Stock Price Modelling Using ARIMA-GARCH Model
PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN
MODEL ARIMA-GARCH
FITRIYAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
(2)
ABSTRAK
FITRIYAH. Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model ARIMA-GARCH. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan HADI SUMARNO.
Saham adalah nilai dengan berbagai instrumen finansial yang mengacu pada bagian kepemilikan sebuah perusahaan. Keuntungan yang menarik merupakan alasan seorang investor berinvestasi. Pergerakan harga saham berkaitan dengan faktor ketidakpastian sehingga investor harus terlebih dahulu mempertimbangkan dengan baik sebelum berinvestasi agar risiko yang ditanggung tidak terlalu besar. Pergerakan harga saham yang selalu berfluktuasi atau tidak berbentuk linear sehingga diperlukan metode khusus untuk memodelkan secara matematis. Model
autoregressive integrated moving average (ARIMA) merupakan salah satu model yang
menyatakan bahwa data saat sekarang dipengaruhi oleh data sebelumnya dan sisaan sebelumnya. Di sektor ekonomi, volatilitas yang tinggi menyebabkan munculnya masalah heteroskedastisitas yaitu di mana varian dari sisaan tidak konstan. Oleh karena itu, peramalan dengan menggunakan model ARIMA saja tidak cukup. Untuk itu diperlukan pemodelan ragam dengan model
generalized autoregressive conditional heteroscedasticity (GARCH) untuk menyelesaikan
masalah heteroskedastisitas.
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah memodelkan harga saham menggunakan model ARIMA dan menyelesaikan keberadaan masalah heteroskesdasitisitas yang terjadi dengan menggunakan model GARCH. Hasil pemodelan yang didapatkan dari model ARIMA-GARCH adalah ragam dari sisaan sudah konstan. Ini berarti model ARIMA-ARIMA-GARCH dapat menyelesaikan masalah heteroskedastisitas.
(3)
ABSTRACT
FITRIYAH. Stock Price Modelling Using ARIMA-GARCH Model. Under supervision of RETNO BUDIARTI and HADI SUMARNO.
The stock is a value of financial instrument, which refers to the ownership of a company. An interesting advantage is the reason why an investor invests. The price movement of stocks are related to some uncertain factors, such that investors should first consider well before investing in order to limit the risk. Stock price are always fluctuating so that they require special method to model mathematically. Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model defines that present data are influenced by earlier data and error. In economic sectors, high volatility tends to cause a problem of heteroscedasticity, i.e. nonconstant variance of error. Therefore, the use of an ARIMA model alone is not enough. The application of the generalized autoregressive conditional heteroscedasticity (GARCH) model to resolve the problem of heteroscedasticity is therefore recommended.
The purpose of this paper is to model stock prices using ARIMA model and to solve heteroscedasticity using the GARCH model. The result of simulation show that ARIMA-GARCH model gives constant variance. This means that ARIMA-ARIMA-GARCH model can solve the problem of heteroscedasticity.
(4)
PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN
MODEL ARIMA-GARCH
FITRIYAH
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
(5)
Judul Skripsi : Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model ARIMA-GARCH Nama : Fitriyah
NIM : G54080073
Menyetujui Pembimbing I
Ir. Retno Budiarti, MS. NIP. 19610729 198903 2 001
Pembimbing II
Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. NIP. 19590926 198501 1 001
Tanggal Lulus : ... Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004
(6)
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan doa, moril dan materiil dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih kepada :
1 Keluarga penulis, Ayah, Ibu dan kakak-adik (Siti Khoirunnisa, Nur Sakinah, Muhamad Kholiq) beserta keluarga besar saya atas doa dan dukungan tiada henti yang diberikan sejak penulis menimba ilmu di IPB,
2 Ir. Retno Budiarti, MS. dan Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen pembimbing atas waktu dan bimbingannya selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini,
3 Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.selaku moderator seminar dan penguji sidang tugas akhir, 4 seluruh dosen TPB dan Departemen Matematika FMIPA IPB atas ilmu dan pengalaman
berharga yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di IPB,
5 seluruh staf/pegawai Departemen Matematika IPB yang telah membantu memperlancar kelengkapan administrasi dan membantu kelengkapan bahan karya ilmiah ini,
6 Teman-teman matematika 45: Putri, Nurul, Yunda, Dewi, Maya, Ana, Tya, Fuka, Fina, Ade dan seluruh teman mahasiswa matematika angkatan 45,
7 Kakak-kakak Matematika angkatan 44: Kak Shelvi, Kak Aswin, Kak Imam, Kak Mutia, Kak Della dkk atas bantuan serta dukungannya,
8 Adik-adik Matematika 46: Sevira, Widya dkk atas semangat serta dukungannya, 9 sahabat terbaik : Yayuk, Susan dan Nanda,
10 seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari karya ilmiah ini belum sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun dibutuhkan dari para pembaca. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan dapat menginspirasi kita semua khususnya untuk kemajuan ilmu Matematika.
Bogor, Desember 2012
(7)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di kota Jakarta pada tanggal 27 April 1991 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara, dari pasangan Sahid dan Sumarni. Pada tahun 2002, penulis lulus dari SD Raflesia Raya I Kota Bekasi. Pada tahun 2005, penulis lulus dari SMP Negeri 272 Kota Jakarta. Pada tahun 2008, penulis lulus dari SMA Negeri 62 Kota Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada beberapa lembaga kemahasiswaan IPB dan kepanitiaan, di antaranya anggota Koperasi Mahasiswa IPB sebagai bendahara E-ship periode 2009/2010, tim danus Leadership Training-Pesta Sains Nasional 2009, tim dekdok Pesta Sains Nasional 2010 dan tim dekdok Pesta Sains Nasional 2011.
(8)
viii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan ... 1
1.3 Sistematika Penulisan ... 1
2 LANDASAN TEORI 2.1 Berbagai Definisi ... 1
2.1.1 Ruang Contoh ... 2
2.1.2 Peubah Acak ... 2
2.1.3 Peubah Acak Kontinu ... 2
2.1.4 Fungsi Sebaran ... 2
2.1.5 Fungsi Kepekatan Peluang ... 2
2.1.6 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu ... 2
2.1.7 Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu ... 2
2.1.8 Sebaran Normal ... 3
2.2 Definisi Dasar Deret Waktu ... 3
2.2.1 Strict Stationarity ... 3
2.2.2 Covarian Stationarity ... 3
2.2.3 Autocorrelation Function ... 3
2.2.4 White Noise ... 3
2.2.5 Strict White Noise ... 3
2.3 Proses Analisis untuk Data Deret Waktu ... 3
2.3.1 Tren dan Kestasioneran ... 4
2.4 Model Deret Waktu ARIMA ... 4
2.4.1 Model ARMA (p,q) ... 4
2.4.2 Model ARIMA (p,d,q) ... 4
2.4.3 Metode Box dan Jenkins ... 5
2.5 Model Ragam Sisaan ARCH ... 5
2.6 Model Ragam Sisaan GARCH... 6
2.6.1 Pengepasan Model GARCH pada Data ... 6
3 HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Data ... 8
3.2 Model ARIMA ... 8
3.3 Model ARIMA-GARCH ... 11
3.4 Peramalan ... 13
4 SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan... 14
4.2 Saran ... 14
DAFTAR PUSTAKA ... 15
LAMPIRAN ... 16
(9)
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Plot harga saham Sharp Corp.dari3 Januari 2011 s.d. 14 Maret 2012 ... 8
2 Plot ACF saham Sharp Corp. ... 8
3 Plot PACF saham Sharp Corp. ... 9
4 Plot setelah pembedaan satu kali ... 9
5 Plot ACF dari saham dengan pembedaan satu kali ... 9
6 Plot PACF dari saham dengan pembedaan satu kali ... 9
7 Plot kenormalan sisaan ... 10
8 Plot sisaan terhadap waktu ... 10
9 Plot residual ACF (RACF) ... 11
10 Plot residual PACF (RPACF) ... 11
11 Plot kenormalan sisaan ... 12
12 Plot data harga saham aktual dengan data ramalan ... 13
DAFTAR TABEL
1 Tabel alternatif model ARIMA tentatif ... 102 Tabel hasil analisis model ARIMA-GARCH ... 12
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Data penutupan saham Sharp Corp. harian selama 3 Januari 2011 s.d. 14 Maret 2012 ... 172 Output uji ADF pada data asli ... 19
3 Output uji ADF setelah pembedaan satu kali ... 19
4 Output model ARIMA (2,1,5) ... 20
5 Output model ARIMA (3,1,3) ... 20
6 Output model ARIMA (3,1,4) ... 21
7 Output model ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2) ... 22
8 Output model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) ... 23
9 Output model ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3) ... 24
10 Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5) ... 25
11 Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) ... 25
12 Output dari uji normalitas pada sisaan baku ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) ... 25
13 Data peramalan selama 50 hari ke depan ... 26
(10)
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangBursa saham merupakan salah satu tempat kegiatan jual beli saham dalam sektor ekonomi. Saham adalah nilai atau pembukuan dengan berbagai instrumen finansial yang mengacu pada bagian kepemilikan sebuah perusahaan. Keuntungan yang menarik merupakan alasan seorang investor berinvestasi. Pergerakan harga saham berkaitan dengan faktor ketidakpastian sehingga investor harus terlebih dahulu mempertimbangkan dengan baik sebelum berinvestasi agar risiko yang ditanggung tidak terlalu besar.
