PENGEMBANGAN MODEL
PENGEMBANGAN MODEL
4.1 PENENTUAN KRITERIA DAN FUNGSI TUJUAN
4.1.1 Keandalan Pada Pegas (Spring Reliability)
Kualitas bisa diartikan sebagai kesempurnaan sebuah produk saat digunakan oleh konsumen sedangkan keandalan (reliability) dalam dunia teknik dideskripsikan sebagai kemampuan produk untuk bekerja tanpa mengalami kegagalan (failure) selama masa penggunaannya (O’Connor, 2008).
Kriteria maximum reliability Azarm dan Papalambros (1982) yang digunakan pada penelitian ini yaitu faktor keamanan untuk fatigue karena untuk mencegah kelelahan pada pegas akibat pembebanan yang berulang. Persamaan (4.1) adalah fungsi objektif untuk minimasi kebalikan faktor keamanan terhadap fatigue.
min
= 2,04 F max -F C min
1 .(Nc) B1 + F max +F min C 2 .C 0,86 .d
-(A1+ 2) ....................................... (4.1)
Kemudian dari model yang dikembangkan oleh Azarm dan Papalambros (1982) diperoleh persamaan (4.2).
= 2,04. D d w 0,86 .d w -1,86
(d w 4 .G p.N a + 3.d w -Lo max )-(d w 4 .G p.N a + 3.d w -L i)
5,04.10 6 .D 3 .N a . Nc -0.2137
(d w 4 .G p.N a + 3.d w -Lo max ) + (d w 4 .G (p.N a + 3.d w -L i) ) 1,28.10 6 .D 3 .N a
………. (4.2) dimana :
SF f = faktor keamanan untuk fatigue p = jarak bagi (inch) N a = jumlah lilitan aktif Nc = jumlah siklus hingga terjadi failure
D = diameter rata-rata (inch)
d w = diameter kawat pegas (inch) Li = panjang terpasang (inch)
Lo max
= panjang operasi maksimal (inch)
G = modulus geser ( lb/inch 2 )
Kapasitas energy etoring pegas yang maksimal sangat dibutuhkan terutama pada pegas yang lebih kecil. Hal ini berhubungan dengan peredaman kejut dan pengaruh beban pegas. Kriteria energy storing pada lock case berfungsi untuk mencegah adanya hambatan pada saat latch bolt terdorong keluar dan untuk memaksimalkan energi pegas saat mendorong latch bolt. Fungsi tujuan energy storing menurut Azarm dan Papalambros (1982):
Dengan substitusi persamaan (4.5) dan persamaan (4.4) ke persamaan (4.3) diperoleh persamaan energy storing sebagai berikut :
dw 4 .G p.Na+ 3.dw-Lomax
8.D3.Na
d w 4 ……………………………...… (4.6)
dimana : U
= Energy Storing
Lo max
= panjang operasi maksimal (inch) p = jarak bagi (inch) N a = jumlah lilitan aktif
D = diameter rata-rata (inch)
d w = diameter kawat pegas (inch)
Lo max
= panjang operasi maksimal (inch)
G = modulus geser ( lb/inch 2 )
Natural frequency pada pegas digunakan pada pegas untuk mekanisme yang sangat cepat dan sebuah kondisi dengan resonansi yang cukup besar. Fungsi natural frequency menurut Hirani (2011) digunakan pada persamaan (4.7).
……………………………………………………...… (4.8)
d w 4 .G
8.D 3 .N a ……………………………………………………………….. (4.9) Substitusi pada (4.8) dan (4.9) ke persamaan (4.7)
………………………………………………………. (4.10)
Persamaan (4.10) dapat dinyatakan sebagai minimasi dengan mengubah f n menjadi 1/ f n seperi pada persamaan (4.11):
……………………………………………………..… (4.11) dimana :
p = jarak bagi (inch) N a = jumlah lilitan aktif Nc = jumlah siklus hingga terjadi failure
D = diameter rata-rata (inch)
d w = diameter kawat pegas (inch) Li = panjang terpasang (inch)
Lo max
= panjang operasi maksimal (inch)
G = modulus geser ( lb/inch 2 )
4.2 PENENTUAN BATASAN MODEL
1. Tekukan (Buckling) Sebagaimana kolom, pegas juga akan tertekuk jika beban yang diberikan terlalu besar. Pegas cenderung akan semakin tertekuk bila pegas tinggi dan ramping. Pada lock case beban tersebut merupakan dorongan dari gagang yang menekan latch bolt sehingga jika terlalu besar akan menimbulkan tekukan dan dapat dilihat pada persamaan (4.12).
