Jadi, P k  1 terbukti benar

3 3 Jadi, P k  1 terbukti benar

Kesimpulan :

2 n  2 n  1  2 n  1 

3 (Terbukti)

c. 3 2 3  1  2  2 3  1  3 3  3 5  .....   2 n  2 1 2   n 2 n  1

misal P n    2 i  1   n  2 n  1 

2  k  1  k  2   2 k  1   1 

3 Jadi, P k  1 terbukti benar

 Langkah pertama

Kesimpulan :

1    2 i  1   2 . 1  1 n 

2 2 n  n  1  2 n  1 

P n    2 i 

(Terbukti)

3 PRK 3 : P

1    2 i  1   2 . 1  1 

 Langkah kedua

3 2  2 1  1 Anggap P

k    2 i  2 k  k  1 

Benar

Jadi, P 1 bernilai benar Akan dibuktikan  Langkah kedua

P k  1    2 i  2  k  1  k  2 

Anggap

kk

PRK :   2 i    2 i    2 i

Bernilai benar

2 2 Akan dibuktikan 3  2 k  k  1    2  k  1  

P k    2 i  1   k  1   2 k  1   1 

 2  k  1  k  2 

Jadi, P k  1  2 i  2  k  1  k  2 

 3 k 2 2 Kesimpulan :

P n    2 i  2 n  n  1 

(Terbukti)

 2 k 4  8 k 3  11 k 2  6 k  1 2. a. P n  1 . 2  3 . 4  5 . 6  .....   2 n  1   2 n

 2 k 4  8 k 3   12 k 2  k 2    8 k  2 k   2  1 

  2 k 4  8 k 3  12 k 2  8 k  2  k 2  2 k  1 3

 2 k 4  4  3 k  6 k 2  4 k  1   2 k  2 k  1 

 Langkah pertama 

1   k  2 1 1 

2 P 1 2  2   2 i  1       2 i  

2  k  1  k  1   k  1  . 1 i  1 3

 k  2 k   2 1  2 1   1 PRK :  2  1  1   2 . 1  1 .  2 

Jadi, P 

 Kesimpulan :

benar

Jadi, P 1 bernilai benar

 Langkah kedua

Anggap

(Terbukti)

k k  1  4 k  1 

2  4  6  .....   2 n 

P k    2 i  1    2 i 

d. 3 3 3 3

3 2 Misal : 2 P

n    2 i  2 n  n  1 

Bernilai benar

i  1 Akan dibuktikan k   Langkah pertama 1

P k  1    2 i  1   2 i

1    2 i  2 . 1  1  1

 k  1  k  2   4 k  1   1 

PRK    2 i  2 . 2  2 . 1  1  1 Bernilai benar

3 2 2  2 i  1   2 i

Jadi, P 1    2 i  2 . 1  1  1 benar

     2 i  2 i   2  k  1   1   2 k  1        2 i  2 i   2  k  1   1   2 k  1  

3 k  1  2 2 k  1 

 k  1   4 k  1   6  k  1   1

 4 k  k  12 k  6 

Kesimpulan :

 2 i  1   2 i 

 k  1  k  2  4 k  3 

3 (Terbukti)

 k  1  k  2   4 k  1   1 

n n  1  4 n  1 

P n    2 i  1    2 i 

4  n  1  n  2 

(Terbukti)

i  1 i  i  2  4  n  1  n  2 

b. P n  1 . 3  3 . 5  5 . 7  .....   2 n  1  2 n  1 

2  Langkah pertama

i  1 i  i  2  1 . 3 1 . 3 4    2 4

P n    2 i  1  2 i  1    2  1  1   2 1  1 

2  P 1 bernilai benar

 Langkah kedua

3 Anggap

 P 1 bernilai benar

 Langkah kedua

i  1 i  i  2  4  k  1  k  2 

Anggap P k    2 i  1   2 i

Bernilai benar

i  1 Akan dibuktikan

1  k  1   3 k  1   5 

benar

i  1 i  i  2  4  k  2  k  3 

Akan dibuktikan

Bernilai benar

P k  1    2 i  1  2 i  1 

i  1 i  i  2  k  1  k  1  2   2

k  1   4 k  1   k  1   1 

4  k  1  k  2  k  1  k  3 

Bernilai benar

3 k 3  14 k 2  19 k  8

1   2 i  1  2 i  1 

4  k  1  k   k  3 

 k  2 1  3 k  8 

4  k  1  k  2  k  3 

   2 i  1  2 i  1  

 k  1   3 k  1  i  5 

4  k  k      1  1  1  2  

2  k 1  1   2 k 1  1 

i  1 i  i  2  4  n  1  n  2 3 

2 k  1  2 k  3 

k 2 3 4 k  8 k  3 (Terbukti)

3 3 3 4 2 k  18 k  23 k  9

k  1   4 k  14 k  9 k  1   4 k  14 k  9

2 i  1 2 n  3  Langka kedua

Anggap

 1 2 2 P k benar, yaitu

 Langkah pertama x

2 i  1 2  1 

ix

i  1 2 2 Akan dibuktikan bahwa

2 x 

ix

2 i  1 a  1  P 1 bernilai benar

PRK ix : 

ix

ix

 1 i  1 i  k   Langkah kedua 1

Anggap P k   i  1  6  k

Benar x a  a

Akan dibuktikan

a x  1 Bernilai benar

x ix

2 k  3 2 k  1 Jadi, P k  1  a 

2  k  1   3  Terbukti

3. a.

habis dibagi 3

2 P 1  1  2  1  1  2  3  habis dbagi 3

(Terbukti)

 P 1 benar

Anggap P k  k  2 k habis dibagi 3

e.

ix

(benar)  Langkah pertama

Adib 3 P

1  1  1 x

ix

habis dibagi 3 (Benar)

PRK : a  a  a 

habis dibagi 3 habis dibagi 3

ix

Jadi, P 1   a  x

 P k  1 habis dibagi 3

i  1 a  1 Kesimpulan :

(Benar)

n  n  2 n habis dibagi 3

(Terbukti)

atau 3 faktor dari 3 n  2 n atau 3 faktor dari 3 n  2 n

3 P 2 n  5 3 habis dibagi 4

Adib P k  1   k  1   3  k  1   2  k  1 

1  5  3  8  habis dibagi 4 habis dibagi 6 (Benar)

3  2 P 1 benar

3 3 Anggap 2 P

k  5 3 habis dibgi 4

(Benar)

3 2 Adib 2 P

k  1  5  3 habis dibagi 4

3 2 (Benar) 2  k  3 k  2 k  3

k  1 P k k  1  5  5 . 5  3  15  15 habis dibagi 6

 5  3   12 P k  1 benar Kesimpulan :

habis dibagi 6

n  n  3 n  2 n  habis dibagi 6 P k  1 habis dibagi 4

habis dibagi 4 habis dibagi 4

3 Atau 6 faktor dari 2 n  3 n  2 n Kesimpulan :

P n  5 3 habis dibagi 4

4. a. 1  2 x  3 x  .....  nx

(Terbukti) n 1  x nx

atau 4 faktor dari 5 3  1  x  1  x

2 c. n  1 2 n  P 1

n  2  3 habis dibagi 5

2 . 1  1 2 . 1  1 P n   ix 

i  1 1  x nx

nn

 8  27  35  habis dibagi 5

 P 1 benar

Anggap P k  2  3 habis dibagi 5

(Benar)

 P 1 benar

Akan dibuktikan

P k  1  2  3 habis dibagi 5

Anggap P k benar

(Benar) k

i  1 1  x kx

2  k  1   1 2  k  1   1 P k  ix 

2 k  1 2 k   1 4 . 2  9 . 3 Adib

2 k  1 2 k  1 2 k  1 P k  1   ix 

 2  3   5 . 3 ix i  1  ix i  1 

P k habis dibagi 5 habis dibagi

 k k  1  x P k  1 habis dibagi 5 (Benar)

kx k

 1  x 1  x Kesimpulan :

1  x k   k kx   1  x 2 k  1  k x

n  2  3 habis dibagi 5 atau

 1  x 2

1 2 k  3  x  kx k   1  2 x  x 2   k  1  x k

2 n  1 2 n  5 faktor dari 1

d. 2 P

n  n  3 n  2 n habis dibagi 6

P 1  1  3 . 1  2 . 1  6  habis dibagi 6

kk

3 k 2 1  x  kx  kx  x  2 kx . x

  2 x . x k  kx 2 . x k  x 2 . x  k P 1 benar

  x 3 2 1

Anggap P k  k  3 k  2 k

1  2 kx k  1  2 x k  1  kx . x k  1  x . x k   1

habis dibagi 6 (Benar)  1  x 2

 P k  1 benar Kesimpulan :

 1  x 2

2 n  2 , n   1 1  x  1  x

1  x k  1    1  x k  1 x k  1 n  1

k  1 b. P 2 n  n  4   n  1  n  1 2  x

Jadi, P k  1 benar 8 9 (Benar) Kesimpulan untuk setiap n berlaku

 P 2 benar

2 n  1 1  2 x  3 x  .....  nx

Anggap

1  x nx

nn 2 2

b. log  U 1 , U 2 , U 3 ..... U n 

 log U 1  log U 2  ..... log U n P k  1 benar

log  U i  U i

nn

Kesimpulan :

c. P n  n   n  1    3

P 1  log U i  U i  U i ; P 1 benar

Anggap P k  log  U i  log U i

27  16 (Benar)

Anggap P k  k   k  1  benar

Benar

3 Akan dibuktikan 2 Adib P

k  1   k  1   k  1   1 

P k  1  log  U i   log U

i (Benar)

Benar

P k  log U 

 1   i log

 i  log k  1

log U i  log U k  1   k  4 k  4   3 k  k  2 

  log U i

i  1  untuk 0 k  3  P k  1 benar

3 Jadi, 2  k  1   k  2 

Kesimpulan :

log  U 1 , U 2 ..... U n 

Kesimpulan :

n  n   n  1  dengan n  3

 log U 1  log U 2  .....  log U n

2 n  1 d. P n  2   n  1  ; n  6

5. a. P n  n  2 n  1 6 2

64  49 benar 1 0 (Benar)

P 6  benar P 1 benar

2 k  1 Anggap P k  2   k  1  benar

Anggap P k  k  2 benar

 1  1 Adib P k  1  2   k  1  1  benar

Adib P k  1  k  1  2 benar

Kesimpulan :

untuk m , n  bilangan bulat positif 

2.  untuk Biaya pos yang dapat menggunakan 0

2 perangko Rp . 1 . 500 dan Rp . 3 .  000

k 2  

Jadi, P k  1 benar Kesimpulan :

n  2   n  1  dengan n  6