1. y
2
dx – x dy = 0 2. 1+2y dx – 4-x dy = 0
3. cos y dx + 1+e
-x
dy = 0 4. dx + 1-x
2
cot y dy = 0 5.
3 1
dx dy
= 1-sec x 6. 1-x
2
y’ = 2 7. 1+2y dx - 4-x dy = 0
8. xdy – ydx = 0 dengan y1 = 1 9. 1-x dx – 2y
2
dy = 0 dengan y0 = 1 10.
y’= x
3
1-y dengan y0 = 3 11.
dx dy
= 2x cos
2
y dengan y0 =
4
12. y’ = 2x
3
e
-2y
dengan y1 = 0 Catatan
Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien differensial berupa variable
sejenis berkumpul dengan differensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana fx dx + gy dy = 0.
2.2 Persamaan yang dapat Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu Mx,y dx + Nx,y dy = 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan differensial yang dapat
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
27
direduksi menjadi persamaan differensial variable terpisah jika bentuk umum
Mx,y dx + Nx,y dy = 0
f
1
xg
1
y dx + f
2
xg
2
y dy = 0
2 1
x f
x f
dx +
1 2
y g
y g
dy = 0
Fx dx + Gy dy = 0.
Untuk selanjutnya bentuk pembagian 1
2 2
x g
x f
disebut faktor integrasi. Selesaian umum persamaan differensial yang dapat direduksi
menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis
dikelompokkan dengan differensialnya. Contoh:
Tentukan selesaian umum persamaan dibawah ini: 1. 2y+3 dx – xy dy = 0
2
x dx
-
3
y ydy
= 0
2
x dx
-
3
y ydy
= C
2
x dx
-
1-
3 3
y
dy = C
2
x dx
-
1 dy +
3 3
y
dy = C
2 Ln │x │- y + 3 Ln │y+3│= C
Ln │x
2
y+3
3
│ = C + y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
28
x
2
y+3
3
= e
C + y
= ce
y
x
2
y+3
3
= ce
y
2. dx
dy =
3 4
y
x y
xy-3 dy = 4y dx
4y dx - xy-3 dy = 0
4
x dx
-
y y
3
dy = 0
x dx
4
-
y y
3
dy = C
4 Ln │x│– y + 3 Ln │y│= C
x
4
y
3
= e
c+y
= ce
y
3. xy dy = y+11-x dx dengan y1 = 0
dx x
y 1
1
- xy dy = 0
x x
1
dx -
1
y y
dy = 0
x
dx - dx – dy +
1
y dy
= 0
x dx
-
dx –
dy +
1
y dy
= C
Ln │x│ - x – y + Ln │y + 1│= C
Ln │xy+1│ = C + x + y
xy+1 = e
c+x+y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
29
Karena y1 = 0 maka 10+1 = e
c+1+0
. Diperleh c = -1 sehingga diperoleh selesaian khusus persamaan xy+1 = e
x+y-1
.
Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini: 1. dx + 1-x
2
cotg y dy = 0 2. cos y dx + 1+e
-x
sin y dy = 0 3. xy dx + 1+x
2
dy = 0 4. x
2
y-4 dx + yx
2
-1 dy = 0 5.
dx dy
=
y x
y x
x
2 2
4
6.
dx dy
=
3
1 xy
7. y
-1
+ y’ e
cos x
sin dx = 0 8. x
dx dy
=
y y
3 1
2
9. y’ =
2 2
1 x
y Sec
10. y’ = y2+sin x 11.
dx dy
= 8x
2
e
-3y
dengan y1 = 0
12.
dx dy
=
1 2
2 4
3
2
y
x x
dengan y0 = -1
2.3 Persamaan Differensial Homogen
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
30
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu Mx,y dx + Nx,y dy= 0 disebut persamaan differensial homogen jika Mx,y dan Nx,y
fungsi homogen berderajat sama.