Pergerakan harga saham yang naik turun disebabkan oleh permintaan dan penawaran atas saham tersebut. Semakin banyak investor yang membeli saham maka pergerakan harga saham akan cenderung naik. Sebaliknya, jika banyak investor yang menjual saham maka pergerakan harga saham akan cenderung turun. Namun pada kenyataannya, pergerakan harga saham tidak ada yang menerus naik atau terus-menerus turun.
Pergerakan harga saham yang selalu berfluktuasi atau tidak berbentuk linear sehingga diperlukan metode khusus untuk memodelkan secara matematis. Peramalan harga saham sangat dibutuhkan bagi para pelaku perdagangan saham, dimana besar keuntungan dari perdagangan tersebut memiliki risiko kerugian yang sama besar pula. Oleh karena itu, peramalan harga saham yang akurat diharapkan pelaku perdagangan saham akan memiliki risiko yang lebih kecil.
Pada kenyataannya, data di sektor keuangan sangat tinggi volatilitasnya. Kondisi tersebut menyebabkan terjadi masalah heteroskedastisitas dimana ragam sisaan tidak konstan. Oleh karena itu, peramalan dengan model ARIMA saja belum cukup. Sehingga diperlukan peramalan menggunakan model
ARIMA-GARCH dimana heteroskedastisitas diperhitungkan.
Selain memodelkan harga saham, dibutuhkan pula peramalan harga saham untuk memperoleh keuntungan yang maksimal. Bagi perusahaan, peramalan harga saham sangat dibutuhkan untuk meminimalkan risiko yang akan dihadapi dalam sebuah pengambilan keputusan. Sedangkan bagi investor, peramalan harga saham merupakan salah satu pertimbangan yang penting untuk melakukan investasi sehingga peramalan harga saham dibutuhkan untuk mengetahui fluktuasi harga saham yang ada di perusahaan tersebut ke depannya.
Ide karya ilmiah berasal dari tulisan Teguh Santoso pada tahun 2011 yang berjudul “Aplikasi Model GARCH pada Data Inflasi Bahan Makanan Indonesia Periode 2005.1-2010.6”. Karya ilmiah ini menggunakan model ARIMA-GARCH dengan aplikasi yang berbeda yaitu memodelkan harga saham.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan utama dari penulisan karya ilmiah ini adalah
1. memodelkan harga saham menggunakan model ARIMA, 2. menyelesaikan keberadaan masalah
heteroskesdasitisitas yang terjadi dengan menggunakan model ARIMA-GARCH.
1.3 Sistematika Penulisan
Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga dilakukan pemodelan harga saham dengan melakukan
model ARIMA-GARCH untuk
menyelesaikan masalah heteroskedastisitas. Pada bab empat akan dipaparkan simpulan serta saran dari karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI
2.1 Berbagai DefinisiSuatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat
diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.
(11)
1
2.1.1 Ruang Contoh
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω.
(Grimmett & Stirzaker1992) 2.1.2 Peubah Acak
Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi : Ω → dengan sifat bahwa{ Ω; ( ) ≤ } ℱ, untuk setiap
, dengan ℱ adalah sebuah medan- dari suatu ruang contoh Ω.
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X,Y,Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x,y,z.
(Grimmett & Stirzaker1992) 2.1.3 Peubah Acak Kontinu
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi sehingga fungsi sebaran dapat dinyatakan sebagai
( ) = ( ) ,
∈ ℝ, dengan ∶ ℝ → [0, ∞) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak X.
(Grimmett & Stirzaker1992) 2.1.4 Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X
adalah fungsi : ℝ → [0, 1] yang dinyatakan sebagai ( ) = ( ≤ ).
(Grimmett & Stirzaker1992) 2.1.5 Fungsi Kepekatan Peluang
Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi
sebaran ( ) = ( ≤ ) dapat
diekspresikan sebagai
( ) = ( ) ,
untuk suatu fungsi ∶ → [0, ∞] yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi
= disebut juga fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi
.
(Grimmett & Stirzaker1992)
2.1.6 Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu
Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah
( ) = ( ) ,
asalkan integral di atas konvergen.
(Grimmett & Stirzaker1992) Lema 1 (Sifat Nilai Harapan)
Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1. Jika k adalah suatu konstanta, maka
( ) = .
2. Jika k adalah suatu konstanta dan V
adalah peubah acak, maka
( ) = ( ).
3. Jika , adalah konstanta dan
, adalah suatu peubah acak,
maka ( + ) =
( ) + ( ).
(Hogg & Craig 1995) 2.1.7 Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu
Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan ( ) = adalah nilai harapan dari , dengan fungsi kepekatan peluang ( ), maka ragam (variance) dan simpangan baku
(standard deviation) dari X dinotasikan
dengan Var(X) dan sama dengan
( ) = [( − ) ] = ∞( − ) ( )
∞ dan
= [( − ) ].
(Ghahramani 2005) Lema 2 (Sifat Ragam)
Beberapa sifat dari ragam, antara lain : 1. Jika suatu konstanta, maka
( ) = ( ).
(12)
1
2. Jika suatu konstanta dan ,
adalah peubah acak, maka
( + ) =
( ) + ( ) +
2 − ( ) −
( ) .
(Ghahramani 2005) 2.1.8 Sebaran Normal
Misalkan diberikan peubah acak .
Peubah acak dikatakan menyebar normal dengan rata-rata dan ragam jika memiliki fungsi kepekatan peluang
(probability density function) sebagai
berikut:
( ) = 1
√2 ( ) /( ).
Sebaran normal yang memiliki nilai rata-rata 0 dan ragam 1 disebut sebaran normal baku. Misalkan peubah acak menyebar normal baku, maka memiliki fungsi kepekatan peluang
( ) = 1
√2 .
(Grimmett & Stirzaker1992) 2.2 Definisi Dasar Deret Waktu
Strict stationarity
Deret waktu ( )∈ dikatakan strict
stationarity jika
, … , = , … ,
untuk semua , … , , ℤ dan untuk semua
ℤ.
(McNeil et al. 2005) 2.2.1 Covarian stationarity
Deret waktu ( )∈ dikatakan covarian
stationarity jika
( ) = , ( , ) = ( + , + ).
(McNeil et al. 2005)
2.2.2 Autocorelation Function (ACF)
Autocorelation funcion (ACF), (ℎ), dari
proses covarian stationary( )∈ adalah
(ℎ) = ( , ) = ( )( ), ∀ℎ ∈ ℤ.
(McNeil et al. 2005) 2.2.3 White noise
Proses ( )∈ dikatakan proses white
noise jika covarian stationary dengan fungsi
autokorelasi
(ℎ) = 1, ℎ = 00, ℎ ≠ 0.
Proses white noise yang dipusatkan untuk memiliki rata-rata 0 dengan ragam
= ( ) akan dinotasikan dengan WN (0, ).
(McNeil et al. 2005)
2.2.4 Strict White Noise (SWN)
Proses ( )∈ merupakan proses strict
white noise jika merupakan deret yang iid,
peubah acak dengan ragam berhingga. Proses strict white noise (SWN) yang dipusatkan untuk mendapatkan rata-rata 0 dengan ragam akan dinotasikan SWN(0, ).
(McNeil et al. 2005)
2.3 Proses Analisis untuk Data Deret Waktu
Dalam analisis data deret waktu, proses baku yang harus dilakukan adalah
1. Memetakan nilai data terhadap waktu, hal ini dilakukan untuk menelaah kestasioneran data, sebab jika data tidak stasioner maka harus distasionerkan melalui proses stasioneritas.
2. Menggambarkan fungsi autokorelasi untuk menelaah apakah autokorelasi signifikan atau tidak, dan perlu-tidaknya proses diferensi dilakukan. Jika autokorelasi data tidak signifikan, analisis data cukup menggunakan analisis regresi sederhana data atas waktu, sedangkan jika signifikan harus menggunakan analisis regresi deret waktu. Jika data ditransformasikan, maka proses pemetaan data dan penggambaran korelogram, sebaiknya dilakukan juga pada data hasil transformasi, untuk menelaah apakah proses transformasi ini sudah cukup baik dalam upaya menstasionerkan data. 3. Jika dari korelogram disimpulkan bahwa autokorelasi signifikan, maka bangun model regresi deret waktunya, 3
(13)
1
dan lakukan penaksirannya baik dalam kawasan waktu maupun kawasan frekuensi.
4. Lakukan proses peramalan dengan metode yang sesuai dengan kondisi datanya, dan untuk mendapatkan hasil yang memuaskan, digunakan metode Box-Jenkins .
(Mulyana 2004) 2.3.1 Tren dan kestasioneran
Tren adalah komponen data deret waktu yang menunjukkan peningkatan atau penurunan dalam jangka panjang selama periode waktu yang diamati. Sebagai contoh data dengan tren diindikasikan antara lain dengan koefisien autokorelasi beberapa beda kala pertama tinggi dan berbeda dengan nol secara signifikan, lalu turun mendekati nol saat deret meningkat. Data dengan tren berarti data tidak stasioner.Data yang stasioner adalah data dengan rataan dan ragam konstan sepanjang waktu pengamatan. Data ini dicirikan oleh koefisien autokorelasi pada beberapa beda kala pertama mendekati nol atau tidak terdapat autokorelasi antar deret.
