3.5.1a 6
4 9
3 10
8 5
1 7
2 Label
4 a
e
4
5 1 4
a
e v i
= − = − =
. Label
4 b
e
4
1 2
2 2
2
b
v i
e = − −
5 1
21 1
2 2
2 = − −
=
. Label vertex kelima pada posisi ke-dua i=2,
5
= | 2 |1 = 5|22|1 = 10 v
v i
. Label
5 a
e
5
1 2
| 2 2
2 5 1
22 2
| 1.
2 2 2
2
a
v i
e =
− =
− = =
Label
5 b
e
5
5 2 3
b
e v i
= − = − =
. Kesimpulan:
1 2
3 4
5
6; 7; 8; 9; 10 v
v v
v v
= =
= =
=
. Sehinggga pelabelan vertex dan edge pada
graf tersebut menjadi
Gambar 15 Graf cycle sederhana dengan v=5 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Berdasarkan Teorema 3.4.2 maka nilai
bilangan magic graf G adalah
5 3
55 3 28
| |
14 2
2 2
2 2
v k
= =
= =
.
3.5 Bilangan Magic Minimum Untuk Graf
Cycle Genap Conjecture 3.5.1
Misalkan graf
G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana dengan v bernilai genap,
sehingga ada bilangan magic minimum yang dirumuskan
5 | 2.
2 v
k =
Berikut ini akan dijelaskan cara melabelkan vertex dan edge pada graf cycle sederhana
dengan v bernilai genap dan bilangan magic minimum.
Misalkan didefinisikan
2 v
n =
, n dapat bernilai genap atau ganjil.
Penentuan suatu graf vertex magic tergantung pada nilai n.
Jika graf G=V,E adalah graf vertex magic dengan v berjumlah genap, bilangan magic
minimum dan n bernilai genap maka untuk melabelkan suatu edge gunakanlah ketentuan
berikut ini.
i
e
=
⎧ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩
| 1 1, 3,..., | 1
2 3
2 2 |
, 4, 6,...,
2 2 |
1 ,
| 3, | 5,..., 2 1
2 | 2
, | 2, | 4,..., 2 .
2 i
i n
n i
n i i
n n i
i n
n n
i i
n n
n =
= =
− =
− =
Gambar 16 Graf cycle sederhana
Contoh Kasus 3.5.1 Misalkan
graf G=V,E adalah graf vertex
magic dengan v=8. Nilai bilangan magic minimum untuk graf G adalah
5 | 2
2 v
k =
. Tentukan label edge dan label vertex yang
sesuai pada graf G tersebut. Jawab
Diketahui
5 | 2
2 v
k =
dengan
8 v
=
.
Sehingga nilai k adalah
58 40
| 2 | 2
22 2
2 k
= =
=
. Diketahui
2 v
n =
maka
8 4
2 2
v n
= = =
.
1
e
2
e
3
e
4
e
v
e 14
Graf G dengan v=8 sebelum dilabelkan.
Gambar 17 Graf cycle sederhana dengan v=8 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Labelkan edge terlebih dahulu dengan
ketentuan 3.5.1a Label pada edge pertama dengan
1 i
=
,
1
| 1 1 | 1
2 1
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge kedua dengan
2 i
=
,
2
3 34
12
i
e n
=
= =
=
. Label pada edge ketiga dengan
3 i
=
,
3
| 1 3 | 1
4 2
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge keempat dengan
4 i
=
,
4
2 | 24 | 4
8 | 4 12
6 2
2 2
2
i
n i e
=
= =
= =
=
. Label pada edge kelima dengan
5 i
=
,
5
| 1 5 | 1
6 3
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge keenam dengan
6 i
=
setara dengan
≡ | 2
n
,
6
| 2 6 | 2
8 4
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge ketujuh dengan
7 | 3
i n
= ≡
7
2 | 1
24 | 7 1 8 | 6
14 7
2 2
2 2
i
n i e
=
− −
= =
= =
=
. Label pada edge kedelapan dengan
8 | 4
i n
= ≡
,
8
| 2 8 | 2
10 5
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Untuk menentukan nilai dari label vertex
gunakan definisi dari bilangan magic k=
x
v
|
ax
e
|
bx
e
Sehingga,
x
v
=
ax bx
k e
e −
−
Label
1
v
dengan
1 1
2 1
,
a b
e e
e e
= =
adalah
1 1
1
22 1 12 9
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
2
v
dengan
2 2
3 2
,
a b
e e
e e
= =
adalah
2 2
2
22 12 2 8
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
3
v
dengan
3 3
4 3
,
a b
e e
e e
= =
adalah
3 3
3
22 2 6 14
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
4
v
dengan
4 4
5 4
,
a b
e e
e e
= =
adalah
4 4
4
22 6 3 13
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
5
v
dengan
5 5
6 5
,
a b
e e
e e
= =
adalah
5 5
5
22 3 4 15
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
6
v
dengan
6 6
7 6
,
a b
e e
e e
= =
adalah
6 6
6
22 4 7 11
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
7
v
dengan
7 7
8 7
,
a b
e e
e e
= =
adalah
7 7
7
22 7 5 10
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
8
v
dengan
8 8
1 8
,
a b
e e
e e
= =
adalah
8 8
8
22 5 1 16
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Berdasarkan langkah-langkah yang telah
dilakukan maka diperoleh pelabelan graf G sebagai berikut
Gambar 18 Graf cycle sederhana dengan v=8 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Contoh Kasus 3.5.2
Misalkan graf
G=V,E adalah graf vertex magic dengan v=12. Nilai bilangan magic
minimum graf G adalah
5 | 2
2 v
k =
. Tentukan label edge dan label vertex yang
sesuai pada graf G. Jawab
Diketahui
2 v
n =
maka
12 6
2 2
v n
= = =
.
5 | 2
2 v
k =
dengan
12 v
=
.
Sehingga nilai bilangan magic graf G adalah
512 60
| 2 | 2
32 2
2 k
= =
=
. 13
1 16
9 12
8 2
6 14
5 10
7 11
4 15
3
7
e
8
e
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
e 15
Graf G sebelum dilabelkan.
Gambar 19 Graf cycle sederhana dengan v=12 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Labelkan edge terlebih dahulu dengan
ketentuan 3.5.1a Label pada edge pertama dengan
1 i
=
,
1
| 1 1 | 1
2 1
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge kedua dengan
2 i
=
,
2
3 36
18
i
e n
=
= =
=
. Label pada edge ketiga dengan
3 i
=
,
3
| 1 3 | 1
4 2
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge keempat dengan
4 i
=
,
4
2 | 26 | 4
12 | 4 16
8 2
2 2
2
i
n i e
=
= =
= =
=
. Label pada edge kelima dengan
5 i
=
,
5
| 1 5 | 1
6 3
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge keenam dengan
6 i
=
,
6
2 | 26 | 6
18 9
2 2
2
i
n i e
=
= =
= =
. Label pada edge ketujuh dengan
7 i
=
,
7
| 1 7 | 1
8 4
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label edge kedelapan dengan
8 | 2
i n
= ≡
,
8
| 2 8 | 2
10 5
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge kesembilan dengan
9 | 3
i n
= ≡
,
9
2 | 1
26 | 9 1 12 | 8
10 2
2 2
i
n i e
=
− −
= =
= =
. Label pada edge kesepuluh dengan
10 | 4
i n
= ≡
,
10
| 2 10 | 2
12 6
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge kesebelas dengan
11 | 5
i n
= ≡
,
11
2 | 1
26 | 11 1 12 | 10
22 11.
2 2
2 2
i
n i e
=
− −
= =
= =
=
Label pada edge keduabelas dengan
12 | 6
i n
= ≡
,
12
| 2 12 | 2
14 7
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Untuk menentukan nilai pada label vertex
gunakan definisi dari bilangan magic k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e
Sehingga
x
v
=
ax bx
k e
e −
−
Label
1
v
dengan
1 1
2 1
,
a b
e e
e e
= =
adalah
1 1
1
32 1 18 13
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
2
v
dengan
2 2
3 2
,
a b
e e
e e
= =
adalah
2 2
2
32 18 2 12
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
3
v
dengan
3 3
4 3
,
a b
e e
e e
= =
adalah
3 3
3
32 2 8 22
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
4
v
dengan
4 4
5 4
,
a b
e e
e e
= =
adalah
4 4
4
32 8 3 21
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
5
v
dengan
5 5
6 5
,
a b
e e
e e
= =
adalah
5 5
5
32 3 9 20
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
6
v
dengan
6 6
7 6
,
a b
e e
e e
= =
adalah
6 6
6
32 9 4 19
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
7
v
dengan
7 7
8 7
,
a b
e e
e e
= =
adalah
7 7
7
32 4 5 23
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
8
v
dengan
8 8
9 8
,
a b
e e
e e
= =
adalah
8 8
8
32 5 10 17
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
9
v
dengan
9 9
10 9
,
a b
e e
e e
= =
adalah
9 9
9
32 10 6 19
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
10
v
dengan
10 10
11 10
,
a b
e e
e e
= =
adalah
10 10
10
32 6 11 15
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
Label
11
v
dengan
11 11
12 11
,
a b
e e
e e
= =
adalah
11 11
11
32 11 7 14
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
12
v
dengan
12 12
1 12
,
a b
e e
e e
= =
adalah
12 12
12
32 7 1 24
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Berdasarkan langkah-langkah yang telah
dilakukan maka diperoleh pelabelan vertex dan edge dalam graf G sebagai berikut
10
e
12
e
11
e
9
e
8
e
7
e
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
e 16
3.5.1b Gambar 20
Graf cycle sederhana dengan v=12 sesudah dilabelkan dengan suatu bilangan.
