Berdasarkan Gambar 23, 24 dan 25, setelah terapi protease inhibitor dimulai,
populasi virus dengan poliprotein yang tidak membelah,
,-
, meningkat tajam kemudian berfluktuasi menuju nilai stabil. Seiring
dengan meningkatnya populasi virus dengan poliprotein yang tidak membelah, populasi
virus dengan poliprotein yang membelah,
I
V
, menurun dan berfluktuasi menuju nilai stabil
yang lebih rendah dibandingkan sebelum terapi dimulai. Hal ini menyebabkan populasi
sel T terinfeksi, T
, menurun menuju nilai stabil yang lebih rendah dan populasi sel T
tidak terinfeksi, , meningkat dan berfluktuasi menuju nilai stabil yang lebih tinggi
dibandingkan sebelum terapi dimulai.
Selain itu, dari gambar terlihat bahwa populasi virus dengan poliprotein yang
membelah stabil pada angka 782.639 ketika
0.2
PI
η =
, 620.635 ketika
0.3
PI
η =
dan .01 ketika
0.4
PI
η =
. Sehingga dapat disimpulkan semakin besar nilai
PI
η
dan nilai
R
semakin jauh lebih dar1 1, maka populasi virus dengan poliprotein yang membelah
semakin kecil dan populasi sel T tidak terinfeksi semakin besar.
3.3 Model Penyembuhan Sel Darah Putih
Penyembuhan sel darah putih diamati setelah terapi dimulai, diasumsikan bahwa sel
darah putih baru hanya dihasilkan dari sumber di dalam tubuh, seperti timus, diberi notasi
s
. Sehingga fungsi logistik yang menyatakan
proliferasi, yaitu
max
1 T
pT T
− pada model
sebelumnya menjadi ditiadakan. Akibat lainnya adalah populasi virus
dengan poliprotein yang membelah,
I
V , akan turun dengan cepat untuk protease inhibitor
sempurna atau
1
PI
η =
,
ct I
V t
V e
−
=
menuju angka nol. Hal ini mengakibatkan kVT
− menjadi ditiadakan.
Sehingga diperoleh model matematika penyembuhan sel darah putih sebagai berikut
1 ,
T I
I PI
I NI
PI NI
dT s
d T dt
dT kV T
T dt
dV N T
cV dt
dV N T
cV dt
δ η
δ η
δ = −
= −
= −
− =
− 3.5
dengan T
: banyaknya populasi sel T tidak terinfeksi,
T : banyaknya populasi sel T terinfeksi,
V : banyaknya populasi virus,
I NI
V V
V =
+
I
V
: banyaknya populasi virus dengan poliprotein yang membelah,
NI
V
: banyaknya populasi virus dengan poliprotein yang tidak membelah,
s
: laju sel T baru dihasilkan dari sumber di dalam tubuh, seperti timus,
T
d
: laju kematian sel T tidak terinfeksi, k : laju infeksi,
δ : laju kematian sel T terinfeksi,
N : total virus yang diproduksi oleh sel T
terinfeksi selama waktu hidupnya,
c
: laju kematian virus.
PI
η
: efektifitas dari protease inhibitor. Selanjutnya akan ditentukan titik tetap
untuk persamaan 3.5 yang kemudian akan menganalisis kestabilan disekitar titik tetap
tersebut, orbit serta dinamika populasinya.
3.3.1 Titik Tetap
Titik tetap dari sistem persamaan 3.5 diperoleh dari persamaan
dT dt
= ,
dT dt
= ,
I
dV dt
=
dan
NI
dV dt
=
, yaitu
3
, 0, 0, 0
ss
F T
= dengan
3 ss
T
s T
d =
. Untuk melihat perilaku solusi disekitar
titik tetap, maka akan dilakukan pelinearan pada model yang merupakan persamaan
diferensial taklinear.
Misalkan sistem
persamaan 3.5 dituliskan sebagai berikut , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, .
I NI
I NI
I I
NI NI
I NI
dT P T T V V
dt dT
Q T T V V dt
dV R T T V V
dt dV
S T T V V dt
= =
= =
3.6
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan 3.6, maka diperoleh matriks
Jacobi
I NI
I NI
I NI
I NI
P P
P P
T T
V V
Q Q
Q Q
T T
V V
J R
R R
R T
T V
V S
S S
S T
T V
V ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ =
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
atau .
1
T I
PI PI
d kV
kT J
N c
N c
δ η
δ η
δ −
− =
− −
−
3.3.2 Kestabilan Titik Tetap
Pelinearan sistem persamaan diferensial pada titik tetap
3
, 0, 0, 0
ss
F T
= dengan
3 ss
T
s T
d =
akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut
3
1
T ss
PI PI
d kT
J N
c N
c δ
η δ
η δ
− −
= −
− −
sehingga diperoleh
1 T
d λ = −
2 2,3
3
1 4
4 1
2 2
ss PI
c c
c NkT
δ λ
δ δ
δ η
+ = −
± +
− +
−
4
. c
λ = −
Karena semua parameter taknegatif, maka
1
0, λ
3
λ
dan
4
λ
, sehingga
kestabilan di titik ini tergantung pada nilai eigen
2
λ
. Jika
2
λ
yang mana kondisi ini akan dipenuhi ketika
3
1
ss PI
c NkT
η −
atau
3
1
PI ss
c NkT
η −
, maka titik tetap akan stabil. jika
2
λ
yang mana kondisi ini akan dipenuhi ketika
3
1
ss PI
c NkT
η −
atau
3
1
PI ss
c NkT
η −
, maka titik tetap akan sadel. Kondisi stabil dipenuhi, ketika
3
1
PI ss
c NkT
η −
atau ditulis dalam bentuk
3
1 1
ss PI
NkT c
η −
. Besaran
3
1
ss PI
NkT c
η −
merupakan bilangan reproduksi dasar virus dalam populasi
R
untuk model penyembuhan sel darah putih. Ketika
1 R
yang merupakan kondisi stabil, maka virus tidak dapat bertahan di dalam
populasi. Sebaliknya, ketika
1 R
, maka populasi tidak stabil karena virus akan
bertahan dalam populasi. 3.3.3 Dinamika Model Penyembuhan Sel
Darah Putih
Berikut ini akan digambarkan bidang fase yang menunjukkan orbit kestabilan untuk
1 R
. Parameter yang digunakan dipilih dari
Tabel 1 dengan nilai awal 416.667
T =
, 44.5602
T =
, 1069.44
I
V =
dan
NI
V = .
i.
Ketika
0.8 =
R
Kondisi
0.8 R
=
dipenuhi ketika
400 N
= dan
0.6
PI
η =
sehingga diperoleh titik
tetap 500, 0, 0, 0
F =
. Orbit
kestabilannya diberikan pada Gambar 26 berikut.
Gambar 26 Orbit kestabilan di sekitar
, ,
I
T T V ketika
0.6
PI
η =
dan
0.8 R
=
. Dari Gambar 26 terlihat bahwa titik tetap
F dituju oleh bidang fase. Ini menunjukkan
bahwa titik tetap F stabil dengan jenis kestabilan simpul.
ii. Ketika
0.6 =
R
Kondisi
0.6 R
=
dipenuhi ketika
400 N
= dan
0.7
PI
η =
sehingga diperoleh titik
tetap 500, 0, 0, 0
F =
. Orbit
kestabilannya diberikan pada Gambar 27 berikut.
Gambar 27 Orbit kestabilan di sekitar
, ,
I
T T V ketika
0.7
PI
η =
dan
0.6 R
=
. Dari Gambar 27 terlihat bahwa titik tetap
F dituju oleh bidang fase. Ini menunjukkan
bahwa titik tetap F stabil dengan jenis kestabilan simpul.
iii. Ketika
0.4 =
R
Kondisi
0.4 R
=
dipenuhi ketika
400 N
= dan
0.8
PI
η =
sehingga diperoleh titik
tetap 500, 0, 0, 0
F =
. Orbit
kestabilannya diberikan pada Gambar 28 berikut.
Gambar 28 Orbit kestabilan di sekitar
, ,
I
T T V ketika
0.8
PI
η =
dan
0.4 R
=
. Dari Gambar 28 terlihat bahwa titik tetap
F dituju oleh bidang fase. Ini menunjukkan
bahwa titik tetap F stabil dengan jenis kestabilan simpul.
Berikut ini akan diperlihatkan grafik perubahan dinamika populasinya. Parameter
yang digunakan dipilih dari Tabel 1 dengan nilai awal
416.667 T
= ,
44.5602 T
= ,
1069.44
I
V =
dan
NI
V = .
Gambar 29 Dinamika populasi T , T
,
I
V dan
NI
V ketika
0.6
PI
η =
dan
0.4 R
=
.
Gambar 30 Dinamika populasi T , T
,
I
V dan
NI
V ketika
0.7
PI
η =
dan
0.45 R
=
.
Gambar 31 Dinamika populasi T , T
,
I
V dan
NI
V ketika
0.8
PI
η =
dan
0.4 R
=
. Dari Gambar 29, 30 dan 31 terlihat bahwa
populasi sel T tidak terinfeksi, T , mengalami peningkatan dan kemudian stabil pada angka
500. Populasi sel T terinfeksi, T
, pada awalnya meningkat tajam kemudian menurun
dan mencapai kestabilan pada angka 0. Sedangkan, populasi virus dengan poliprotein
yang membelah,
I
V , menurun tajam dan mencapai kestabilan pada angka 0. Populasi
virus dengan
poliprotein yang
tidak membelah,
NI
V , pada awalnya meningkat
tajam kemudian menurun menuju kestabilan pada angka 0. Penurunan ini terjadi karena
pada kondisi ini virus tidak dapat bertahan dalam populasi.
Kurva dari Gambar 31, yaitu ketika
0.8
PI
η =
dan
0.4 R
=
lebih curam jika dibandingkan
dengan kurva
pada saat
0.6
PI
η =
dan
0.7
PI
η =
. Hal ini menunjukkan bahwa pada saat
0.8
PI
η =
, kecepatan menuju kestabilan lebih besar sehingga populasi akan
semakin cepat menuju kestabilan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa semikin besar nilai
PI
η
dan nilai
R
semakin jauh lebih kecil dari 1, maka populasi virus semakin cepat
menurun dan akhirnya virus akan punah. Berikut ini akan diperlihatkan grafik
perubahan dinamika populasi. Parameter yang digunakan dipilih dari Tabel 1 dengan nilai
awal 416.667
T =
, 44.5602
T =
, 1069.44
I
V =
dan
NI
V = .
Gambar 32 Dinamika populasi T , T
,
I
V dan
NI
V ketika
0.2
PI
η =
dan
1.6 R
=
.
Gambar 33 Dinamika populasi T , T
,
I
V dan
NI
V ketika
0.3
PI
η =
dan
1.4 R
=
.
Gambar 34 Dinamika populasi T , T
,
I
V dan
NI
V ketika
0.4
PI
η =
dan
1.2 R
=
. Dari Gambar 32, 33 dan 34, setelah terapi
protease inhibitor dimulai, terlihat bahwa
populasi sel T tidak terinfeksi, T , meningkat dan stabil pada angka 500. Peningkatan ini
menandakan bahwa populasi sel T mengalami penyembuhan. Akan tetapi populasi sel T
terinfeksi,
T , populasi virus dengan
poliprotein yang membelah,
I
V dan populasi
virus dengan
poliprotein yang
tidak membelah,
NI
V , terus meningkat dari awal
pengamatan. Peningkatan ini terjadi karena pada kondisi ini virus dapat bertahan dalam
populasi dengan kata lain virus berkembang tanpa batas.
