Jawab Diketahui v = 15.
Nilai
sum
E minimum ditentukan pada label
edge dengan bilangan 1 sampai 15. Mengacu pada Akibat 3.2.1 maka nilai
bilangan magic graf G adalah sebagai berikut
5 3
| 2
2 5
3 =
15 | 2
2 78
39. 2
k v
=
= =
Maka nilai k yang minimum adalah k = 39. Contoh Kasus 3.2.2
Misalkan graf G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana dengan v=4. Tentukan
pelabelan edge yang menghasilkan graf vertex magic dengan bilangan magic
minimum.
Jawab Diketahui v=4
Misalkan labelkan edge dengan v bilangan terkecil, yaitu 1 sampai v sehingga nilai
1 | 2 | 3 | 4
sum
E =
= 10. Nilai
10
sum
E =
tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex, karena nilai
sum
E
tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex maka
untuk menentukan pelabelan yang minimum nilai
sum
E
harus disesuaikan agar nilai
sum
E
tersebut habis dibagi dengan banyaknya vertex yaitu v =4.
Caranya adalah dengan mencari suatu bilangan yang nilainya paling dekat dengan 10
dan habis dibagi dengan 4. Nilai bilangan itu adalah 12.
Akibatnya diperoleh nilai
sum
E
yang baru
1 sum
E
, yaitu
1
12
sum
E =
. Karena pelabelan pada masing-masing edge
menghasilkan nilai
10
sum
E =
sedangkan nilai
1
12
sum
E =
maka untuk menyesuaikannya ubah tanda label terakhir pada pelabelan
pertama yang menghasilkan nilai
10
sum
E =
dari 4 menjadi 6, diperoleh dari
4 4 |
4 | 6
2 2
v = =
maka pelabelan edge dengan bilangan {1,2,3,6} merupakan pelabelan edge
dengan bilangan magic minimum. Untuk menentukan kemungkinan pelabelan
edge yang minimum pada graf vertex magic perlu diketahui batas minimum dari suatu
bilangan magic yaitu dengan mengetahui nilai
sum
E
serta banyaknya vertex yang terdapat dalam suatu graf.
3.3 Batas Atas Bilangan Magic
Pembahasan mengenai bagaimana menentukan batas bawah bilangan magic pada
graf cycle sederhana telah dibahas pada Akibat 3.2.1.
Penentuan batas atas bilangan magic juga bergantung pada banyaknya jumlah vertex
yang terdapat dalam suatu graf G.
Berikut ini akan dibahas batas atas bilangan magic pada suatu graf vertex magic
dengan banyaknya vertex yang terdapat dalam graf G berjumlah ganjil dan genap.
Akibat 3.3.1
Misalkan graf G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana, v adalah banyaknya vertex
yang terdapat dalam graf G. Jika G adalah suatu graf vertex magic maka batas atas
bilangan magic adalah sebagai berikut,
7 3
| 2
2 k
v ≤
; jika v dalam graf G bernilai ganjil
i dan
7 | 1
2 k
v ≤
; jika v dalam graf G bernilai
genap ii
Bukti Diketahui pada graf cycle sederhana v
e
= .
Labelkan edge dengan bilangan terbesar dari
| 1 v
sampai
2v
. Misalkan jumlah dari seluruh label pada edge
adalah sebagai berikut
1 2
2 2
2
| | 1
= |
2 2
| =
| 2
2 3
| 2
3 | 1 =
. 3.3.1 2
v sum
i
E v i
v v v
v v
v v
v v v
=
=
=
∑
Dari Persamaan 3.2.2 diketahui nilai bilangan magic sebagai berikut
2 | 1 | .
sum
E k
v v
=
Dengan menyubstitusikan 3.3.1 ke 3.2.2 maka diperoleh batas atas bilangan magic
sebagai berikut
2 | 1 | 3 | 1
2 | 1 | 2
| 1 7
3 =3 | 1 |
= |
. 2
2 2
sum
E k
v v
v v v
v v
v v
= ≤
Jika banyaknya vertex dalam graf G berjumlah ganjil, v|1 habis dibagi 2 maka nilai
bilangan magic yang maksimum adalah 7
3 |
2 2
k v
≤ .
