75.59 0.993298292 -0.006724266 196 12/10/2010 75.58 0.999867707 -0.000132301 197 13/10/2010 75.75 1.002249272 0.002246746 198 14/10/2010 77.04 1.017029703 0.016886323 199 15/10/2010 77.48 1.005711319 0.005695071 200 18/10/2010 77.32 0.997934951 -0.002067184 201 19/10/2010 76.99 0.995732023 -0.004277111 202 20/10/2010 77.41 1.005455254 0.005440428

21

Lampiran 3 Pengolahan Data Menggunakan Minitab

Regression Analysis: Mcd versus t

The regression equation is Mcd = 0.0316 t

Predictor Coef SE Coef T P Noconstant

t 0.031595 0.001242 25.43 0.000

S = 2.06666

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 1 2763.1 2763.1 646.92 0.000 Residual Error 201 858.5 4.3

22

Lampiran 4 Tabel Simulasi Monte Carlo

Harga penutupan

saham

Contoh acak

Perubahan harga

Harga penutupan

saham

Contoh acak

Perubahan harga

78.44 -1.622380 -0.231333 78.54 0.204140 0.029284 78.55 -0.553486 -0.078818 78.26 -0.760031 -0.108289

78.7 -0.260071 -0.036952 78.3 0.518333 0.074115 78.76 0.947131 0.135298 79.29 -0.991235 -0.141278 77.48 0.970333 0.138608 79.38 -0.849439 -0.121046 77.48 -0.910461 -0.129753 79.76 -0.279066 -0.039662 77.77 -1.980230 -0.282393 79.58 -0.569762 -0.081140 77.88 0.728119 0.104048 80.34 -0.724649 -0.103240 78.4 -1.041440 -0.148441 78.74 0.099968 0.014420 78.5 1.632180 0.233044 77.61 -0.919770 -0.131081 79.18 -0.541427 -0.077097 77.56 -0.388181 -0.055231 79.3 0.061875 0.008985 77.11 1.268980 0.181221 79.31 -0.664382 -0.094641 77.11 1.475450 0.210681 79.1 0.781013 0.111595 76.98 0.289164 0.041416 79.5 0.773792 0.110565 76.71 -0.668472 -0.095225 79.7 0.024096 0.003595 76.81 0.332604 0.047614 78.85 0.603668 0.086291 76.92 0.611082 0.087349 79.07 0.040347 0.005913 76.86 1.352340 0.193115 77.42 0.724566 0.103541 77.01 0.401146 0.057394 78.37 0.873722 0.124823 76.96 2.031430 0.290011 79.02 -1.002750 -0.142921 76.43 -0.362980 -0.051635 79.64 0.094418 0.013628 76.43 1.354750 0.193459 79.52 1.279300 0.182693 76.99 -0.016692 -0.002225 79.01 -3.204390 -0.457062 76.76 -2.000990 -0.285355 79.48 0.942596 0.134651

76.76 -0.959105 -0.136694

23

Lampiran 5 Hasil Uji Augmented Dickey-Fuller Data Asli

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests

Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F Zero Mean 2 0.2213 0.7347 1.98 0.9888

3 0.2183 0.7340 1.86 0.9850 4 0.2185 0.7340 1.80 0.9828

Single Mean 2 -1.4474 0.8404 -0.75 0.8297 2.34 0.4742 3 -1.5868 0.8251 -0.78 0.8220 2.13 0.5289 4 -1.7844 0.8026 -0.84 0.8044 2.07 0.5431 Trend 2 -12.8039 0.2637 -2.41 0.3722 2.92 0.5937 3 -14.9001 0.1779 -2.54 0.3092 3.24 0.5304 4 -17.1340 0.1142 -2.65 0.2577 3.53 0.4723

Lampiran 6 Hasil Uji Augmented Dickey-Fuller Data Penutupan Harga Saham Setelah Pembedaan Satu Kali

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests

Type Lags Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau F Pr > F Zero Mean 2 -221.451 0.0001 -8.44 <.0001