Ketika
0.4
PI
η =
dan
1.2 R
=
populasi sel T terinfeksi, populasi virus dengan
poliprotein yang membelah dan populasi virus dengan poliprotein yang tidak membelah
meningkat lebih lambat dibandingkan ketika
0.2
PI
η =
dan
0.3
PI
η =
.
IV SIMPULAN
Dari hasil analisis model I model HIV tanpa terapi obat dan model II model HIV
dengan terapi protease inhibitor, masing- masing diperoleh dua titik tetap, yaitu titik
tetap tidak terinfeksi dan titik tetap terinfeksi. Kedua titik tetap tersebut tidak pernah stabil
secara bersamaan. Sedangkan model III model penyembuhan sel darah putih hanya
diperoleh titik tetap tak terinfeksi.
Kestabilan titik tetap ketiga model bergantung pada bilangan reproduksi dasar
virus. Titik tetap tidak terinfeksi berada dalam kestabilan ketika bilangan reproduksi dasar
kurang dari satu dan titik tetap terinfeksi dalam kestabilan ketika bilangan reproduksi
dasar lebih dari satu. Selama
1
PI
η
, dengan
PI
η
adalah besarnya efektifitas protease inhibitor, maka
bilangan reproduksi dasar virus pada model III lebih kecil dari bilangan reproduksi dasar
virus pada model II dan bilangan reproduksi dasar virus pada model II lebih kecil dari
bilangan reproduksi dasar pada model I. Ini berarti kondisi tak terinfeksi atau bebas
penyakit pada model III lebih cepat tercapai daripada model II dan model II lebih cepat
tercapai daripada model I. Begitu juga sebaliknya, kondisi terinfeksi HIV akan lebih
cepat tercapai pada model I jika dibandingkan dengan model II.
Besarnya nilai parameter N , yaitu jumlah virus yang dihasilkan oleh suatu sel T
terinfeksi mempengaruhi penurunan populasi sel T tidak terinfeksi. Semakin besar jumlah
virus yang dihasilkan oleh suatu sel T terinfeksi maka semakin besar penurunan
populasi sel T tidak terinfeksi.
Setelah terapi protease inhibitor dimulai, populasi virus dan populasi sel T terinfeksi
mengalami penurunan
seiring dengan
meningkatnya populasi sel T yang tidak terinfeksi jika dibandingkan sebelum terapi
protease inhibitor dimulai. Selain itu, juga
dapat disimpulkan bahwa semakin besar efektifitas protease inhibitor maka populasi
virus dengan poliprotein yang membelah semakin cepat menurun.
Pada ketiga model menunjukkan adanya bifurkasi. Untuk model 1 dan model 2,
bifurkasi yang terjadi adalah bifurkasi transcritical
. Titik bifurkasi model I lebih besar dari titik bifurkasi model II dan titik
bifurkasi model II lebih besar dari titik bifurkasi model III selama
1
PI
η
.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson RM, May RM. 1989. Complex dynamical behavior in the interaction
between HIV and the immune system, in Cell to Cell Signalling: From Experiment
to Theoretical Models : 335-349.
Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer.
Edisi ke-5. Silabandan P, Susila IN, penerjemah. Jakarta: Erlangga.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to
Differential Equation
and Their
Application . New York: Mc Graw-Hill.
Feng Z, Rong L. 2006. .The Influence of anti-
viral Drug Therapy on The Evolution of HIV-1 Pathogens, in Desease Evolution:
Models, Concepts, and Data Analysis.
Fisher SD. 1990. Complex Variables second
Edition . California: Pacific Grove.
Giesecko J. 1994. Mathematical Models for
Epidemics. Modern Infectious Disease Epidemiology
: 109-123.
Ho DD et al. 1995. Rapid Turnover of Plasma
Virions and CD4 Lymphocytes in HIV-1 Infection. Nature 373:123-126.
Hraba T, Dolezal J. Mathematical model of CD4
+
lymphocyte depletion in HIV infection. Folio Biol 35: 156-163.
Hraba T, Dolezal J, Celikovsky S. 1990. Model-based analysis of CD4
+
lymphocyte dynamics in HIV infected individuals.
