I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Acquired Immunodeficiency
Syndrome AIDS adalah sindrom kumpulan gejala
yang timbul karena rusaknya sistem kekebalan tubuh manusia akibat terinfeksi HIV. Human
Immunodeficiency Virus HIV merupakan
sejenis retrovirus
virus yang
dapat menggandakan dirinya sendiri pada sel yang
ditumpanginya yang
merusak sistem
kekebalan tubuh terutama sel darah putih. Sel darah putih ini berfungsi untuk membantu
tubuh melawan berbagai penyakit, kuman, bakteri atau virus yang masuk ke dalam tubuh.
HIV hidup di semua cairan tubuh tetapi hanya bisa menular melalui cairan tubuh tertentu
yaitu darah, sperma, cairan vagina dan ASI. Penularan dapat terjadi melalui hubungan
seksual, transfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi, antara ibu dan bayi selama
kehamilan, kelahiran dan masa menyusui.
Dua spesies
HIV yang
diketahui menginfeksi manusia adalah HIV-1 dan
HIV-2. HIV-1 merupakan sumber dari mayoritas infeksi HIV di dunia, HIV-1 lebih
mematikan dan lebih mudah masuk ke dalam tubuh. Sementara HIV-2 sulit dimasukkan dan
kebanyakan berada di Afrika Barat Reeves dan Doms, 2002.
Target utama dari infeksi HIV adalah suatu kelas limposit, sel darah putih, yang
dikenal sebagai sel T CD4
+
. Jumlah sel T
CD4
+
normal adalah sekitar 1000 mm
-3
, jika jumlah sel T CD4
+
kurang dari 200 mm
-3
, maka
pada kondisi
ini individu
diklasifikasikan terkena AIDS. Sel T CD4
+
merupakan bagian penting dari sistem kekebalan
tubuh, dan
jika jumlahnya
menyusut, maka sistem tersebut menjadi terlalu lemah untuk melawan infeksi. Infeksi
HIV menyebabkan deplesi imunitas sel terutama sel T CD4
+
dan juga menyebabkan menurunnya fungsi sel tersebut. Seseorang
yang positif mengidap HIV, belum tentu mengidap AIDS. Banyak kasus di mana
seseorang positif mengidap HIV, tetapi tidak menjadi sakit dalam waktu yang lama.
Namun, HIV yang ada pada tubuh seseorang akan terus merusak sistem kekebalan tubuh.
Akibatnya, virus dan bakteri yang biasanya tidak berbahaya menjadi sangat berbahaya
karena rusaknya sistem kekebalan tubuh.
Sampai saat ini HIVAIDS belum dapat disembuhkan secara total, namun berbagai
usaha dilakukan untuk mengembangkan obat- obatan yang dapat mengatasinya. Pengobatan
yang berkembang saat ini, targetnya adalah enzim-enzim yang dihasilkan oleh HIV dan
diperlukan
oleh virus
tersebut untuk
berkembang. Enzim-enzim ini dihambat dengan menggunakan inhibitor yang akan
menghambat kerja enzim-enzim tersebut dan pada
akhirnya akan
menghambat pertumbuhan virus HIV. Salah satu inhibitor
yang digunakan pada pengobatan HIV yang akan dikaji dalam tulisan ini adalah protease
inhibitor .
Beberapa model telah dikembangkan untuk mendeskripsikan sistem kekebalan
tubuh, interaksi sistem kekebalan tubuh dengan HIV dan penurunan jumlah sel T
CD4
+
. Baik model stokastik maupun model deterministik telah dikembangkan. Model
stokastik, seperti model yang dikembangkan oleh
Merrill 1989
bertujuan untuk
memperkirakan awal peristiwa suatu penyakit ketika jumlah sel terinfeksi dan virus sedikit.
Sementara model deterministik, seperti yang dikembangkan oleh Dolezal dan Hraba
1989, Hraba et al 1990, Anderson dan May 1989, dan Perelson 1989 diterapkan pada
analisis dengan populasi berukuran sedang maupun besar. Pada model deterministik
dijelaskan dinamika sel T CD4
+
dan populasi virus baik tanpa terapi maupun dengan terapi
obat-obatan. Pada tulisan ini akan dibahas tiga model
deterministik dari Alan S. Perelson dan Patrick W. Nelson 1998. Pada ketiga model
dijelaskan perubahan populasi sel T tidak terinfeksi
maupun terinfeksi
HIV dan
perubahan populasi virus. Model I, yaitu model HIV tanpa terapi obat, model II, yaitu
model HIV dengan terapi protease inhibitor dan model III, yaitu model penyembuhan sel
darah putih.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah
1. menganalisis kestabilan dan perilaku serta
menampilkan grafik solusi numerik dari model I, II dan III;
2. menganalisis
pengaruh penggunaan
protease inhibitor dengan efektifitas yang
berbeda pada model II dan III.
