20
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Perhatikan bahwa p
p p
2 3
2 3
2 3
´ ´
= p
2
, sehingga berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat diperoleh:
p
2 3
3
= p
2
Ingat, p
m n
= p
m × n
Diubah menjadi, p
p
2 3
2 3
= .
Secara umum dapat disimpulkan bahwa p
p p
m n
m n
n m
= =
sebagaimana diberikan pada Deinisi-1.6.
8. Operasi pada Bentuk Akar a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai
eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r ≥ 0
berlaku sifat-sifat berikut. p r
q r p
q r
p r q r
p q
r
n n
n n
n n
+ =
+ −
= −
Perhatikan contoh berikut ini
Contoh 1.6
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana 1.
3 5 4 5
3 4
5 7 5
+ =
+ =
2. 5
3 +
tidak dapat disederhanakan karena akarnya tidak senama 3.
2 4
3 4 2
3 4
4
3 3
3 3
− =
− = −
4. 3
3 1
2
3 3
3 3
x x
x x
− =
− =
21
Matematika
b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa a
a
p q
p q
= . Sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.
Contoh 1.7
1 8
2 2
2 2
3 3
3 3
3 1
= =
= =
2 64
2 2
2 2
6 6
6 6
6 1
= =
= =
3
4 5 2 7
4 2
5 7
8 35
3 3
3 3
× =
× ×
=
4 3 5
5 5 3 5
5 5
15 5 15
5
5 7
1 5
1 7
12 35
12 35
× =
× ×
=
=
5 3 4
4 5 3
4 4
5
3 3
3
=
6 2 3
3 5 2
3 3
5
4 4
4
=
Latihan 1.4
1 Buktikan: jika a bilangan real dan a 0, maka a
n n
= a. 2 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka
a c b
d ab cd
n n
n
× =
. 3 Buktikan: jika a, b, c, dan d bilangan real, c 0 dan d 0, maka
a c b
d a
b c
d
n n
n
= .
c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti 2
5 3
7 2
6 ,
, ,
+ −
, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut
pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional.
22
Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi
Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri. Akan
tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut.
1 Merasionalkan bentuk
p q
Bentuk p
q dirasionalkan dengan cara mengalikannya dengan
q q
. p
q p
q q
q p
q q
= =
.
Diskusi
Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan berbentuk akar harus dirasionalkan?
Mengapa kita harus mengalikan p
q dengan
q q
? Karena
q selalu positif, maka
q q
= 1. Jadi perkalian p
q dengan
q q
tidak akan mengubah nilai p
q namun menyebabkan penyebut menjadi bilangan
rasional.
2 Merasionalkan bentuk
r p
q r
p q
r p
q r
p q
+ −
+ −
, ,
, dan
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional.
a Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional. Contoh 2 +
7 = 2 + 2,645751.... = 4, 645751... bilangan
irasional. b Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya
bilangan irasional atau rasional, Contoh 1 5
+ 7
= 2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... bilangan irasional, 2 2
5 + -2
5 = 0
bilangan rasional. Jika dua bilangan irasional dikurangkan, bagaimana hasilnya?