Jika graf G=V,E adalah graf vertex magic, v bernilai genap, bilangan magic minimum dan
n bernilai ganjil maka untuk melabelkan suatu edge gunakan ketentuan berikut ini.
i
e
=
⎧ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ | 1
|, 1, 3,...,
2 3 ,
2 2 | | 2
, 4, 6,..., 1
2 | 3
, | 1
2 2 |
, | 3, | 5,..., 2
2 2
| 3 | 2, | 4,..., 2
1 2
| 2 2 .
i i
n n
i n i
i n
n i
n n i
i n
n n
i i
n n
n n
i n
= =
= −
= =
− =
− =
Contoh Kasus 3.5.3 Misalkan
graf G=V,E adalah suatu graf
vertex magic dengan v=6. Nilai bilangan magic minimum untuk graf G adalah
5 | 2
2 v
k =
. Tentukan label edge dan label vertex yang
sesuai pada graf G tersebut. Jawab
Diketahui
2 v
n =
maka
6 3
2 2
v n
= = =
.
5 | 2
2 v
k =
dengan
6 v
=
. Sehingga nilai bilangan magic-nya adalah
56 30
| 2 | 2
17 2
2 k
= =
=
. Gambar 21
Graf cycle sederhana dengan v=6 sebelum dilabelkan dengan suatu bilangan.
Labelkan edge terlebih dahulu dengan ketentuan 3.5.1b.
Label pada edge pertama dengan
1 i
=
,
1
| 1 1 | 1
2 1
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge kedua dengan
2 i
=
,
2
3 33
9
i
e n
=
= =
=
. Label pada edge ketiga dengan
3 i
=
,
3
| 1 3 | 1
4 2
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge keempat dengan
4 i
=
,
4
2 | | 2 23 | 4 | 2
6 | 4 | 2 12
6 2
2 2
2
i
n i e
=
= =
= =
=
. Label pada edge kelima dengan
5 | 2
i n
= ≡
,
5
| 3 5 | 3
8 4
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge keenam dengan
6 | 3
i n
= ≡
,
6
2 | 23 | 6
6 | 6 12
6 2
2 2
2
i
n i e
=
= =
= =
=
. Untuk menentukan label vertex gunakan
definisi dari bilangan magic. k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e
Sehingga
x
v
=
a b
k e
e − −
Label
1
v
dengan
1 1
2 1
,
a b
e e
e e
= =
adalah
1 1
1
17 1 9 7
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
2
v
dengan
2 2
3 2
,
a b
e e
e e
= =
adalah
2 2
2
17 9 2 6
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
3
v
dengan
3 3
4 3
,
a b
e e
e e
= =
adalah
3 3
3
17 2 3 12
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
4
v
dengan
4 4
5 4
,
a b
e e
e e
= =
adalah
4 4
4
17 3 4 10
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
5
v
dengan
5 5
5 5
,
a b
e e
e e
= =
adalah
5 5
5
17 4 5 8
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
6
v
dengan
6 6
1 6
,
a b
e e
e e
= =
adalah
6 6
1
17 5 1 11
i
v k
e e
=
= − − = − − =
. 16
15
3 1
24 12
7 13
23 17
4 22
5 6
21 2
20 18
11 14
10 19
9 8
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
e 17
Berdasarkan langkah-langkah yang telah dilakukan maka diperoleh pelabelan graf G
sebagai berikut
Gambar 22 Graf cycle sederhana dengan v=6 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan.
Contoh Kasus 3.5.4 Misalkan
graf G=V,E suatu graf vertex
magic dengan v=10. Nilai bilangan magic minimum untuk graf G adalah
5 | 2
2 v
k =
. Tentukan label edge dan label vertex yang
sesuai pada graf G tersebut. Jawab
Diketahui
2 v
n =
maka
10 5
2 2
v n
= = =
.
5 | 2
2 v
k =
dengan
10 v
=
. Sehingga bilangan magic graf G adalah
510 50
| 2 | 2
27 2
2 k
= =
=
. Graf dengan v=10 sebelum dilabelkan.
Gambar 23 Graf cycle sederhana dengan v=10 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Labelkan edge terlebih dahulu dengan
ketentuan 3.5.1b Label pada edge pertama dengan
1 i
=
,
1
| 1 1 | 1
2 1
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge kedua dengan
2 i
=
,
2
3 35
15
i
e n
=
= =
=
. Label edge ketiga dengan
3 i
=
,
3
| 1 3 | 1
4 2
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge keempat dengan
4 i
=
,
4
2 | | 2 25 | 4 | 2
10 | 4 | 2 16
8. 2
2 2
2
i
n i e
=
= =
= =
=
Label pada edge kelima dengan
5 i
=
,
5
| 1 5 | 1
6 3
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge keenam dengan
6 | 1
i n
= ≡
,
6
| 3 5 | 3
4 2
2
i
n e
=
= =
=
. Label pada edge ketujuh dengan
7 | 2
i n
= ≡
,
7
| 3 7 | 3
10 5
2 2
2
i
i e
=
= =
= =
. Label pada edge kedelapan dengan
8 | 3
i n
= ≡
,
8
2 | 25 | 8
10 | 8 18
9. 2
2 2
2
i
n i e
=
= =
= =
=
Label pada edge kesembilan dengan
9 | 4
i n
= ≡
,
10
| 2 5 | 2
7
i
e n
=
= =
=
. Untuk menentukan nilai dari label vertex
gunakan definisi dari bilangan magic k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e
Sehingga
x
v
=
ax bx
k e
e −
−
Label
1
v
dengan
1 1
2 1
,
a b
e e
e e
= =
adalah
1 1
1
27 1 15 11
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
2
v
dengan
2 2
3 2
,
a b
e e
e e
= =
adalah
2 2
2
27 15 2 10
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
3
v
dengan
3 3
4 3
,
a b
e e
e e
= =
adalah
3 3
3
27 2 8 17
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
4
v
dengan
4 4
5 4
,
a b
e e
e e
= =
adalah
4 4
4
27 8 3 16
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
5
v
dengan
5 5
6 5
,
a b
e e
e e
= =
adalah
5 5
5
27 3 4 20
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
6
v
dengan
6 6
7 6
,
a b
e e
e e
= =
adalah
6 6
6
27 4 5 18
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
7
v
dengan
7 7
8 7
,
a b
e e
e e
= =
adalah
7 7
7
27 5 9 13
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
8
v
dengan
8 8
9 8
,
a b
e e
e e
= =
adalah
8 8
8
27 9 6 12
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
9
v
dengan
9 9
10 9
,
a b
e e
e e
= =
adalah
9 9
9
27 6 7 14
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. 12
3 10
9
3
7
6 2
8 4
5 11
1
10
e
9
e
8
e
7
e
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
e 18
3.6.1a Label
10
v
dengan
10 10
1 10
,
a b
e e
e e
= =
adalah
10 10
10
27 7 1 19
a b
v k
e e
= − −
= − − =
.
Berdasarkan langkah-langkah yang telah dilakukan maka diperoleh pelabelan graf G
sebagai berikut
Gambar 24 Graf cycle sederhana dengan v=10 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Baru saja telah dibahas bagaimana cara
melabelkan vertex dan edge pada suatu graf cycle sederhana dengan v bernilai genap dan
nilai bilangan magic minimum. Pada bab sebelumnya juga telah dibahas bagaimana
melabelkan vertex dan edge pada graf cycle sederhana dengan k maksimum dengan v
bernilai ganjil. Selanjutnya akan dibahas bagaimana
melabelkan vertex dan edge pada graf cycle sederhana dengan k maksimum dan v bernilai
genap sedemikian sehingga membentuk suatu graf vertex magic.
3.6
Bilangan Magic Maksimum Untuk Graf
Cycle Genap Conjecture 3.6.1
Misalkan graf
G=V,E adalah suatu graf cycle sederhana dengan v bernilai genap,
sehingga ada bilangan magic maksimum yang dirumuskan
7 | 1.
2 v
k =
Dengan menggunakan logika yang sama seperti pada Subbab 3.5 selanjutnya akan
dibahas bagaimana menentukan suatu graf vertex magic dengan k maksimum dan v
bernilai genap. Untuk memperoleh nilai k minimum dengan v
bernilai genap, edge dilabelkan dengan
bilangan sebagai berikut 1,2,3,...,
| 2
v v
. Untuk memperoleh nilai k maksimum dengan
v bernilai genap, edge dilabelkan dengan bilangan sebagai berikut
2 , 2 1,..., | 2, | 1
2 v
v v v
v −
−
. Misalkan didefinisikan
2 v
n =
dan n bernilai genap.
Jika banyaknya vertex dalam graf G bernilai genap, bilangan magic maksimum dan n
bernilai genap maka gunakan ketentuan berikut ini untuk melabelkan suatu edge.
i
e
=
⎧ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩
| 1 2
| 1, 1, 3,..., | 1
2 2
3 | 1, 2
2 | 2
| 1, 4, 6,...,
2 2 |
1 2
| 1, | 3, | 5,..., 2 1
2 | 2
2 | 1,
| 2, | 4,..., 2 . 2
i v
i n
v n
i n i
v i
n n i
v i
n n
n i
v i
n n
n −
= −
= −
= −
− =
− −
=
Contoh Kasus 3.6.1 Misalkan
graf G=V,E suatu graf vertex
magic dengan v=8. Bilangan magic maksimum untuk graf G
adalah
7 | 1
2 v
k =
. Tentukan label edge dan label vertex yang
sesuai pada graf G tersebut. Jawab
Diketahui
2 v
n =
maka
8 4
2 2
v n
= = = 7
| 1 2
v k
=
dengan
8 v
=
. Sehingga nilai bilangan magic-nya adalah
78 56
| 1 | 1
29 2
2 k
= =
=
. Graf vertex magic dengan banyaknya vertex,
v=8 sebelum dilabelkan.
Gambar 25 Graf cycle sederhana dengan v=8 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. 12
1 11
15 10
2 17
8 16
3 20
4 18
5 13
9 19
7 14
6
8
e
7
e
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
e 19
15 Labelkan edge terlebih dahulu dengan
Ketentuan 3.6.1a Label pada edge pertama dengan
1 i
=
,
1
| 1 1 | 1
2 2
| 1 28
| 1 16 | 1 16.
2 2
2
i
i e
v
=
= −
= −
= −
=
Label pada edge kedua dengan
2 i
=
,
2
2 3 | 1
28 34 | 1 16 12 | 1 5.
i
e v
n
=
= −
= −
= −
=
Label pada edge ketiga dengan
3 i
=
,
3
| 1 3 | 1
4 2
| 1 28
| 1 16 | 1 15.
2 2
2
i
i e
v
=
= −
= −
= −
=
Label pada edge kempat dengan
4 i
=
,
4
2 | 24 | 4
2 | 1
28 | 1
2 2
i
n i e
v
=
= −
= −
12 16
| 1 11. 2
= −
=
Label pada edge kelima dengan
5 i
=
,
5
| 1 5 | 1
6 2
| 1 28
| 1 16 | 1 14.
2 2
2
i
i e
v
=
= −
= −
= −
=
Label pada edge keenam dengan
6 | 2
i n
= ≡
,
6
| 2 6 | 2
2 | 1
28 | 1
2 2
i
i e
v
=
= −
= −
16 4 | 1 13 =
− =
. Label pada edge ketujuh dengan
7 | 3
i n
= ≡
,
7
2 | 1
24 | 7 1 2
| 1 28
| 1 2
2
i
n i e
v
=
− −
= −
= −
8 | 6 16
| 1 10 2
= −
=
. Label pada edge kedelapan dengan
8 | 4
i n
= ≡
,
8
| 2 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
8 | 2 28
| 1 16 5 | 1 12 2
= −
= −
=
. Untuk menentukan nilai dari label vertex
gunakan definisi dari bilangan magic k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e
Sehingga
x
v
=
ax bx
k e
e −
−
Label
1
v
dengan
1 1
2 1
,
a b
e e
e e
= =
adalah
1 1
1
29 16 5 8
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
2
v
dengan
2 2
3 2
,
a b
e e
e e
= =
adalah
2 2
2
29 5 15 9
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
3
v
dengan
3 3
4 3
,
a b
e e
e e
= =
adalah
3 3
3
29 15 11 3
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
4
v
dengan
4 4
5 4
,
a b
e e
e e
= =
adalah
4 4
4
29 11 14 4
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
5
v
dengan
5 5
6 5
,
a b
e e
e e
= =
adalah
5 5
5
29 14 13 2
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
6
v
dengan
6 6
7 6
,
a b
e e
e e
= =
adalah
6 6
6
29 13 10 6
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
7
v
dengan
7 7
8 7
,
a b
e e
e e
= =
adalah
7 7
7
29 10 12 7
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
8
v
dengan
8 8
1 8
,
a b
e e
e e
= =
adalah
8 8
8
29 12 16 1
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Berdasarkan langkah-langkah yang telah
dilakukan maka diperoleh pelabelan graf G sebagai berikut
Gambar 26 Graf cycle sederhana dengan v=8 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Contoh Kasus 3.6.2
Misalkan graf
G=V,E adalah suatu graf vertex magic dengan v=12.
Nilai bilangan magic maksimum untuk graf G adalah
7 | 1
2 v
k =
. Tentukan label edge dan label vertex yang
sesuai pada graf G tersebut. Jawab
Diketahui
2 v
n =
maka
12 6
2 2
v n
= = =
.
7 | 1
2 v
k =
dengan
12 v
=
. Nilai bilangan magic
graf G adalah
712 84
| 1 | 1
43 2
2 k
= =
=
. Graf dengan v=12 sebelum dilabelkan.
Gambar 27 Graf cycle sederhana dengan v=12 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. 1
8 16
5 9
3 11
4 14
12 7
10 6
13 2
12
e
11
e
10
e
9
e
8
e
7
e
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
e 20
Labelkan edge terlebih dahulu dengan ketentuan 3.6.1a.
Label pada edge pertama dengan
1 i
=
,
1
| 1 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
1 | 1 2
212 | 1
24 | 1
24 2
2 =
− =
− =
. Label pada edge kedua dengan
2 i
=
,
2
2 3 | 1
i
e v
n
=
= −
212 34 | 1 24 12 | 1 13
= −
= −
=
. Label pada edge ketiga dengan
3 i
=
,
3
| 1 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
3 | 1 4
212 | 1
24 | 1
23 2
2 =
− =
− =
. Label pada edge keempat dengan
4 i
=
,
4
2 | 2
| 1 2
i
n i e
v
=
= −
26 | 4 212
| 1 2
= −
12 | 4 16
24 | 1
24 | 1 17
2 2
= −
= −
=
. Label pada edge kelima dengan
5 i
=
,
5
| 1 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
5 | 1 6
212 | 1
24 | 1
22 2
2 =
− =
− =
. Label pada edge keenam dengan
6 i
=
,
6
2 | 2
| 1 2
i
n i e
v
=
= −
26 | 6 18
212 | 1
24 | 1 16
2 2
= −
= −
=
. Label pada edge ketujuh dengan
7 | 1
i n
= ≡
,
7
| 1 7 | 1
8 2
| 1 212
| 1 24
| 1 21.
2 2
2
i
i e
v
=
= −
= −
= −
=
Label pada edge kedelapan dengan
8 | 2
i n
= ≡
,
8
| 2 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
8 | 2 10
212 | 1
24 | 1
20 2
2 =
− =
− =
. Label edge kesembilan dengan
9 | 3
i n
= ≡
,
9
2 | 1
2 | 1
2
i
n i e
v
=
− =
− 26 | 9 1
20 212
| 1 24
| 1 15 2
2 −
= −
= −
=
. Label pada edge kesepuluh dengan
10 | 4
i n
= ≡
,
10
| 2 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
10 | 2 12
212 | 1
24 | 1 19
2 2
= −
= −
=
. Label pada edge kesebelas dengan
11 | 5
i n
= ≡
,
11
2 | 1
2 | 1
2
i
n i e
v
=
− =
− 26 | 11 1
22 212
| 1 24
| 1 14 2
2 −
= −
= −
=
. Label pada edge keduabelas dengan
12 | 6
i n
= ≡
,
12
| 2 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
12 | 2 14
212 | 1
24 | 1 18
2 2
= −
= −
=
. Untuk menentukan nilai dari label vertex
gunakan definisi dari bilangan magic k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e
Sehingga
x
v
=
ax bx
k e
e −
−
Label
1
v
dengan
1 1
2 1
,
a b
e e
e e
= =
adalah
1 1
1
43 24 7 12
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
2
v
dengan
2 2
3 2
,
a b
e e
e e
= =
adalah
2 2
2
43 7 23 13
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
3
v
dengan
3 3
4 3
,
a b
e e
e e
= =
adalah
3 3
3
43 23 17 3
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
4
v
dengan
4 4
5 4
,
a b
e e
e e
= =
adalah
4 4
4
43 17 22 4
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
5
v
dengan
5 5
6 5
,
a b
e e
e e
= =
adalah
5 5
5
43 22 16 5
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
6
v
dengan
6 6
7 6
,
a b
e e
e e
= =
adalah
6 6
6
43 16 21 6
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
7
v
dengan
7 7
8 7
,
a b
e e
e e
= =
adalah
7 7
7
43 21 20 2
i a
b
v k
e e
=
= − −
= −
− =
. Label
8
v
dengan
8 8
9 8
,
a b
e e
e e
= =
adalah
8 8
8
43 20 15 8
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
9
v
dengan
9 9
10 9
,
a b
e e
e e
= =
adalah
9 9
9
43 15 19 9
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
10
v
dengan
10 10
11 10
,
a b
e e
e e
= =
adalah
10 10
10
43 19 14 10
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
.