II LANDASAN TEORI
Pemodelan matematika dapat digunakan untuk mengamati pertumbuhan suatu virus,
termasuk untuk mengamati pertumbuhan virus HIV di dalam tubuh. Model HIV dari Alan S.
perelson dan Patrick W. Nelson adalah sistem persamaan diferensial taklinear. Teori sistem
persamaan
diferensial, pelinearan,
serta kestabilannya akan dirangkum dari buku
Farlow 1994, Verhulst 1990, Tu 1994, Anton 1995 dan Fisher 1990.
Pertama akan dibahas konsep dari sistem persamaan
diferensial linear
SPDL. Misalkan suatu persamaan diferensial orde-1
dinyatakan sebagai berikut a t
g t +
= x
x 2.1
dengan a t
dan g t
adalah fungsi dari waktu
t . Bila a t adalah suatu matriks
berukuran
n n
×
dengan koefisien konstan dan g t
dinyatakan sebagai vektor konstan b
maka diperoleh bentuk SPDL sebagai berikut d
A dt
= =
+
x x
x b . 2.2
Selanjutnya akan dibahas konsep dari sistem persamaan linear mandiri. Misalkan
diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde-1 sebagai berikut
, dx
x f x y
dt =
= ,
dy y
g x y dt
= =
dengan
f
dan g fungsi kontinu bernilai real yang dinyatakan dalam
x
dan y , serta fungsi-fungsi tersebut tidak berubah terhadap
waktu, maka sistem 2.3 disebut sistem persamaan diferensial mandiri.
Selanjutnya akan dibahas titik tetap suatu sistem
persamaan diferensial
dan kestabilannya. Misalkan diberikan sistem
persamaan diferensial SPD sebagai berikut
x x
f x ,x
n
d R
dt =
= ∈
. 2.4
Titik x
disebut titik tetap atau titik keseimbangan, jika memenuhi
=
f x .
Misalkan titik x
adalah titik tetap SPD 2.4 dan
t x
adalah solusi SPD mandiri dengan nilai awal
=
x x
dengan
≠
x x . Titik
x dikatakan titik tetap stabil, jika untuk
sembarang ε terdapat
r sedemikian
sehingga jika posisi awal x memenuhi
r x -x
, maka solusi x t memenuhi
t ε
−
x x
, untuk
setiap t
.
Sebaliknya, titik x
dikatakan titik tetap tidak stabil, jika untuk sembarang
ε dan r
, terdapat posisi awal yang
memenuhi r
x -x , sehingga berakibat
solusi x t memenuhi
t ε
− ≥
x x
, untuk sedikitnya satu
t .
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari suatu SPD taklinear, dapat dilakukan
dengan pelinearan pada sistem persamaan diferensialnya. Untuk suatu SPD taklinear,
analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan SPD taklinear
sebagai berikut
x x :x
n
f R
= ∈
. 2.5
Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik tetap
x , maka persamaan 2.5
dapat ditulis sebagai berikut ϕ
= +
x Ax
x , 2.6
dengan
Df x Df
= =
x=x
A x
1 1
1
1 n
n n
n
f f
x x
f f
x x
∂ ∂
∂ ∂
= ∂
∂ ∂
∂ .
Persamaan 2.6 merupakan SPD taklinear, dengan A adalah matriks Jacobi dan
ϕ x
suku berorde tinggi dengan lim
ϕ
→
=
x
x .
Selanjutnya Ax pada persamaan 2.6 disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan
2.5 sehingga didapat persamaan berikut =
x Ax
. 2.7
Misalkan A adalah matriks
n n
×
, maka
suatu vektor taknol x di dalam
n
R disebut
vektor eigen dari A , jika untuk suatu skalar λ , yang disebut nilai eigen dari A , berlaku
2.3
λ =
Ax x
, 2.8
vektor x disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen λ . Untuk
mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran
n n
×
, maka persamaan 2.8 dapat dituliskan sebagai berikut
λ −
= A
I x ,
2.9
dengan I matriks identitas. Persamaan 2.9 mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika
det λ
− =
A I
. 2.10
Persamaan 2.10
disebut persamaan
karakteristik dari A .
Selanjutnya akan dibahas kestabilan suatu titik tetap. Misalkan diberikan SPD mandiri
x x
x ,x
n
d f
R dt
= =
∈ .