3 -186.061 0.0001 -6.88 <.0001 4 -175.929 0.0001 -6.05 <.0001

Single Mean 2 -245.530 0.0001 -8.72 <.0001 38.00 0.0010 3 -219.362 0.0001 -7.16 <.0001 25.67 0.0010 4 -224.485 0.0001 -6.36 <.0001 20.25 0.0010 Trend 2 -245.998 0.0001 -8.69 <.0001 37.81 0.0010 3 -220.083 0.0001 -7.15 <.0001 25.55 0.0010 4 -225.222 0.0001 -6.35 <.0001 20.15 0.0010

24

Lampiran 7 Output Minitab Model ARIMA (1,1,0)

ARIMA Model: mcd2

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 101.466 0.100 0.156 1 94.648 -0.050 0.103 2 93.335 -0.155 0.082 3 93.331 -0.161 0.085 4 93.331 -0.161 0.085 5 93.331 -0.161 0.085

Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 -0.1611 0.0700 -2.30 0.022 Constant 0.08467 0.04830 1.75 0.081

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 202, after differencing 201 Residuals: SS = 93.3230 (backforecasts excluded)

MS = 0.4690 DF = 199

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

Lag 12 24 36 48 Chi-Square 9.2 21.6 29.9 45.0 DF 10 22 34 46 P-Value 0.512 0.484 0.668 0.514

Forecasts from period 202

95% Limits

Period Forecast Lower Upper Actual 203 77.4270 76.0845 78.7695

204 77.5090 75.7566 79.2613 205 77.5804 75.4783 79.6825 206 77.6536 75.2549 80.0523 207 77.7265 75.0636 80.3894 208 77.7994 74.8963 80.7025 209 77.8723 74.7475 80.9972 210 77.9453 74.6133 81.2772 211 78.0182 74.4913 81.5451 212 78.0911 74.3796 81.8027 213 78.1641 74.2766 82.0515 214 78.2370 74.1812 82.2928 215 78.3099 74.0925 82.5273 216 78.3828 74.0098 82.7559 217 78.4558 73.9325 82.9791 218 78.5287 73.8600 83.1974 219 78.6016 73.7918 83.4114 220 78.6746 73.7277 83.6214 221 78.7475 73.6673 83.8276 222 78.8204 73.6104 84.0305 223 78.8933 73.5565 84.2302 224 78.9663 73.5056 84.4269 225 79.0392 73.4575 84.6209

25

226 79.1121 73.4119 84.8123 227 79.1850 73.3688 85.0013 228 79.2580 73.3279 85.1881 229 79.3309 73.2891 85.3727 230 79.4038 73.2524 85.5552 231 79.4768 73.2176 85.7359 232 79.5497 73.1846 85.9147 233 79.6226 73.1534 86.0918 234 79.6955 73.1238 86.2673 235 79.7685 73.0958 86.4411 236 79.8414 73.0693 86.6135 237 79.9143 73.0442 86.7844 238 79.9873 73.0205 86.9540 239 80.0602 72.9982 87.1222 240 80.1331 72.9771 87.2892 241 80.2060 72.9572 87.4549 242 80.2790 72.9385 87.6195 243 80.3519 72.9209 87.7829 244 80.4248 72.9044 87.9452 245 80.4977 72.8890 88.1065 246 80.5707 72.8745 88.2668 247 80.6436 72.8611 88.4261 248 80.7165 72.8486 88.5845 249 80.7895 72.8370 88.7419 250 80.8624 72.8263 88.8984 251 80.9353 72.8165 89.0541 252 81.0082 72.8075 89.2090

26

Lampiran 8 Output Minitab Model ARIMA (2,1,0)

ARIMA Model: mcd2

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 102.833 0.100 0.100 0.138 1 94.563 -0.050 0.002 0.089 2 92.680 -0.167 -0.077 0.088 3 92.668 -0.175 -0.084 0.092 4 92.668 -0.175 -0.085 0.093 5 92.668 -0.175 -0.085 0.093

Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 -0.1751 0.0708 -2.47 0.014 AR 2 -0.0850 0.0709 -1.20 0.232 Constant 0.09254 0.04825 1.92 0.057