Immunobiology 181: 108-118.
Merrill S. 1989. Modelling the interaction of HIV with cells of the immune respon, in
Mathematical and Statistical Approaches to AIDS Epidemiology. Biomath 83: 371-
385.
Perelson AS. Modeling the interaction of the immune system with HIV. Biomath 83:
350-370.
Perelson AS, Kirschner DE, De Boer R. 1993.
Dynamics of HIV infection of CD4
+
T cells. Mathematical Biosciences 114:81-
125.
Perelson AS, Nelson PW. 1999. Mathematical
Analysis of HIV-1 Dynamics in Vivo. Siam Review
41:3-44.
Reeves JD, Doms RW. 2002. Human
Immunodeficiency Virus Type 2. Virol 83:1253-1265.
Tu PNV. 1994. Dynamical System, An
Introduction with
Application in
Economics and
Biologi .
Germany: Springer-Verlag.
Verhlust F. 1990. Nonlinear Differential
Equation and
Dynamical System
. Germany: Springer-Verlag.
LAMPIRAN
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2
Teorema 2. Misalkan
23 43 5 bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
678 7 9 27 9 47 9 5 adalah negatif jika dan hanya jika
2 5 positif dan 24 : 5
Bukti:
Dari persamaan 678 7 9 27 9 47 9 5
maka 2
4 5 dan
jika ; selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap akar
polinomial 678 7 9 27 9 47 9 5
adalah negatif jika dan hanya jika = = =
positif, dimana: = 2 2 :
= 2 54 24 ? 5 :
= 2 5
4 2 5
245 ? 5 : Dari 1 maka diperoleh
2 : Dari 2 maka diperoleh
24 ? 5 : Dari 3 maka diperoleh
245 ? 5 : yang dapat diubah dalam bentuk 5624 ? 58 : sehingga dari 2 diperoleh nilai
5 : Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polinomial
678 7 9 27 9 47 9 5
adalah negatif jika dan hanya jika 2 : 5 : dan 24 : 5
Terbukti A
Lampiran 2 Penentuan Titik Tetap Tak Terinfeksi Model HIV tanpa Terapi Obat
Subtitusi ke persamaan 4, 5 dan 6 sehingga diperoleh
9 B ?
CDE
F ?
CDE
G H ? I J6 ?
8 9 .
CDE
K sehinggga diperoleh titik tetap tak terinfeksi
L
CDE
G H ? 9 J6 ?
8 9 .
CDE
K 3 3 M L
CDE
G H ? ? J6 ?
8 9 .
CDE
K 3 3 M Untuk titik tetap
bernilai negatif, sehingga titik tetap yang akan dianalisis selanjutnya adalah
6
NN
3 3 8 dengan
NN
OPQ
R
S ? 9 T6 ?
8 9
NR
OPQ
U Dengan menggunakan software Mathematica 6
Pada Mathematica notasi
-
dan
,-
masing-masing ditulis menjadi V
W
diperoleh hasil sebagai berikut untuk titik tetap tak terinfeksi
Lampiran 3 Penentuan Titik Tetap Terinfeksi Model HIV tanpa Terapi Obat
Maka diperoleh titik tetap terinfeksi adalah 6 3 3 8
dengan
N
9
RX
Y YOPQ
Z [
Y
Lampiran 4 Penentuan Nilai Eigen Titik Tetap Tak Terinfeksi E
1
dengan Mathematica
Sehingga diperoleh nilai eigen 7
B ? G
NN CDE
F ?
7
3
?
\]
I _6 9 8 ? . 9 .