p.N a + 3.d w <2.63 D ................................................................................... (4.12) dimana :
N a = jumlah lilitan aktif
d w = diameter kawat pegas (inch) p = jarak bagi (inch)
2. Gelombang (Surging) Pegas dapat bergetar secara menyamping atau membujur, jika salah satu ujungnya tetap maka ketika terjadi defleksi ujung lilitan akan menekan lilitan terdekat disampingnya, lilitan di ujung pegas yang lain akan ditekan oleh lilitan di sampingnya sebelum pegas tersebut selesai merespon defleksi. Kompresi ini kemudian menyebar ke bawah pegas dengan lilitan pertama satu dan dua bersentuhan, kemudian lilitan dua dan tiga bersentuhan dan seterusnya sampai gelombang kompresi mencapai ujung yang lain dimana gangguan akan terdefleksi kembali (Childs, 2004). Proses ini akan berulang hingga teredam dengan sendirinya. Fenomena ini dikenal sebagai gelombang pegas dan menyebabkan tegangan sangat tinggi di pegas, yang kira-kira sama dengan tegangan saat pegas dikompresi pada panjang solid. Peluang terjadinya gelombang akan semakin besar jika pegas diaplikasikan dengan getaran berulang yang cepat. Perancang harus yakin bahwa dimensi pegas tidak menghasilkan frekuensi getaran alami yang mendekati frekuensi yang dihasilkan oleh gaya yang bekerja pada pegas. Frekuensi alami pegas diberikan oleh Persamaan (4.10). Frekuensi alami pegas (f n ) harus lebih besar dari pada frekuensi getaran yang dihasilkan oleh gaya yang bekerja pada
pegas ( 0 ) maka
.N a .D 2 G 0 ....................................................................................... (4.13) dimana :
= frekuensi alami (Hz)
D = diameter rata-rata (inch) N a = jumlah lilitan aktif
d w = diameter kawat pegas (inch)
0 = frekuensi gelombang pegas
G = modulus geser ( lb/inch 2 ) = kepadatan massa material (lb-s 2 /inch 4 )
Defleksi pegas berkaitan dengan perubahan panjang pada pegas. Sehingga pada pegas lock case pegas harus memiliki batas defleksi sebesar y min supaya pintu dapat terbuka. Persamaan (4.14) merupakan batas defleksi pegas
dimana defleksinya tidak boleh melebihi y min (Persamaan 4.15). Besar defleksi pada pegas diberikan oleh persamaan :
Defleksi pada pegas harus lebih besar atau sama dengan y min , sehingga,
8D 3 .F max .N a
d w 4 .G
y min .................................................................................... (4.15) Subtitusi Persamaan (4.5) ke Persamaan (4.15) sehingga diperoleh
Persamaan (4.16) sebagai berikut :
p.N a + 3.d w -Lo max y min ....................................................................... (4.16)
4. Tegangan geser maksimum (Maximum shear stress) Pada persamaan (4.17) ditunjukkan tegangan geser maksimum untuk menghindari overstress (tegangan berlebih). Nilai tegangan geser yang bekerja pada pegas harus kurang dari atau sama dengan tegangan geser yang diizinkan allowable .
Subtitusi Persamaan (4.5) ke Persamaan (4.17) sehingga diperoleh Persamaan (4.18) sebagai berikut :
8. dw
4.G p.Na+ 3.dw-Lomax 8.D 3 .Na
= gaya maksimum (lb)
D = diameter rata-rata (inch)
Lo max = panjang operasi maksimum (inch)
G = modulus geser ( lb/inch 2 ) N a = jumlah lilitan aktif p = jarak bagi (inch)
= tegangan geser yang diizinkan (lb/inch 2 )
5. Indeks pegas (Spring Index) Indeks pegas merupakan perbandingan antara diameter rata-rata pegas (D) dengan diameter kawat pegas (d w ). Indeks pegas merupakan faktor kritis dalam perancangan pegas. Tegangan dan defleksi dalam pegas bergantung pada C. Nilai C harus berada pada rentang tertentu antara C minimal dan C maksimal. Persamaan (4.19) menunjukkan rentang nilai C yang diperbolehkan.
mi
max
.................................................................................... (4.19) Nilai C yang terlalu kecil menyebabkan kinerja pegas sulit karena diameter
kawat (d w ) yang terlalu besar sehingga diperlukan deformasi berat yang mungkin menyebabkan kawat retak. Sebaliknya, nilai C terlalu besar akan menyebabkan terjadinya tekukan (buckling). dimana :
D/d w = indeks pegas
6. Diameter luar maksimal (Maximum Allowable Outside Diameter)
Nilai Do max akan membatasi nilai diameter kawat dan diameter rata-rata pegas agar ketika pegas ditekan hingga panjang solid, pegas tidak bergesekan dengan komponen di sekitar ruang operasinya.
D 2 + p 2 +d w 2 2 + d w D o max .......................................................................... (4.20) Dimana :
Do max = diameter luar maksimal (inch)
D os = diameter luar pada panjang solid (inch)
D = diameter rata-rata (inch) p = jarak antar lilitan (inch)
d w = diameter kawat pegas (inch)
Pegas umumnya melilit batang sehingga nilai diameter dalam ( D i ) menjadi faktor kritis yang perlu dipertimbangkan, terutama untuk menghindari gaya gesek antara pegas dengan batang latch bolt. Hal ini ditunjukkan pada persamaan (4.21)
D-d w D i min ........................................................................................... (4.21) Dimana :
D = diameter rata-rata (inch)
D i min =diameter dalam (inch)
d w = diameter kawat pegas (inch)
8. Diameter kawat pegas (Available wire diameter) Pada persamaan (4.22) menunjukkan diameter kawat pegas yang terletak pada rentang tertentu agar memudahkan dalam proses manufaktur pegas.
d w min d w d w max ..................................................................................... (4.22) Dimana :
d w min = diameter kawat pegas minimal (inch)
d w = diameter kawat pegas (inch)
d w max = diameter kawat pegas maksimal (inch)
9. Diameter rata-rata pegas (Allowable mean diameter) Seperti pada diameter kawat pegas, diameter rata-rata harus berada pada rentang tertentu untuk menghindari kesulitan dalam proses manufaktur dan disesuaikan dengan ketersediaan ruang untuk pegas tersebut disekitar latch bolt . Hal ini ditunjukkan pada persamaan (4.23).
D min D D max .......................................................................................... (4.23) Dimana :
D min = diameter rata-rata minimal (inch)
D = diameter rata-rata (inch)
D max = diameter rata-rata maksimal (inch)
10. Jumlah lilitan aktif (Allowable number of active coils) Jumlah lilitan aktif mempengaruhi panjang pegas. Semakin banyak jumlah lilitan semakin panjang pegas tersebut. Hal ini akan mempengaruhi 10. Jumlah lilitan aktif (Allowable number of active coils) Jumlah lilitan aktif mempengaruhi panjang pegas. Semakin banyak jumlah lilitan semakin panjang pegas tersebut. Hal ini akan mempengaruhi
N a min = jumlah lilitan aktif minimal N a max = jumlah lilitan aktif maksimal N a = jumlah lilitan aktif
4.3 CONTOH NUMERIK
4.3.1 Definisi Masalah
Pada penelitian ini digunakan lock case dengan merk Bremen ® .
(a)
(b)
Gambar 4.1. Posisi pegas pada latch bolt a). Kondisi defleksi minimal, b). Kondisi defleksi maksimal Sumber : Nugraha dkk. (2011)
Pengukuran dimensi pegas latch bolt pada lock case Bremen ® menghasilkan data sebagai berikut :
Tabel 4.1 Data pengukuran dimensi lock case Bremen ®
1 Jarak bagi
inch
2 Panjang terpasang
3 Panjang operasional maksimal
Lo max 0,66929
inch
4 Diameter luar maksimal
Do max 0,55
inch
5 Diameter dalam minimal
Di min 0,45
inch
6 Defleksi minimal
y min 0,433
inch
7 Tinggi kepala latch bolt
inch Sumber : Nugraha dkk. (2011)
Data yang berkaitan dengan material pegas music wire ASTM A228-51 dapat dilihat pada Tabel 4.2:
1 Modulus geser 11,85.10 6 lb/inch 2
2 Kepadatan berat material pegas
lb/inch 3
3 Konstanta gravitasi
inch/s 2
4 Kepadatan massa material
7,38342.10 -4 lb-s 2 /inch 4
5 Tegangan geser yang diizinkan 7,5.10 4 lb/inch 2 Sumber : Arora (2004)
Tabel 4.3 Nilai batasan model
1 Batasan diameter kawat
2 Batasan diameter rata-rata
D min 0,25
inch
D max 0,51
inch
3 Indeks pegas
Jumlah lilitan aktif Na min 3 - Na max 15 -
Jumlah siklus hingga terjadi
failure Nc
Konstanta kondisi ujung lilitan
0.5 - 7
Frekuensi gelombang pegas
Hz Sumber : Nugraha dkk. (2011)
4.3.2 Penyelesaian
Model optimisasi secara lengkap dapat dinyatakan sebagai berikut :
1. Fungsi objektif reability : Meminimumkan
2,04. D d
.d w -1,86 . (d w 4 . 11,85.10 6 . 0,12.N a + 3.d w - 0,66929 )-(d
. 11,85.10 6 0,12.N a + 3.d w - 1,08
5,04.10 6 .D 3 .N a . 10 6 -0.2137
(d w 4 . 11,85.10 0,12.N a + 3.d w - 0,66929 ) + (d w 4 . 11,85.10 (0,12.N a + 3.d w - 1,08) 1,28.10 6 .D 3 .N a
d w 4 . 11,85.10 6 0,12..N a + 3.d w - 0,66929
8.D 3 .N a
3. Fungsi Objektif Natural Frequency :
Batasan model :
1. Tekukan (Buckling) Pegas latch bolt disokong oleh dua permukaan paralel, sehingga sesuai dengan Tabel (4.3) nilai adalah 0,5. Subtitusi nilai ke Persamaan (4.12), maka diperoleh,
0,12.N a + 3.d w < 2.63
2. Gelombang (Surging) Frekuensi alami pegas (fn) harus lebih besar dari pada frekuensi getaran yang dihasilkan oleh gaya yang bekerja pada pegas (
), jika frekuensi getaran pegas ( ) adalah 100 Hz maka. Persamaan (4.13) dapat ditulis sebagai berikut,
2 .N a .D 2 11,85.10 6 2. 7,38342.10
3. Batas Defleksi (Deflection Limit) Pegas latch bolt harus terdefleksi minimal sebesar
agar pintu dapat dibuka. Defleksi sebesar
cukup untuk menarik latch bolt dapat keluar dari kusen. Nilai y min diperoleh dari selisih panjang terpasang (Li) dengan panjang operasi maksimal (Lo max) sebesar 0,433 inch. Persamaan (4.16) dapat ditulis sebagai berikut,
0,12.N a + 3.d w - 0,66929 0,433
Subtitusi nilai parameter di Tabel (4.1) dan (4.2) ke Persamaan (4.18) maka diperoleh,
d w 4 . 11,85.10 6 0,12.N a + 3.d w - 0,66929
5. Indeks pegas (Spring Index) Nilai C dalam perancangan pegas disarankan lebih besar atau sama dengan 5 dan lebih kecil atau sama dengan 12 (Mott, 2009). Berdasarkan Mott (2009), batasan indeks pegas pada Persamaan (4.19) dapat dituliskan :
6. Diameter luar maksimal (Maximum Allowable Outside Diameter)
Diameter luar pegas latch bolt menjadi nilai kritis karena harus sesuai dengan ketersediaan ruang pada lock case. Persamaan (4.20) dapat ditulis sebagai berikut,
D 2 + p 2 +d w 2 2 + d w 0,55
7. Diameter dalam minimum (Minimum Allowable Inside Diameter)
Subtitusi nilai pada Tabel (4.1) dan (4.2) ke Persamaan (4.21) sehingga diperoleh,
D-d w 0,45