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 202, after differencing 201 Residuals: SS = 92.6360 (backforecasts excluded)

MS = 0.4679 DF = 198

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

Lag 12 24 36 48 Chi-Square 9.3 24.9 34.5 50.7 DF 9 21 33 45 P-Value 0.409 0.252 0.398 0.258

Forecasts from period 202

95% Limits

Period Forecast Lower Upper Actual 203 77.4571 76.1161 78.7980

204 77.5057 75.7674 79.2439 205 77.5857 75.5635 79.6079 206 77.6601 75.3742 79.9460 207 77.7328 75.2104 80.2553 208 77.8063 75.0688 80.5438 209 77.8798 74.9428 80.8168 210 77.9532 74.8293 81.0771 211 78.0267 74.7265 81.3268 212 78.1001 74.6326 81.5676 213 78.1736 74.5465 81.8007 214 78.2470 74.4670 82.0270 215 78.3204 74.3935 82.2474 216 78.3939 74.3253 82.4624 217 78.4673 74.2619 82.6727 218 78.5408 74.2028 82.8787 219 78.6142 74.1476 83.0808 220 78.6877 74.0961 83.2792 221 78.7611 74.0478 83.4744 222 78.8345 74.0026 83.6665 223 78.9080 73.9603 83.8557 224 78.9814 73.9206 84.0423

27

225 79.0549 73.8834 84.2264 226 79.1283 73.8484 84.4082 227 79.2018 73.8157 84.5878 228 79.2752 73.7850 84.7653 229 79.3486 73.7563 84.9410 230 79.4221 73.7294 85.1148 231 79.4955 73.7042 85.2868 232 79.5690 73.6807 85.4572 233 79.6424 73.6588 85.6260 234 79.7159 73.6383 85.7934 235 79.7893 73.6193 85.9593 236 79.8627 73.6017 86.1238 237 79.9362 73.5853 86.2870 238 80.0096 73.5702 86.4490 239 80.0831 73.5563 86.6098 240 80.1565 73.5436 86.7694 241 80.2300 73.5320 86.9279 242 80.3034 73.5214 87.0854 243 80.3768 73.5119 87.2418 244 80.4503 73.5033 87.3972 245 80.5237 73.4958 87.5517 246 80.5972 73.4891 87.7052 247 80.6706 73.4833 87.8579 248 80.7441 73.4784 88.0097 249 80.8175 73.4743 88.1607 250 80.8909 73.4711 88.3108 251 80.9644 73.4686 88.4602 252 81.0378 73.4669 88.6088

28

Lampiran 9 Output Minitab Model ARIMA (1,1,1)

ARIMA Model: mcd2

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 97.8154 0.100 0.100 0.156 1 93.0574 0.020 0.180 0.059 2 92.9271 0.160 0.330 0.059 3 92.9174 0.113 0.289 0.065 4 92.9168 0.130 0.306 0.064 5 92.9167 0.123 0.299 0.064 6 92.9167 0.126 0.302 0.064 7 92.9167 0.125 0.300 0.064 8 92.9167 0.125 0.301 0.064 9 92.9167 0.125 0.301 0.064 10 92.9167 0.125 0.301 0.064

Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 0.1251 0.3865 0.32 0.746 MA 1 0.3007 0.3714 0.81 0.419 Constant 0.06418 0.03379 1.90 0.059

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 202, after differencing 201 Residuals: SS = 92.8959 (backforecasts excluded)

MS = 0.4692 DF = 198

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

Lag 12 24 36 48 Chi-Square 9.4 23.9 32.9 48.7 DF 9 21 33 45 P-Value 0.402 0.298 0.470 0.325

