2.5 Persamaan Differensial Eksak PDE
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu Mx,ydx + Nx,ydy = 0 disebut persamaan differensial eksak jika dan hanya jika
memenuhi syarat:
y y
x M
, =
x y
x N
,
Contoh 1. x+y dx + x-y dy = 0 adalah PD eksak karena
Mx,y = x+y y
y x
M
,
= 1 dan Nx,y = x-y x
y x
N
,
= 1 2. x + y Cos x dx + Sin x dy = 0, adalah PD eksak karena
Mx,y = x + y Cos x y
y x
M
,
= Cos x
Nx,y = Sin x x
y x
N
,
= Cos x 3. yx-2y dx – x
2
dy = 0, bukan persamaan differensial eksak, Mx,y = xy – 2y
2
y
y x
M
,
= x – 4y
Nx,yk = -x
2
x y
x N
,
= 2-2x
y y
x M
,
x y
x N
,
Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan
tidak eksak karena
y y
x M
,
x y
x N
,
. 1. x
2
+y
2
dx + xy dy = 0 -- PD Homogen
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
47
2. dx -
2 2
x a
dy = 0 --- PD yang dapat direduksi ke PD Separable
3. x+y+1 dx - x-y+3 dy = 0 --- PD Tidak homogen
Persamaan differensial eksak mempunyai selesaian umum Fx,y = C.
Menurut definisi differensial total untuk Fx,y = C, diperoleh: dC = dFx,y+ dFx,y
0 =
x y
x F
,
dx +
y y
x F
,
dy.
Berdasarkan bentuk Mx,y dx + Nx,y dy = 0 dan 0 =
x y
x F
,
dx +
y y
x F
,
dy
x y
x F
,
= Mx,y dan
y y
x F
,
= Nx,y Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan
selesaian persamaan differensial eksak yang berbentuk Fx,y = C dapat dilakukan dengan dua cara.
Cara I
x y
x F
,
= Mx,y dan
y y
x F
,
= Nx,y Dari kesamaan di atas diperoleh
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
48
x y
x F
,
= Mx,y
Fx,y =
Mx,y dx
=
x
y x
M ,
dx + Gy
y y
x F
,
= Nx,y y
x
y x
M ,
dx + Gy = Nx,y
y
x
y x
M ,
dx + G’y = Nx,y
G’y = Nx,y - y
x
y x
M ,
dx
Gy =
Nx,y - y
x
y x
M
`
,
dx dy
Substitusikan Gy dalam Fx,y =
x
y x
M ,
dx + Gy yang merupakan selesaian umum persamaan differensial
Cara II
y y
x F
,
= Nx,y dan
x y
x F
,
= Mx,y Dari kesamaan di atas di peroleh
y y
x F
,
= Nx,y
Fx,y =
Nx,y dy
=
y
Nx,y dy + Fx
x y
x F
,
= Mx,y
x
y
Nx,y dy + Fx = Mx,y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
49
x
y
Nx,y dy + F’x = Mx,y
F’x = Mx,y -
x
y
Nx,y dy
Fx =
Mx,y -
x
x
Nx,y dy dx
Substitusikan Fx ke dalam Fx,y =
y
Nx,y dy + Fx yang merupakan selesaian umumnya.
Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan differensial eksak berikut ini:
2x +3y+4 dx + 3x+4y+5 dy = 0. Jawab
Mx,y = 2x+3y+4
y y
x M
,
= 3 dan
Nx,y = 3x+4y+5
x y
x N
,
= 3 Berarti persamaan di atas adalah eksak.
Selesaian PD di atas adalah Fx,y = C. Untuk mendapatkan Fx,y = C dapat digunakan kesamaan
y y
x F
,
= Nx,y dan
x y
x F
,
= Mx,y.
y y
x F
,
= 3x+4y+5
Fx,y =
dy y
x 5
4 3
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
50
= 3xy + 2y
2
+ 5y + Fx
x y
x F
,
= Mx,y.
x
3xy + 2y
2
+ 5y + Fx = 2x +3y +4
3y + F’x = 2x + 3y + 4
F’x = 2x + 4
Fx = x
2
+ 4x + C Primitif persamaan adalah Fx,y = 3xy + 2y
2
+ 5y + x
2
+ 4x + C
2. x + y Cos x dx + sin x dy = 0 Jawab
Mx,y = x + y Cos x
y y
x M
,
= Cos x dan
Nx,y = sin x
x y
x N
,
= Cos x Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferencial eksak.
Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk Fx,y = C. Untuk mendapatkan Fx,y = C digunakan kesamaan
x y
x F
,
= Mx,y dan
y y
x F
,
= Nx,y
x y
x F
,
= x + y Cos x
Fx,y =
x + y Cos x dx
=
2 1
x
2
+ y Sin x + Gy
y y
x F
,
= sin x
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
51
y
2 1
x
2
+ y Sin x + Gy = sin x
Sin x + G’y = sin x
g’y = 0
gy = C Diperoleh selesaian umum persamaan Fx,y =
2 1
x
2
+ y Sin x + C
x
2
+ 2y Sin x = C Soal-soal
A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak 1. 3x+2y dx + 2x+y dy = 0
2. y
2
+ 3 dx + 2xy-4 dy = 0 3. 6xy + 2y
2
– 5 dx + 3x
2
+4xy-6 dy = 0 4.
y x
1 2
dx +
2 2
y x
x
dy = 0 5. cos x cos y + yy’ + tgn x = sin x sin y
6. 5xy + 4y
2
+ 1 dx + x
2
+2xy dy = 0 7. x dx
+ y dy = x
2
+y
2
dx 8. ly
2
-
y x
x y
+2 dx +
y x
1
+ 2yx+1dy = 0 9. 2x
2
+ xy dx + x
2
+y
2
dy = 0 10.
2
1 x
+
2
1 y
dx +
3
1 4
y x
dy = 0 B. Tentukan selesaian umum persamaan 1-10 di atas, jika diketahui
eksak.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
52
2.6 Persamaan Differensial Tidak Eksak PDtE
Kategori