8. Diameter kawat pegas (Available wire diameter) Berdasarkan Tabel (4.2), music wire ASTM A228-51 tersedia dalam ukuran 0,005 – 0,125 inch, sehingga Persamaan (4.22) dapat dituliskan menjadi :
d w 0,005
d w 0,125
9. Diameter rata-rata pegas (Allowable mean diameter) Setelah dilakukan pengukuran ruang yang tersedia untuk pegas latch bolt , ternyata diameter rata-rata yang mungkin berada pada nilai lebih dari atau sama dengan 0,25 inch dan kurang dari atau sama dengan 0,51 inch.
D1 0,25 D2 0,51
10. Jumlah lilitan aktif (Allowable number of active coils) Budynas dan Nisbett (2008) menyebutkan bahwa untuk mempertahan linearitas defleksi pada pegas, jumlah lilitan pegas harus berada pada rentang
3 – 15 lilitan. Persamaan (4.24) dapat ditulis sebagai berikut, Na 2 3 Na 1 15
11. Batas operasi (Operation limit) Batasan model ini khusus digunakan untuk lock case. Defleksi minimal pegas latch bolt (y min ) terjadi ketika latch bolt terpasang pada back plate dan kepala latch bolt berada di luar armor front. Pegas mengalami kompresi dari panjang bebas (Lf) menjadi panjang terpasang (Li). Ketika defleksi maksimal terjadi (y max ) kepala latch bolt akan tertarik ke dalam lock case, jika ujung kepala latch bolt ini melewati armor front, latch bolt akan keluar dari jalurnya. Oleh karena itu defleksi maksimal tidak boleh lebih besar dari tinggi kepala latch bolt (k), sehingga dapat dituliskan :
Lf - Lo max "k ............................................................................................. (4.25) Subtitusi persamaan pada Tabel (4.1) ke Persamaan (4.25), diperoleh :
p.N a + 3.d w -Lo max "k ................................................................................ (4.26) Dimana :
Lo max = panjang operasi maksimal (inch) p = jarak bagi (inch) N a = jumlah lilitan aktif
d w = diameter kawat pegas (inch) k = tinggi kepala latch bolt (inch)
Sehingga Persamaan (4.26) dapat dinyatakan sebagai berikut :
0,12.N a + 3.d w -0.66929 0,55
Pada penelitian ini metode function transformation karena antara energy storing , natural frequency dan reliability memiliki satuan yang berbeda. Metode function transformation merupakan metode penyelesaian permasalahan multi- objektif dengan cara mengubah fungsi tujuan yang berbeda satuan menjadi fungsi tujuan yang tidak berdimensi atau tidak bersatuan (Arora, 2009). Untuk menentukan nilai minimal dan maksimal pada metode weighted sum maka digunakan software LINGO 9.0 sebagai solver diperoleh :
Tabel 4.4 Hasil penentuan nilai maksimal dan minimal
Variabel Keputusan
Notasi
Nilai Minimum
Nilai Maksimum
0,5467170 Energy Storing
1/U
0,00003462555
0,00006325561 Natural frequency
1/F n 0,002831721
0,003835051 Kemudian dimasukkan pada rumus weighted sum sebagai berikut :
(4.27)
4.3.4 Pencarian Solusi Algoritma Genetika Menggunakan Toolbox Matlab
Pada pencarian solusi algoritma genetika menggunakan Matlab diperlukan input untuk fungsi tujuan dan batasannya. Setelah semua parameter-parameter dimasukkan pada program dalam format M-File pada matlab, langkah selanjutnya adalah memanggil program tersebut ke dalam Toolbox Matlab yang di dalamnya terdapat banyak pilihan menu untuk model optimisasi dengan algoritma genetika. Cara untuk menampilkan aplikasi ini adalah dengan memilih tombol Start pada menu utama Matlab kemudian pilihToolboxes setelah itu pilih Genetic Algorithm and Direct Search kemudian klik Genetic Algorithm Tool (gatool).