Forecasts from period 202

95% Limits

Period Forecast Lower Upper Actual 203 77.4440 76.1012 78.7868

204 77.5124 75.7721 79.2527 205 77.5852 75.5383 79.6320 206 77.6584 75.3470 79.9699 207 77.7318 75.1833 80.2803 208 77.8051 75.0399 80.5704 209 77.8785 74.9122 80.8448 210 77.9519 74.7974 81.1063 211 78.0252 74.6931 81.3573 212 78.0986 74.5979 81.5992 213 78.1719 74.5104 81.8334 214 78.2453 74.4297 82.0609 215 78.3186 74.3550 82.2823 216 78.3920 74.2856 82.4984 217 78.4654 74.2210 82.7097 218 78.5387 74.1608 82.9167 219 78.6121 74.1045 83.1197

29

220 78.6854 74.0518 83.3190 221 78.7588 74.0025 83.5151 222 78.8322 73.9563 83.7080 223 78.9055 73.9129 83.8981 224 78.9789 73.8722 84.0855 225 79.0522 73.8340 84.2705 226 79.1256 73.7981 84.4531 227 79.1989 73.7644 84.6335 228 79.2723 73.7328 84.8118 229 79.3457 73.7031 84.9882 230 79.4190 73.6753 85.1627 231 79.4924 73.6493 85.3355 232 79.5657 73.6249 85.5066 233 79.6391 73.6020 85.6761 234 79.7124 73.5807 85.8441 235 79.7858 73.5609 86.0107 236 79.8592 73.5424 86.1759 237 79.9325 73.5252 86.3398 238 80.0059 73.5093 86.5025 239 80.0792 73.4946 86.6639 240 80.1526 73.4810 86.8241 241 80.2259 73.4686 86.9833 242 80.2993 73.4573 87.1413 243 80.3727 73.4470 87.2984 244 80.4460 73.4376 87.4544 245 80.5194 73.4293 87.6095 246 80.5927 73.4219 87.7636 247 80.6661 73.4153 87.9168 248 80.7394 73.4097 88.0692 249 80.8128 73.4049 88.2207 250 80.8862 73.4009 88.3714 251 80.9595 73.3977 88.5213 252 81.0329 73.3953 88.6705

30

Lampiran 10 Plot Residual ACF dan PACF Data Harga Penutupan Saham Mc-Donald Selama Tahun 2010 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag A u to c o rr e la ti o n

ACF of Residuals for Mc- Donald

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n

31

Lampiran 11 Perbandingan Peramalan Model Wiener dan Model ARIMA

Waktu ke- Peramalan Data Aktual

Proses Wiener ARIMA (*)

203 77.15170 77.4270 78.44

204 77.06375 77.5090 78.55

205 77.02256 77.5804 78.70

206 77.17376 77.6536 78.76

207 77.32866 77.7265 77.48

208 77.18382 77.7994 77.48

209 76.86849 77.8723 77.77

210 76.98479 77.9453 77.88

211 76.81908 78.0182 78.40

212 77.07945 78.0911 78.50

213 76.99342 78.1641 79.18

214 77.00354 78.2370 79.30

215 76.89792 78.3099 79.31

216 77.02265 78.3828 79.10

217 77.14623 78.4558 79.50

218 77.15032 78.5287 79.70

219 77.24679 78.6016 78.85

220 77.25348 78.6746 79.07

221 77.36921 78.7475 77.42

222 77.50871 78.8204 78.37

223 77.34916 78.8933 79.02

224 77.36447 78.9663 79.64

225 77.56861 79.0392 79.52

226 77.05818 79.1121 79.01

227 77.20866 79.1850 79.48

228 77.24145 79.2580 78.54

229 77.12059 79.3309 78.26

230 77.20345 79.4038 78.30

231 77.04574 79.4768 79.29

232 76.91062 79.5497 79.38

233 76.86641 79.6226 79.76

234 76.77586 79.6955 79.58

235 76.66063 79.7685 80.34

236 76.67682 79.8414 78.74

237 76.53050 79.9143 77.61

238 76.46889 79.9873 77.56

239 76.67139 80.0602 77.11

240 76.90679 80.1331 77.11

32

Keterangan:

(*) Peramalan pada model ARIMA dirunut dari Lampiran 7

242 76.84685 80.2790 76.71

243 76.90012 80.3519 76.81

244 76.99777 80.4248 76.92

245 77.21354 80.4977 76.86

246 77.27773 80.5707 77.01

247 77.60174 80.6436 76.96

248 77.54415 80.7165 76.43

249 77.76031 80.7895 76.43

250 77.75791 80.8624 76.99

251 77.43927 80.9353 76.76

252 77.28668 81.0082 76.76

33

Lampiran 12 Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald Menggunakan Software SAS 9.1.3

data mcd;

input DATE:date7. MCD; format date date7.; cards;

4-Jan 62.78 5-Jan 62.3 6-Jan 61.45 .

