Bilangan-bilangan a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
adalah relatif prima berpasangan pairwise relatively prime
jika GCDa
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
= 1 Cormen, et al. 2012. Contoh bilangan yang relatif prima adalah 11 dan 23.
2.9. Persamaan Diophantine linier
Jika terdapat bilangan bulat a, b, c, x, y dalam bentuk persamaan:
ax + by = c,
dengan nilai a,b dan c yang diketahui, maka persamaan ini disebut sebagai persamaan Diophantine Linier
Mollin, 2008. Jika nilai c pada persamaan Diophantine linier berikut ini,
ax + by = c,
adalah merupakan nilai faktor persekutuan terbesar dari a dan b atau dengan kata lain c
= GCDa,b, maka persamaan tersebut disebut sebagai persamaan Diophantine linier dengan identitas Bézout Rosen, 2012.
2.10. Extended Euclidean
Algoritma Euclid dapat dikembangkan disebut dengan algoritma Extended Euclid agar dapat menemukan dua integer x dan y yang unik selain nilai GCDa,b sehingga
memenuhi relasi yang ditunjukkan oleh persamaan 2.11 Lipschutz Lipson, 2007. a
× x + b × y = GCDa,b ………………………..2.11
2.11. Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif a, dimana a ≥ 2 hanya dapat dibagi
dengan 1 dan bilangan itu sendiri.Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap. Contoh bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17
, ….
Ada dua jenis algoritma pengujian bilangan prima, yaitu bersifat deterministik dan pasti dan yang bersifat probabilistikSadikin, 2012.
Untuk menguji apakah n merupakan bilangan prima atau bukan, kita cukup membagi n dengan sejumlah bilangan prima,
dengan syarat bilangan prima ≤ √n. Jika
Universitas Sumatera Utara
n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n bukan bilangan
prima, tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan primaWandani, 2012.
Metode lain yang bisa digunakan untuk melakukan pengujian bilangan prima adalah Teorema Fermat. Berikut pernyataan dari Teorema Fermat:
Jika p adalah sebuah bilangan prima dan a adalah bilangan integer positif yang tidak habis dibagi p makaSadikin, 2012:
�
−
≡ 1 mod p...................................................2.12
Kelemahan dari teorema fermat ini yaitu terdapat bilangan bulat yang bukan disebut bilangan prima semu pseudoprimes. Bilangan bulat a yang menyebabkan ap
–1 ≡ 1 mod p, dimana p adalah bilangan prima semu disebut dengan bilangan Carmichael
atau F ermat’s liar. Akan tetapi, bilangan prima semu relatif jarang
ditemukanSchneier, 1996. Apakah p = 23 adalah bilangan prima?
1. Pilihlah sembarang bilangan bulat positif a dengan syarat 1ap. 2. Hitung
�
−
mod p sebanyak dua kali untuk menghindari ditemukan bilangan prima semu. Jika salah satu hasil perhitungan tidak sama dengan 1, maka bilangan bulat p
bukan bilangan prima. 3
22
mod 23 = 1 6
22
mod 23 = 1 Karena
�
−
mod p ≠ 1, maka bilangan bulat p = 23 merupakan kemungkinan bilangan
prima.
2.12. Chinese Remainder Theorem
Chinese Remainder Theorem CRT ditemukan oleh seorang matematikawan Cina
bernama Sun-Tsu juga disebut Sun Tse sekitar 100 A.D anno domini atau 100 M Stallings, 2011.Chinese Remainder Theorem teorema sisa Cina, dinamai setelah
masalah peninggalan Cina yang melibatkan sistem persamaan atau kekongruenan linear, menyatakan bahwa ketika modulus dari sistem kekongruenan linear yang
Universitas Sumatera Utara
berpasangan relatif prima, ada solusi unik dari sistem modulo produk dari modulus.
Berikut ini adalah pertanyaan atau teka-teki Sun-Tsu Rosen, 2012.
