dengan T
: banyaknya populasi sel T tidak terinfeksi,
T : banyaknya populasi sel T terinfeksi,
V : banyaknya populasi virus,
s
: laju sel T baru dihasilkan dari sumber di dalam tubuh, seperti timus,
p : laju proliferasi maksimum,
max
T
: populasi maksimum sel T pada proliferasi,
T
d
: laju kematian sel T tidak terinfeksi, k
: laju infeksi, δ
: laju kematian sel T terinfeksi, N
: total virus yang diproduksi oleh sel T terinfeksi selama waktu hidupnya,
c
: laju kematian virus. Nilai parameter yang digunakan dalam
simulasi diperoleh dari Perelson, Kirschner dan De Boer 1993, dengan rincian diberikan
pada Tabel 1 berikut ini. Tabel 1
Nilai parameter
Notasi Nilai
s
10 mm
-3
hari
-1
p 0.03 hari
-1
max
T
1500 mm
-3
T
d
0.02 hari
-1
k 0.000024 mm
-3
hari
-1
δ 0.24 hari
-1
N bervariasi
c
2.4 hari
-1
Selanjutnya akan ditentukan titik tetap untuk sistem persamaan 3.1 yang kemudian
akan menganalisis kestabilan di sekitar titik tetap
tersebut, orbit
serta dinamika
populasinya.
3.1.1 Titik Tetap
Titik tetap dari sistem persamaan 3.1 akan diperoleh dari persamaan
dT dt
= ,
dT dt
= dan
dV dt
= , yaitu
2 max
1 max
4 , 0, 0 ,
2
T T
T sp
E p
d p
d p
T =
− +
− +
2 max
2 max
4 , 0, 0 ,
2
T T
T sp
E p d
p d p
T =
− −
− +
dan
3
, , ,
E T T V
= dengan
c T
Nk =
cV T
N δ
=
max
1
T T
T
p d
s V
kT k
− −
= +
. Asumsikan bahwa tidak terdapat virus di
dalam sel tubuh V
= , maka
T =
sehingga diperoleh
2 max
4 2
mx T
T
T sp
T p
d p
d p
T =
− ±
− +
. Dengan demikian, terdapat dua titik tetap
tidak terinfeksi yaitu
2 max
1 max
4 , 0, 0 ,
2
T T
T sp
E p d
p d p
T =
− +
− +
dan
2 max
2 max
4 , 0, 0
2
T T
T sp
E p d
p d p
T =
− −
− +
.
Untuk titik tetap
2
E
tidak akan dianalisis karena jumlah populasi sel T tidak terinfeksi
pada titik tetap
2
E
bernilai negatif, sehingga titik
tetap yang
dianalisis adalah
1 1
, 0, 0
ss
E T
= dengan
2 1
max
4 2
mx ss
T T
T sp
T p
d p
d p
T =
− +
− +
. Titik tetap terinfeksi diperoleh dengan
menyelesaikan sistem persamaan 3.1 yaitu
3
, , ,
E T T V
= dengan
c T
Nk =
cV T
N δ
=
max
1
T T
T
p d
s V
kT k
− −
= +
. Titik tetap terinfeksi ada hanya jika
V yang berarti
1 ss
T T
.
3.1.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Untuk melihat perilaku solusi di sekitar titik tetap, maka akan dilakukan pelinearan
pada model yang merupakan persamaan diferensial
taklinear. Misalkan
sistem persamaan 3.1 dituliskan sebagai berikut
, , , ,
, , dT
P T T V dt
dT Q T T V
dt dV
R T T V dt
= =
= 3.2
Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan 3.2, diperoleh matriks Jacobi
P P
P T
T V
Q Q
Q J
T T
V R
R R
T T
V ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
maka
max
2
T
pT p
d kV
kT T
J kV
kT N
c δ
δ −
+ −
− −
= −
− .
Pelinearan sistem persamaan diferensial pada titik tetap
akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut
1 1
max 1
1
2 1
ss T
ss ss
T p
d kT
T J
kT N
c δ
δ −
− −
= −
− .