Dengan menggunakan matlab optimization toolbox running hasil dari weighted sum diolah dengan jumlah populasi 20, generasi 100 (default matlab), time limit infinitive (default matlab), fitness limit infinitive (default matlab), fungsi mutasi use constraint dependent default (default matlab) dan fungsi crossover scattered (default matlab). Hasil running algoritma dapat dilihat pada Tabel 4.5 dan Tabel 4.6.
Y: 0.00227 X: 0.8039
Y : 0.0002822 X: 0.00227
Y = 0.8039 X = 0.00227 Z = 0.0002822
Kemudian hasil running pada matlab diplotkan pada pareto sehingga muncul pareto frontier.
Gambar 4.2. Pareto front N f Pareto front E Gambar 4.3. s
Gambar 4.4. Pareto front S f Gambar 4.5. Pareto front 3D Na, dw, dan D
(4.2), (4.3), (4.4) dan (4.5) pada tabel 4.7.
Tabel 4.7 Hasil optimisasi dengan Populasi X
Variabel Keputusan
Notasi
Nilai Optimal
Diameter kawat pegas
d w 0.0743 Diameter rata-rata pegas
D 0,4787 Jumlah lilitan aktif
N a 10
Dari hasil plot pareto dapat dilihat 1/SF = 0.80392562377406, 1/U = 0.000282182650150809 dan 1/f n = 0.0022704905116688. Maka diperoleh SF =
1.24, U = 3543.804 lb/inch 3 dan f n = 440.43 Hz.
4.4 HASIL OPTIMISASI PROGRAM MATLAB
Dalam penelitian ini, proses algoritma genetika dijalankan sebanyak 100 generasi sesuai dengan parameter-parameter algoritma genetika yang telah ditetapkan dalam menu Toolbox Matlab. Setelah pengulangan proses seleksi dan reproduksi untuk mendapatkan solusi yang terbaik, maka proses algoritma dihentikan berdasarkan jumlah generasi maksimum yang telah ditentukan. Dari proses algoritma genetika tersebut, kemudian sebuah solusi diambil dari generasi yang terakhir. Ukuran populasi yang digunakan dalam penelitian adalah 20, 40,
60, 80, dan 100. Kemudian nilai probabilitas crossover dan mutasi sebesar 0.2,
0.4, 0.6, 0.8, dan 1 dengan maksud agar dapat diketahui perbandingan hasil pengoptimisasian setelah program dijalankan. Berikut ini merupakan tabel hasil optimisasi setelah program dijalankan dengan Toolbox Matlab:
Tabel 4.8 Hasil optimisasi dengan perubahan populasi
Dapat dilihat pada Tabel 4.8 bahwa hasil running populasi 100 memiliki nilai
yang paling maksimum dengan SF = 2.71, U = 30418.61 lb/inch 3 dan f n = 253.33 Hz.
ES NF 0.2 0.509985208 0.074365
Dapat dilihat pada Tabel 4.9 bahwa hasil running probabilitas crossover 1 memiliki nilai yang paling maksimum dengan SF = 1.00, U = 3636.706
lb/inch 3 dan f n = 422.1703 Hz.
Tabel 4.10 Hasil optimisasi dengan perubahan probabilitas mutasi
Hasil running probabilitas crossover 1 memiliki nilai yang paling maksimum
dengan SF = 2.229, U = 38472.706 lb/inch 3 dan f n = 262.1703 Hz.