Definisi:
1. Fx,y disebut fungsi homogen jika Fx,y = G
y x
atau Fx,y
= H
x y
2. Fungsi Fx,y disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi syarat Ftx,ty = t
n
Fx,y.
Contoh: 1. Fx,y =
x y
x
adalah fungsi homogen, karena
Fx,y =
x x
x y
x x
= 1
1
x y
= H
x y
2. Fx,y = x + y = 1 +
x y
=
y x
+ 1 3. Fx,y = 1 – xy, bukan fungsi komogen karena 1-xy tidak dapat
dinyatakan dengan bentuk G
y x
atau H
x y
4. Fx,y = 3x
2
– 2xy + y
2.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
31
Adalah fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam dengan H
x y
atau G
y x
5. Fx,y = y sin x, bukan fungsi homogen. 6. Fx,y =
y x
2
1
, bukan fungsi homogen. 7. Fx,y = x + y, fungsi homogen berderajat 1, karena:
Ftx,ty = tx + ty = tx+y
= t
1
Fx,y 8. Fx,y =
y x
x
2 , fungsi homogen berderajat 0, karena
Fx,y = 2
ty tx
tx
= 2
ty tx
tx
= 2
y x
t x
t
= t
o
2 y
x x
= t
o
Fx,y 9. Dengan cara yang sama, Fx,y = x
3
– 2x
2
y + 3xy
2
adalah fungsi homogen berderajat 3 dan Gx,y = x
2 2
y x
fungsi homogen berderajat 2.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
32
10. Fx,y = sin x+y bukan fungsi homogen, karena Ftx,ty
t
n
Fx,y
Jika Mx,ydx + Nx,ydy = 0 diketahui sebagai persamaan differensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan
dengan cara menyatakan Mx,y dan dan Nx,y dalam bentuk M
x y
atau M
y x
. Demikian pula untuk Nx,y. Dengan kata lain Mx,y dan Nx,y dibagi dengan koefisien differensial yang berpangkat tertinggi.
Setelah dilakukan pembagian, selanjutnya gunakan transformasi yu = x atau xv = y. Jika yang digunakan transformasi yu = x maka dx =
ydu + udy. Sebaliknya jika yang digunakan transformasi xv = y maka dy = xdv + vdx. Akhirnya dx atau dy tidak keduanya disubstitusikan
dalam persamaan differensial semula sehingga, Mx,y dx + Nx,y dy = 0
M
y x
dx + N
y x
dy = 0 atau M
x y
dx + N
x y
dy = 0. Dengan memilih transformasi dy = xdv + vdx maka
M
x y
dx + N
x y
xdv + vdx = 0.
Mv dx + Nvxdv + vdx = 0. Bentuk terakhir persamaan di atas adalah persamaan differensial
yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
33
variabelnya dipisahkan dan dengan mengintergralkan masing-masing bagian didapat selesaian umum persamaan yang dicari.
Perhatikan contoh berikut: Tentukan selesaian umum persamaan:
1. y
2
– x
2
dx + xy dy = 0 Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena
Mx,y dan Nx,y adalah persamaan homogen yang berderajat sama yaitu dua.
2 2
x y
- 1 dx +
2
x xy
dy = 0 Dengan transformasi xv = y dan dy = xdv + vdx, diperoleh
v
2
– 1dx + vxdv + vdx = 0
v
2
+ v
2
– 1dx + vxdv = 0
x dx
+
1 2
2
v
vdv
= 0
x dx
+
1 2
2
v
vdv
= C
Ln │x│+ ¼ Ln │2v
2
– 1│= ln C
x
4
2v
2
-1 = C
x
4
2 2
2
2 x
x y
= C
2x
2
y
2
– x
4
= C 2. 3x – 2y
dx dy
- 3y = 0 dengan y1 = 1
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
34
Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena Mx,y dan Nx,y adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.
3x – 2ydy – 3ydx = 0
3
y x
– 2dy – 3dx = 0 Dengan transformasi x = uy dan dx = udy + ydu
3u – 2dy – 3udy + ydu = 0
3u – 2 – 3udy – 3ydu = 0 2
y dy
+ 3 du = 0
2
y dy
+
3 du = C
2 Ln │y│+ 3u = C
Ln y
2
= C-3u y
2
= e
c-3yx
Karena y1 = 1 maka 1
2
= e
c-311
didapat C = 3 sehingga selesaiannya dinamakan selesaian khusus integral khusus yaitu y
2
= e
3-3yx
Latihan soal 1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan
derajatnya. a. fx,y = x + 2y
b. fx,y = e
xy
c. fx,y =
xy y
x 3
2 2
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
35
d. fx,y = sinx+y + cos
2
xy e. fx,y = xy – y
2
+ 3x
2
f. fx,y =
2 2
y x
x
g. fx,y = x + y cosx.
2. Tentukan selesaian persamaan differensial homogen berikut ini. a. xy + y
2
dx – x
2
dy = 0 dengan y2 = 1 b.
dx dy
=
xy y
x 3
2 2
c. 2x-5y dx + 4x-y dy = 0, dengan y1 = 1 d. x-y dx + x dy = 0, dengan y0 = 0
e. x
3
+y
3
dx – 3xy
2
dy = 0 f. x dy – y dx -
dy y
x
2 2
= 0 g.
dx dy
=
x y
- tgn
x y
h. y’ =
3
2 2
y x
xy
dengan y2 = 1 jawab : 2x
2
- y
2
= cy
6
karena y2 = 1 maka C = 7. i. y’ =
y x
y x
2 2
dengan y1 = 3
j.
dt dx
=
2 2
t x
xt
k. y
2
dx + x
2
–y
2
dy = 0 dengan y2 = 0
2.4 Persamaan Mx,y dan Nx,y Linear, tetapi Tidak Homogen
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
36
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu Mx,y dx + Nx,y dy = 0, disebut persamaan differensial linear tidak homogen jika Mx,y
dan Nx,y adalah fungsi linear. Sehingga berbentuk ax+by+c dx + px + qy + r dy = 0.
Contoh : 1. x+y+2 dx + 2x + 2y + 4 dy = 0
2. x+y+1 dx + 2x+2y+3 dy = 0 3. 3y – 7x +7 dx + 7y – 3x + 3 dy = 0
4. 3x + 2y + 1 dx – 3x+2y-1 dy = 0
Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan differensial tidak homogen dengan Mx,y dan Nx,y fungsi linear dapat dikelompokkan
menjadi 3 jenis yaitu: a. Bentuk
p a
= q
b =
r c
= parameter, sehingga a = p
, b = q, dan c = r
Contoh x+y+2 dx + 2x + 2y + 4 dy = 0
b. Bentuk p
a =
q b
= parameter r
c
Sehingga a = p
, b = q Contoh
x+y+1 dx + 2x+2y+3 dy = 0 3x+2y+1 dx + 3x-2y-4 dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
37
c. Bentuk selain di atas. 3y – 7x +7 dx + 7y – 3x + 3 dy = 0
3x - 2y + 1 dx – 3x+2y dy = 0
Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum persamaan differensial linear tidak homogen harus menyesuaikan
dengan bentuknya. a. Bentuk
p a
= q
b =
r c
= .
Karena p
a =
q b
= r
c = , maka diperoleh
a = ,
p
b = q, dan c = r
. Sehingga persamaan semula ax + by + c dx + px +qy + r dy = 0
px
+ qy
+
r
dx + px + qy + r dy = 0 px + qy + r dx + px + qy + r dy = 0
dx + dy = 0
dx +
dy = C
x + y = C persamaan linear
b. Bentuk p
a =
q b
= .