Terbukti untuk i Misalkan edge dilabelkan dengan v bilangan
terbesar, yaitu | 1 v
sampai 2 v .
Banyaknya vertex dalam graf G berjumlah genap.
Untuk menentukan batas atas bilangan magic, nilai
sum
E awal harus disesuaikan sehingga
habis dibagi dengan banyaknya vertex yang terdapat dalam graf G.
Dalam kasus menentukan batas bawah dengan v bernilai genap, nilai
sum
E dapat
ditingkatkan. Namun untuk kasus ini nilai
sum
E tidak dapat ditingkatkan karena tidak
ada label edge yang bernilai lebih besar dari 2 v .
Maka untuk menyelesaikannya kurangi nilai
sum
E awal dengan
2 v
sehingga akan diperoleh nilai
sum
E yang baru
1 sum
E yaitu sebagai
berikut
1
2
sum sum
v E
E =
−
1 2
2
3 | 1 2
2 3
| 2
2 3
| 2
2 2
3 . 3.3.2
2
sum
v v v
E v
v v
v v
v v v
= −
= −
= −
= Dari Persamaan 3.2.2 diketahui nilai
bilangan magic sebagai berikut 2 | 1 |
.
sum
E k
v v
= Dengan menyubstitusikan Persamaan 3.3.2
ke Persamaan 3.2.2 maka diperoleh batas atas nilai bilangan magic sebagai berikut
1
2 | 1 | 3
3 7
2 | 1 | =2 |
| 1 | 1.
2 2
2
sum
E k
v v
v v v
v v
v v
= ≤
= Terbukti
Contoh Kasus 3.3.1 Misalkan graf G=V,E adalah suatu graf
cycle sederhana dengan v=5. Jika graf G adalah suatu graf vertex magic maka tentukan
nilai k maksimum pada graf G. Jawab
Diketahui v =5 Misalkan labelkan edge dengan v bilangan
terbesar, yaitu v|1 sampai 2v, sehingga nilai
10 | 9 | 8 | 7 | 6 40
sum
E =
= .
Nilai 40
sum
E =
habis dibagi dengan banyaknya vertex.
Mengacu pada Akibat 3.3.1 maka nilai k maksimum untuk graf cycle tersebut adalah
sebagai berikut
7 3
| 2
2 7
3 35 3
5 | |
19. 2
2 2
2 k
v =
= =
=
Contoh Kasus 3.3.2 Misalkan graf G=V,E adalah suatu graf
cycle sederhana dengan v=4 . Tentukan pelabelan edge yang menghasilkan
graf vertex magic dengan bilangan magic maksimum.
Jawab Diketahui v=4.
Misalkan labelkan edge dengan v bilangan terbesar, yaitu v|1 sampai 2v maka diperoleh
pelabelan
edge sebagai berikut
1 2
3 4
{ , , , } {8, 7, 6, 5}
e e e e =
, sehingga nilai
8 | 7 | 6 | 5 26
sum
E =
=
.
Nilai
26
sum
E =
tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex, karena nilai
sum
E
tidak habis dibagi dengan banyaknya vertex maka
untuk menentukan pelabelan yang maksimum nilai
sum
E
harus disesuaikan agar nilai
sum
E
tersebut habis dibagi dengan banyaknya vertex yaitu v =4.
Caranya adalah dengan mencari suatu bilangan yang nilainya paling dekat dengan 26
dan habis dibagi dengan 4. Nilai bilangan itu adalah 24.
Akibatnya diperoleh nilai
sum
E
yang baru
1 sum
E
yaitu
1
24
sum
E =
. Karena pelabelan pada masing-masing edge
menghasilkan nilai
26
sum
E =
sedangkan nilai
1
24
sum
E =
maka untuk menyesuaikannya ubah tanda label terakhir pada pelabelan
pertama yang menghasilkan nilai
26
sum
E =
dari 5 menjadi 3, diperoleh dari
4 5
5 2,
2 2
v − = − =
akibatnya pelabelan edge dengan bilangan {8,7,6,3} merupakan
pelabelan edge dengan bilangan magic maksimum.