NN
Sistem akan stabil pada titik tetap jika ketiga nilai eigen negatif, yakni 7 ` 7 ` dan
7 ` Oleh karena itu perlu diperiksa syarat-syarat yang harus dipenuhi agar sistem di E
1
stabil. Karena semua parameter tak negatif, maka
7 ` Agar
7 ` maka diperlukan X ?
aab OPQ
Z ? ` atau
NN
:
6R [
Y
8
OPQ
R
Agar 7 ` maka diperlukan 9 : _6
9
8
G
? . 9 .
atau :
NN
Lampiran 5 Penentuan Nilai Eigen Titik Tetap Terinfeksi dengan Mathematica
Diketahui matriks Jacobi adalah V c
d d
d
e
f f
f
e
+ +
+
e
g H ?
R
OPQ
9 ? ?
? ?
K Pelinearan pada titik tetap terinfeksi
6 3 3 8 dengan
\ ,
\e ,
dan
N
9
RX
Y YOPQ
Z [
Y
diperoleh matriks J
2
V H
X ?
OPQ
Z ? ?
? ?
? K
Kemudian dicari nilai eigen menggunakan persamaan karakteristik hij6V ? 7k8
l B ?
G
CDE
F ? ?
? 7 ?
? ? 7 ? ? 7
l
m B B ? G
CDE
F ? ?
? 7F 6? ? 786? ? 78 9 6? 8 ?
B ? G
CDE
F ?
? ? 7
m B B ? G
CDE
F ? ?
? 7F n6 9 786 9 78 ? o ?
m B B ? G
CDE
F ? ?
? 7F n 9 6 9 87 9 7 ? o ?
m B B ? G
CDE
F ? ? F ? 7 9 B B ?
G
CDE
F ? ? F 6 9 87 ? 6 9 87
9 B B ? G
CDE
F ? ? F 7 ? 7 ? B B ?
G
CDE
F ? ? F
9 7 ?
m 7 9 6 9 87 ? B B ? G
CDE
F ? ? F 7 9 7 ? B B ?
G
CDE
F ? ? F 6 9 87
? 7 9 B B ?
G
CDE
F ? ? F
9 ? B B ?
G
CDE
F ? ? F
\ ,
m 7 9 6 9 87 ? B B ? G
CDE
F ? ? F 7 9 7 ? 6 9 8 B B ?
G
CDE
F ? ? F 7
? 7 9 B B ? G
CDE
F ? ? F 9
? B B ? G
CDE
F ? ? F
m 7 9 6 9 87 ? B B ? G
CDE
F ? ? F 7 ? B B ?
G
CDE
F ? ? F 6 9 87 9
m 7 9 p 9 ? B B ? G
CDE
F ? ? Fq 7 ? 6 9 8 B B ?
G
CDE
F ? ? F 7 9
Persamaan di atas merupakan persamaan karakteristik yang dapat dituliskan sebagai berikut 7 9 27 9 47 9 5
dengan
2 9 ? B B ?
G
CDE
F ? ? F
9 9 X
R
OPQ
Z ? 6 ? 8 9
4 6 9 8 B G
CDE
? 6 ? 8 9 F
5
Berdasarkan pada kriteria Routh-Hurwitz, titik tetap terinfeksi bersifat stabil jika syarat
2 : 5 : dan 24 ? 5 :
Pada titik tetap 9 6?
8 ?
R
r OPQ
Selama :
6? 8 ?
CDE
` 6?
8 `
R
OPQ
9 Ini berarti memperlihatkan bahwa
2 :
Karena 3 3 3 : maka diperoleh
5 : 2
dan
4
masing-masing dapat ditulis menjadi 2 6 9 9 4 8 dan 4 6 9 84 dengan
memanfaatkan bentuk dan catatan bahwa 4 memuat , sehingga dapat ditunjukkan bahwa
24 4 6 9 8 9 4 6 9 8 : 5 yang berarti 24 ? 5 : terpenuhi
Lampiran 6 Dinamika Model HIV tanpa Terapi Obat untuk
s
t
`
Lampiran 7 Orbit Kestabilan Sistem Model HIV tanpa Terapi Obat untuk
s
t
: a.
Ketika
s
t
u v
b. Ketika
s
t
u w
c. Ketika
s
t
x y
Lampiran 8 Dinamika Model HIV tanpa Terapi Obat untuk
s
t
:
