Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

23 Matematika c Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya bilangan rasional atau irasional. Contoh. 2 × = 0 0 adalah bilangan rasional atau 2 5 2 5 × = adalah bilangan irasional d Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional, maka hasilnya dapat bilangan rasional atau bilangan irasional. Contoh: • 5 × 125 = 5 × 5 5 = 25 25 adalah bilangan rasional • 3 5 15 × = 15 adalah bilangan irasional e a n disebut bentuk akar apabila hasil akar pangkat n dari a adalah bilangan irasional. Untuk merasionalkan bentuk r p q r p q r p q r p q + − + − , , , dan . dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian a + b a – b = a 2 – b 2 , sehingga p q p q p q p q p q p q p q p q + − = − = − + − = − = − 2 2 2 2 2 Bentuk p q + dan bentuk p q − saling sekawan, bentuk p q + dan p q − juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan real. r p q r p q p q p q r p q p q + = + − − = − − . 2 dimana q ≥ 0 dan p 2 ≠ q. r p q r p q p q p q r p q p q − = − + + = + − . 2 dimana q ≥ 0 dan p 2 ≠ q. r p q r p q p q p q r p q p q + = + − − = − − . dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q r p q r p q p q p q r p q p q − = − + + = + − . dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q 24 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Contoh 1.8 Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a. 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 − = − × + + kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya = + − + 2 3 2 3 2 3 2 = + − = + = + 2 3 2 9 2 6 2 2 7 6 7 2 7 7 b. 3 6 3 3 6 3 6 3 6 3 3 6 3 6 3 6 3 + = + × − − = − + − kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya = − − = − = − 18 3 3 36 3 18 3 3 33 6 11 3 11 25 Matematika c. 4 7 5 4 7 5 7 5 7 5 4 7 5 7 5 7 5 4 7 5 7 5 4 7 4 5 2 2 7 2 5 − = − × + + = + − + = + − = + = + kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya Contoh 1.9 Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-bilangan berikut 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 99 100 + + + + + + + + + = ... ...? Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu, = 1 1 2 1 2 1 2 + × − − + 1 2 3 2 3 2 3 + × − − + 1 3 4 3 4 3 4 + × − − + 1 4 5 4 5 4 5 + × − − + ... + 1 99 100 99 100 99 100 + × − − = 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 99 100 1 − − + − − + − − + − − + + − − ... = – 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100 + − + − + − + − − + ... = − + = − + = 1 100 1 10 9 . 26 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Contoh 1.10 Tentukan nilai dari 1 3 1 3 1 3 + + + ... Alternatif Penyelesaian Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan, P = + + + 3 1 3 1 3 ... atau P P = + 3 1 ⇔ P 2 – 3P – 1 = 0 Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh: ⇔ P − − = 3 2 13 4 2 ⇔ P = + 6 2 13 4 Jadi, nilai 1 3 1 3 1 3 1 6 2 13 4 4 6 2 13 + + + = + = + ... Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka 4 6 2 13 4 6 2 13 6 2 13 6 2 13 4 6 2 13 16 + = + − − = − − . = − 2 13 6 2 Jadi, 1 3 1 3 1 3 2 13 6 2 + + + = − ... 27 Matematika 3 Menyederhanakan bentuk p q pq + ± 2 Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk khusus; yaitu, bentuk p q pq + ± 2 . Perhatikan proses berikut ini Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu a. p q p q + + b. p q p q − − Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi p q pq + ± 2 . Selanjutnya, perhatikan contoh berikut Contoh 1.11 Sederhanakan bentuk akar berikut ini a. 8 2 15 + = 5 3 2 5 3 5 2 5 3 3 + + × = + × + = 5 3 5 3 2 + = + b. 9 4 5 − = 5 4 5 4 5 2 5 2 2 − + = − = − 28 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Uji Kompetensi 1.2 1. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini a. 5 15 d. 6 24 b. 2 20 e. 2 2 48 c. 3 18 f. 2 3 a a 2. Rasionalkan penyebut pecahan- pecahan berikut ini a. 1 5 3 − b. 4 2 4 2 − + c. 2 3 5 a a + d. 3 5 10 − e. xy x y + f. 24 54 150 96 + − 3. Sederhanakanlah bentuk berikut ini a. 15 75 1 2 3 − − b. 7 2 8 11 2 8 + + − c. 4 3 2 3 2 1 5 3 2 + − − + − d. 10 5 6 12 6 7 14 7 8 + + + + + 4. Jika 2 3 2 3 6 − + = + a b , tentukan nilai a + b 5. Sederhanakan bentuk akar berikut ini a. 19 8 3 + b. 5 2 6 + c. 43 12 7 + d. 21 4 5 − e. 18 8 2 11 6 2 + + − f. 3 14 6 5 21 12 3 − + + 29 Matematika SOAL TANTANGAN 1. Tentukanlah nilai dari: a. 2 3 2 3 2 3 ... 3 3 3 3 b. 2 2 2 2 2 + + + + + ... c. 1 1 1 1 1 1 + + + ... 2. Jika a, b bilangan asli dengan a ≤ b dan 3 4 + + a b adalah bilangan rasional, tentukan pasangan a,b. OSN 20052006 Projek Tidak semua bilangan pecahan desimal tak hingga adalah bilangan irrasional. Sebagai contoh 0,333... bukanlah bilangan irrasional, karena dapat dinyatakan sebagai pecahan 1 3 . Kenyataannya, bilangan pecahan desimal tak hingga dengan desimal berulang seperti 0,333... dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. a. Rancang sebuah prosedur untuk mengkonversi bilangan pecahan desimal tak hingga dengan desimal berulang menjadi bilangan pecahan. Beri contoh penerapan prosedur yang kamu rancang. b. Berdasarkan penjelasan di atas, karena bilangan irasional π tidak mungkin sama dengan 22 7 , karena 22 7 hanyalah pendekatan untuk nilai π sebenarnya. 3. Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan b c c a 3 3 = abc. 4. Sederhanakan bentuk 49 20 6 4 − . 5. Tentukan nilai a dan b dari 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 1 000 000 1 000 001 + + + + + + + + = − ... . . . . a b 6. Hitunglah 54 14 5 12 2 35 32 10 7 + + − + − = 7. Jika3+43 2 +4 2 3 4 +4 4 3 8 +4 8 3 16 +4 16 3 32 +4 32 = 4 x –3 y , tentukan nilai x–y . 30 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi

9. Menemukan Konsep Logaritma

Telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yang rentangnya luar biasa. Suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun 1.000.000.000.000 kali lebih kuat dari pada suara paling rendah yang bisa didengar. Menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman. Namun, dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana. Alexander Graham Bell 1847–1922 menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi. Skala ini dinamakan decibel , dan dideinisikan sebagai D I I =10 log , dengan D adalah skala decibel bunyi, I adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi W m 2 , dan I adalah intensitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat, yaitu 1,0 × 10 –12 . Sebagai gambaran, berikut ini adalah tabel intensitas bunyi beberapa objek. Intensitas Bunyi W m 2       Intensitas Bunyi 1,0 × 10 –12 Ambang batas bawah pendengaran 5,2 × 10 –10 Suara bisik-bisik 3,2 × 10 –6 Percakapan normal 8,5 × 10 –4 Lalu lintas padat 8,3 × 10 2 Pesawat jet lepas landas Tabel 1.1 Intensitas bunyi beberapa suara 1 Berapakah kesalahan 22 7 terhadap nilai π? 2 Dengan menggunakan prosedur yang kamu rancang di atas tentukan pecahan yang lebih mendekati nilai π daripada 22 7 kesalahannya lebih kecil. 