Persamaan bentuk p
a =
q b
= dapat diselesaikan dengan cara
menggunakan transformasi ax + by = u atau px + qy = v.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
38
Berdasarkan transformasi tersebut, dengan mendifferensialkan masing variabel, sehingga diperoleh:
dax + dby = du
a dx + b dy = du
a dx = du – b dy dx =
a bdy
du , atau
a dx + b dy = du
b dy = du – a dx
dy = b
adx du
Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi px + qy = v, diperoleh bentuk
dx = p
qdy dv
, atau
dy = q
pdx dv
Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke persamaan differensial semula.
ax + by + c dx + px + qy + rdy = 0 u +c dx +
1
u + r dy = 0
u+c
a bdy
du +
1
u + r dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
39
Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke persamaan differensial dengan variable terpisah PD separable.
Contoh: 1. Tentukan primitif dari x+y+1 dx + 2x+2y+3 dy = 0 dengan y0 =
Jawab Dari persamaan x+y+1 dx + 2x + 2y + 3 dy = 0, diperoleh
a = 1, b = 1, c = 1, p = 2, q = 2, dan r = 3. Sehingga = 2
1 .
Selanjutnya gunakan transformasi x + y = u atau 2x + 2y = v.
Jika transformasi yang digunakan x + y = u. maka diperoleh u+1 dx + 2u + 3 dy = 0.
Selanjutnya bentuk transformasi x + y = u didefferensialkan dx + dy = du dan diperoleh dx = du – dy atau dy = du – dx.
Cara I
u+1 dx + 2u + 3 dy = 0.
u+1 du – dy + 2u + 3 dy = 0
u+1 du + 2u +3 – u – 1 dy = 0
u+1 du + u +2 dy = 0 direduksi menjadi PD Separable
dy + 2
1
u
u du = 0
dy +
1 du -
2 1
u
du = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
40
y + u - Ln │u + 2│= C
y + x+y - Ln │x + y + 2│= C
x + 2y – C = Ln │x + y + 2 │
e
x+2y-c
= x+y+2 Karena y0 = 0, maka selesaian khusus persamaan e
x+2y-ln
2 =
x+y+2
Cara II
u+1 dx + 2u + 3 du – dx = 0.
u+1 – 2u -3 dx + 2u + 3 du = 0
-u -2 dx + 2u + 3 du = 0
u+1 du + u +2 dy = 0
du + 1
2
u
u dy = 0
du +
1 dy +
1 1
u
dy = 0
x+y + y + Ln │x + y + 1 │= C
x + 2y – C = Ln │x + y + 1 │
x+y+1 = e
x + 2y – C
Karena y0 = 0 maka didapat c = ln 2.
4. 3x+2y+1 dx - 3x+2y-1 dy = 0 jenis 2 Jawab
Transformasikan 3x + 2y = u, sehingga 3 dx + 2 dy = u dan diperoleh:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
41
dx = 3
2dy du
, atau dy = 2
3dx du
u+1 dx – u-1 dy = 0 Pilih dx atau dy, lalu substitusikan ke dalam persamaan dan
diperoleh u+1
3 2dy
du – u-1 dy = 0
u+1 du – 2dy – 3u-1 dy = 0 dstnya.
u+1 du – 2u+2+3u-3 dy = 0
1 5
1
u
u
du – dy = 0
5 1
du +
25 6
du u
1
5 5
-
dy
= C
15 u + 625 Ln │5u -1│- y = C
1
5 3x+3y + 625 Ln │53x+3y -1 │ - y = C
Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1 dan 2. Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi ax + by
+ c = u dan
px + qy + r = v. Selanjutnya differensialkan kedua bentuk transformasi di atas
sehingga diperoleh
dax + dby + dc = du dan dpx + dqy + dr = dv
a dx + b dy = du dan p dx + q dy = dv. Eleminasikan dx dan dy
pada hasil differesial yang diperoleh secara berurutan yaitu:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
42
a dx + b dy = du x p p dx + q dy = dv x a, sehingga
ap dx + bp dy = p du ap dx + aq dy = a dv
--------------------------- - bp-aq dy = p du – a dv
dy = aq
bp adv
pdu
Dengan cara yang sama diperoleh dx =
bp aq
bdv qdu
Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu: ax + by + c dx + px +qy + r dy = 0
u
bp aq
bdv qdu
+ v aq
bp adv
pdu
= 0
Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda differensial du dan dv, dan termasuk dalam persamaan differensial
homogen. Primitifnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode PD homogen.