(Firdaus 2006) 2.4 Model Deret Waktu ARIMA
Model Autoregressive Integrated Moving
Average (ARIMA) diperkenalkan oleh Box
dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses
Autoregressive (AR) berordo- atau proses
Moving Average (MA) berordo-q atau
merupakan kombinasi keduanya. Pembeda berordo-d dilakukan jika data deret waktu bersifat non-stasioner, padahal aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA menghendaki data yang stasioner. Bentuk umum model ARIMA ( , , ) adalah
( )(1 − ) =
dengan
= derajat autoregressive (AR) = derajat pembeda
= derajat moving average (MA) = waktu
= peubah acak ke-t
= parameter yang menjelaskan AR = (1 − − ⋯ − )
= parameter yang menjelaskan MA = (1 − − ⋯ − )
= sisaan acak pada waktu ke-t yang diasumsikan menyebar normal bebas stokastik
= operator backshift
= .
Jika ditetapkan nilai = 0 model tersebut menjadi model autoregressive ordo yang disingkat AR( ). Sebaliknya jika ditentukan bahwa = 0, menjadi model
moving average ordo yang disingkat
MA( ).
(Cryer 1986)
2.4.1Model ARMA (p,q)
Model ARMA (p,q) adalah model yang menyatakan bahwa data pada periode sekarang dipengaruhi oleh data p-periode sebelumnya dan q-periode sebelumnya. Model umum ARMA (p,q) adalah
= ∅ + ⋯+ ∅ + + −
− ⋯ −
−∅ − ⋯− = + −
− ⋯ −
Model ARMA (1,1)
−∅ = + −
Dengan operator pembeda, yaitu
= maka
−∅ = + −
(1−∅ ) = + (1 − ) .
proses AR proses MA 2.4.2Model ARIMA (p,d,q)
Model ARMA (p,q) yang masih belum stasioner sehingga diperlukan pembedaan d
kali.
Model ARIMA (1,1,1)
(1−∅ ) = + (1 − ) dimana
= −
= −
= (1 − )
(14)
1
sehingga
(1 − )(1−∅ ) = + (1 − ) .
beda proses AR proses MA satu kali
(Makridakis et al. 1999) 2.4.3 Metode Box dan Jenkins
Metode yang biasa digunakan dalam pembuatan model Autoregressive Moving
Average (ARMA) adalah metode Box dan
Jenkins (Makridaskis et al. 1983) dengan prosedur sebagai berikut:
1. Identifikasi model: Identifikasi model beranjak dari struktur data yang bersifat stasioner. Dari data yang stasioner dapat diperoleh model sementara dengan mengamati fungsi korelasi diri /
autocorrelation function (ACF) dan
fungsi korelasi diri parsialnya / Partial
autocorrelation function (PACF). Ordo
proses AR dapat ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri parsial (PACF) yang tidak nol. Sedangkan ordo proses MA ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri (ACF) pertama yang tidak nol (Bowerman & O’Connel 1987). Identifikasi proses ARMA dari plot autokorelasi dan plot korelasi parsialnya.
2. Pendugaan parameter: Banyaknya parameter yang akan diduga bergantung pada banyaknya koefisien model awal. Penduga parameter dikatakan berpengaruh jika nilai mutlak yang berpadanan dengan parameter tersebut lebih besar daripada nilai- tabel pada taraf nyata /2 berderajat bebas minus banyaknya parameter (Bowerman & O’Connel 1987).
3. Diagnostik model: Statistik uji Q Box- Pierce dapat digunakan untuk menguji kelayakan model, yaitu dengan menguji apakah sekumpulan korelasi diri untuk nilai sisa tersebut tidak nol. Statistik uji Q Box-Pierce menyebar mengikuti sebaran dengan derajat bebas
( − − ), dimana adalah lag maksimum yang diamati, adalah ordo AR, dan adalah ordo MA. JIka nilai Q lebih besar nilai ( − − ) untuk tingkat kepercayaan tertentu atau nilai peluang statistik Q lebih kecil dari taraf
nyata , maka dapat disimpulkan bahwa model tidak layak. Persamaan statistik uji Q Box-Pierce menurut Makridaskis
et al. (1983) adalah:
= ( − )
dengan
= nilai korelasi diri pada lag ke- = banyaknya amatan pada data awal
= ordo pembedaan = lag maksimum
4. Peramalan: Peramalan merupakan suatu proses untuk memperoleh data beberapa periode waktu ke depan. Untuk memperoleh sejauh periode ke depan dari titik waktu ke , maka dipilih satu model yang memiliki nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG) minimum. Perhitungan dilakukan secara rekursif, yaitu menghitung peramalan satu periode kemudian dua periode, dan seterusnya sampai periode ke depan. Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung
Mean Absolute Percentage Error (MAPE),
dengan rumus sebagai berikut:
MAPE =∑ | − |x 100.
Dengan adalah pengamatan pada waktu ke- dan adalah ramalan pada waktu ke- . Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual.
(Makridaskis et al. 1983) 2.5 Model Ragam Sisaan ARCH
Model Autoregressive Conditionally
Heteroscedastic (ARCH) diperkenalkan oleh
Engle pada tahun 1982. Modifikasi model AR (p) dengan mentransformasi sisaan menjadi bentuk sisaan kuadrat menghasilkan model ARCH.
Diberikan ( )∈ yang SWN(0,1). Proses ( )∈ adalah proses ARCH (p) jika
strictly stationary dan memenuhi persamaan
sisaan dan ragam sebagai berikut
(15)
=
= +
untuk semua ∈ ℤ dimana α > 0 dan
α ≥ 0, i = 1, … , p.
2.6 Model Ragam Sisaan GARCH
Pada tahun 1986, Bollerslev dan Taylor membuat bentuk umum dari ARCH dengan maksud menghindarkan struktur lag ragam sisaaan yang panjang pada model ARCH yang dibuat Engle. Model ini dikenal dengan
Generalized Autoregressive Conditionally
Heteroscedastic (GARCH).
Diberikan ( )∈ yang SWN (0,1). Proses ( )∈ adalah proses GARCH (p,q) jika proses tersebut adalah strictly stationary
dan jika memenuhi, untuk semua ∈ ℤ dan beberapa nilai positif sempurna yang mengolah ( )∈ , persamaan sisaan dan ragamnya adalah
=
σ = α + α + β
dimana > 0, ≥ 0, = 1, … , dan
≥ 0, = 1, … ,
(McNeil et al. 2005) 2.6.1 Pengujian Model Ragam Sisaan
GARCH
Pada model ARIMA asumsi ragam dari sisaan harus konstan dimana ( ) = . Jika terjadi pelanggaran dari asumsi tersebut dimana ragam sisaan tidak konstan yaitu
( ) = maka model tersebut masih mengandung masalah heteroskedasitisitas sehingga perlu pemodelan ragam sisaan dengan GARCH untuk menyelesaikannya.
Keberadaan heteroskedastisitas dapat dideteksi dengan uji LM yaitu
=
dengan
=∑ ( − ̅)∑ ( − ̅) .
Jika > maka ( ) = yang berarti masih ada heteroskedastisitasdimana
= banyaknya data
= banyaknya data periode sebelumnya yang memengaruhi data sekarang
= besarnya kontribusi keragaman yang dapat dijelaskan data deret waktu sebelumnya.
(Simanjutak 2009) 2.6.2 Pengepasan Model GARCH pada Data
Untuk melakukan pengepasan model GARCH pada data diperlukan tiga tahap. Tiga tahap tersebut adalah membangun kemungkinan, mendapat estimasi parameter dan memeriksa model.
Menduga kemungkinan
Dalam prakteknya, pendekatan yang paling banyak digunakan untuk pengepasan model GARCH pada data adalah maximum
likelihood. Dengan menganggap pada
pengepasan model ARCH (1) dan GARCH (1,1) sebagai pengepasan umum dari model ARCH (p) dan GARCH (p, q), model akan lebih sederhana.
Untuk model ARCH (1) dan GARCH (1,1) anggap mempunyai total dari n+1 data nilai , , … , . Berdasarkan hal tersebut, fungsi kepekatan bersama dari peubah acak yang sesuai dapat ditulis seperti
,…, ( , …, )
= ( ) | …., ( | , … , ). Model GARCH (p,q) dianggap memiliki
n+p nilai data yang berlabel
, … , , , … , . Evaluasi peluang bersyarat di nilai teramati dari
, … , serta nilai tak teramati dari
, … , . Sehingga peluang bersyarat menjadi
( ; ) = 1 −
dimana σ mengikuti spesifikasi GARCH dan mengikuti spesifikasi ARMA.
(McNeil et al. 2005) 6
(16)
1
Mendapatkan estimasi parameter Anggap fungsi likelihood sebagai berikut
( ; ) = ( ; )
dengan
( ; ) = 1 √2π ℯ
sehingga
( ; ) = 1
√2 = 1
(2 ) ( ) ∑
( ) = ( ) = ( ; ) = −2 2 −2 −21
Kemudian akan dicari nilai parameter dengan menggunakan turunan ( ) = 0.
( )
= − 2 + 2( ) = 0 ↔ − + ( ) = 0
↔ − + = 0
↔∑ = .
Sehingga penaksir maksimum likelihood dari adalah :
= ∑ .
(Myers & Milton 1991) Memeriksa model
Seperti model ARMA, memeriksa kecocokan model GARCH menggunakan sisaan juga. Dengan menganggap model umum ARMA-GARCH dari bentuk
− = = . Model dibedakan
antara sisaan unstandardized dan
standardized. Yang pertama adalah sisaan
̂ , … , ̂ dari bagian model ARMA. Selanjutnya realisasi yang direkonstruksi dari SWN yang diasumsikan mendorong bagian model GARCH, dan dihitung dari sebelumnya dengan
= ̂
= + ̂ + .
Untuk menggunakannya, perlu beberapa nilai awal yang satu solusinya adalah untuk menetapkan nilai awal ε sama dengan nol dan nilai awal volatilitas σ sama dengan ragam contoh atau nol. Karena beberapa nilai pertama akan dipengaruhi oleh nilai awal, serta nilai awal diperlukan untuk menghitung sisaan unstrandardized maka mungkin analisis selanjutnya akan diabaikan.
Sisaan standardized harus seperti SWN yang dapat diteliti dengan membangun
correlograms sisaan baku. Dengan
mengasumsikan bahwa hipotesis SWN tidak ditolak, validitas distribusi yang digunakan dalam pengepasan ML juga dapat diselidiki menggunakan QQplots dan goodness-of-fit test untuk sebaran normal atau sebaran-t.
(McNeil et al. 2005) 7
(17)
8
III PEMBAHASAN
3.1 DataData yang digunakan adalah data dari harga penutupan saham Sharp Corp. dari tanggal 3 Januari 2011 hingga 14 Maret 2012 (www.finance.yahoo.com). Data tersebut terdapat pada Lampiran 1. Pengujian akan dilakukan dengan analisis deret waktu. Data penutupan harga saham yang didapatkan kemudian diplotkan dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1 Plot harga saham Sharp Corp. dari 1 Januari 2011 hingga 14 Maret 2012.
Data penutupan harga saham tersebut dibagi menjadi dua, yaitu data untuk pemodelan dan data untuk peramalan. Data untuk pemodelan adalah data penutupan harga saham selama tahun 2011, sedangkan data untuk peramalan adalah data penutupan harga saham awal tahun 2012.
3.2 Model ARIMA
Autoregressive Integrated Moving
Average (ARIMA) atau biasa disebut
dengan metode Box-Jenkins merupakan metode peramalan yang sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek. ARIMA menganalisis data deret waktu dengan menggunakan nilai masa lalu dari nilai variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat dengan mengabaikan variabel independennya dengan asumsi ragam sisaannya konstan.
Model umum ARIMA ( , , ) adalah
( )(1 − ) = ( )
dengan
= harga penutupan saham pada waktu ke-t
= derajat autoregressive (AR) = derajat pembeda
= derajat moving average (MA) = waktu
= parameter yang menjelaskan AR = (1 − − ⋯ − )
= parameter yang menjelaskan MA = (1 − − ⋯ − )
= sisaan acak pada waktu ke- yang diasumsikan menyebar normal bebas stokastik
= operator backshift
= .
Model umum ARIMA ( , , ) menyatakan bahwa data periode sekarang dipengaruhi oleh data periode sebelumnya dan nilai sisaan pada periode sebelumnya. Jika data tidak stasioner maka dilakukan pembedaan untuk membuat data stasioner dalam rata-rata.
Untuk mengetahui apakah data tersebut dapat diprediksi dengan menggunakan masa lalu, maka harus melihat sifat pergerakan saham perusahaan tersebut stasioner atau tidak. Untuk mengetahui kestasioneran dari pergerakan saham, dilakukan dengan melihat plot dari korelasi diri (ACF) dan plot korelasi diri parsial (PACF). Hasil plot ACF dan PACF terdapat pada Gambar 2 dan Gambar 3.
Gambar 2 Plot ACF saham Sharp Corp. 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag A ut oc or re la ti on
Autocorrelation Function for saham (with 5% significance limits for the autocorrelations)
waktu sa h am 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 1 12 11 10 9 8 7 6
(18)
9
Gambar 3 Plot PACF saham Sharp Corp.
Pada plot ACF (Gambar 2) menunjukkan pola dies down atau turun secara eksponensial dan plot PACF (Gambar 3) yang menunjukkan pola terputus setelah lag -1. Menurut Wei (1994), data deret waktu tidak stasioner jika nilai autokorelasi mulai
lag-1 pada plot ACF turun dengan lamban dan nilai autokorelasi parsial pada plot PACF terputus (cut off) setelah lag-1. Pola
cut off adalah pola ketika garis ACF dan
PACF signifikan pada lag pertama atau kedua tetapi kemudian tidak ada garis ACF dan PACF yang signifikan pada lag berikutnya. Oleh karena itu, data tersebut tidak stasioner.
Pengujian stasioner secara statistik dapat dilakukan dengan Augmented Dickey Fuller Test (Uji ADF) dengan = 5%, dengan menggunakan hipotesis sebagai berikut
: data tidak bersifat stasioner : data bersifat stasioner
Berdasarkan uji ADF pada Lampiran 2 diperoleh hasil nilai probabilitasnya sebesar 0.2619. Nilai probabilitas yang lebih besar dari 0.05 artinya terima sehingga data tidak bersifat stasioner. Karena itu dilakukan pembedaan satu kali ( = 1) untuk mendapatkan output yang stasioner.
Gambar 4 Plot setelah pembedaan satu kali.
Gambar 5 Plot ACF dari saham dengan pembedaan satu kali.
Gambar 6 Plot PACF dari saham dengan pembedaan satu kali.
Hasil pembedaan satu kali dapat dilihat pada Gambar 4 yang menunjukkan bahwa data sudah memiliki kecenderungan berada di sekitar nilai tengah nol. Berdasarkan uji
Augmented Dickey-Fuller pada Lampiran 3,
nilai- yang kurang dari 0.05 artinya tolak yang menunjukkan data sudah stasioner.
Setelah data stasioner, tahap selanjutnya adalah mengidentifikasi model tentatif berdasarkan karakteristik ACF (Gambar 5) dan PACF (Gambar 6). Plot korelasi diri menunjukkan ordo- dan plot korelasi ordo parsial menunjukkan ordo- . Dari kedua plot tersebut ada tiga model yang teridentifikasi yaitu ARIMA (2,1,5), ARIMA (3,1,3), dan ARIMA (3,1,4). Tahap selanjutnya adalah pendugaan parameter dengan proses trial and error, yaitu dengan memperkecil ordo- atau yang mempunyai -hitung kecil atau menambah ordo- atau yang mempunyai
t-hitung besar sehingga memperoleh kandidat-kandidat model. Hasil pendugaan parameter dapat dilihat pada Lampiran 4, 5 dan 6. Secara ringkas dapat dilihat dari Tabel 1. 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 1 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 -0.75 Waktu d = 1
Time Series Plot of d=1
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag A ut oc or re la ti on
Autocorrelation Function for d=1 (with 5% significance limits for the autocorrelations)
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag Pa rt ia l A ut oc or re la ti on
Partial Autocorrelation Function for saham (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag Pa rt ia l A u to co rr el at io n
Partial Autocorrelation Function for d=1 (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
(19)
10
Tabel 1 Alternatif model ARIMA tentatif Model
ARIMA Paramater Koefesien Parameter Nilai-p Uji Ljung-Box-Perce Lag ke- Nilai-p MS
ARIMA (2,1,5)
Konstanta -0.005137 0.490 12 0.376
0.03646
AR (1) 1.1025 0.000 24 0.604
AR (2) -0.9129 0.000 36 0.784
MA (1) 1.1284 0.000 48 0.575
MA (2) -0.9796 0.000
MA(3) 0.2172 0.001
MA (4) -0.2001 0.016
MA (5) 0.2143 0.002
ARIMA (3,1,3)
Konstanta -0.00819 0.584 12 0.370
0.03674
AR (1) 0.3778 0.000 24 0.493
AR (2) 0.2138 0.051 36 0.752
AR (3) -0.8923 0.000 48 0.582
MA (1) 0.4017 0.002
MA (2) 0.1483 0.296
MA (3) -0.7861 0.000
ARIMA (3,1,4)
Konstanta -0.004503 0.554 12 0.435
0.03757
AR (1) 0.5099 0.049 24 0.360
AR (2) 0.4517 0.017 36 0.569
AR (3) -0.6830 0.000 48 0.419
MA (1) 0.5222 0.049
MA (2) 0.4501 0.041
MA (3) -0.5282 0.017
MA (4) -0.0654 0.477
Dari Tabel 1 terlihat bahwa model yang memiliki parameter tidak nyata adalah model ARIMA (3,1,3), dan ARIMA (3,1,4) karena masih ada nilai-p koefisien AR dan MA yang lebih dari = 0.05. Sedangkan hanya pada model ARIMA (2,1,5) memiliki model nyata karena koefisien AR dan MA yang kurang nilai = 0.05. Dilihat dari nilai MSE dari ketiga model tersebut. nilai MSE pada model ARIMA (2,1,5) paling kecil daripada model yang lainnya, sehingga model yang dipilih adalah model ARIMA (2,1,5).
Langkah selanjutnya setelah didapatkan model terbaik adalah diagnostik terhadap model sisaan. Pengujian Ljung-Box-Pierce (Cryer 1986) pada Tabel 1 menunjukkan nilai korelasi diri sisaan tidak berbeda nyata dengan nol pada semua lagnya yaitu nilai- lebih dari = 5%, artinya model ARIMA (2,1,5) layak.
Gambar 7 Plot kenormalan sisaan.
Gambar 8 Plot sisaan terhadap waktu.
0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 99.9 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1 Residual Pe rc en t
Normal Probability Plot (response is saham)
250 200 150 100 50 0 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 t R es id ua l
Residuals Versus t (response is saham)
(20)
11
Gambar 9 Plot residual ACF (RACF).
Gambar 10 Plot residual PACF (RPACF). Sisaan harus menyebar normal. Untuk mengecek kenormalan sisaan dapat dilihat dari Normal Probability Plot of the
Residuals pada Gambar 7. Nilai titik-titik
residual yang menempel atau sangat dekat dengan garis biru menunjukkan sisaan tersebut menyebar normal.
Selain menyebar normal, sisaan harus bersifat acak. Hal tersebut dapat dilihat secara visual, yaitu dapat dilihat pada Gambar 8 bahwa plot residual terhadap waktu sudah tidak memiliki pola tertentu atau sudah bersifat acak. Dari plot residual fungsi korelasi diri (Gambar 9) dan plot fungsi korelasi diri parsial (Gambar 10) juga tidak menunjukkan nilai autokorelasi yang nyata, artinya model sudah besifat acak. Dengan demikian asumsi keacakan dan kenormalan terpenuhi. Maka model ARIMA (2,1,5) merupakan model terbaik untuk meramalkan harga saham tersebut adalah
= −0.005137 + 2.1025
−2.0154 − 0.9129 − 1.1284
+0.9796 − 0.2172 + 0.2001 −
0.2143
3.3 Model ARIMA-GARCH
Setelah mendapatkan model ARIMA yang cocok, perlu mengecek apakah model ARIMA yang didapatkan tersebut memiliki ragam sisaan yang konstan atau tidak. Jika model menghasilkan ragam yang tidak konstan artinya model tersebut masih memiliki masalah heteroskedastisitas. Langkah yang bisa dilakukan untuk mengecek model tersebut adalah dengan menggunakan uji ARCH-LM.
Berdasarkan hasil uji ARCH-LM di Lampiran 10, pada saat lag 1 nilai
probability chi-square sebesar 0.0100.
Berdasarkan hasil ARCH-LM, nilai
probability chi-square kurang dari α = 5%.
sehingga dapat disimpulkan bahwa ragam dari harga saham mengandung efek ARCH/GARCH. Oleh karena itu, peramalan dengan model ARIMA terjadi pelanggaran asumsi sehingga yang sesuai berdasarkan asumsi bahwa ragamnya heteroskedastik yaitu peramalan model GARCH.
Persamaan ragam sisaan model GARCH
= + +
dengan
= kuadrat sisaan pada waktu t = ragam pada waktu t
> 0, ≥ 0, = 1, … , dan ≥ 0, = 1, … ,
Dalam proses pengepasan model GARCH yang paling sering digunakan adalah metode maximum likelihood. Untuk membangun kemungkinan suatu model GARCH diperlukan beberapa iterasi untuk mendapatkan model yang paling baik.
Kemungkinan model yang akan digunakan adalah ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2), ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) dan ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3). Didapatkan hasil estimasi model ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2), ARIMA (2,1,5)-(2,1,5)-GARCH (1,3) dan ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3) pada Lampiran 8, 9 dan 10. Secara ringkas, hasil telah dirangkum di Tabel 2.
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag Pa rt ia l A ut o co rr el at io n
PACF of Residuals for saham (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag A u to co rr el at io n
ACF of Residuals for saham (with 5% significance limits for the autocorrelations)
(21)
12
Tabel 2 Hasil Analisis Model ARIMA-GARCH
Dilihat dari nilai probabilitasnya, ketiga model dari persamaan ragamnya sudah baik karena semua koefisien memiliki nilai probabilitas yang lebih kecil dari α = 5%. Namun pada koefisien MA (4) di model ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3) dan hampir seluruh koefesien AR dan MA di model ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2) masih belum signifikan karena nilainya lebih besar dari
α = 5%.
Oleh karena itu, model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) dipilih menjadi model yang terbaik. Setelah terpilih model yang terbaik, dilakukan pengujian keberadaan heteroskedastisitas kembali dengan ARCH-LM pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3). Hasil dari ARCH-LM sudah tidak terdapat masalah heteroskedastisitas dengan nilai probability chi-square lebih besar dari
α = 5%yaitu sebesar 0.5374.
Gambar 11 Plot kenormalan sisaan. Seperti model ARIMA, sisaan model ARIMA-GARCH juga harus menyebar normal. Untuk mengecek kenormalan sisaan bisa menggunakan QQ-plot. Pada QQ-plot (Gambar 11), nilai titik-titik residual yang Model
ARIMA-
GARCH Paramater Koefesien Parameter Nilai-p Paramater
Koefesien
Parameter Nilai-p AIC dan SBC ARIMA
(2,1,5) -GARCH
(0,2)
Konstanta -0.000949 0.9165 Konstanta 0.000172 0.0000
AIC = -0.492982
SC = -0.337593 AR (1) 0.156166 0.6796 GARCH (1) 1.980471 0.0000
AR (2) -0.439580 0.0086 GARCH (2) -0.985244 0.0000 MA (1) -0.200129 0.5976
MA (2) 0.454424 0.0135 MA(3) -0.217513 0.0051 MA (4) 0.072084 0.4311 MA (5) -0.148523 0.0414 ARIMA
(2,1,5) -GARCH
(1,3)
Konstanta -0.002824 0.7785 Konstanta 0.004035 0.0910
AIC = -0.506420
SC = -0.322778 AR (1) 0.322014 0.0000 RESID2 (1) 0.118780 0.0006
AR (2) -0.926518 0.0000 GARCH (1) 0.374864 0.0000 MA (1) -0.342592 0.0000 GARCH (2) -0.502507 0.0000 MA (2) 1.034927 0.0000 GARCH (3) 0.908465 0.0000 MA(3) -0.210944 0.0481
MA (4) 0.130818 0.0248 MA (5) -0.203715 0.0016 ARIMA
(2,1,5) – GARCH (2,3)
Konstanta -0.007007 0.4194 Konstanta 0.004066 0.0865
AIC = -0.528533
SC = -0.330766 AR (1) 0.344211 0.0000 RESID2 (1) 0.110599 0.0000
AR (2) -0.920590 0.0000 RESID2 (2) 0.080571 0.0002
MA (1) -0.342031 0.0000 GARCH (1) 0.335651 0.0000 MA (2) 0.951320 0.0000 GARCH (2) -0.527317 0.0000 MA(3) -0.205466 0.0198 GARCH (3) 0.899944 0.0000 MA (4) 0.062316 0.2775
MA (5) -0.233591 0.0000
-.6 -.4 -.2 .0 .2 .4 .6
-.6 -.4 -.2 .0 .2 .4 .6 Quantiles of RESID
Q ua nt ile s of N or m al
(22)
13
6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
H
ar
ga
sa
ha
m
Waktu
aktual
ARIMA(2,1,5)-GARCH(1,3) menempel atau sangat dekat dengan garis
merah menunjukkan sisaan tersebut menyebar normal.
Secara statistik, uji kenormalan bisa digunakan dengan uji Jarque-Bera dengan
=5%, yang menggunakan hipotesis sebagai berikut
Ho : data menyebar normal
H1 : data tidak menyebar normal. Jika nilai JB < (,2) atau p-value >
maka keputusannya terima Ho yang berarti
asumsi kenormalan terpenuhi. Berdasarkan hasil diperoleh pada Lampiran 12, nilai Jarque-Bera sebesar 1.856736, karena nilai ( . , ) = 5.99maka keputusannya terima Ho yaitu sisaan sudah menyebar normal.
Oleh karena itu, model yang terbaik adalah ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) dengan model harga saham
= −0.002824 + 1.322014 −1.248532 − 0.926518 +0.342592 − 1.034927 +0.210944 − 0.130818 +0.203715
dan ragam sisaan
σ = 0.0040035 + 0.118780 +0.374864 − 0.502507
+0.908465
3.4 Peramalan
Peramalan harga saham dilakukan dengan menggunakan model dugaan ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) selama periode 50 hari ke depan. Grafik hasil dari peramalan model tersebut terdapat pada Gambar 12 sedangkan data hasil peramalan terdapat pada Lampiran 13.
Gambar 12 Plot data harga saham aktual dengan data ramalan. Secara statistik, MAPE yang diperoleh
dari hasil peramalan model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) sebesar 2.2199. Dari plot data aktual dengan data peramalan model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) pada Gambar
12, terlihat bahwa data peramalan sudah mengikuti pola data aktual. Oleh karena itu, model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) sudah representatif untuk melakukan peramalan.
(23)
14
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 SimpulanHarga saham dapat dimodelkan baik dengan menggunakan model ARIMA-GARCH. Model ARIMA merupakan pemodelan deret waktu dengan asumsi ragam konstan. Dalam kondisi ragam sisaan tidak konstan dapat digunakan model GARCH dengan cara mentransformasi sisaan.
Pada kenyataannya, di sektor keuangan volatilitasnya sangat tinggi yang menyebabkan munculnya masalah heteroskedastisitas dimana ragam sisaan tidak konstan. Karena itu, model ARIMA-GARCH lebih baik digunakan daripada hanya memodelkan ARIMA saja. Hasil estimasi dengan model ARIMA-GARCH pada dasarnya menunjukkan hasil yang tidak jauh berbeda dengan model ARIMA, namun
permasalahan utama yaitu keberadaan heteroskedastisitas yang masih ada pada model ARIMA.
Hasil peramalan dengan model ARIMA-GARCH terbukti lebih baik daripada menggunakan hanya model ARIMA karena plot data ramalan sudah hampir mengikuti pola data aktual. Jadi, model ARIMA-GARCH selain bisa menghilangkan masalah heteroskedastisitas juga dapat memodelkan ragam sisaannya dan memberikan peramalan yang baik.
4.2 Saran
Data deret waktu dari harga saham selalu mengalami perubahan tiap waktunya menyebabkan model yang dihasilkan berbeda-beda, sehingga perlu untuk mencoba model ARCH/GARCH lainnya.
(24)
15
DAFTAR PUSTAKA
Bowerman BL, O’Connell, RT. 1987. TimeSeries Forecasting. Inufied Concepts
and Computer Implementation.2nd
edition. Boston: Duxbury Press. Cryer JD. 1986. Time Series Analysis.
Boston: Duxbury Press.
Firdaus M. 2006. Analisis Deret Waktu Satu
Ragam. Bogor: IPB Press.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of
Probability. New Jersey: Prentice
Hall, Inc.
Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992.
Probability and Random Processes.
2nd edition. Oxford: University Press.
Gujarati D. 2003. Ekonometri Dasar.
Terjemahan Sumarno Zain. Jakarta: Erlangga.
Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to
Mathematical Statistics. Ed. Ke-5.
Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey.
Makridaskis S, Whelwright SC, McGee VE. 1983. Forecasting: Methods and
Applications. 2nd edition. New York:
John Wiley and Sons.
Makridaskis S, Whelwright SC, McGee VE. 1999. Metode dan Aplikasi
Peramalan. Terjemahan Sus
Andriyanto dan Abdul Basith. Jakarta: Erlangga.
McNeil AJ, Frey R, Embrechts P. 2005.
Quantitative Risk Management.
United Kingdom. Princeton University Press.
Mulyana. 2004. Analisis Data Deret Waktu.
http://resources.unpad.ac.id/unpad-content/uploads/publikasi_dosen/PEN GUJIAN%20AUTOKORELASI%20 PERIODIK%20UNTUK%20DATA
%20DERET%20WAKTU.PDF [13
Januari 2012].
Myers RH and Milton JS. 1991. A First
Course Linear Statistical Models.
Boston: PWS-Kent.
Ross SM. 2003. Introduction to Probability
Models. Burlington: Elsevier, Inc.
Simanjutak MA. 2009. Penanganan Masalah Heteroskedastisitas dengan Model ARCH-GARCH dan Model
Black-Scholes. Tesis Pasca Sarjana.
Bogor: Institut Pertanian Bogor. Wei WS. 1994. Time Series Analysis:
Univariate and Multivariate Method.
Addison: Wesley Publishing Company.
Santoso T. 2011. Aplikasi Model GARCH pada Data Inflasi Bahan Makanan Indonesia 2005.1-2010.6. Jurnal Organisasi dan Manajemen, Vol 7 No.1, hal. 38-52.
http://finance.yahoo.com/q/hp?s=SHCAY.P K+Historical+Prices [09 Februari 2012]
(25)
16
(26)
17
Lampiran 1 Data penutupan saham Sharp Corp. harian selama 3 Januari 2011 s.d. 14 Maret 2012 Tanggal Saham Tanggal Saham Tanggal Saham Tanggal Saham 1/3/2011 10.31 2/24/2011 10.51 4/15/2011 9.20 6/8/2011 9.05 1/4/2011 10.39 2/25/2011 10.81 4/18/2011 9.03 6/9/2011 9.11 1/5/2011 10.65 2/28/2011 10.8 4/19/2011 9.00 6/10/2011 8.93 1/6/2011 10.66 3/1/2011 10.65 4/20/2011 9.09 6/13/2011 8.90 1/7/2011 10.59 3/2/2011 10.3 4/21/2011 9.17 6/14/2011 9.08 1/10/2011 10.60 3/3/2011 10.27 4/25/2011 9.13 6/15/2011 8.80 1/11/2011 10.74 3/4/2011 10.07 4/26/2011 9.13 6/16/2011 8.73 1/12/2011 10.72 3/7/2011 10.00 4/27/2011 9.07 6/17/2011 8.74 1/13/2011 10.72 3/8/2011 9.94 4/28/2011 9.17 6/20/2011 8.65 1/14/2011 10.56 3/9/2011 9.82 4/29/2011 9.20 6/21/2011 8.71 1/18/2011 10.54 3/10/2011 9.71 5/2/2011 9.23 6/22/2011 8.56 1/19/2011 10.50 3/11/2011 9.50 5/3/2011 9.24 6/23/2011 8.55 1/20/2011 10.46 3/14/2011 9.05 5/4/2011 9.21 6/24/2011 8.63 1/21/2011 10.39 3/15/2011 8.70 5/5/2011 9.13 6/27/2011 8.70 1/24/2011 10.47 3/16/2011 8.85 5/6/2011 9.10 6/28/2011 8.62 1/25/2011 10.44 3/17/2011 9.26 5/9/2011 9.17 6/29/2011 8.88 1/26/2011 10.51 3/18/2011 9.40 5/10/2011 9.27 6/30/2011 9.14 1/27/2011 10.58 3/21/2011 9.75 5/11/2011 9.17 7/1/2011 9.29 1/28/2011 10.36 3/22/2011 9.66 5/12/2011 9.22 7/5/2011 9.24 1/31/2011 10.36 3/23/2011 9.54 5/13/2011 9.10 7/6/2011 9.40 2/1/2011 10.40 3/24/2011 9.38 5/16/2011 8.89 7/7/2011 9.45 2/2/2011 10.51 3/25/2011 9.30 5/17/2011 9.03 7/8/2011 9.24 2/3/2011 10.24 3/28/2011 9.17 5/18/2011 8.95 7/11/2011 9.09 2/4/2011 10.72 3/29/2011 9.65 5/19/2011 8.88 7/12/2011 9.14 2/7/2011 10.81 3/30/2011 10.16 5/20/2011 8.76 7/13/2011 9.33 2/8/2011 10.70 3/31/2011 9.83 5/23/2011 9.06 7/14/2011 9.18 2/9/2011 10.50 4/1/2011 9.92 5/24/2011 8.97 7/15/2011 9.34 2/10/2011 10.53 4/4/2011 9.95 5/25/2011 8.91 7/18/2011 9.20 2/11/2011 10.55 4/5/2011 9.60 5/26/2011 8.90 7/19/2011 9.22 2/14/2011 10.80 4/6/2011 9.33 5/27/2011 8.92 7/20/2011 9.30 2/15/2011 10.81 2/18/2011 11.07 5/31/2011 9.30 7/21/2011 9.45 2/16/2011 11.22 4/8/2011 8.99 6/1/2011 9.06 7/22/2011 9.40 2/17/2011 11.26 4/11/2011 9.05 6/2/2011 9.08 7/25/2011 9.23 2/18/2011 11.07 4/12/2011 8.93 6/3/2011 9.2 7/26/2011 9.26 2/22/2011 10.71 4/13/2011 9.03 6/6/2011 9.11 7/27/2011 9.03 2/23/2011 10.77 4/14/2011 9.14 6/7/2011 9.15 7/28/2011 9.05
(27)
18
Tanggal Saham Tanggal Saham Tanggal Saham Tanggal Saham 7/29/2011 9.15 9/21/2011 8.10 11/11/2011 9.25 1/6/2012 8.45
8/1/2011 9.05 9/22/2011 7.82 11/14/2011 9.20 1/9/2012 8.46 8/2/2011 8.85 9/23/2011 7.89 11/15/2011 9.08 1/10/2012 8.61 8/3/2011 8.84 9/26/2011 7.59 11/16/2011 9.00 1/11/2012 8.55 8/4/2011 8.35 9/27/2011 7.77 11/17/2011 9.26 1/12/2012 8.30 8/5/2011 8.49 9/28/2011 7.95 11/18/2011 9.79 1/13/2012 8.39 8/8/2011 7.85 9/29/2011 8.18 11/21/2011 9.79 1/17/2012 8.23 8/9/2011 8.17 9/30/2011 8.33 11/22/2011 9.88 1/18/2012 8.21 8/10/2011 7.94 10/3/2011 8.11 11/23/2011 9.70 1/19/2012 8.46 8/11/2011 8.20 10/4/2011 8.3 11/25/2011 9.46 1/20/2012 8.71 8/12/2011 8.12 10/5/2011 8.37 11/28/2011 9.72 1/23/2012 8.68 8/15/2011 8.20 10/6/2011 8.74 11/29/2011 9.83 1/24/2012 8.39 8/16/2011 8.01 10/7/2011 8.59 11/30/2011 10.11 1/25/2012 8.50 8/17/2011 8.35 10/10/2011 8.79 12/1/2011 10.00 1/26/2012 8.49 8/18/2011 7.85 10/11/2011 8.99 12/2/2011 9.89 1/27/2012 8.53 8/19/2011 7.73 10/12/2011 8.76 12/5/2011 9.68 1/30/2012 8.57 8/22/2011 7.74 10/13/2011 8.90 12/6/2011 9.71 1/31/2012 8.48 8/23/2011 7.89 10/14/2011 8.82 12/7/2011 9.54 2/1/2012 7.42 8/24/2011 7.69 10/17/2011 9.03 12/8/2011 9.45 2/2/2012 6.75 8/25/2011 7.61 10/18/2011 8.93 12/9/2011 9.32 2/3/2012 7.17 8/26/2011 7.85 10/19/2011 8.76 12/12/2011 9.26 2/6/2012 6.81 8/29/2011 8.08 10/20/2011 8.64 12/13/2011 9.20 2/7/2012 6.90 8/30/2011 8.15 10/21/2011 8.75 12/14/2011 8.84 2/8/2012 6.95 8/31/2011 8.29 10/24/2011 8.74 12/15/2011 8.76 2/9/2012 6.88 9/1/2011 8.14 10/25/2011 8.74 12/16/2011 8.75 2/10/2012 6.85 9/2/2011 8.05 10/26/2011 8.72 12/19/2011 8.81 2/13/2012 6.85 9/6/2011 7.56 10/27/2011 9.24 12/20/2011 9.30 2/14/2012 6.77 9/7/2011 7.76 10/28/2011 9.65 12/21/2011 9.12 2/15/2012 6.77 9/8/2011 7.85 10/31/2011 9.28 12/22/2011 9.10 2/16/2012 7.00 9/9/2011 7.80 11/1/2011 9.02 12/23/2011 9.27 2/17/2012 7.03 9/12/2011 7.54 11/2/2011 8.73 12/27/2011 9.04 2/21/2012 6.83 9/13/2011 7.44 11/3/2011 8.93 12/28/2011 8.76 2/22/2012 6.78 9/14/2011 7.82 11/4/2011 9.06 12/29/2011 8.51 2/23/2012 6.97 9/15/2011 7.99 11/7/2011 9.17 12/30/2011 8.72 2/24/2012 6.99 9/16/2011 8.04 11/8/2011 9.13 1/3/2012 8.82 2/27/2012 7.16 9/19/2011 8.00 11/9/2011 9.03 1/4/2012 8.69 2/28/2012 7.11 9/20/2011 8.09 11/10/2011 8.97 1/5/2012 8.56 2/29/2012 6.99
(28)
19
Tanggal Saham 3/1/2012 6.81 3/2/2012 6.92 3/5/2012 6.83 3/6/2012 6.56 3/7/2012 6.75 3/8/2012 6.40 3/9/2012 6.33 3/12/2012 6.14 3/13/2012 6.20 3/14/2012 6.09 Sumber :
http://finance.yahoo.com/q/hp?s=SHCAY&a=11&b=30&c=2011&d=02&e=15&f=2012&g=d
Lampiran 2 Output uji ADF pada data asli Null Hypothesis: SAHAM has a unit root Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=15)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.058479 0.2619
Test critical values: 1% level -3.456302
5% level -2.872857
10% level -2.572875
.
Lampiran 3 Output uji ADF setelah pembedaan satu kali Null Hypothesis: D(SAHAM) has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=15)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -15.92126 0.0000
Test critical values: 1% level -3.456408
5% level -2.872904
(29)
20
Lampiran 4 Output model ARIMA (2,1,5)
ARIMA Model: saham
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P AR 1 1.1025 0.0806 13.68 0.000 AR 2 -0.9129 0.0415 -22.00 0.000 MA 1 1.1284 0.0715 15.79 0.000 MA 2 -0.9796 0.0267 -36.75 0.000 MA 3 0.2172 0.0671 3.24 0.001 MA 4 -0.2001 0.0827 -2.42 0.016 MA 5 0.2143 0.0691 3.10 0.002 Constant -0.005137 0.007423 -0.69 0.490 Differencing: 1 regular difference
Number of observations: Original series 252, after differencing 251 Residuals: SS = 8.85880 (backforecasts excluded)
MS = 0.03646 DF = 243
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48
Chi-Square 4.2 13.9 21.9 37.7 DF 4 16 28 40 P-Value 0.376 0.604 0.784 0.575 Lampiran 5 Output model ARIMA (3,1,3)
ARIMA Model: saham
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P AR 1 0.3778 0.0950 3.98 0.000 AR 2 0.2138 0.1090 1.96 0.051 AR 3 -0.8923 0.0986 -9.05 0.000 MA 1 0.4017 0.1259 3.19 0.002 MA 2 0.1483 0.1416 1.05 0.296 MA 3 -0.7861 0.1279 -6.14 0.000 Constant -0.00819 0.01495 -0.55 0.584 Differencing: 1 regular difference
Number of observations: Original series 252, after differencing 251 Residuals: SS = 8.96391 (backforecasts excluded)
MS = 0.03674 DF = 244
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48
Chi-Square 5.4 16.4 23.5 38.5 DF 5 17 29 41 P-Value 0.370 0.493 0.752 0.582
(30)
21
Lampiran 6 Output model ARIMA (3,1,4)
ARIMA Model: saham
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P AR 1 0.5099 0.2577 1.98 0.049 AR 2 0.4517 0.1877 2.41 0.017 AR 3 -0.6830 0.1874 -3.64 0.000 MA 1 0.5222 0.2642 1.98 0.049 MA 2 0.4501 0.2190 2.06 0.041 MA 3 -0.5282 0.2201 -2.40 0.017 MA 4 -0.0654 0.0919 -0.71 0.477 Constant -0.004503 0.007605 -0.59 0.554 Differencing: 1 regular difference
Number of observations: Original series 252, after differencing 251 Residuals: SS = 9.12858 (backforecasts excluded)
MS = 0.03757 DF = 243
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48
Chi-Square 3.8 17.4 26.1 41.2 DF 4 16 28 40 P-Value 0.435 0.360 0.569 0.419
(31)
22
Lampiran 7 Output pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2) Dependent Variable: D(SAHAM)
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/31/12 Time: 09:52
Sample (adjusted): 4 252
Included observations: 249 after adjustments Convergence achieved after 52 iterations MA Backcast: -1 3
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = α + β*GARCH(1) + β *GARCH(2)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C -0.000949 0.009052 -0.104811 0.9165
AR(1) 0.156166 0.378180 0.412941 0.6796
AR(2) -0.439580 0.167227 -2.628645 0.0086
MA(1) -0.200129 0.379138 -0.527853 0.5976
MA(2) 0.454424 0.183857 2.471613 0.0135
MA(3) -0.217513 0.077689 -2.799793 0.0051
MA(4) 0.072084 0.091561 0.787284 0.4311
MA(5) -0.148523 0.072830 -2.039318 0.0414
Variance Equation
α 0.000172 2.15E-05 7.998596 0.0000
GARCH(1) 1.980471 0.005905 335.3836 0.0000
GARCH(2) -0.985244 0.005900 -166.9842 0.0000
R-squared 0.039402 Mean dependent var -0.007751
Adjusted R-squared -0.000960 S.D. dependent var 0.195749
S.E. of regression 0.195842 Akaike info criterion -0.492982
Sum squared resid 9.128318 Schwarz criterion -0.337593
Log likelihood 72.37630 Hannan-Quinn criter. -0.430436
F-statistic 0.976220 Durbin-Watson stat 1.927676
(32)
23
Lampiran 8 Output pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) Dependent Variable: D(SAHAM)
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/31/12 Time: 09:53
Sample (adjusted): 4 252
Included observations: 249 after adjustments Convergence achieved after 40 iterations MA Backcast: -1 3
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = α + α*RESID2(1) + β *GARCH(1) + β*GARCH(2) + β *GARCH(3)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C -0.002824 0.010037 -0.281318 0.7785
AR(1) 0.322014 0.022744 14.15789 0.0000
AR(2) -0.926518 0.018371 -50.43373 0.0000
MA(1) -0.342592 0.069277 -4.945249 0.0000
MA(2) 1.034927 0.059785 17.31085 0.0000
MA(3) -0.210944 0.106738 -1.976276 0.0481
MA(4) 0.130818 0.058272 2.244974 0.0248
MA(5) -0.203715 0.064712 -3.148009 0.0016
Variance Equation
α 0.004035 0.002387 1.690163 0.0910
RESID2(1) 0.118780 0.034467 3.446233 0.0006
GARCH(1) 0.374864 0.032766 11.44046 0.0000
GARCH(2) -0.502507 0.019232 -26.12827 0.0000
GARCH(3) 0.908465 0.034189 26.57192 0.0000
R-squared 0.052557 Mean dependent var -0.007751
Adjusted R-squared 0.004382 S.D. dependent var 0.195749
S.E. of regression 0.195319 Akaike info criterion -0.506420
Sum squared resid 9.003302 Schwarz criterion -0.322778
Log likelihood 76.04933 Hannan-Quinn criter. -0.432501
F-statistic 1.090966 Durbin-Watson stat 1.982887
(33)
24
Lampiran 9 Output pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3) Dependent Variable: D(SAHAM)
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/31/12 Time: 09:54
Sample (adjusted): 4 252
Included observations: 249 after adjustments Convergence achieved after 37 iterations MA Backcast: -1 3
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = α + α *RESID2(1) + α *RESID2(2) + β *GARCH(1) + β *GARCH(2) +
β *GARCH(3)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C -0.007007 0.008678 -0.807506 0.4194
AR(1) 0.344211 0.027523 12.50646 0.0000
AR(2) -0.920590 0.015985 -57.58945 0.0000
MA(1) -0.342031 0.069539 -4.918521 0.0000
MA(2) 0.951320 0.054281 17.52580 0.0000
MA(3) -0.205466 0.088187 -2.329885 0.0198
MA(4) 0.062316 0.057388 1.085869 0.2775
MA(5) -0.233591 0.047613 -4.905995 0.0000
Variance Equation
α 0.004066 0.002372 1.714371 0.0865
RESID2(1) 0.110599 0.021629 5.113397 0.0000
RESID2(2) 0.080571 0.021821 3.692317 0.0002
GARCH(1) 0.335651 0.029165 11.50853 0.0000
GARCH(2) -0.527317 0.023118 -22.80960 0.0000
GARCH(3) 0.899944 0.025846 34.81984 0.0000
R-squared 0.052964 Mean dependent var -0.007751
Adjusted R-squared 0.000574 S.D. dependent var 0.195749
S.E. of regression 0.195692 Akaike info criterion -0.528535
Sum squared resid 8.999440 Schwarz criterion -0.330766
Log likelihood 79.80260 Hannan-Quinn criter. -0.448930
F-statistic 1.010965 Durbin-Watson stat 2.026870
(34)
25
Lampiran 10 Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5) Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic 6.758334 Prob. F(1,246) 0.0099
Obs*R-squared 6.631104 Prob. Chi-Square(1) 0.0100
Lampiran 11 Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic 0.377873 Prob. F(1,246) 0.5393
Obs*R-squared 0.380361 Prob. Chi-Square(1) 0.5374
Lampiran 12 Output dari uji normalitas pada sisaan baku ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3)