Nilai bilangan magic yang maksimum menjadi
1
24 2 | 1 |
24 | 1 | 15.
6
sum
E k
v v
= =
=
3.4 Bilangan
Magic Maksimum dan Minimum pada Graf
Cycle Ganjil.
Pada Subbab 3.2 dan 3.3 telah dibahas batas atas dan batas bawah suatu bilangan
magic. Berdasarkan Akibat 3.3.1 pelabelan suatu edge dengan bilangan
| 1 v
sampai 2 v pada graf cycle ganjil akan menghasilkan
suatu graf vertex magic dengan bilangan magic yang maksimum. Di samping itu pula
berdasarkan Akibat 3.2.1, pelabelan edge dengan bilangan 1 sampai v akan
menghasilkan suatu graf vertex magic dengan bilangan magic yang minimum.
Selanjutnya akan dibahas beberapa teorema yang digunakan dalam melabelkan
vertex dan edge pada suatu graf vertex magic dengan banyaknya vertex dalam graf G
berjumlah ganjil. Teorema 3.4.1
Misalkan
graf G =V,E adalah suatu graf
cycle sederhana dengan v adalah banyaknya vertex dalam graf G dan v bernilai ganjil. Jika
graf G adalah suatu graf vertex magic dan vertex dilabelkan dengan bilangan 1,2,...,v
maka batas atas bilangan magic-nya adalah
k =
7 3
| 2
2 v
. Bukti
Misalkan tidak terdapat multigraf dalam suatu graf G.
Edge yang berada di sebelah kiri vertex, berlawanan arah dengan arah jarum jam dan
saling incident. Edge yang berada di sebelah kanan vertex,
searah dengan arah jarum jam dan saling incident.
Labelkan vertex secara berurutan dimulai dengan angka 1 sampai v yang searah dengan
arah jarum jam. Labelkan edge yang berada di sebelah kanan
vertex pertama dengan bilangan v|1 sampai 2v.
Sehingga pelabelan vertex dan edge dapat dirumuskan seperti pada tabel di bawah ini.
Tabel 3.4.1
Kasus
x
v
ax
e
bx
e
I. Label vertex
dimulai dengan
angka ganjil,
x=1,3,..,v pada posisi
ke-i
2 | 1 0,1,..,
1 2
i i
v =
− 3
1 |
2 2
v i
− 2v i
−
II. Label vertex
dimulai dengan
angka genap,
x=2,4,..v-1 pada posisi
ke-i
2 | 2 0,1,..,
1 1
2 i
i v
= −
− 2v i
− 3
1 2
2 v
i − −
Berikut ini gambaran suatu graf G dengan rumus untuk label vertex dan edge pada graf
cycle ganjil.
Gambar 6 Graf cycle sederhana dengan label v bilangan
terkecil 6
3v2 | 12 1
3v2 - 32 2v
2v-2 2
3v2 - 12 3
2v-1 4
v
5
Label vertex dan label edge dalam Kasus I menghasilkan nilai bilangan magic sebagai
berikut k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e 3
1 2 | 1 |
| | 2
2 2
3 1
2 |
| 2 | 1 | 2
2 7
3 |
. 2
2 v
k i
i v i
v i i i
v v
= −
− = − −
=
Label vertex dan label edge dalam Kasus II menghasilkan nilai bilangan magic sebagai
berikut k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e 3
1 2 | 2 | 2
| 2
2 3
1 2
| 2 | | 2
2 2
7 3
| .
2 2
v k
i v i
i v
i i i v
v =
− − −
= − − −
=
Maka graf G adalah suatu graf vertex magic dengan
7 3
| 2
2 v
k =
. Terbukti
Contoh Kasus 3.4.1a Misalkan
graf G = V,E adalah suatu graf
vertex magic. Graf G memiliki v=3. Tentukan label vertex, label edge serta
bilangan magic graf G tersebut. Jawab
Diketahui v=3 . Graf G sebelum dilabelkan.
