6 persamaan differensial tidak eksak, dan 7 persamaan differensial yang berbentuk y fxy dx + x gxy
dy = 0.
Jenis dan macam masing-masing persamaan differensial mempunyai spesifikasi yang berbeda-beda. Prinsip utama yang
digunakan adalah sedapat mungkin memisahkan dan mengelompokkan masing-masing koefisien differensial. Khusus untuk persamaan yang
tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain tabel, teorema akan sangat membantu.
Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan differensial tingkat satu derajat satu.
2.1 Persamaan Differensial Variabel Terpisah Separable
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai
bentuk umum Mx,y dx + Nx,y dy = 0 dapat dikategorikan sebagai
persamaan differensial variable terpisah jika bentuk umum tersebut
dapat dinyatakan dengan fx dx + gy dy = 0. Dengan kata lain
masing-masing differensial dalam persamaan berpasangan dengan variabel yang sejenis.
Contoh: 1. x dx + 2 y dy = 0
2. y
2
dx – x dy = 0
x dx
-
2
y dy
= 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
24
3. y’ = y
2
2 1
x
2
2 1
x
dx -
y dy
= 0 4. x dx – sin y dy = 0
Karena tanda differensial persamaan di atas dx dan dy berpasangan dengan variable yang sejenis, maka untuk menentukan
selesaian umum persamaan cukup dengan mengintegralkan masing masing bagian.
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini Tentukan selesaian umum persamaan diffrensial:
1. x dx + 2 y dy = 0
x dx +
2y dy = C
2 1
x
2
+ y
2
= C
x
2
+ 2y
2
= C primitive, persamaan keluarga kurva, SUPD
2. y
dx - 3
x dy
= 0
x dx – 3y dy = 0
x dx -
3y dy = C
2 1
x
2
-
2 3
y
2
= C
x
2
– 3y
2
= C
3. 3y dx + 2x dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
25
3
x dx
+ 2
y dy
= 0
3
x dx
+
2
y dy
= C
3 Ln │x │+ 2 Ln │ y │= C
Ln │x
3
y
2
│= C
x
3
y
2
= C
4. x dx + 2 y dy = 0
x dx +
2 y dy = C
2
1 x
2
+ y
2
= C x
2
+ 2y
2
= C
5. sin x dx + 1-y dy = 0 dengan y
= 1
sin x dx +
1-y dy = C
- cos x + y - 2
1 y
2
= C - 2 cos x + 2y - y
2
= C Karena y
= 1 maka diperoleh C = 3, sehingga selesaian khusus persamaan adalah -2 cos x + 2y – y
2
= 3
Latihan soal Tentukan selesaian umum persamaan differensial:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
26
1. y
2
dx – x dy = 0 2. 1+2y dx – 4-x dy = 0
3. cos y dx + 1+e
-x
dy = 0 4. dx + 1-x
2
cot y dy = 0 5.
3 1
dx dy
= 1-sec x 6. 1-x
2
y’ = 2 7. 1+2y dx - 4-x dy = 0
8. xdy – ydx = 0 dengan y1 = 1 9. 1-x dx – 2y
2
dy = 0 dengan y0 = 1 10.
y’= x
3
1-y dengan y0 = 3 11.
dx dy
= 2x cos
2
y dengan y0 =
4
12. y’ = 2x
3
e
-2y
dengan y1 = 0 Catatan
Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien differensial berupa variable
sejenis berkumpul dengan differensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana fx dx + gy dy = 0.
2.2 Persamaan yang dapat Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah
