METODE GRAFIK Langkah-langkah penggunaan Metode Grafik:

Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary Misal : X1 = 6,5; Z = 10,75 4. Deterministic Certainty Menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP aij, bi, Cj dapat diperkirakan dengan pasti , meskipun jarang dengan tepat.

A. METODE GRAFIK Langkah-langkah penggunaan Metode Grafik:

1. Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikannya dalam bentuk matematis. 2. Mengidentifikasikan batasan-batasan yang berlaku dan memformulasikannya dalam bentuk matematis. 3. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y. 4. Mencari titik yang paling menguntungkan optimal dihubungkan dengan fungsi tujuan. Contoh Masalah LP 1. Sebuah Perusahaan Industri mempunyai berturut-turut 260kg, 380kg, dan 200kg bahan yaitu kayu, plastik, dan baja. Perusahaan tersebut akan membuat dua macam produk yaitu P dan Q yang berturut-turut memerlukan bahan-bahan dalam kg sbb: Produk Bahan yang diperlukan Kayu Plastik Baja P Q 3 5 5 6 4 3 Harga jual tiap produk P Rp 140.000,00unit dan Q Rp 180.000,00unit. Berapa banyak produk P dan produk Q harus diproduksi untuk memaksimumkan laba, dengan biaya variabel produk P Rp 80.000,00unit dan produk Q Rp 100.000,00unit. Penyelesaian: Data tersebut di atas dapat disusun ke dalam tabel sbb: Produk Sumber P Q Kapasitas Maksimum Kayu Plastik Baja 3 5 5 6 4 3 260 380 200 Sumbangan terhadap laba RP 10.000,00 6 8 Untuk formulasi masalah diatas maka pertama-tama tentukan simbol-simbol yang akan dipakai: X1 = jumlah produk P yang akan di buat. X2 = jumlah produk Q yang akan dibuat. Z = jumlah sumbangan seluruh produk A dan produk B yang akan diperoleh. 12. Memformulasikannya dalam bentuk matematika: Fungsi Tujuan: Maksimumkan Z = 6X1 + 8X2 Batasan μ 1 3X1 + 5X2 ≤ 260 2 5X1 + 6X1 ≤ 380 3 4X1 + 3X2 ≤ 200 3. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y.  Batasan 1 3X1 + 5X2 ≤ 260 mis : X1=0 ; 3.0 + 5X2 = 260 X2 = 52 Mis : X2=0 ; 3X1+ 5.0 = 260 X1 = 86,67  Batasan 2 5X1 + 6X2 ≤ 380 Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary mis : X1=0 ; 5.0 + 6X2 = 380 X2 = 63,33 mis : X2=0 ; 5X1 + 6.0 = 380 X1= 76  Batasan 3 4X1 + 3X2 ≤ 200 mis : X1=0 ; 4.0 + 3X2 = 200 X2 = 66,67 Mis : X2=0 ; 4X1 + 3.0 = 200 X1 = 50 4. Untuk mencari nilai Z optimal dapat digunakan 2 cara: 1. Dengan menggambarkan fungsi tujuan. cara trial and error Caranya dengan memisalkan nilai Z pada persamaan fungsi tujuan, sehingga akan didapatkan nilai X1 dan X2. Tujuan permisalan ini adalah untuk mengetahui arah kita menggeser sampai bertemu satu titik di daerah feasible sehingga akan didapatkan nilai Z optimal baik maksimal maupun minimal. Misal : 6X1 + 8X2 = 240 X1=0; X2=30 X2=0; X1=40 Apabila permisalan tersebut digambarkan pada grafik diatas dan digeser kearah ataskanan akan didapatkan satu titik didaerah feasible pada titik B maka titik B adalah titik optimal dengan Z maksimal. Titik B merupakan pertemuan antara persamaan I dan persamaan III maka untuk menghitung nilai Z dititik B: 3X1 + 5X2 ≤ 260 dikalikan 4 menjadi 12X1 + 20X2 = 1040 4 X1 + 3X2 ≤ 200 dikalikan 3 menjadi 12X1 + 9X2 = 600 – 0 + 11X2 = 440 X2 = 40 3X1 + 5.40 = 260 3X1 = 60 X1 = 20 Maka, Z dititik B 6.20 + 8.40 = 440 2. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif. Caranya adalah dengan menghitung nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif. Titik A X1=50; X2=0 maka Z dititik A 6.50 + 8.0 = 300 Titik B sama dengan cara 1 X1=20; X2=40 maka Z dititik B 6.20 + 8.40 = 440 Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary Titik C X1=0; X2=52 maka Z dititik C 6.0 + 8.52 = 416 Maka menurut cara 2 nilai Z optimal ada dititik B, sama dengan cara 1. Kesimpulan : Maka produk PX1 diproduksi sebanyak 20 unit dan produk QX2 diproduksi sebanyak 40 unit dengan laba maksimal 440 X Rp 10.000,- = Rp 4.400.000,-. 2. Fungsi tujuan Minimumkan Z = 6X1 + 8X2 Batasan : 1 3X1 + 5X2 = 260 2 5X1 + 6X2 ≤ 380 3 4X1 + 3X2 ≥ 200 Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu X dan Y.  Batasan 1 3X1 + 5X2 = 260 mis : X1=0 ; 3.0 + 5X2 = 260 X2 = 52 Mis : X2=0 ; 3X1+ 5.0 = 260 X1 = 86,67  Batasan 2 5X1 + 6X2 ≤ 380 mis : X1=0 ; 5.0 + 6X2 = 380 X2 = 63,33 mis : X2=0 ; 5X1 + 6.0 = 380 X1= 76  Batasan 3 4X1 + 3X2 ≥ 200 mis : X1=0 ; 4.0 + 3X2 = 200 X2 = 66,67 Mis : X2=0 ; 4X1 + 3.0 = 200 X1 = 50 Untuk mencari nilai Z optimal dapat digunakan 2 cara: 1. Dengan menggambarkan fungsi tujuan. cara trial and error Caranya dengan memisalkan nilai Z pada persamaan fungsi tujuan, sehingga akan didapatkan nilai X1 dan X2. Tujuan permisalan ini adalah untuk mengetahui arah kita menggeser sampai bertemu satu titik di daerah feasible sehingga akan didapatkan nilai Z optimal baik maksimal maupun minimal. Karena daerah feasible hanya berupa satu titik, maka titik optimal berada pada titik tersebut dengan nilai Z minimal. Titik tersebut merupakan pertemuan antara persamaan I dan persamaan III maka untuk menghitung nilai Z : 3X1 + 5X2 ≤ 260 dikalikan 4 menjadi 12X1 + 20X2 = 1040 4X1 + 3X2 ≤ 200 dikalikan 3 menjadi 12X1 + 9X2 = 600 – 0 + 11X2 = 440 X2 = 40 Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary 3X1 + 5.40 = 260 3X1 = 60 X1 = 20 Maka, Z minimal 6.20 + 8.40 = 440 2. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap titik alternatif. Karena hanya ada satu titik alternative maka merupakan titik optimal dengan Z minimal, dan perhitungan titik tersebut sama dengan cara 1. Kesimpulan : Maka produk PX1 diproduksi sebanyak 20 unit dan produk QX2 diproduksi sebanyak 40 unit dengan laba maksimal 440 X Rp 10.000,- = Rp 4.400.000,-. Beberapa Pengertian Dalam Linear Programming  Solution Penyelesaian Adalah jawaban akhir dari suatu masalah  Feasible Solution Adalah penyelesaian yang tidak melanggar batasan-batasan yang ada.  No Feasible Solution Berarti tidak ada daerah fesible, artinya apabila sifat atau letak batasan-batasan sedemikian rupa sehinnga tidak memungkinkan terdapatnya daerah atau alternatif-alternatif yang feasible.  Optimal Solution Adalah feasible solution yang mempunyai nilai tujuan nilai Z dalam fungsi tujuan yang optimal atau terbaik maksimum atau minimum  Multiple Optimal Solution Berarti terdapatnya beberapa alternatif optimal dalam suatu masalah.  Boundary Equation Terjadi apab ila suatu batasan dengan tanda “sama dengan” Corner Point Feasible Solutions Adalah feasible solutions yang terletak pada sudut perpotongan antara 2 garis. Corner Point Infeasible Solutions Adalah titik yang terletak pada perpotongan 2 garis tetapi diluar daerah feasible.  No Optimal Solution Terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai jawaban atau penyelesaian optimal, hal ini dapat disebabkan faktor-faktor sbb: 1. Tidak ada feasible Solution 2. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z. Ketentuan-ketentuan atau Sifat Linear Programming Ketentuan 1: a. Kalau hanya ada satu optimal solution, pasti berupa corner point feasible solution. b. Kalau multiple solutions maka terdapat lebih dari 2 titik optimal yang terletak pada garis yang menghubungkan 2 corner solutions. Ketentuan 2: Corner point feasible solutions jumlahnya terbatas Ketentuan 3: Kalau suatu corner point feasible solution lebih baik dari 2 corner point feasible solutions yang terdekat, maka titik itu merupakan titik optimal atau terbaik diantara semua corner point fesible solutions. B. METODE SIMPLEKS Apabila suatu masalah LP hanya mengandung 2 dua kegiatan atau variabel-variabel keputusan saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi bila melibatkan lebih dari dua kegiatan maka ketode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode simpleks merupakan suatu cara yang lazim dipakai untuk menentukan kombinasi optimal dari tiga variabel atau lebih. Langkah-langkah Metode Simpleks 1. Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan Contoh: Fungsi Tujuan: Maksimumkan Z = 6X1 + 8X2 Batasan μ 1 3X1 + 5X2 ≤ 260 2 5X1 + 6X1 ≤ 380 3 4X1 + 3X2 ≤ 200 Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit, artinya semua CjXij kita geser ke kiri. Maksimumkan Z = 6X1 + 8X2 diubah menjadi Z – 6X1 – 8X2 = 0 Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda ≤, ketidaksamaan ini harus diubah menjadi kesamaan. Caranya dengan menambah Slack Variabel adalah variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan. Variabel slack ini adalah Xn+1, Xn+2, ….., Xn+m. Kadang-kadang Slack Variabel diberi tanda huruf lain, misalnya S1, S2, ….., dan seterusnya. Fungsi batasan-fungsi batasan: 1 3X1 + 5X2 ≤ 260 menjadi 3X1 + 5X2 + X3 = 260 2 5X1 + 6X2 ≤ 380 menjadi 5X1 + 6X2 +X4 = 380 3 4X1 + 3X2 ≤ 200 menjadi 4X1 + 3X2 +X5 = 200 2. Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel Setelah formulasi diubah kemudian disusun ke dalam tabel, tabel dalam bentuk simbol sbb: Variabel Dasar Z X1 X2 ……. Xn Xn+1 Xn+2 ……. Xn+m NK Z Xn+1 Xn+2 . . . . Xn+m 1 . . . . -C1 - C2 ……. –Cn 0 0 ……. 0 a11 a12 …….. a1n 1 0 ……. 0 a21 a22 …….. a2n 0 1 ……. 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 …….. amn 0 0 ……. 1 b1 b2 . . . . bm NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai dibelakang tanda sama dengan =. Variabel Dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Contoh soal diatas : Tabel Data Perusahaan Industri dalam tabel simpleks yang pertama Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Z X3 X4 X5 1 -6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1 260 380 200 3. Memilih Kolom Kunci Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel diatas. Pilihlah kolom pada baris fungsi tujuan Z yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar, berilah tanda segi empat pada kolom tersebut. Tabel Pemilihan kolom kunci pada tabel pertama Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Z X3 X4 X5 1 -6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1 260 380 200 4. Memilih Baris Kunci Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel tersebut diatas. Terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci. Indeks = Nilai Kolom NK Nilai Kolom Kunci Pilihlah baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil Tabel Pemilihan Baris Kunci Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Keterangan Z X3 X4 X5 1 -6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1 260 380 200 2605=52 min 3806=63,33 2003=66,67 Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary 5. Mengubah nilai-nilai baris kunci Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci, gantilah variabel dasar pada baris yang terpilih dengan variabel yang terdapat dibagian atas kolom kunci. Tabel Cara mengubah nilai baris kunci Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Z X3 X4 X5 1 -6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1 260 380 200 Z X2 X4 X5 1 35 1 15 0 0 52 6. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sbb: Baris Baru = baris lama – koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci Untuk nilai contoh soal diatas, nilai baru baris pertama Z sebagai berikut: [ -6 -8 0 0 0 0 ] -8 [ 35 1 15 0 0 52 ] - Nilai baru = -65 0 85 0 0 416 Baris ke X4 batasan 2: [ 5 6 0 1 0 380 ] 6 [ 35 1 15 0 0 52 ] - Nilai baru = 75 0 -65 1 0 68 Baris ke X5 batasan 3 [ 4 3 0 0 1 200 ] 3 [ 35 1 15 0 0 52 ] - Nilai baru = 115 0 -35 0 1 44 Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Z X3 X4 X5 1 -6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1 260 380 200 Z X2 X4 X5 1 -65 0 85 0 0 35 1 15 0 0 75 0 -65 1 0 115 0 -35 0 1 416 52 68 44 7. Langkah 7 Ulangi langkah-langkah perbaikan-perbaikanperubahan-perubahan Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah 6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubahdiperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama fungsi tujuan tidak ada yang bernilai negatif . Tabel Pemilihan Kolom dan Baris Kunci dari table perbaikan pertama, dan nilai baru baris kunci hasil perbaikan kedua Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Indeks Z X2 X4 X5 1 -65 0 85 0 0 35 1 15 0 0 75 0 -65 1 0 115 0 -35 0 1 416 52 68 44 416 52 5 3 =86,67 68 5 7 =48,57 44 5 11 =20 Z X2 X4 X1 1 1 0 -311 0 511 20 Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary Nilai Baru selain baris kunci sbb: Baris pertama Z sebagai berikut: [ -65 0 85 0 0 416 ] -65 [ 1 0 -311 0 511 20 ] - Nilai baru = 0 0 1411 0 611 440 Baris ke 2 batasan 1: [ 35 1 15 0 0 52 ] 35 [ 1 0 -311 0 511 20 ] - Nilai baru = 0 1 411 0 311 40 Baris ke 3 batasan 2 [ 75 0 -65 1 0 68 ] 75 [ 1 0 -311 0 511 20 ] - Nilai baru = 0 0 -911 0 711 40 Tabel Hasil perubahanperbaikan kedua, table pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Z X2 X4 X5 1 -65 0 85 0 0 35 1 15 0 0 75 0 -65 1 0 115 0 -35 0 1 416 52 68 44 Z X2 X4 X1 1 0 0 1411 0 611 0 1 411 0 311 0 0 -911 0 711 1 0 -311 0 511 440 40 40 20 Tabel-tabel yang diperoleh dari table pertama sampai perubahan terakhir : Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK Z X3 X4 X5 1 -6 -8 0 0 0 3 5 1 0 0 5 6 0 1 0 4 3 0 0 1 260 380 200 Z X2 X4 X5 1 -65 0 85 0 0 35 1 15 0 0 75 0 -65 1 0 115 0 -35 0 1 416 52 68 44 Z X2 X4 X1 1 0 0 1411 0 611 0 1 411 0 311 0 0 -911 0 711 1 0 -311 0 511 440 40 40 20 Karena pada baris fungsi tujuan Z sudah tidak ada yang bernilai negative - maka sudah optimal dengan nilai X1 = 20 X2 = 40 Z Maksimal =440 Kesimpulan: Maka produk PX1 diproduksi sebanyak 20 unit dan produk QX2 diproduksi sebanyak 40 unit dengan laba maksimal 440 X Rp 10.000,- = Rp 4.400.000,-. Penyimpangan-penyimpangan dari Bentuk Standar 1. Minimisasi Fungsi tujuan dari permasalahan linear programming yang bersifat minimisasi, harus diubah menjadi maksimisasi, agar sesuai dengan bentuk standar, yaitu maksimisasi. Caranya adalah dengan mengganti tanda positif dan negatif pada fungsi tujuan, sebagai berikut: Minimumkan Z =   n j CjXj 1 sama dengan Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary Maksimumkan -Z =    n j Xj Cj 1 Contoh : Minimumkan Z = 6X1 + 8X2 sama dengan Maksimumkan -Z = -6X1 - 8X2 2. Batasan dengan tanda “sama dengan” Kalau suatu batasan memakai tanda kesamaan, maka cara mengatasinya dengan menambahkan variabel buatan artificial variable. Misalnya batasan ke- 1 pada contoh terdahulu 3X1 + 5X2 ≤ 260 diubah menjadi 3X1 + 5X2 = 260. Karena batasan tersebut bertanda “=” untuk dapat dikerjakan dengan metode simpleks harus ditambahkan satu variabel lagi, karena pada batasan itu belum ada variabel yang bisa merupakan variabel dasar pada tabel pertama. Variabel itu adalah variabel buatan yang bersifat tidak negatif X3, sehingga persamaan tersebut menjadi sbb: 3X1 + 5X2 + X3 = 260 Karena adanya variabel buatan X3 ini, maka fungsi tujuan harus disesuaikan dengan menambahkan bilangan M, sehingga fungsi tujuan menjadi : Z = 6X1 + 8X2 + MX3 Bilangan M bernilai sangat besar tetapi tidak tak terhingga, sehingga nilai Z maksimum bisa diperoleh apabila nilai X3 = 0. 3. Fungsi pembatas bertanda ≥ Bila suatu fungsi pembatas bertanda ≥, maka harus diubah menjadi ≤ dan akhirnya menjadi = agar dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Misalnya batasan ke-3 pada contoh terdahulu kita ubah tandanya menjadi sbb: 4X1 + 3X2 ≥ 200 dikalikan -1, menjadi -4X1 – 3X1 ≤ -200 ditambahkan Variabel X5, menjadi -4X1 – 3X2 + X5 = -200 4. Bagian kanan persamaan bertanda negatif Bila bagian kanan persamaan bertanda negatif maka harus diubah menjadi positif. Caranya dengan mengubah tanda positif negatif dari tiap-tiap koefisien, kemudian ditambah dengan variabel buatan. Misanya batasan diatas menjadi sbb: -4X1 – 3X2 + X5 = -200 dikalikan -1, menjadi 4X1 + 3X2 – X5 = 200 Persamaan diatas sudah bertanda kesamaan dan dibagian kanan bertanda positif , tetapi slack variabel X5 bertanda negatif dalam hal ini slack variabel sering disebut pula surplus variabel . Hal ini tidak memungkinkan penggunaan metode simpleks. Oleh karena itu harus ditambahkan satu variabel buatan X6, yang akan menjadi variabel dasar dalam tabel permulaan, sehingga menjadi sbb : 4X1 + 3X2 – X5 + X6 = 200 Sesuai dengan penjelasan sebelumnya maka kalau ada variabel buatan harus ditambahkan nilai M pada fungsi tujuan, dan mengubahnya agar nilai variabel dasar pada fungsi tujuan sebesar 0. Setelah kita lakukan perubahan-perubahan pada fungsi tujuan dan fungsi batasan dengan bentuk non standar, persamaan tujuan diatas tidak memungkinkan penggunaan metode simpleks tabel, sebab nilai setiap variabel dasar pada persamaan ini harus sebesar 0, padahal X5 merupakan variabel dasar pada tabel permulaan. Oleh karena itu diubah dengan cara menguranginya dengan M dikalikan dengan baris batasan yang bersangkutan. Contoh: Fungsi tujuan Minimumkan Z = 6X1 + 8X2 Batasan : 1 3X1 + 5X2 = 260 2 5X1 + 6X2 ≤ 380 3 4X1 + 3X2 ≥ 200 Penyelesaian: 1. Mengubah fungsi tujuan dan batasan  Batasan 1 3X1 + 5X2 = 260 ditambahkan variabel tambahan X3 menjadi, Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary 3X1 + 5X2 + X3 = 260  Batasan 2 5X1 + 6X2 ≤ 380 dirubah menjadi kesamaan ditambah slack variable X4 menjadi, 5X1 + 6X2 + X4 = 380  Batasan 3 4X1 + 3X2 ≥ 200 dirubah menjadi ≤ dengan dikalikan -1 menjadi, -4X1 – 3X2 ≤ -200 dirubah menjadi kesamaan ditambah slack variable X5 menjadi, -4X1 – 3X2 + X5 = -200 dirubah menjadi + dikalikan -1 menjadi, 4X1 + 3X2 - X5 = 200 ditambah variable buatan X6 menjadi, 4X1 + 3X2 - X5 + X6 = 200  Fungsi Tujuan Minimalkan Z = 6X1 + 8X2 ditambah nilai M menjadi, Minimalkan Z = 6X1 + 8X2 + MX3 + MX6 dirubah maksimalkan menjadi, Maksimalkan –Z = -6X1 - 8X1 – MX3 – MX6 dirubah menjadi fungsi implisit menjadi, -Z + 6X1 + 8X2 + MX3 + MX6 =0 Variabel dasar X3 dan X6 harus bernilai 0, dilakukan pengurangan-pengurangan terhadap fungsi tujuan dengan fungsi batasan yang memiliki variabel tambahan dikalikan nilai M. X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Fs.tujuan 6 8 M 0 0 M 0 Batasan1 3 5 1 0 0 0 260 M Batasan3 4 3 0 0 -1 1 200 - Fs.tujuan 6 – 7M 8-8M 0 0 M 0 -460M 2. Menyusun persamaan-persamaan di dalam table Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Z X3 X4 X6 -1 -7M+6 -8M+8 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1 -460M 260 380 200 3. Memilih Kolom Kunci Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel diatas. Pilihlah kolom pada baris fungsi tujuan Z yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar, berilah tanda segi empat pada kolom tersebut. Tabel Pemilihan Kolom Kunci Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Z X3 X4 X6 -1 -7M+6 -8M+8 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1 -460M 260 380 200 4. Memilih Baris Kunci Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel tersebut diatas. Terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci. Indeks = Nilai Kolom NK Nilai Kolom Kunci Pilihlah baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil Tabel Pemilihan Baris Kunci Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Indeks Z X3 X4 X6 -1 -7M+6 -8M+8 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1 -460M 260 380 200 2605=52min 3806=63,33 2003=66,67 Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary 5. Mengubah Nilai-Nilai Baris Kunci Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci, gantilah variabel dasar pada baris yang terpilih dengan variabel yang terdapat dibagian atas kolom kunci. Tabel Cara mengubah nilai baris kunci Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Z X3 X4 X6 -1 -7M+6 -8M+8 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1 -460M 260 380 200 Z X2 X4 X6 -1 35 1 15 0 0 0 52 6. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sbb: Baris Baru = baris lama – koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci Untuk nilai contoh soal diatas, nilai baru baris pertama Z sebagai berikut: [ -7M+6 -8M+8 0 0 M 0 -460M ] -8M+8 [ 35 1 15 0 0 0 52 ] - Nilai baru = -115M+65 0 85M-85 0 M 0 -44M-416 Baris ke 3 batasan 2: [ 5 6 0 1 0 0 380 ] 6 [ 35 1 15 0 0 0 52 ] - Nilai baru = 75 0 -65 1 0 0 68 Baris ke 4 batasan 3 [ 4 3 0 0 -1 1 200 ] 3 [ 35 1 15 0 0 0 52 ] - Nilai baru = 115 0 -35 0 -1 0 44 Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Z X3 X4 X6 -1 -7M+6 -8M+8 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1 -460M 260 380 200 Z X2 X4 X6 -1 - 5 11 M+ 5 6 0 85M-85 0 M 0 35 1 15 0 0 0 75 0 -65 1 0 0 115 0 -35 0 -1 0 -44M-416 52 68 44 7. Langkah 7 Ulangi langkah-langkah perbaikan-perbaikanperubahan-perubahan Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah 6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubahdiperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama fungsi tujuan tidak ada yang bernilai negatif . Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary Tabel Pemilihan Kolom dan Baris Kunci dari table perbaikan pertama, dan nilai baru baris kunci hasil perbaikan kedua Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Indeks Z X2 X4 X6 -1 - 5 11 M+ 5 6 0 85M-85 0 M 0 35 1 15 0 0 0 75 0 -65 1 0 0 115 0 -35 0 -1 0 -44M-416 52 68 44 52 5 3 =86,67 68 5 7 =48,57 44 5 11 =20 Z X2 X4 X1 -1 1 0 -311 0 -511 0 20 Nilai Baru selain baris kunci sbb: Baris pertama Z: [-115M+65 0 85M-85 0 M 0 -44M-416 ] -115M+65 [ 1 0 -311 0 -511 0 20 ] - Nilai baru = 0 0 M -1411 0 611 0 440 Baris ke 2 batasan 1: [ 35 1 15 0 0 0 52 ] 35 [ 1 0 -311 0 -511 0 20 ] - Nilai baru = 0 1 411 0 3 11 0 40 Baris ke 3 batasan 2 [ 75 0 -65 1 0 0 68 ] 75 [ 1 0 -311 0 -511 0 20 ] - Nilai baru = 0 0 -911 1 711 0 40 Tabel Hasil perubahanperbaikan kedua, table pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Z X2 X4 X6 -1 - 5 11 M+ 5 6 0 85M-85 0 M 0 35 1 15 0 0 0 75 0 -65 1 0 0 115 0 -35 0 -1 0 -44M-416 52 68 44 Z X2 X4 X1 -1 0 0 M -1411 0 611 0 0 1 411 0 3 11 0 0 0 -911 1 711 0 1 0 -311 0 -511 0 -440 40 40 20 Tabel-tabel yang diperoleh dari table pertama sampai perubahan terakhir : Variabel Dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Z X3 X4 X6 -1 -7M+6 -8M+8 0 0 M 0 3 5 1 0 0 0 5 6 0 1 0 0 4 3 0 0 -1 1 -460M 260 380 200 Z X2 X4 X6 -1 - 5 11 M+ 5 6 0 85M-85 0 M 0 35 1 15 0 0 0 75 0 -65 1 0 0 115 0 -35 0 -1 0 -44M-416 52 68 44 Z X2 X4 X1 -1 0 0 M -1411 0 611 0 0 1 411 0 3 11 0 0 0 -911 1 711 0 1 0 -311 0 -511 0 -440 40 40 20 Karena pada baris fungsi tujuan Z sudah tidak ada yang bernilai negative - maka sudah optimal dengan nilai X1 = 20 X2 = 40 Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary Z Minimal =440 Kesimpulan: Maka X1 = 20 ; X2 = 40 dengan Z minimal 440 Minarwati, ST Ajuj, Syafi dan Mary

BAB III METODE TRANSPORTASI