Gambar 7 Graf cycle sederhana dengan v=3 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan.
Mengacu pada Teorema 3.4.1. Label vertex pertama pada posisi ke-nol
i=0,
1
= 2 |1 = 20|1 = 1 v
i
. Label
1 a
e
1 a
e
=
3 1
| 2
2 v
i −
3 1
9 1 3 |
| 5
2 2
2 2 =
− = =
Label
1 b
e
1 b
e
=
2 23 0
6 v i
− = − =
. Label vertex kedua pada posisi ke-nol i=0,
2
2 | 2 20 | 2
2 v
i =
= =
. Label
2 a
e
2
2 23 0
6
a
e v i
= − =
− =
. Label
2 b
e
2
3 1
2 2
b
v e
i =
− − 3
1 3
2 2
= − −
9 1
8 4
2 2
2 = − = =
. Label vertex ketiga pada posisi ke-satu i=1,
3
2 | 1 21 | 1
3 v
i =
= =
. Label
3 a
e
3
3 1
| 2
2
a
v e
i =
− 3
1 3 |
1 2
2 =
− 9 1
10 8
| 1
1 4
2 2 2
2 =
− = − = =
. Label
3 b
e
3
2 23 1
5
b
e v i
= − =
− =
. Kesimpulan:
1 2
3
1; 2; 3 v
v v
= =
=
Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada graf tersebut menjadi.
Gambar 8 Graf cycle sederhana dengan v=3 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Berdasarkan Teorema 3.4.1 maka nilai
bilangan magic graf tersebut adalah k =
7 3
73 3 24
| |
12 2
2 2
2 2
v =
= =
.
Contoh Kasus 3.4.1b Misalkan
graf G = V,E adalah suatu graf
vertex magic. Graf G memiliki v=5. Tentukan label vertex, label edge dan bilangan magic
graf tersebut? 1
6 2
5 3
4
3
v
2
v
1
v 10
Jawab Diketahui v=5.
Graf G sebelum dilabelkan.
Gambar 9 Graf cycle sederhana dengan v=5 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu pada Teorema 3.4.1.
Label vertex pertama pada posisi ke-nol i=0,
1
= 2 |1 = 20|1 = 1 v
i
. Label
1 a
e
1
3 1
| 2
2
a
v e
i =
− 3
1 15 1
5 | |
2 2
2 2
= − =
16 8
2 =
=
. Label
1 b
e
1
2 25 0
10
b
e v i
= − =
− =
. Label vertex kedua pada posisi ke-nol i=0,
2
2 | 2 20 | 2
2 v
i =
= =
. Label
2 a
e
2
2 25 0
10
a
e v i
= − =
− =
Label
2 b
e
2
3 1
2 2
b
v e
i =
− − 3
1 5
2 2
= − −
15 1
14 7
2 2
2 =
− = =
. Label vertex ketiga pada posisi ke-satu i=1,
3
2 | 1 21 | 1
3 v
i =
= =
. Label
3 a
e
3
3 1
| 2
2
a
v e
i =
− 3
1 16
5 | 1
1 7
2 2
2 =
− = − =
Label
3 b
e
3
2 25 1
9
b
e v i
= − =
− =
. Label vertex keempat pada posisi ke-satu
i=1,
4
2 | 2 21 | 2
4 v
i =
= =
. Label
4 a
e
4
2 25 1
9
a
e v i
= − =
− =
. Label
4 b
e
4
3 1
2 2
b
v e
i =
− − 3
1 5
1 2
2 =
− − 15
1 12
1 6
2 2
2 =
− − = =
. Label vertex kelima pada posisi ke-dua i=2,
5
2 | 1 22 | 1
5 v
i =
= =
. Label
5 a
e
5
3 1
| 2
2
a
v e
i =
− 3
1 5 |
2 2
2 =
− 15 1
16 12
| 2
2 6
2 2
2 2
= − =
− = =
. Label
5 b
e
5
2 25 2
8
b
e v i
= − =
− =
. Kesimpulan:
1 2
3 4
5
1; 2; 3; 4; 5 v
v v
v v
= =
= =
=
Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada graf tersebut menjadi
Gambar 10 Graf cycle sederhana dengan v=5 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Berdasarkan Teorema 3.4.1 maka nilai
bilangan magic graf tersebut adalah k =
7 3
75 3 38
| |
19 2
2 2
2 2
v =
= =
. Jika nilai bilangan magic minimum maka
gunakan Teorema 3.4.2. 9
1
4 8
5
3 10
6 2
7
5
v
4
v
3
v
2
v
1
v 11
Teorema 3.4.2 Misalkan
graf G =V,E adalah suatu graf
cycle sederhana, v adalah banyaknya vertex yang terdapat dalam graf G dan v bernilai
ganjil. Jika G adalah suatu graf vertex magic dan vertex dilabelkan dengan bilangan
| 1 v
sampai
2v
maka batas bawah bilangan
magic graf tersebut adalah
5 3
| 2
2 v
k =
.
Bukti Misalkan tidak terdapat multigraf dalam suatu
graf G. Edge yang berada di sebelah kiri vertex
berlawanan arah dengan arah jarum jam dan saling incident.
Edge yang berada di sebelah kanan vertex searah dengan arah jarum jam dan saling
incident. Labelkan vertex secara berurutan dimulai
dengan angka v|1 sampai 2v yang searah dengan arah jarum jam.
Labelkan edge yang berada di sebelah kanan vertex pertama dengan bilangan v sampai
seterusnya. Sehingga pelabelan vertex dan edge dapat
dirumuskan seperti pada tabel di bawah ini.
Tabel 3.4.2
Kasus
x
v
ax
e
bx
e
I. Label vertex
dimulai dengan
angka ganjil,
x=1,3,5…
pada posisi ke-i
| 1 | 2 0,1,..,
1 2
v i
i v
= −
1 2
| 2 2
2 v
i −
v i −
II.Label vertex
dimulai dengan
angka genap,
x=2,4,6.… pada posisi
ke-i
| 2 | 2 0,1,..,
1 1
2 v
i i
v =
− −
v i −
1 2
2 2
2 v
i − −
Berikut gambaran suatu graf G dengan rumus untuk label pada vertex dan edge pada graf
cycle ganjil. Gambar 11
Suatu graf cycle sederhana dengan label v bilangan terbesar.
Label vertex dan label edge dalam Kasus I menghasilkan nilai bilangan magic sebagai
berikut k=
x
v
|
ax
e
|
bx
e | 1 2
| 1 | 2 | |
2 1
2 | |
| 1 | | 2
2 2
2 5
3 |
. 2
2 v
i k
v i v i
v i
v v i i
v −
= −
= − −
=
Label vertex dan label edge dalam Kasus II menghasilkan nilai bilangan magic sebagai
berikut k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e 1 2
| 2 | 2 | |
2 1
2 5
3 | |
| 2 | 2
| .
2 2
2 2
2 v
i k
v i v i
v i
v v v
i i − −
= −
= −
− − =
Maka graf G adalah suatu graf vertex magic dengan
5 3
| 2
2 v
k =
. Terbukti
Contoh Kasus 3.4.2a Misalkan
graf G=V,E adalah suatu graf
vertex magic dengan v=3. Tentukan label vertex, label edge dan bilangan magic graf G.
Jawab Diketahui v= 3.
Graf G sebelum dilabelkan.
Gambar 12 Graf cycle sederhana dengan v=3 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan.