. .

18-Oct 77.32 19-Oct 76.99 20-Oct 77.41 ;

proc gplot data=mcd;

title 'Plot Harga Saham Penutupan Mc-Donald Tahun 2010'; symbol i=spline v=dot c=darkblue;

plot mcd*date / vref=0 haxis= '4-Jan'd '4-Feb'd '4-Mar'd '4-Apr'd

'4-May'd '4-jun'd '4-Jul'd '4-Aug'd '4-Sep'd '4-Oct'd;

run;

proc arima data=mcd;

identify var=mcd minic scan esacf stationarity=(adf=(2.3.4)) nlag=1;

estimate p=1 method=ml noconstant plot;

forecast cut=ramalan id=date lead=50 printall;

34

Lampiran 13 Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald dengan Pembedaan Satu Kali Menggunakan Software SAS 9.1.3

data mcd;

input DATE:date7. MCD; format date date7.; cards;

4-Jan 0 5-Jan -0.48 6-Jan -0.85 .

. .

18-Oct -0.16 19-Oct -0.33 20-Oct 0.42 ;

proc gplot data=mcd;

title 'Plot Harga Saham Penutupan Mc-Donald Tahun 2010'; symbol i=spline v=dot c=darkblue;

plot mcd*date / vref=0 haxis= '4-Jan'd '4-Feb'd '4-Mar'd '4-Apr'd

'4-May'd '4-jun'd '4-Jul'd '4-Aug'd '4-Sep'd '4-Oct'd;

run;

proc arima data=mcd;

identify var=mcd minic scan esacf stationarity=(adf=(2.3.4)) nlag=1;

estimate p=1 method=ml noconstant plot;

forecast cut=ramalan id=date lead=50 printall;

220 78.6854 74.0518 83.3190 221 78.7588 74.0025 83.5151 222 78.8322 73.9563 83.7080 223 78.9055 73.9129 83.8981 224 78.9789 73.8722 84.0855 225 79.0522 73.8340 84.2705 226 79.1256 73.7981 84.4531 227 79.1989 73.7644 84.6335 228 79.2723 73.7328 84.8118 229 79.3457 73.7031 84.9882 230 79.4190 73.6753 85.1627 231 79.4924 73.6493 85.3355 232 79.5657 73.6249 85.5066 233 79.6391 73.6020 85.6761 234 79.7124 73.5807 85.8441 235 79.7858 73.5609 86.0107 236 79.8592 73.5424 86.1759 237 79.9325 73.5252 86.3398 238 80.0059 73.5093 86.5025 239 80.0792 73.4946 86.6639 240 80.1526 73.4810 86.8241 241 80.2259 73.4686 86.9833 242 80.2993 73.4573 87.1413 243 80.3727 73.4470 87.2984 244 80.4460 73.4376 87.4544 245 80.5194 73.4293 87.6095 246 80.5927 73.4219 87.7636 247 80.6661 73.4153 87.9168 248 80.7394 73.4097 88.0692 249 80.8128 73.4049 88.2207 250 80.8862 73.4009 88.3714 251 80.9595 73.3977 88.5213 252 81.0329 73.3953 88.6705

Lampiran 10 Plot Residual ACF dan PACF Data Harga Penutupan Saham Mc-Donald Selama Tahun 2010 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag A u to c o rr e la ti o n

ACF of Residuals for Mc- Donald

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n

Lampiran 11 Perbandingan Peramalan Model Wiener dan Model ARIMA

Waktu ke- Peramalan Data Aktual

Proses Wiener ARIMA (*)