3.6.1b Label
11
v
dengan
11 11
12 11
,
a b
e e
e e
= =
adalah
11 11
11
43 14 18 11
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
12
v
dengan
12 12
1 12
,
a b
e e
e e
= =
adalah
12 12
12
43 18 24 1
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Berdasarkan langkah-langkah yang telah
dilakukan maka diperoleh pelabelan graf G sebagai berikut.
Gambar 28 Graf cycle sederhana dengan v=12 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan. Jika banyaknya vertex dalam graf G bernilai
genap, bilangan magic maksimum dan n bernilai ganjil maka gunakan ketentuan
berikut ini untuk melabelkan suatu edge.
i
e ⎧
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ = ⎨
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎩
| 1 2 -
| 1, 1, 3,...,
2 2 - 3 | 1,
2 2 | | 2
2 - | 1, 4, 6,..., -1
2 | 3
2 - | 1,
| 1 2
2 | 2 -
| 1, | 3, | 5,..., 2 - 2
2 | 3
2 - | 1,
| 2, | 4,..., 2 -1 2
2 - | 2 | 1, 2 .
i v
i n
v n
i n i
v i
n n
v i
n n i
v i
n n
n i
v i
n n
n v
n i
n =
= =
= =
= =
Contoh Kasus 3.6.3 Misalkan
graf G=V,E suatu graf vertex
magic dengan v=6. Nilai bilangan magic maksimum untuk graf G
adalah
7 | 1
2 v
k =
. Tentukan label pada edge dan label pada
vertex yang sesuai pada graf G tersebut.
Jawab Diketahui
2 v
n =
maka
6 3
2 2
v n
= = =
.
7 | 1
2 v
k =
dengan
6 v
=
. Nilai bilangan magic-nya adalah
76 42
| 1 | 1
22 2
2 k
= =
=
. Graf dengan v=6 sebelum dilabelkan.
Gambar 29 Graf cycle sederhana dengan v=6 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Labelkan edge terlebih dahulu dengan
ketentuan 3.6.1b. Label pada edge pertama dengan
1 i
=
,
1
| 1 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
1 | 1 2
26 12
| 1 12 2
2 =
− =
− =
. Label pada edge kedua dengan
2 i
=
,
2
2 3 | 1
i
e v
n
=
= −
26 33 | 1 12 9 | 1 4
= −
= −
=
. Label pada edge ketiga dengan
3 i
=
,
3
| 1 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
3 | 1 4
26 | 1 12
| 1 11 2
2 =
− =
− =
. Label pada edge keempat dengan
4 | 1
i n
= ≡
,
4
| 3 2
| 1 2
i
n e
v
=
= −
3 | 3 26
12 3 | 1 10 2
= −
= −
=
. Label edge kelima dengan
5 | 2
i n
= ≡
,
5
| 3 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
5 | 3 26
| 1 12 4 | 1 9
2 =
− =
− =
. Label pada edge keenam dengan
6 | 3
i n
= ≡
,
6
2 | 2
| 1 2
i
n i e
v
=
= −
1 24 12
7 13
3 23
17 4
22 5
16 6
21 2
20 18
11 14
10 19
9 15
8
6
e
5
e
4
e
1
e
2
e
3
e 22
23 | 6 6 | 6
26 | 1 12
| 1 7
2 2
= −
= −
=
. Untuk menentukan nilai dari label vertex
gunakan definisi dari bilangan magic k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e
Sehingga
x
v
=
ax bx
k e
e −
−
Label
1
v
dengan
1 1
2 1
,
a b
e e
e e
= =
adalah
1 1
1
22 12 4 6
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
2
v
dengan
2 2
3 2
,
a b
e e
e e
= =
adalah
2 2
2
22 4 11 7
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
3
v
dengan
3 3
4 3
,
a b
e e
e e
= =
adalah
3 3
3
22 11 10 1
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
4
v
dengan
4 4
5 4
,
a b
e e
e e
= =
adalah
4 4
4
22 10 9 3
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
5
v
dengan
5 5
6 5
,
a b
e e
e e
= =
adalah
5 5
5
22 9 8 5
a b
v k
e e
= − −
= − − =
. Label
6
v
dengan
6 6
1 6
,
a b
e e
e e
= =
adalah
6 6
6
22 8 12 2
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
.
Berdasarkan langkah-langkah yang telah dilakukan maka diperoleh pelabelan graf G
sebagai berikut
Gambar 30 Graf cycle sederhana dengan v=6 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan.
Contoh Kasus 3.6.4 Misalkan
graf G=V,E adalah suatu graf
vertex magic dengan
10 v
=
. Nilai bilangan magic maksimum untuk graf G adalah
7 | 1
2 v
k =
. Tentukan label edge dan label vertex yang
sesuai pada graf G tersebut. Jawab
Diketahui
2 v
n =
maka
10 5
2 2
v n
= = =
.
7 | 1
2 v
k =
dengan
10 v
=
. Sehingga nilai bilangan magic graf G adalah
710 70
| 1 | 1
36 2
2 k
= =
=
. Graf G dengan v = 10 sebelum dilabelkan.
Gambar 31 Graf cycle sederhana dengan v=10 sebelum
dilabelkan dengan suatu bilangan. Labelkan edge terlebih dahulu dengan
ketentuan 3.6.1b. Label pada edge pertama dengan
1 i
=
,
1
| 1 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
1 | 1 2
210 20
| 1 20
2 2
= −
= −
=
. Label pada edge kedua dengan
2 i
=
,
2
2 3 | 1
i
e v
n
=
= −
210 35 | 1 20 15 | 1
6 =
− =
− =
. Label pada edge ketiga dengan
3 i
=
,
3
| 1 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
3 | 1 4
210 | 1
20 | 1 19
2 2
= −
= −
=
. Label pada edge keempat dengan
4 i
=
,
4
2 | | 2 2
| 1 2
i
n i e
v
=
= −
25 | 4 | 2 16
210 | 1
20 | 1 13
2 2
= −
= −
=
. Label pada edge kelima dengan
5 i
=
,
5
| 1 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
5 | 1 210
20 3 18 2
= −
= − =
. Label pada edge keenam dengan
6 | 1
i n
= ≡
,
6
| 3 2
| 1 2
i
n e
v
=
= −
5 | 3 8
210 | 1
20 | 1 17
2 2
= −
= −
=
. 1
3 10
7 9
8 5
2 12
6 4
11
10
e
9
e
8
e
7
e
6
e
5
e
4
e
2
e
1
e
3
e 23
Label pada edge ketujuh dengan
7 | 2
i n
= ≡
,
7
| 3 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
7 | 3 10
210 | 1
20 | 1 16
2 2
= −
= −
=
. Label edge kedelapan dengan
8 | 3
i n
= ≡
,
8
2 | 2
| 1 2
i
n i e
v
=
= −
25 | 8 210
| 1 2
= −
10 | 8 20
| 1 20 9 | 1 12
2 =
− =
− =
. Label edge kesembilan dengan
9 | 4
i n
= ≡
,
9
| 3 2
| 1 2
i
i e
v
=
= −
9 | 3 12
210 | 1
20 | 1 15
2 2
= −
= −
=
. Label edge kesepuluh dengan
10 | 5
i n
= ≡
,
10
2 | 2 | 1
i
e v
n
=
= −
210 5 | 2 | 1 20 7 | 1 14
= −
= −
=
. Untuk menentukan nilai dari label vertex
gunakan definisi dari bilangan magic k =
x
v
|
ax
e
|
bx
e
Sehingga
x
v
=
ax bx
k e
e −
−
Label
1
v
dengan
1 1
2 1
,
a b
e e
e e
= =
adalah
1 1
1
36 20 6 10
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
2
v
dengan
2 2
3 2
,
a b
e e
e e
= =
adalah
2 2
2
36 6 19 11
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
3
v
dengan
3 3
4 3
,
a b
e e
e e
= =
adalah
3 3
3
36 19 13 4
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
4
v
dengan
4 4
5 4
,
a b
e e
e e
= =
adalah
4 4
4
36 13 18 5
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
5
v
dengan
5 5
6 5
,
a b
e e
e e
= =
adalah
5 5
5
36 18 17 1
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
6
v
dengan
6 6
7 6
,
a b
e e
e e
= =
adalah
6 6
6
36 17 16 3
i a
b
v k
e e
=
= − −
= −
− =
. Label
7
v
dengan
7 7
8 7
,
a b
e e
e e
= =
adalah
7 7
7
36 16 12 8
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
8
v
dengan
8 8
9 8
,
a b
e e
e e
= =
adalah
8 8
8
36 12 15 9
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
. Label
9
v
dengan
9 9
10 9
,
a b
e e
e e
= =
adalah
9 9
9
36 15 14 7
a b
v k
e e
= − −
= − −
=
. Label
10
v
dengan
10 10
1 10
,
a b
e e
e e
= =
adalah
10 10
10
36 14 20 2
a b
v k
e e
= − −
= −
− =
Berdasarkan langkah-langkah yang telah dilakukan maka diperoleh pelabelan graf G
sebagai berikut
Gambar 32 Graf cycle sederhana dengan v=10 sesudah
dilabelkan dengan suatu bilangan.
3.7 Pelabelan Vertex dengan Bilangan