3
v
2
v
1
v
v v |1
v |2 v |3
v -1 v |4
v 2 - 12
v |5 v -2
v |6 2 v
v 2 - 32 v 2|12
Mengacu pada Teorema 3.4.2. Label vertex pertama pada posisi ke-nol i=0,
1
= | 2 | 1 = 3|20|1 = 4 v
v i
. Label
1 a
e
1
1 2
| 2 2
2
a
v i
e =
− 3 1
20 |
2 2 2
2 =
− =
. Label
1 b
e
1
3 0 3
b
e v i
= − = − =
. Label vertex kedua pada posisi ke-nol i=0,
2
| 2 | 2 3 | 20 | 2
5 v
v i
= =
=
. Label
2 a
e
2
3 0 3
a
e v i
= − = − =
. Label
2 b
e
2
1 2
2 2
2
b
v i
e = − −
3 1
20 1
2 2
2 = − −
=
. Label vertex ketiga pada posisi ke-satu i=1,
3
= |2 | 1 3 | 21 | 1
6 v
v i
= =
. Label
3 a
e
3
1 2
| 2 2
2 3 1
21 2
| 1.
2 2 2
2
a
v i
e =
− =
− = =
Label
3 b
e
3
1 3 1
2
b
e v
= − = − =
. Kesimpulan:
1 2
3
4; 5; 6. v
v v
= =
=
Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada graf tersebut menjadi
Gambar 13 Graf cycle sederhana dengan v=3 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Berdasarkan Teorema 3.4.2 maka nilai
bilangan magic untuk graf G adalah
5 3
53 3 18
| |
9 2
2 2
2 2
v k
= =
= =
.
Contoh Kasus 3.4.2b Misalkan
graf G=V,E adalah suatu graf
vertex magic dengan v=5. Tentukan label vertex, label edge dan bilangan
magic pada graf tersebut. Jawab
Diketahui v=5. Graf G sebelum dilabelkan.
Gambar 14 Graf cycle sederhana dengan v=5 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Mengacu Teorema 3.4.2.
Label vertex pertama pada posisi ke-nol i=0,
1
= | 1 | 2 = 5|1|20=6
v v
i
. Label
1 a
e
1
1 2
| 2 2
2
a
v i
e =
− 5 1
20 6
| 3
2 2 2
2 =
− = =
. Label
1 b
e
1
5 0 5
b
e v i
= − = − =
. Label vertex kedua pada posisi ke-nol i=0,
2
| 2 | 2 5 | 20 | 2
7 v
v i
= =
=
. Label
2 a
e
2
5 0 5
a
e v i
= − = − =
. Label
2 b
e
2
1 2
2 2
2
b
v i
e = − −
5 1
20 4
2 2
2 2
2 = − −
= =
. Label vertex ketiga pada posisi ke-satu i=1,
3
= | 2 |1 = 5|21|1 = 8 v
v i
. Label
3 a
e
3
1 2
| 2 2
2 5 1
21 4
| 2.
2 2 2
2
a
v i
e =
− =
− = =
Label
3 b
e
3
5 1 4
b
e v i
= − = − =
. Label vertex keempat pada posisi ke-satu
i=1,
4
| 2 | 2 5 | 21 | 2
9 v
v i
= =
=
. 4
3 5
1 6
2
5
v
4
v
3
v
2
v
1
v 13
3.5.1a 6
4 9
3 10
8 5
1 7
2 Label
4 a
e
4
5 1 4
a
e v i
= − = − =
. Label
4 b
e
4
1 2
2 2
2
b
v i
e = − −
5 1
21 1
2 2
2 = − −
=
. Label vertex kelima pada posisi ke-dua i=2,
5
= | 2 |1 = 5|22|1 = 10 v
v i
. Label
5 a
e
5
1 2
| 2 2
2 5 1
22 2
| 1.
2 2 2
2
a
v i
e =
− =
− = =
Label
5 b
e
5
5 2 3
b
e v i
= − = − =
. Kesimpulan:
1 2
3 4
5
6; 7; 8; 9; 10 v
v v
v v
= =
= =
=
. Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada
graf tersebut menjadi
Gambar 15 Graf cycle sederhana dengan v=5 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Berdasarkan Teorema 3.4.2 maka nilai
bilangan magic graf G adalah
5 3
55 3 28
| |
14 2
2 2
2 2
v k
= =
= =
.
3.5 Bilangan Magic Minimum Untuk Graf