203 77.15170 77.4270 78.44

204 77.06375 77.5090 78.55

205 77.02256 77.5804 78.70

206 77.17376 77.6536 78.76

207 77.32866 77.7265 77.48

208 77.18382 77.7994 77.48

209 76.86849 77.8723 77.77

210 76.98479 77.9453 77.88

211 76.81908 78.0182 78.40

212 77.07945 78.0911 78.50

213 76.99342 78.1641 79.18

214 77.00354 78.2370 79.30

215 76.89792 78.3099 79.31

216 77.02265 78.3828 79.10

217 77.14623 78.4558 79.50

218 77.15032 78.5287 79.70

219 77.24679 78.6016 78.85

220 77.25348 78.6746 79.07

221 77.36921 78.7475 77.42

222 77.50871 78.8204 78.37

223 77.34916 78.8933 79.02

224 77.36447 78.9663 79.64

225 77.56861 79.0392 79.52

226 77.05818 79.1121 79.01

227 77.20866 79.1850 79.48

228 77.24145 79.2580 78.54

229 77.12059 79.3309 78.26

230 77.20345 79.4038 78.30

231 77.04574 79.4768 79.29

232 76.91062 79.5497 79.38

233 76.86641 79.6226 79.76

234 76.77586 79.6955 79.58

235 76.66063 79.7685 80.34

236 76.67682 79.8414 78.74

237 76.53050 79.9143 77.61

238 76.46889 79.9873 77.56

239 76.67139 80.0602 77.11

240 76.90679 80.1331 77.11

Keterangan:

(*) Peramalan pada model ARIMA dirunut dari Lampiran 7

242 76.84685 80.2790 76.71

243 76.90012 80.3519 76.81

244 76.99777 80.4248 76.92

245 77.21354 80.4977 76.86

246 77.27773 80.5707 77.01

247 77.60174 80.6436 76.96

248 77.54415 80.7165 76.43

249 77.76031 80.7895 76.43

250 77.75791 80.8624 76.99

251 77.43927 80.9353 76.76

252 77.28668 81.0082 76.76

Lampiran 12 Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald Menggunakan Software SAS 9.1.3

data mcd;

input DATE:date7. MCD; format date date7.; cards;

4-Jan 62.78 5-Jan 62.3 6-Jan 61.45 .

. .

18-Oct 77.32 19-Oct 76.99 20-Oct 77.41 ;

proc gplot data=mcd;

title 'Plot Harga Saham Penutupan Mc-Donald Tahun 2010'; symbol i=spline v=dot c=darkblue;

plot mcd*date / vref=0 haxis= '4-Jan'd '4-Feb'd '4-Mar'd '4-Apr'd '4-May'd '4-jun'd '4-Jul'd '4-Aug'd '4-Sep'd '4-Oct'd;

run;

proc arima data=mcd;

identify var=mcd minic scan esacf stationarity=(adf=(2.3.4)) nlag=1;

estimate p=1 method=ml noconstant plot;

forecast cut=ramalan id=date lead=50 printall; run;

Lampiran 13 Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald dengan Pembedaan Satu Kali Menggunakan Software SAS 9.1.3

data mcd;

input DATE:date7. MCD; format date date7.; cards;

4-Jan 0 5-Jan -0.48 6-Jan -0.85 .

. .

18-Oct -0.16 19-Oct -0.33 20-Oct 0.42 ;

proc gplot data=mcd;

title 'Plot Harga Saham Penutupan Mc-Donald Tahun 2010'; symbol i=spline v=dot c=darkblue;

plot mcd*date / vref=0 haxis= '4-Jan'd '4-Feb'd '4-Mar'd '4-Apr'd '4-May'd '4-jun'd '4-Jul'd '4-Aug'd '4-Sep'd '4-Oct'd;

run;

proc arima data=mcd;

identify var=mcd minic scan esacf stationarity=(adf=(2.3.4)) nlag=1;

estimate p=1 method=ml noconstant plot;

forecast cut=ramalan id=date lead=50 printall; run;