Misalkan c
f
adalah biaya pekerja full- time per orang per hari. Karena setiap
pekerja bekerja 5 hari setiap pekan, maka banyaknya biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan W pekerja full-time selama B pekan adalah
5 .
f
C W BWc
=
Contoh 2.
Untuk menjalankan usahanya selama 5 pekan B=5, sebuah perusahaan
mempekerjakan pekerja full-time tanpa pekerja
part-time. Setiap pekerja mempunyai 2 hari libur tiap pekannya,
termasuk di dalamnya libur 2 akhir pekan A=2 dari 5 akhir pekan yang tersedia.
Perusahaan memutuskan bahwa dari seluruh pekerja yang dimiliki, harus terdapat 8
pekerja yang bekerja pada setiap hari kerja D=8, dan 10 pekerja pada setiap hari akhir
pekan E=10. Diputuskan juga bahwa biaya pekerja per orang per hari sebesar 7 satuan
c
f
=7. Dengan menggunakan Persamaan
3.1.1, ditentukan 510
50 16, 67
5 2 3
e
BE b
B A
= =
= =
− −
dan dengan menggunakan Persamaan 3.1.2, ditentukan
2 5
210 58 12.
5 5
t
E D
b +
+ =
= =
Jadi dari Persamaan 3.1.3, dapat ditentukan banyaknya pekerja full-time yang
harus dipekerjakan perusahaan selama 5 pekan, yaitu:
{ }
{ }
{ }
max ,
max 16, 67 , 12 max 17,12
17.
e t
W b
b =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ =
= Biaya yang dikeluarkan perusahaan
untuk membayar seluruh pekerja adalah 5
17 55177
2975 satuan.
f
C W BWc
C =
= =
Jadi selama 5 pekan beroperasi, perusahaan harus mempekerjakan sebanyak
17 pekerja full-time, dengan biaya pekerja seluruhnya sebesar 2975 satuan.
3.2 Masalah Penentuan Pekerja Full-time
dan Dua Jenis Pekerja Part-time
Selain menggunakan pekerja full-time, terkadang perusahaan juga memerlukan pekerja
part-time. Pekerja part-time terdiri atas dua jenis, yaitu limited part-time dengan jumlah
yang terbatas tetapi biaya lebih kecil daripada biaya pekerja full-time, dan pekerja unlimited
part-time, dengan jumlah yang tidak dibatasi tetapi biaya yang lebih besar daripada biaya
pekerja full-time. Jika dimisalkan
biaya pekerja -
per orang per hari, biaya pekerja
- per orang
per hari, dan biaya pekerja
- per
orang per hari,
f p
p
c full time
c limited part time
c unlimited part time
= =
= maka diketahui bahwa
p f
p
c c
c .
Kemudian didefinisikan banyaknya pekerja
- yang
tersedia selama pekan, = perbandingan antara banyaknya akhir pekan
tiap pekerja yang dapat dipakai libur, dengan banyaknya akhir pekan seluruhnya
= G
limited part time B
A B
θ =
; karena dan
0 maka 0 1,
banyaknya pekerja -
yang dibutuhkan setiap hari kerja,
= banyaknya pekerja -
yang dibutuhkan setiap hari akhir pekan,
= rata-rata banyaknya pek A
B B
D full time
E full time
g θ
≠ =
erja - tiap pekan selama pekan
= , limited part
time se B
G B
sehingga akan ditentukan banyaknya pekerja
- yang
dibutuhkan perusahaan selama pekan, dan F
full time B
= = banyaknya pekerja
- yang
dibutuhkan perusahaan selama pekan. P
part time B
Banyaknya pekerja part-time ditentukan oleh banyaknya shift kerja pekerja full-time
yang tidak ter-cover. Jadi dalam menentukan pekerja part-time, terlebih dahulu diasumsikan
bahwa pekerja yang bekerja pada perusahaan hanyalah pekerja full-time.
Akibat dari kendala hari libur yang telah diuraikan di atas, maka diketahui bahwa total
ada sebanyak 2AF shift libur di akhir pekan. Hal ini berarti ada 2B-AF shift kerja di akhir
pekan. Karena disyaratkan terdapat 2BE shift 4
kerja di akhir pekan seluruhnya, maka didefinisikan
[ ]
2 2
2 1
. 3.2.1
e
u BE
B A F
B E F
θ =
− −
= − −
Jika u
e
bernilai positif, maka u
e
disebut weekend underage, yaitu terdapat shift kerja
pekerja full-time pada akhir pekan yang tidak ter-cover. Namun jika u
e
bernilai negatif, maka u
e
disebut weekend overage, yaitu terdapat kelebihan shift kerja pekerja
full-time pada akhir pekan. Dengan mendefinisikan
max{0, }, x
x
+
= didefinisikan
= banyaknya pekerja -
yang diperlukan di akhir pekan selama
pekan, dan - = banyaknya kelebihan pekerja
- pada akhir pekan.
e
e
u part time
B u
full time
+
+
Karena setiap pekerja mempunyai hari libur 2 hari tiap pekannya, maka terdapat
2BF shift libur pekerja selama B pekan dan 2AF di antaranya adalah hari akhir pekan.
Hal ini berarti bahwa ada 2 - B A F shift
libur pekerja pada hari kerja. Karena perusahaan mensyaratkan hanya D pekerja
full-time yang bekerja pada setiap hari kerja, maka disyaratkan terdapat 5BD shift kerja
pada hari kerja seluruhnya.
Selanjutnya dengan mendefinisikan 5BF adalah banyaknya shift pada hari kerja
seluruhnya, maka didefinisikan
[ ]
[ ]
5 5
2 5
3 2 . 3.2.2
d
u BD
BF B
A F B
D F
θ =
− −
− =
− +
Jika u
d
bernilai positif, maka u
d
disebut weekday underage, yaitu terdapat shift kerja
pekerja full-time pada hari kerja yang tidak ter-cover. Namun jika u
d
bernilai negatif, maka u
d
disebut weekday overage, yaitu terdapat kelebihan shift kerja pekerja full-
time pada hari kerja. Dengan penotasian seperti sebelumnya, didefinisikan
= banyaknya pada hari kerja
yang disusun oleh kelebihan pekerja -
pada akhir pekan, ditambah pekerja
- jika ada, dan
d
u shift
full time part time
+
- = banyaknya kelebihan pekerja
- pada hari kerja.
d
u full time
+
Dengan u
e
dan u
d
yang telah didefinisikan di atas, selanjutnya akan ditentukan
P P F
= ,
yaitu total banyaknya pekerja part-time yang dibutuhkan perusahaan.
• Jika
e
u dan
d
u maka
e d
P u
u =
+ .
• Jika
e
u dan
d
u , maka kelebihan
pekerja pada akhir pekan dapat digunakan untuk meng-cover kebutuhan pekerja pada
hari kerja. Jadi
e d
P u
u
+
= +
. • Jika
e
u dan
d
u , maka
e
P u
= .
• Jika
e
u dan
d
u , maka perusahaan
tidak memerlukan pekerja part-time. Jadi P
= . Pernyataan-pernyataan di atas dapat
dikombinasikan menjadi sebuah rumusan untuk menentukan besarnya P, yaitu
3.2.3
e d
P u
u
+ +
= +
Dimisalkan CF adalah biaya F pekerja full-time ditambah minimum pekerja part-time
selama B pekan. Karena biaya pekerja limited part-time lebih kecil daripada biaya pekerja
unlimited part-time, pemakaian pekerja limited part-time lebih diprioritaskan daripada
pemakaian pekerja unlimited part-time. Selagi masih tersedia pekerja limited part-time,
pekerja part-time yang digunakan perusahaan sebagai tambahan pekerja full-time adalah
pekerja limited part-time. Jika masih kurang, barulah perusahaan mempekerjakan pekerja
unlimited part-time. Jika pekerja limited part- time tidak tersedia G=0, maka pekerja part-
time yang digunakan perusahaan sebagai tambahan pekerja full-time adalah pekerja
unlimited part-time. Jadi
.
, ,
, ,
3.2.4
5 = 5
p
p p
p p
p f
f c
c P P
G c G c
P G P G
c P c
P G
C F BFc
BFc
⎧⎪ ⎨
⎪⎩ +
≤ +
+ −
+ +
− −
=
Dengan menyubstitusi Persamaan 3.2.3 ke Persamaan 3.2.4 maka didapat
. 3.2.5 5
f
p e
e p
p d
d C F
BFc
c u
u c
c u
u G
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ + +
+ + =
+
+ +
− +
− 5
e
u dan
d
u adalah fungsi linear dari F.
Karena kemiringan
e
u dan
d
u terhadap F
adalah negatif, maka
e
u dan
d
u adalah fungsi turun.
Selanjutnya ditentukan: { :
0} 1
, dan 3.2.6 { :
0} 5
3 2 . 3.2.7
e e
d d
b F u
E b
F u D
θ θ
= =
= −
= =
= +
Nilai
e
b dan
d
b akan membagi daerah asal
F menjadi tiga, seperti yang terlihat pada Gambar 1.
5 10
15 20
25 -100
100 200
300 400
Gambar 1 Grafik
d
u dan
e
u dengan 8, 12,
dan 0, 4 D
E θ
= =
= .
Hal ini mengakibatkan P terdefinisi oleh rumus yang berlainan sesuai dengan daerah
asal F.
5 10
15 20
25 100
200 300
400 500
600 700
Gambar 2 Grafik P jika
d
u dan
e
u seperti pada Gambar 1.
Karena CF dipengaruhi oleh P, maka CF juga terdefinisi oleh rumus yang berlainan
sesuai dengan daerah asal F Gambar 2. Jadi CF merupakan fungsi sesepenggal
piecewise function, seperti yang terlihat pada Gambar 3.
5 10
15 20
25 2000
4000 6000
8000 10000
Gambar 3 Grafik CF jika P seperti pada Gambar 2 dan dengan G=7.
Selanjutnya akan ditentukan 0 P
, yaitu P pada saat F terkecil F=0. 0
P adalah
banyaknya pekerja part-time yang diperlukan perusahaan jika perusahaan tidak
mempekerjakan pekerja full-time. P
juga dapat diartikan sebagai maksimum banyaknya
pekerja part-time yang mungkin diperlukan oleh perusahaan. Dari Persamaan 3.2.1 dan
Persamaan 3.2.2, pada saat F=0, 2
e
u BE
= dan
5
d
u BD
= . Karena B, E, D positif, maka
e
u dan
d
u positif, sehingga dengan
menggunakan Persamaan 3.2.3, didapat
2 5
.
e d
e d
e d
e d
P u
u P F
u F u F
P u
u u
u BE
BD
+ + + +
+ +
= +
= +
= +
= +
= +
Misalkan G adalah banyaknya pekerja limited part-time yang tersedia selama B pekan.
Karena pemakaian pekerja limited part-time lebih diprioritaskan, maka selanjutnya
diasumsikan G
. Karena pemrioritasan itu pula, maka bagian
p p
c c
P G
+
− −
pada Persamaan 3.2.4 akan dibuat nol.
0 atau karena
, maka tidak mungkin 0.
Jadi 0.
max{0, }
p p
p p
p p
p p
c c
P G c
c P G
c c
c c
P G P G
P G P G
+ +
+ +
− −
= ⇔
− =
− =
− =
− =
⇔ −
= ⇔
− =
⇔ − ≤
⇔ P
G ≤
Jadi untuk mengnolkan
p p
c c
P G
+
− −
pada Persamaan 3.2.4, P dibuat lebih dari atau
sama dengan G P G
≤ , sehingga dengan
e
u
d
u
e
b F
,
d e
u u
F P
C C F
F
e
b
d
b
d
b 6
2 5
P P
B E
D =
= +
dan G gB
= ,
didapat beberapa kasus Kasus 1.
2 5
g E
D ≥
+ Akibat dari
p p
c c
P G
+
− −
pada Persamaan 3.2.4 bernilai nol, Persamaan
3.2.4 menjadi 5
5 .
f p
f e
d p
C F BFc
c P BFc
c u
u
+ +
= +
= +
+ Dengan F yang cukup kecil, u
e
dan u
d
yang didefinisikan oleh Persamaan 3.2.1 dan
3.2.2 bernilai positif, sehingga 2
2 5
5 2
2 5
5 .
e d
BE B
A F u
u BD
BF B
A F B
E D
F
+ +
− −
+ ⎛
⎞ +
= ⎜ ⎟
− −
− ⎝
⎠ =
+ −
Jadi 5
2 5
5 5
2 5 .
f p
f p
p
C F BFc
c B
E D
F B c
c F
Bc E
D =
+ +
− =
− +
+ Karena
f p
c c
, CF mempunyai
kemiringan yang positif, yaitu 5
f p
B c c
− seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 4 Grafik CF jika 2 5
g E
D ≥
+ .
Jadi minimum pekerja full-time yang diperlukan perusahaan untuk
meminimumkan biaya adalah
0. F
= Kondisi seperti ini mengindikasikan bahwa
untuk memenuhi kebutuhan pekerja setiap harinya, perusahaan hanya mempekerjakan
pekerja limited part-time tanpa pekerja full- time. Hal yang seperti ini bukan suatu
perencanaan yang diharapkan.
Kasus 2. 2
5 g
E D
+ Berdasarkan nilai
e
b ,
d
b dan ketersediaan pekerja limited part-time, Kasus 2 akan dibagi
menjadi beberapa subkasus dan subsubkasus sebagai berikut:
a
e d
b b
≤ pada saat pekerja limited part-time tersedia
G .
pada saat pekerja limited part-time tidak tersedia
G =
. b
e d
b b
i. 21
e d
g b
b θ
≥ −
− pada saat pekerja limited part-time
tersedia G
. ii.
21
e d
g b
b θ
− −
pada saat pekerja limited part-time tersedia
G .
pada saat pekerja limited part-time tidak tersedia
G =
. Selanjutnya akan dilakukan peninjauan
kepada masing-masing subkasus sebagai berikut
a
e d
b b
≤ pada saat pekerja limited part-time tersedia
G .
Pada saat
e
F b
,
[ ]
1 1
2 1
0.
e
E F
E F
B E F
u θ
θ θ
− ⇔ − −
⇔ − −
⇔ Pada saat
e
F b
= , dari Persamaan 3.2.6 diperoleh
0.
e
u =
Pada saat
e
F b
,
[ ]
1 1
2 1
0.
e
E F
E F
B E F
u θ
θ θ
− ⇔ − −
⇔ − −
⇔ Pada saat
d
F b
,
[ ]
5 3 2
5 3 2
5 3 2
0.
d
D F
D F
B D
F u
θ θ
θ +
⇔ − +
⇔ − +
⇔ C
C F
F 7
Pada saat
d
F b
= , dari Persamaan 3.2.7
diperoleh
d
u = .
Pada saat
d
F b
, 5
3 2 5
3 2 D
F D
F θ
θ +
⇔ − +
[ ]
5 3 2
0.
d
B D
F u
θ ⇔
− + ⇔
Selanjutnya akan diberikan tabel nilai
e d
P u
u
+ +
= +
untuk beberapa kasus nilai F jika
e d
b b
. Tabel 1 Nilai
e d
P u
u
+ +
= +
untuk beberapa kasus nilai F jika
e d
b b
d
F b
d
F b
=
d
F b
e
F b
e d
u u
+ Tidak mungkin
untuk kasus
e d
b b
Tidak mungkin untuk kasus
e d
b b
e
F b
=
d
u Tidak mungkin
untuk kasus
e d
b b
Tidak mungkin untuk kasus
e d
b b
e
F b
e d
u u
+ +
+ 0 0
Pada saat
e
F b
dan
d
F b
, P bernilai nol jika
e d
u u
+ = atau
e d
u u
+ . Dari
Persamaan 3.2.1 dan Persamaan 3.2.2 diperoleh
2 5
5 3.2.8
e d
u u
B E
D F
+ =
+ −
Jika didefinisikan
{ }
: 2
5 5, 3.2.9
t e
d
b F u
u E
D =
+ =
= +
maka P bernilai nol pada saat
t
F b
= atau
t
F b
. Jadi grafik P untuk subkasus
e d
b b
akan tersaji seperti pada Gambar 5. Gambar 5 Grafik P jika
e d
b b
. Selanjutnya akan diberikan tabel nilai
e d
P u
u
+ +
= +
untuk beberapa kasus nilai F jika
e d
b b
= . Tabel 2 Nilai
e d
P u
u
+ +
= +
untuk beberapa kasus nilai F jika
e d
b b
=
d
F b
d
F b
=
d
F b
e
F b
e d
u u
+ Tidak mungkin
untuk kasus
e d
b b
= Tidak mungkin
untuk kasus
e d
b b
=
e
F b
= Tidak mungkin
untuk kasus
e d
b b
= Tidak mungkin
untuk kasus
e d
b b
=
e
F b
Tidak mungkin untuk kasus
e d
b b
= Tidak mungkin
untuk kasus
e d
b b
=
d
b
e
b
t
b P
F 8
sehingga grafik P tersaji seperti Gambar 6.
Gambar 6 Grafik P jika
e d
b b
= .
Jadi pada subkasus
e d
b b
≤ ,
.
e d
e d
P u
u u
u
+ +
= +
= +
Pemakaian pekerja limited part-time di samping pekerja full-time terjadi jika
terdapat pekerja limited part-time G
dan P G
≤ , sedangkan jika P G , maka
perusahaan menggunakan pekerja limited part-time dan unlimited part-time sebagai
tambahan pekerja full-time. Jika
G , maka dengan
mendefinisikan
{ }
: 2
5 5, 3.2.10
g e
d
b F u
u G
E D
g =
+ =
= +
− maka grafik P akan menjadi seperti pada
Gambar 7, Gambar 7 Grafik P jika
e d
b b
≤ .
sehingga CF pada Persamaan 3.2.4 akan ditentukan oleh fungsi
,
e d
P u
u G
= +
,
e d
P u
u G
= +
≤ dan
0.
e d
P u
u =
+ =
Jika
e d
P u
u G
= +
, maka dari Persamaan 3.2.4 dan Persamaan 3.2.8
diperoleh
5 2
5 5
f p
p
C F B
Fc E
D F
g c gc
= +
+ −
− +
lihat Lampiran 1. Jika
e d
P u
u G
= +
≤ , maka dari Persamaan 3.2.4 dan Persamaan 3.2.8 diperoleh
5 2
5 - 5
f p
C F B
Fc E
D F c
= +
+ lihat Lampiran 1.
Jika 0,
e d
P u
u =
+ = maka dari Persamaan
3.2.4 diperoleh 5
f
C F BFc
= lihat Lampiran 1.
Jadi
5 2
5 5
, 0 ,
5 2
5 - 5 ,
, 3.2.11 5
, .
p
g p
f g
t p
f t
f
Fc E
D F
g c gc
F b
C F B
Fc E
D F c
b F
b Fc
b F
⎧ ⎪
⎪ ⎨
⎪ ⎪⎩
+ +
− −
+ ≤ ≤
= +
+ ≤
CF mempunyai dua break point, yaitu
g
b dan
t
b . Misalkan
1
2 3
5 2
5 5
,
5 2
5 5
, 5
,
p f
p
f p
f
C F B
Fc E
D F
g c gc
C F B Fc
E D
F c C F
BFc
= +
+ −
− +
= +
+ −
= maka
1 2
3
, ,
, ,
, .
g g
t t
C F F
b C F
C F
b F
b C F
b F
≤ ≤ ⎧
⎪ =
≤ ⎨
⎪ ⎩
Karena
f p
p
c c
c , maka CF akan
minimum pada
g
F b
= lihat Lampiran 2.
e d
b b
=
t
b
P
F P
t
b
g
b
G 9
Karena F adalah banyaknya pekerja full- time yang dibutuhkan perusahaan, F
haruslah bilangan bulat. Jika
g
F b
= bukan bilangan bulat, maka F bernilai
g
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ atau
g
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ bergantung pada biaya pekerja yang paling kecil yang dihasilkan
dari keduanya. Nilai
g
F b
⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ terdapat pada selang
0,
g
b ⎡
⎤ ⎣
⎦ , sehingga biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk mempekerjakan
g
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ pekerja
full-time adalah
1 g
C b
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .
Sedangkan
g
F b
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ terdapat pada selang
, ]
g t
b b , sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan
g
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ pekerja full-time adalah
2 g
C b
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ . Jadi
jika
g
F b
= bukan bilangan bulat maka
1 2
1 2
, ,
, .
3.2.12
{
g g
g g
g g
b C
b C
b b
C b
C b
F
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎢ ⎥
≥
= Pertaksamaan
1 2
g g
C b
C b
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
pada Persamaan 3.2.12 ekuivalen dengan
p g
g g
g f
p
b b
c b
b c
c ⎢ ⎥
⎡ ⎤ −
+ −
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
lihat Lampiran 3. pada saat pekerja limited part-time tidak
tersedia G
= .
Jika pekerja limited part-time tidak tersedia G=0, maka
g = dan
p
c = .
Persamaan 3.2.10 menjadi 2
5 5,
t
F b
E D
= =
+ sehingga Persamaan 3.2.11 menjadi
5 +2
5 -5 , 0
, 5
, .
{
f p
t f
t
Fc E
D F c
F b B
Fc b
F
C F
+ ≤ ≤
=
3.2.13
Misalkan
4 3
5 2
5 5
, dan 5
,
f p
f
C F B Fc
E D
F c C F
BFc =
+ +
− =
maka
4 3
, .
t t
C F F
b C F
C F b
F ≤
≤ ⎧
= ⎨ ⎩
Fungsi CF akan minimum pada
t
F b
= lihat Lampiran 4.
Jika
t
F b
= bukan bilangan bulat, maka F bernilai
t
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ atau
t
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ bergantung pada biaya pekerja yang paling kecil yang
dihasilkan dari keduanya. Nilai
t
F b
= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ terdapat pada selang
[ ]
0,
t
b ,
sehingga biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk mempekerjakan
t
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ pekerja full-time adalah
4 t
C b
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .
t
F b
= ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ terdapat pada
selang ,
t
b ∞ , sehingga biaya yang
dikeluarkan perusahaan untuk mempekerjakan
t
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ pekerja full-time adalah
3 t
C b
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ . Jadi jika
t
F b
= bukan bilangan bulat maka
4 3
4 3
, ,
3.2.14 ,
.
t t
t t
t t
b C
b C
b F
b C
b C
b ⎧
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨ ≥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩ P
ertaksamaan
4 3
t t
C b
C b
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
pada Persamaan 3.2.14 ekuivalen dengan
f t
t p
c b
b c
− ⎢ ⎥
⎣ ⎦ lihat Lampiran 5.
b
e d
b b
Dengan menggunakan
e
u dan
d
u yang telah ditentukan pada awal kasus 2a, maka
diberikan tabel nilai
e d
P u
u
+ +
= +
untuk beberapa nilai F dengan
e d
b b
. 10
Tabel 3 Nilai
e d
P u
u
+ +
= +
untuk beberapa kasus nilai F jika
e d
b b
d
F b
d
F b
=
d
F b
e
F b
e d
u u
+
e
u
e
u
e
F b
= Tidak mungkin
untuk kasus
e d
b b
Tidak mungkin untuk kasus
e d
b b
e
F b
Tidak mungkin untuk kasus
e d
b b
Tidak mungkin untuk kasus
e d
b b
Jika digambarkan, grafik P akan tersaji seperti pada Gambar 8.
Gambar 8 Grafik P jika
e d
b b
. Dari Persamaan 3.2.1, nilai P pada
saat
d
F b
= adalah
2 1
2 1 .
d e
d d
e d
P b u b
B E b
B b
b θ
θ =
= − −
⎡ ⎤
⎣ ⎦
= −
− Dengan
2 1
d e
d
P b B
b b
θ =
− −
dan G
gB =
, subkasus ini akan dibagi menjadi 2 subsubkasus, yaitu
i. 21
e d
g b
b θ
≥ −
− pada saat pekerja limited part-time
tersedia G
. Pada subsubkasus
21
e d
g b
b θ
≥ −
− ,
d
F b
dan
e
F b
, sehingga dari Tabel 3 diperoleh
e d
e d
P u
u u
u
+ +
= +
= +
. Jika didefinisikan
{ }
: 2
5 5,
g e
d
b F u
u G
E D
g =
+ =
= +
− maka grafik P pada Gambar 8 akan
menjadi seperti yang terlihat pada Gambar 9.
Gambar 9 Grafik P untuk kasus 21
e d
g b
b θ
≥ −
− .
Fungsi CF pada Persamaan 3.2.4 akan ditentukan oleh fungsi
,
e d
P u
u G
= +
,
e d
P u
u G
= +
≤ P =
e
u G
dan 0.
P =
Jika ,
e d
P u
u G
= +
maka dari Persamaan 3.2.4 dan Persamaan 3.2.8
diperoleh
5 2
5 5
f p
p
C F B
Fc E
D F
g c gc
= +
+ −
− +
lihat Lampiran 6. Jika
,
e d
P u
u G
= +
≤ maka dari Persamaan
3.2.4 dan Persamaan 3.2.8 diperoleh 5
2 5
5
f p
C F B
Fc E
D F c
= +
+ −
lihat Lampiran 6. Jika ,
e
P u
G =
maka dari Persamaan 3.2.4 dan Persamaan 3.2.1 diperoleh
5 2
21
f p
C F B
Fc E
F c θ
= +
− −
lihat Lampiran 6. Jika
P = , maka dari Persamaan 3.2.4
diperoleh 5
.
f
C F BFc
= lihat Lampiran 6, sehingga didapat
d
b
e
b
g
b
F P
G
d
b
e
b
P
F
5 2
5 5
, 0 ,
5 2
5 5
, ,
. 5
2 21
, ,
5 ,
p g
p f
g p
f d
e p
f d
f
Fc E
D F
g c gc
F b
Fc E
D F c
b F
b C F
B Fc
E F c
b F
b Fc
θ
+ +
− −
+ ≤ ≤
+ +
− ≤
= +
− −
≤ 3.2.15
.
e
b F
⎧ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎪
⎪ ⎪
⎩
CF mempunyai tiga break point, yaitu
g
b ,
d
b dan
e
b . Misalkan
1
2 5
3
5 2
5 5
,
5 2
5 5
, 5
2 21
, 5
,
p f
p
f p
f p
f
C F B
Fc E
D F
g gc
C F B
Fc E
D F c
C F B
Fc E
F c C F
BFc
c
θ
= +
+ −
− +
= +
+ −
= +
− −
= maka
1 2
5 3
,
g g
d d
e e
F b
C F b
F b
C F C F
C F b
F b
C F b
F ≤ ≤
⎧ ⎪
≤ ⎪
= ⎨ ≤
⎪ ⎪
⎩ Fungsi CF akan minimum pada
g
F b
= lihat Lampiran 7. Jika
g
F b
= bukan
bilangan bulat maka nilai F ditentukan oleh Persamaan 3.2.12.
ii. 21
e d
g b
b θ
− −
pada saat pekerja limited part-time tersedia
G .
Pada subsubkasus 21
e d
g b
b θ
− −
,
d
F b
dan
e
F b
, sehingga dari Tabel 3 diperoleh
.
e d
e
P u
u u
+ +
= +
= Jika didefinisikan
{ }
: 2
21 3.2.16
h e
b F u
G E
g θ
= =
= −
−
maka grafik P pada Gambar 8 akan menjadi seperti yang terlihat pada Gambar
10. Gambar 10 Grafik P untuk kasus
21
e d
g b
b θ
− −
. CF pada Persamaan 3.2.4 akan
ditentukan oleh
,
e d
P u
u G
= +
,
e
P u
G =
e
P u
G =
≤ dan 0.
P =
Jika ,
e d
P u
u G
= +
maka dari Persamaan 3.2.4 dan Persamaan 3.2.8
diperoleh
5 2
5 5
f p
p
C F B
Fc E
D F
g c gc
= +
+ −
− +
lihat Lampiran 8. Jika ,
e
P u
G =
maka dari Persamaan 3.2.4 dan Persamaan 3.2.1 diperoleh
5 2
21
f p
p
C F B
Fc E
F g c
gc θ
= +
− −
− +
lihat Lampiran 8. Jika ,
e
P u
G =
≤ maka dari Persamaan
3.2.4 dan Persamaan 3.2.1 diperoleh 5
2 21
f p
C F B
Fc E
F c θ
= +
− −
lihat Lampiran 8. Jika
P = , maka dari Persamaan 3.2.4
diperoleh 5
.
f
C F BFc
= lihat Lampiran 8,
sehingga didapat
d
b
e
b
h
b
F P
G
5 2
5 5
, ,
5 2
21 ,
, 3.2.17
5 2
21 ,
, 5
, .
p p
f d
p p
f d
h e
p f
h e
f
Fc E
D F
g c gc
F b
Fc E
F g c
gc b
F b
C F B
Fc E
F c b
F b
Fc b
F θ
θ
⎧ ⎪
⎪⎪ ⎨
⎪ ⎪
⎪⎩
+ +
− −
+ ≤ ≤
+ −
− −
+ ≤
= +
− −
≤
CF mempunyai 3 break point, yaitu,
d
b ,
h
b dan
e
b . Misalkan
1 6
5 3
5 2
5 5
, 5
2 21
,
5 2
21 ,
5 ,
p f
p f
p p
f p
f
C F B
Fc E
D F
g c gc
C F B
Fc E
F g c
g c
C F B
Fc E
F c C F
BFc
θ
θ
= +
+ −
− +
= +
− −
− +
= +
− −
= maka
1 6
5 3
, ,
, ,
, ,
, ,
d d
h h
e e
C F F
b C F
b F
b C F
C F b
F b
C F b
F ≤ ≤
⎧ ⎪
≤ ⎪
= ⎨ ≤
⎪ ⎪
⎩ Fungsi CF akan minimum pada
d
F b
= atau
h
F b
= lihat Lampiran 9.
Jika
d
F b
= bukan bilangan bulat,
maka F bernilai
d
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ atau
d
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ bergantung pada biaya pekerja yang
paling kecil yang dihasilkan dari keduanya.
Nilai
d
F b
= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ terdapat pada selang
[ ]
0,
d
b , sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan
d
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ pekerja
full-time adalah
1 d
C b
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .
Sedangkan
d
F b
= ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ terdapat pada selang
, ]
d h
b b , sehingga biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk mempekerjakan
d
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ pekerja full-time adalah
6 d
C b
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ . Jadi
jika
d
F b
= bukan bilangan bulat maka
1 6
1 6
, ,
3.2.18 ,
.
d d
d d
d d
b C
b C
b F
b C
b C
b ⎧
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨ ≥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩ Pertaksamaan
1 6
d d
C b
C b
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
pada Persamaan 3.2.18 dapat ditulis sebagai
5 21
3 2
d d
p f
p
b b
c c
c
θ θ
⎡ ⎤
− −
− +
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
lihat Lampiran 10. Jika
h
F b
= bukan bilangan bulat, maka F bernilai
h
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ atau
h
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ bergantung pada biaya pekerja yang paling kecil yang
ditimbulkan dari keduanya. Nilai
h
F b
= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ terdapat pada selang
]
,
d h
b b , sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan
h
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ pekerja
full-time adalah
6 h
C b
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .
Sedangkan
h
F b
= ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ terdapat pada selang
, ]
h e
b b , sehingga biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk mempekerjakan
h
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ pekerja full-time adalah
5 h
C b
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ . Jadi jika
h
F b
= bukan bilangan bulat maka
6 5
6 5
, ,
3.2.19 ,
.
h h
h h
h h
b C
b C
b F
b C
b C
b ⎧
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨ ≥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩ Pertaksamaan
6 5
h h
C b
C b
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
pada Persamaan 3.2.19 dapat ditulis sebagai
5 21
p h
h h
h f
p
b b
c b
b c
c
θ
− +
− −
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
lihat Lampiran 11. pada saat pekerja limited part-time tidak
tersedia G
= .
Jika pekerja limited part-time tidak tersedia G=0 maka
g = dan
p
c = . Persamaan
3.2.16 menjadi 1
e
F b
E θ
= =
− ,
sehingga Persamaan 3.2.17 menjadi 13
5 2
5 5
, ,
5 2
21 ,
, 3.2.20 5
, .
f p
d f
p d
e f
e
Fc E
D F c
F b
C F B
Fc E
F c b
F b
Fc b
F θ
⎧ +
+ −
≤ ≤
⎪⎪ =
+ −
− ≤
⎨ ⎪
⎪⎩ Misalkan
4 7
3
5 +2
5 - 5
, = 5
+2 21
dan 5
,
f p
f p
f
C F
B Fc E
D F c
C F
B Fc E
F c C F
BFc θ
= +
− −
= maka
4 7
3
, ,
, ,
, .
d d
e e
C F
F b
C F
b F
b C F
B C F
b F
≤ ≤ ⎧
⎪ ≤
= ⎨ ⎪
⎩ Fungsi CF akan minimum pada
d
F b
= atau
e
F b
= lihat Lampiran 12 Jika
d
F b
= bukan bilangan bulat, maka
F bernilai
d
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ atau
d
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ bergantung pada biaya pekerja yang paling kecil yang
dihasilkan dari keduanya. Nilai
d
F b
= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ terdapat pada selang
[ ]
0,
d
b , sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan
d
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ pekerja
full-time adalah
4 d
C b
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ,
sedangkan
d
F b
= ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ terdapat pada selang
, ]
d e
b b , sehingga biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk mempekerjakan
d
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ pekerja full-time adalah
7 d
C b
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ . Jadi jika
d
F b
= bukan bilangan bulat, maka
4 7
4 7
, ,
3.2.21 ,
.
d d
d d
d d
b C
b C
b F
b C
b C
b ⎧
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨ ≥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩ Pertaksamaan
4 7
e e
C b
C b
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
pada Persamaan 3.2.21 dapat ditulis sebagai
5 21
3 2
d d
p f
p
b b
c c
c
θ θ
⎡ ⎤
− −
− +
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
lihat Lampiran 13. Jika
e
F b
= bukan bilangan bulat, maka F bernilai
e
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ atau
e
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ bergantung pada biaya pekerja yang paling kecil yang
dihasilkan dari keduanya. Nilai
e
F b
= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ terdapat pada selang
]
,
d e
b b , sehingga biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk mempekerjakan
e
b ⎢ ⎥
⎣ ⎦ pekerja
full-time adalah
7 e
C b
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ,
sedangkan
e
F b
= ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ terdapat pada selang
,
e
b ∞ , sehingga biaya yang dikeluarkan
perusahaan untuk mempekerjakan
e
b ⎡ ⎤
⎢ ⎥ pekerja full-time adalah
3 e
C b
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ . Jadi jika
e
F b
= bukan bilangan bulat maka
7 3
7 3
, ,
3.2.22 ,
.
e e
e e
e e
b C
b C
b F
b C
b C
b ⎧
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
= ⎨ ≥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎪⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎩ Pertaksamaan
7 3
e e
C b
C b
⎢ ⎥ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
pada Persamaan 3.2.22 dapat ditulis sebagai
5 21
e e
f p
b b
c c
θ
− −
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
lihat Lampiran 14.
3.3 Contoh Permasalahan