0 5 10 15 20 25 30
-3 -2 -1 0 1 2 3
Series: Standardized Residuals Sample 4 252
Observations 249 Mean -0.025137 Median -0.036890 Maximum 2.771287 Minimum -2.891404 Std. Dev. 0.999368 Skewness 0.209159 Kurtosis 3.063032 Jarque-Bera 1.856736 Probability 0.395198
(35)
26
Lampiran 13 Data peramalan selama 50 hari ke depan
Waktu ke- Aktual GARCH Waktu ke- Aktual GARCH
1 8.82 8.684838 26 6.95 6.977552
2 8.69 8.85209 27 6.88 7.072523
3 8.56 8.714375 28 6.85 6.797131
4 8.45 8.563129 29 6.85 6.860665
5 8.46 8.425241 30 6.77 6.894828
6 8.61 8.436848 31 6.77 6.757831
7 8.55 8.633724 32 7.00 6.769778
8 8.30 8.571493 33 7.03 6.983386
9 8.39 8.287015 34 6.83 7.015004
10 8.23 8.361592 35 6.78 6.819085
11 8.21 8.234831 36 6.97 6.758644
12 8.46 8.202382 37 6.99 6.930926
13 8.71 8.489768 38 7.16 6.976939
14 8.68 8.676722 39 7.11 7.147829
15 8.39 8.643238 40 6.99 7.101244
16 8.50 8.370892 41 6.81 6.923246
17 8.49 8.439553 42 6.92 6.793055
18 8.53 8.474618 43 6.83 6.899902
19 8.57 8.511967 44 6.56 6.846554
20 8.48 8.590436 45 6.75 6.567707
21 7.42 8.449445 46 6.40 6.74202
22 6.75 7.437041 47 6.33 6.422691
23 7.17 6.771776 48 6.14 6.303989
24 6.81 7.246539 49 6.20 6.217455
(1)
Lampiran 6 Output model ARIMA (3,1,4)
ARIMA Model: saham
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T P AR 1 0.5099 0.2577 1.98 0.049 AR 2 0.4517 0.1877 2.41 0.017 AR 3 -0.6830 0.1874 -3.64 0.000 MA 1 0.5222 0.2642 1.98 0.049 MA 2 0.4501 0.2190 2.06 0.041 MA 3 -0.5282 0.2201 -2.40 0.017 MA 4 -0.0654 0.0919 -0.71 0.477 Constant -0.004503 0.007605 -0.59 0.554
Differencing: 1 regular difference
Number of observations: Original series 252, after differencing 251 Residuals: SS = 9.12858 (backforecasts excluded)
MS = 0.03757 DF = 243
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48
Chi-Square 3.8 17.4 26.1 41.2 DF 4 16 28 40 P-Value 0.435 0.360 0.569 0.419
(2)
Lampiran 7 Output pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2)
Dependent Variable: D(SAHAM)Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/31/12 Time: 09:52
Sample (adjusted): 4 252
Included observations: 249 after adjustments Convergence achieved after 52 iterations MA Backcast: -1 3
Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = α + β*GARCH(1) + β *GARCH(2)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C -0.000949 0.009052 -0.104811 0.9165
AR(1) 0.156166 0.378180 0.412941 0.6796
AR(2) -0.439580 0.167227 -2.628645 0.0086 MA(1) -0.200129 0.379138 -0.527853 0.5976
MA(2) 0.454424 0.183857 2.471613 0.0135
MA(3) -0.217513 0.077689 -2.799793 0.0051
MA(4) 0.072084 0.091561 0.787284 0.4311
MA(5) -0.148523 0.072830 -2.039318 0.0414 Variance Equation
α 0.000172 2.15E-05 7.998596 0.0000
GARCH(1) 1.980471 0.005905 335.3836 0.0000
GARCH(2) -0.985244 0.005900 -166.9842 0.0000 R-squared 0.039402 Mean dependent var -0.007751 Adjusted R-squared -0.000960 S.D. dependent var 0.195749 S.E. of regression 0.195842 Akaike info criterion -0.492982 Sum squared resid 9.128318 Schwarz criterion -0.337593 Log likelihood 72.37630 Hannan-Quinn criter. -0.430436 F-statistic 0.976220 Durbin-Watson stat 1.927676 Prob(F-statistic) 0.464772
(3)
Lampiran 8 Output pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3)
Dependent Variable: D(SAHAM)Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/31/12 Time: 09:53
Sample (adjusted): 4 252
Included observations: 249 after adjustments Convergence achieved after 40 iterations MA Backcast: -1 3
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = α + α*RESID2(1) + β *GARCH(1) + β*GARCH(2) + β *GARCH(3)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C -0.002824 0.010037 -0.281318 0.7785
AR(1) 0.322014 0.022744 14.15789 0.0000
AR(2) -0.926518 0.018371 -50.43373 0.0000 MA(1) -0.342592 0.069277 -4.945249 0.0000
MA(2) 1.034927 0.059785 17.31085 0.0000
MA(3) -0.210944 0.106738 -1.976276 0.0481
MA(4) 0.130818 0.058272 2.244974 0.0248
MA(5) -0.203715 0.064712 -3.148009 0.0016 Variance Equation
α 0.004035 0.002387 1.690163 0.0910
RESID2(1) 0.118780 0.034467 3.446233 0.0006
GARCH(1) 0.374864 0.032766 11.44046 0.0000
GARCH(2) -0.502507 0.019232 -26.12827 0.0000
GARCH(3) 0.908465 0.034189 26.57192 0.0000
R-squared 0.052557 Mean dependent var -0.007751 Adjusted R-squared 0.004382 S.D. dependent var 0.195749 S.E. of regression 0.195319 Akaike info criterion -0.506420 Sum squared resid 9.003302 Schwarz criterion -0.322778 Log likelihood 76.04933 Hannan-Quinn criter. -0.432501 F-statistic 1.090966 Durbin-Watson stat 1.982887 Prob(F-statistic) 0.368402
(4)
Lampiran 9 Output pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3)
Dependent Variable: D(SAHAM)Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/31/12 Time: 09:54
Sample (adjusted): 4 252
Included observations: 249 after adjustments Convergence achieved after 37 iterations MA Backcast: -1 3
Presample variance: backcast (parameter = 0.7)
GARCH = α + α *RESID2(1) + α *RESID2(2) + β *GARCH(1) + β *GARCH(2) + β *GARCH(3)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C -0.007007 0.008678 -0.807506 0.4194
AR(1) 0.344211 0.027523 12.50646 0.0000
AR(2) -0.920590 0.015985 -57.58945 0.0000 MA(1) -0.342031 0.069539 -4.918521 0.0000
MA(2) 0.951320 0.054281 17.52580 0.0000
MA(3) -0.205466 0.088187 -2.329885 0.0198
MA(4) 0.062316 0.057388 1.085869 0.2775
MA(5) -0.233591 0.047613 -4.905995 0.0000 Variance Equation
α 0.004066 0.002372 1.714371 0.0865
RESID2(1) 0.110599 0.021629 5.113397 0.0000
RESID2(2) 0.080571 0.021821 3.692317 0.0002
GARCH(1) 0.335651 0.029165 11.50853 0.0000
GARCH(2) -0.527317 0.023118 -22.80960 0.0000
GARCH(3) 0.899944 0.025846 34.81984 0.0000
R-squared 0.052964 Mean dependent var -0.007751 Adjusted R-squared 0.000574 S.D. dependent var 0.195749 S.E. of regression 0.195692 Akaike info criterion -0.528535 Sum squared resid 8.999440 Schwarz criterion -0.330766 Log likelihood 79.80260 Hannan-Quinn criter. -0.448930 F-statistic 1.010965 Durbin-Watson stat 2.026870 Prob(F-statistic) 0.441300
(5)
Lampiran 10 Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5)
Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic 6.758334 Prob. F(1,246) 0.0099
Obs*R-squared 6.631104 Prob. Chi-Square(1) 0.0100
Lampiran 11 Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3)
Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic 0.377873 Prob. F(1,246) 0.5393
Obs*R-squared 0.380361 Prob. Chi-Square(1) 0.5374
Lampiran 12 Output dari uji normalitas pada sisaan baku ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3)
0 5 10 15 20 25 30
-3 -2 -1 0 1 2 3
Series: Standardized Residuals Sample 4 252
Observations 249 Mean -0.025137 Median -0.036890 Maximum 2.771287 Minimum -2.891404 Std. Dev. 0.999368 Skewness 0.209159 Kurtosis 3.063032 Jarque-Bera 1.856736 Probability 0.395198
(6)