Persamaan Differensial Tidak Eksak PDtE

2.6 Persamaan Differensial Tidak Eksak PDtE

Mx,y dx + Nx,y dy = 0 adalah persamaan differensial tingkat satu derajat satu disebut persamaan differensial tidak eksak jika dan hanya jika: y y x M   ,  x y x N   , . Persamaan differenial tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan primitifnya dengan cara mencari faktor integral dari persamaan tersebut. Setelah ditentukan faktor integralnya, maka persamaan differensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan differensial eksak. Faktor integral persamaan differensial tidak eksak dinyatakan dengan  x,y. Setelah diketahui faktor integralnya , maka persamaan tidak eksak ditulis dalam bentuk:  x,y[Mx,y dx + Nx,y dy = 0]   x,yMx,y dx +  x,yNx,y dy = 0 PD eksak  Mx,y dx + Nx,y dy = 0 - PD tingkat satu derajat satu Dengan Mx,y =  x,yMx,y dan Nx,y =  x,yNx,y Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan differensial tingkat satu berupa persamaan differensial eksak yang memenuhi sifat x y x N y y x M      , , dengan Mx,y =  x,yMx,y, dan Nx,y =  x,yNx,y Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 53 Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan differensial eksak, sehingga selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan differensial eksak. Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak? Karena  x,y[Mx,y dx + Nx,y dy = 0] persamaan eksak, maka: y M    = x N      y M   + M y    =  x N   + N x      y M   -  x N   = N x    - M y     y M   - x N   =  1 N x    - M y    dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus: a. Misal  x,y =  x yaitu fungsi bervariabel x saja, maka y    = 0 dan x    = dx du , sehingga y M   - x N   =  1 N dx d - M.0  1 dx d = N x N y M      Jika N x N y M      suatu fungsi dari x atau fx, maka dari Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 54  1 dx d = N x N y M      didapat  1 dx d = fx atau   d = fx dx Ln  =  fx dx  = e  dx x f ---- faktor integral yang dicari b. Misal  =  y yaitu fungsi bervariabel y saja maka x    = 0 dan y    = dy d , sehingga y M   - x N   =  1 N x    - M dy d y M   - x N   =  1 N.0 - M dy d  1 dy d = M x N y M       Jika M x N y M       suatu fungsi dari y atau gy, maka dari  1 dy d = M x N y M       didapat  1 dy d = -gy atau   d = -gy dy Ln  =  -gy dy  = e   dy y g Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 55 c. Jika Mx,y dx + Nx,y dy = 0 adalah persamaan differensial homogen dengan x Mx,y + y Nx,y  0, maka faktor integral  x,y = , , 1 y x yN y x xM  d. Jika Mx,y dx + Nx,y dy = 0 dapat ditulis y fxy dx + x gxydy = 0 dengan fxy  gxy maka  x,y = ] [ 1 xy g xy f xy  = , , 1 y x yN y x xM  e. Seringkali faktor integral  x,y dapat diperoleh dengan pemeriksaan, hal ini akan tampak setelah pengelompokkan kembali suku-suku persamaannya. Dengan mengenal kelompok suku-suku tertentu merupakan suatu bagian dalam persamaan differensial eksak. Contoh Tentukan selesaian umum persamaan differensial berikut dengan terlebih dahulu menentukan faktor integrasinya. 1. x 2 + y 2 + x dx + xy dy = 0 Jawab Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 56 Mx,y = x 2 + y 2 + x  y y x M   , = 2y Nx,y = xy  x y x N   , = y Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena y y x M   ,  x y x N   , Selanjutnya dicari  x,y sebagai faktor integrasi Karena , , , y x N x y x N y y x M      = xy y y  2 = x 1 = fx Maka  x,y = e  dx x f = e ln x = x. Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu x{x 2 + y 2 + x dx + xy dy = 0} x 3 + xy 2 + x 2 dx + x 2 y dy = 0 Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian umumnya 3x 4 + 4x 3 + 6x 2 y 2 = C 2. 2xy 4 e y + 2xy 3 + y dx + x 2 y 4 e y – x 2 y 2 – 3x dy = 0 Jawab y y x M   , = 8xy 3 e y + 2xy 4 + 6xy 2 + 1 x y x N   , = 2xy 4 e y – 2xy 2 - 3 Sehingga persamaan di atas tidak eksak. Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 57 Selanjutnya dicari  x,y sebagai faktor integrasi Karena , , , y x N x y x N y y x M      = y 2 = -gy Maka  x,y = e   dy y g = 4 1 y Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial eksak yaitu 4 1 y 2xy 4 e y + 2xy 3 + y dx + x 2 y 4 e y – x 2 y 2 – 3x dy = 0 Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian umumnya x 2 e y + y x 2 + 3 y x = C Latihan Tentukan faktor integral dan selesaiaan umum persamaan a. x 4 + y 4 dx – xy 3 dy = 0 b. yx-2y dx – x 2 dy = 0 c. x dy – y dx = x 2 e x dx d. y 2 dy + y dx – x dy = 0 e. 3x 2 y 2 dx + 4x 3 y-3 dy = 0 2.7 Persamaan Bentuk y Fxy dx + x Gxy dy = 0