Untuk memperoleh nilai eigen digunakan persamaan
karakteristik
1
det J
I λ
− =
sehingga nilai eigen untuk matriks J
1
adalah
1 1
max
2 1
ss T
T p
d T
λ
= −
−
2 2,3
1
1 4
4 2
2
ss
c c
c NkT
δ λ
δ δ
δ +
= − ±
+ −
+ .
Karena semua parameter taknegatif, maka
3
λ
sehingga kestabilan titik tetap tergantung pada nilai eigen
1
λ
dan
2
λ
. Agar titik tetap bersifat stabil, maka
i.
1
λ
yang berarti
max 1
2
T ss
p d T
T p
− ii.
2
λ
yang berarti
1 ss
c NkT
atau
1 ss
c N
kT .
Kondisi stabil dipenuhi, ketika
1 ss
c N
kT atau ditulis dalam bentuk
1
1
ss
NkT c
. Besaran
1 ss
NkT c
merupakan bilangan
reproduksi dasar virus dalam populasi, diberi notasi
R
. Ketika
1 R
yang merupakan kondisi stabil, maka virus tidak dapat bertahan
di dalam populasi. Sebaliknya, ketika
1 R
, maka populasi tidak stabil, karena virus akan
bertahan dalam populasi. Pelinearan sistem persamaan diferensial
pada titik
3
, , ,
E T T V
= dengan
c T
Nk =
cV T
N δ
=
max
1
T T
T
p d
s V
kT k
− −
= +
akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut
max 1
2 1
T
T p
d kV
kT T
J kV
kT N
c δ
δ −
− −
− =
− −
.
Kestabilan titik tetap bergantung pada nilai
eigen pada matriks J
2
yang diperoleh dari persamaan
karakteristik
2
det J
I λ
− =
atau
3 2
A B
C λ
λ λ
+ +
+ =
dengan
max
2
T
pT A
c p
d kV
T
δ
= + +
− −
+
max
2
T
pT B
c p
d kV
T
δ
= +
− −
+ C
c kV δ
= .
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, titik tetap terinfeksi stabil, jika syarat
A ,
C , dan
AB C
− terpenuhi.
Karena semua parameter taknegatif, maka diperoleh
C . Pada titik tetap berlaku
2 max
T
pT s
p d
T kVT
T +
− −
= .
Selama s
,
2 max
T
pT p
d T
kVT T
− −
atau
max T
pT p
d kV
T −
+ .
Ini memperlihatkan bahwa A
. Bentuk A dan
B masing-masing
dapat ditulis
1
A c
B δ
= + +
dan
1
B c B
δ =
+ , dengan
1
B
memuat kV sehingga dapat ditunjukkan bahwa
2 2
1 1
AB B
c B
c ckV
C δ
δ δ
= +
+ +
= yang berarti
AB C
− terpenuhi.
Tabel 2 Kondisi kestabilan titik tetap dari model tanpa terapi obat Kondisi
E
1
E
3
max 1
2
T ss
p d T
T p
−
1 ss
c N
kT atau
1 R
Simpul Stabil Sadel
max 1
2
T ss
p d T
T p
−
1 ss
c N
kT atau
1 R
Sadel Spiral Stabil
Dari Tabel 2 terlihat bahwa terjadi perubahan kestabilan titik tetap. Hal ini
menunjukkan adanya bifurkasi trancritical dengan
1 ss
c N
kT =
merupakan titik bifurkasi. Berikut ini akan diperlihatkan bifurkasi
transcritical untuk model HIV tanpa terapi
obat, titik tetap stabil ditandai dengan garis tebal, sedangkan titik tetap tidak stabil
ditandai dengan garis putus-putus pada.
Gambar 2 Bifurkasi transcritical untuk
model HIV tanpa terapi obat.
3.1.3 Dinamika Model HIV tanpa Terapi Obat