Contoh 1. Tentukan selesaian umum persamaan 3y – 7x +7 dx + 7y – 3x + 3
dy = 0 Jawab
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
43
Transformasikan 3y-7x+7 = u dan 7y-3x+3 = v
Dengan mendifferensialkan masing-masing peubah, diperoleh: 3 dy – 7 dx = du dan 7 dy – 3 dx = dv.
Elimasikan dx dan dy berurutan 3 dy – 7 dx = du x 3
7 dy – 3 dx = dv x 7, didapat
9 dy – 21 dx = 3 du 49 dy – 21 dx = 7 dv
----------------------- - -40 dy = 3 du – 7 dv
dy = 40
3 7
du dv
Dengan cara yang sama diperoleh dx =
40 7
3 du
dv
Substitusikan kepersaman semula, sehingga diperoleh 3y – 7x +7 dx + 7y – 3x + 3 dy = 0
u 40
7 3
du dv
+ v 40
3 7
du dv
= 0
40u3dv-7du + 40v7dv-3du = 0 PD homogen
3u + 7v dv – 7u + 3v du = 0 Bagi persamaan dengan v, diperoleh
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
44
3 v
u + 7 dv -7
v u
+ 3 du = 0
Transformasikan v
u = t atau u = vt
Sehingga du = v dt + t dv Persamaan di atas adalah PD yang dapat direduksi ke persamaan
variable terpisah. 3t +7 dv – 7t+3vdt + tdv = 0
3t+7-7t
2
-3t dv –7t+3vdt = 0
v dv
-
7 7
3 7
2
t t
dt = 0
v dv
-
7 7
3 7
2
t t
dt = C
Ln │v│ + ½ Ln │1-t
2
│ + 37 Ln
t t
1 1
= 0
Dengan mensubstitusi v = 7y – 3x + 3 dan t =
7 7
3 3
3 7
x y
x y
, diperoleh selesaian umum persamaan 3y – 7x +7 dx + 7y – 3x + 3 dy = 0
2. Tentukan selesaian umum persamaan 3x - 2y + 1 dx – 3x+2y dy = 0
Jawab. Transformasikan
3x – 2y + 1 = u dan 3x+2y = v
3 dx – 2 dy = du dan 3 dx + 2 dy = dv diperoleh
3 dx – 2 dy = du
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
45
3 dx +2 dy = dv ------------------- -
-4 dy = du – dv dy = ¼ dv-du dan dx = dx = 16 du+dv.
Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh 3x - 2y + 1 dx – 3x+2y dy = 0
u 16du+dv – v14dv-du = 0
4udu+dv – 6vdv-du
4u + 6v du + 4u -6v dv = 0
4 + 6
u v
du + 4 – 6
u v
dv = 0
Transformasikan
u v
= p
v = up sehingga dv = u dp + p du Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh
4+6p du + 4-6pu dp + p du = 0
4+6p+4p-6p
2
du + 4-6pu dp = 0
u du
+
6 10
4 6
4
2
p p
dp p
= 0
u du
+
6 10
4 6
4
2
p p
dp p
= C
Ln │u │-
2
2 6
6 4
p p
p
dp = C
Ln │3x – 2y +1│+ 185 Ln │6p + 2 │+ 85 Ln │p-2│+ C
Ln │3x – 2y +1│+ 185 Ln │6
1 2
3 2
3
y x
y x
+ 2 │+ 85 Ln │
1 2
3 2
3
y x
y x
- 2│+ C
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
46
2.5 Persamaan Differensial Eksak PDE