2.11 Kemudian ditentukan titik tetap
x yang
memenuhi f
= x
. Selanjutnya, dilakukan pelinearan di sekitar titik tetapnya sesuai
dengan persamaan 2.6, sehingga diperoleh persamaan 2.7. Analisis kestabilan SPD
2.11, dilakukan melalui analisis kestabilan SPD 2.7.
Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu:
i
λ
, 1, 2,...,
i n
= yang diperoleh dari persamaan
karakteristik dari A , yaitu det
λ −
= A
I .
Secara umum kestabilan suatu titik tetap mempunyai 3 perilaku sebagai berikut:
1. Stabil, jika a. setiap nilai eigen real adalah negatif
i
λ
untuk setiap i , b. setiap komponen nilai eigen kompleks
bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol,
Re
i
λ ≤ untuk setiap i .
2. Tidak stabil, jika a. setiap nilai eigen real adalah positif
i
λ
untuk setiap i , b. setiap komponen nilai eigen kompleks
bagian realnya lebih besar dari nol, Re
i
λ untuk setiap i . 3. Sadel, jika
Perkalian dua buah nilai eigen real adalah negatif
i j
λ λ untuk setiap i dan j sembarang.
Adapun bentuk umum kestabilan di sekitar titik tetap adalah sebagai berikut:
a. Simpul stabil
b. Simpul tidak stabil
c. Sadel
d. Spiral stabil
e. Spiral tidak stabil
f. Center
Selain itu, penentuan kestabilan titik tetap juga didapat berdasarkan kriteria Routh-
Hurwitz berikut ini Teorema 1: Routh-Hurwitz Criterion
Misalkan
1 2
, ,...,
k
a a a
merupakan bilangan real. Semua nilai eigen dari persamaan
karakteristik
1 2
1 2
1
...
k k
k k
k
p a
a a
a
λ λ
λ λ
λ
− −
−
= +
+ +
+ +
=
mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks
i i ×
M
untuk setiap 1, 2,...,
i k
=
adalah positif dengan
j
a = jika
j k
. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, untuk
suatu nilai k , dengan 2,3, 4
k =
. Titik tetap x
stabil jika dan hanya jika untuk
1 2
2; 0,
k a
a =
1 3
1 2 3
3; 0,
0, k
a a
a a a
=
2 2
1 3
4 1 2
3 3
1 4
4; 0,
0, 0,
k a
a a
a a a a
a a =
+ untuk kasus
3 k
= kriteria Routh-Hurwitz disajikan pada Teorema 2.
Teorema 2 Misalkan
, , A B C bilangan-bilangan real.
Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik
3 2
p A
B C
λ λ
λ λ
= +
+ +
=
adalah negatif jika dan hanya jika , A C
positif dan AB
C .
Bukti lihat Lampiran 2.
Selanjutnya akan
dibahas mengenai
bilangan reproduksi dasar,
R
. Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata jumlah
infeksi sekunder yang disebabkan oleh datangnya individu terinfeksi tunggal ke
dalam populasi
yang rentan
terserang penyakit, atau bisa juga dikatakan
R
merupakan reproduksi dasar virus. Berikut adalah analisis untuk nilai
R
: 1.
1 R
: virus tidak dapat bertahan hidup di
dalam populasi.
2.
1 R
: virus dapat bertahan hidup di
dalam populasi. Dalam karya ilmiah ini juga dibahas
mengenai bifurkasi. Misalkan suatu sistem dinamik
, dx
f x dt
ψ =
2.12 dengan parameter
ψ adalah suatu konstanta. Dengan nilai
ψ yang bervariasi dan mempunyai suatu nilai kritis
ψ
. Sistem dinamik tersebut akan stabil jika
ψ ψ
dan tidak stabil jika
ψ ψ
, maka pada titik
ψ
terdapat perubahan kestabilan sistem yang disebut bifurkasi. Nilai
ψ
adalah titik bifurkasi.
Salah satu tipe bifurkasi yang dibahas adalah bifurkasi transcritical. Misalkan suatu
sistem dinamik
2
, dx
f x x
x dt
µ µ
= =
− .
2.13 Titik
0, x
µ =
merupakan titik tetap yang memenuhi
, f x
µ = . Ketika
µ
, titik tetap
1
x =
adalah stabil dan titik tetap
2
x µ
=
tidak stabil. Sedangkan untuk
µ
, titik tetap
1
x =
tidak stabil dan titik tetap
2
x µ
=
stabil. Sehingga pada
µ
= terdapat perubahan kestabilan sistem yang disebut
bifurkasi transcritical dengan
µ
= adalah titik bifurkasi. Persamaan 2.13 merupakan
bentuk normal dari bifurkasi transcritical.
III PEMBAHASAN
3.1 Model HIV Tanpa Terapi Obat
Kategori