“Ada beberapa hal yang bilangannnya tidak diketahui. Bila dibagi dengan 3, sisanya adalah 2, ketika dibagi oleh 5, sisanya adalah 3, dan ketika dibagi 7, sisanya adalah 2
Berapakah bilangan itu?” Teka-teki tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Apa solusi dari sistem kekongruenan berikut ini: x
≡ 2 mod 3 x
≡ 3 mod 5 x
≡ 2 mod 7 Sebelum menyelesaikan teka-teki tersebut, berikut ini adalah teorema sisa Cina
Chinese Remainder Theorem Rosen, 2012. Misalkan m
1
, m
2
, …,m
n
adalah bilangan bulat positif yang relatif prima berpasangan pairwise relatively prime yang lebih besar dari 1 dan a
1
, a
2
, …, a
n
merupakan bilangan bulat sembarang. Maka sistem kekongruenan linear
x ≡ a
1
mod m
1
, x
≡ a
2
mod m
2
, x
≡ a
n
mod m
n
memiliki sebuah solusi unik modulo m = m
1
m
2
…m
n
. Terdapat solusi x dengan 0 ≤xm, dan semua solusi lainnya adalah kongruen modulo m untuk solusi ini.
Solusi dari penyelesaian teka-teki Sun-Tsu tersebut adalah sebagai berikut Wandani, 2012.
Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus. M
= m
1
m
2
…m
n
M = 3 × 5 × 7 = 105
1 Buat himpunan penyelesaian untuk masing-masing persamaan dari bilangan
terkecil hingga hasil perkalian modulus M. x
1
= {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56,
59, 62, 65, 68, 71, 74, 77, 80, 83, 86, 89, 92, 95, 98, 101, 104} x
2
= {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 93,
98, 103} x
3
= {2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79, 86, 93, 100}
Universitas Sumatera Utara
2 X merupakan irisan dari keseluruhan himpunan penyelesaian tersebut.
X = x
1
∩ x
2
∩ … ∩ x
n
X = x
1
∩ x
2
∩ x
3
= 23
3 Agar tercapai seluruh bilangan yang memenuhi x, maka dihitung kelipatan
persekutuan terkecil Least Common Multiple dari ketiga modulus interval yang memenuhi x.
Berikut ini merupakan rumus untuk mencari LCM dari dua bilangan bulat positif Rosen, 2012.
ab = GCDa,b . LCMa, b
………………………….2.13
Dari persamaan 2.13 di atas dapat disimpulkan:
GCD3,5,7 = 1 dan LCM3,5,7 = 105 ……………..2.14
Sehingga x memenuhi akan bilangan dalam interval 105 dimulai dari 23, yaitu x = 23 ± k × 105. Atau interval ini dapat dituliskan:
x X ± k × LCMm
1
,m
2
, …,m
n
Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan teka-teki Sun-Tsu menurut Rosen 2012 adalah sebagai berikut.
1. Hitung hasil perkalian dari keseluruhan modulus.
M = m
1
m
2
…m
n
M = 3 × 5 × 7 = 105
2. Hitung hasil bagi dari M dengan tiap-tiap modulus.
M
n
= Mm
n
M
1
= 1053 = 35 M
2
= 1055 = 21 M
3
= 1057 = 15 3.
Hitung invers modulo y
n
dari M
n
mod m
n
. Maka diperoleh: y
1
= 2, y
2
= 1 dan y
3
= 1
Universitas Sumatera Utara
4. Diperoleh solusi x dari teka-teki dengan menghitung rumus berikut ini.
x ≡ a
1
M
1
y
1
+ a
2
M
2
y
2
+ … + a
n
M
n
y
n
…………………………2.15 x
≡ a
1
M
1
y
1
+ a
2
M
2
y
2
+ a
3
M
3
y
3
≡ 2.35.2 + 3.21.1 + 2.15.1 x
≡ 233 ≡ 23 mod 105.
2.13. Algoritma Rabin