3 Apakah lebih baik menggunakan angka yang kamu peroleh daripada menggunakan 22 7 4 Buat laporan projek ini dan paparkan di depan kelas. 31 Matematika Banyak masalah kehidupan yang penyelesaiannya melibatkan berbagai aturan dan sifat logaritma. Cermatilah masalah berikut. Masalah-1.5 Yusuf adalah seorang pelajar kelas X di kota Kupang. Ia senang berhemat dan menabung uang. Selama ini dia berhasil menabung uangnya sejumlah Rp1.000.000,00 di dalam sebuah celengan yang terbuat dari tanah liat. Agar uangnya lebih aman, ia menabung uangnya di sebuah bank dengan bunga 10 per tahun. Berapa lama Yusuf menyimpan uang tersebut agar menjadi Rp1.464.100,00. Pahami masalah dan tuliskan informasi yang diketahui pada soal. Buat tabel keterkaitan antara jumlah uang Yusuf dengan waktu penyimpanan. Selanjutnya temukan model matematika yang menyatakan hubungan total uang simpanan dengan waktu menyimpan dan bunga uang. Diketahui: Modal awal M = 1.000.000 dan besar uang tabungan setelah sekian tahun M t = 1.464.100, besar bunga yang disediakan bank untuk satu tahun adalah 10 = 0,1. Ditanya: Berapa tahun t Yusuf menabung agar uangnya menjadi M t = 1.464.100.- Alternatif Penyelesaian Perhatikan pola pertambahan jumlah uang Yusuf setiap akhir tahun pada tabel berikut. Akhir Tahun Bunga uang 10 × Total Uang Total = Modal + Bunga Pola Total Uang pada saat t Rp1.000.000,00 1.000.000 1+0,1 1 Rp100.000,00 Rp1.100.000,00 1.000.000 1+0,1 1 2 Rp110.000,00 Rp1.210.000,00 1.000.000 1+0,1 2 3 Rp121.000,00 Rp1.331.000,00 1.000.000 1+0,1 3 4 Rp133.100,00 Rp1.464.100,00 1.000.000 1+0,1 4 Tabel 1.2 Perhitungan besar suku bunga pada setiap akhir tahun t Dari tabel di atas, jelas kita lihat bahwa Yusuf harus menabung selama 4 tahun agar uangnya menjadi Rp1.464.100,00. Selanjutnya, kita akan menyelesaikan permasalahan di atas dengan menggunakan logaritma, setelah kita mengenal sifat- sifat logaritma. 32 Kelas X SMAMASMKMAK Edisi Revisi Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas tentang pemangkatan suatu bilangan. Kita tahu bahwa 2 3 hasilnya adalah 8 yang dapat ditulis 2 3 = 8. Sehingga bila ada persamaan 2 x = 8, maka nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah x = 3. Perhatikan Tabel-1.2, kita peroleh 1.464.100 = 1.000.000 1+0,1 4 . Jika 4 = t, maka persamaan tersebut menjadi 1.464.100 = 1.000.000 1 + 0,1 t . Hal ini dapat dikaitkan dengan bentuk eksponen yang sudah dipelajari sebelumnya, yaitu a c = b, dengan memisalkan a = 1 + 0,1, b = 1, 464100, dan c = t. Bagaimana cara menentukan nilai c = t = 4? Permasalahan ini dapat diselesaikan menggunakan invers dari eksponen, yaitu logaritma. Logaritma, dituliskan sebagai “log”, dideinisikan sebagai berikut. Misalkan a, b ∈ R, a 0, a ≠ 1 , b 0, dan c rasional maka a log b = c jika dan hanya jika a c = b. Deinisi 1.7 dimana: a disebut basis 0 a 1 atau a 1 b disebut numerus b 0 c disebut hasil logaritma Diskusi Mengapa ada syarat a 0 dan a ≠ 1 dalam deinisi di atas? Diskusikan dengan temanmu atau guru. Demikian juga dengan b 0. Berdasarkan deinisi di atas, kita dapatkan bentuk-bentuk berikut. • 2 x = 5 ⇔ x = 2 log 5 notasi ⇔ dibaca jika dan hanya jika • 3 y = 8 ⇔ y = 3 log 8 • 5 z = 3 ⇔ z = 5 log 3 Catatan: ♦ Jika logaritma dengan basis e yaitu e ≈ 2,718…, e adalah bilangan Euler, maka e log b ditulis ln b. ♦ Bilangan pokok basis 10 tidak ditulis, sehingga 10 log a = log a.