Persamaan differensial tingkat satu derajat satu Mx,y dx + Nx,y dy= 0 disebut persamaan differensial homogen jika Mx,y dan Nx,y
fungsi homogen berderajat sama.
Definisi:
1. Fx,y disebut fungsi homogen jika Fx,y = G
y x
atau Fx,y
= H
x y
2. Fungsi Fx,y disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi syarat Ftx,ty = t
n
Fx,y.
Contoh: 1. Fx,y =
x y
x
adalah fungsi homogen, karena
Fx,y =
x x
x y
x x
= 1
1
x y
= H
x y
2. Fx,y = x + y = 1 +
x y
=
y x
+ 1 3. Fx,y = 1 – xy, bukan fungsi komogen karena 1-xy tidak dapat
dinyatakan dengan bentuk G
y x
atau H
x y
4. Fx,y = 3x
2
– 2xy + y
2.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
31
Adalah fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam dengan H
x y
atau G
y x
5. Fx,y = y sin x, bukan fungsi homogen. 6. Fx,y =
y x
2
1
, bukan fungsi homogen. 7. Fx,y = x + y, fungsi homogen berderajat 1, karena:
Ftx,ty = tx + ty = tx+y
= t
1
Fx,y 8. Fx,y =
y x
x
2 , fungsi homogen berderajat 0, karena
Fx,y = 2
ty tx
tx
= 2
ty tx
tx
= 2
y x
t x
t
= t
o
2 y
x x
= t
o
Fx,y 9. Dengan cara yang sama, Fx,y = x
3
– 2x
2
y + 3xy
2
adalah fungsi homogen berderajat 3 dan Gx,y = x
2 2
y x
fungsi homogen berderajat 2.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
32
10. Fx,y = sin x+y bukan fungsi homogen, karena Ftx,ty
t
n
Fx,y
Jika Mx,ydx + Nx,ydy = 0 diketahui sebagai persamaan differensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan
dengan cara menyatakan Mx,y dan dan Nx,y dalam bentuk M
x y
atau M
y x
. Demikian pula untuk Nx,y. Dengan kata lain Mx,y dan Nx,y dibagi dengan koefisien differensial yang berpangkat tertinggi.
Setelah dilakukan pembagian, selanjutnya gunakan transformasi yu = x atau xv = y. Jika yang digunakan transformasi yu = x maka dx =
ydu + udy. Sebaliknya jika yang digunakan transformasi xv = y maka dy = xdv + vdx. Akhirnya dx atau dy tidak keduanya disubstitusikan
dalam persamaan differensial semula sehingga, Mx,y dx + Nx,y dy = 0
M
y x
dx + N
y x
dy = 0 atau M
x y
dx + N
x y
dy = 0. Dengan memilih transformasi dy = xdv + vdx maka
M
x y
dx + N
x y
xdv + vdx = 0.
Mv dx + Nvxdv + vdx = 0. Bentuk terakhir persamaan di atas adalah persamaan differensial
yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
33
variabelnya dipisahkan dan dengan mengintergralkan masing-masing bagian didapat selesaian umum persamaan yang dicari.
Perhatikan contoh berikut: Tentukan selesaian umum persamaan:
1. y
2
– x
2
dx + xy dy = 0 Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena
Mx,y dan Nx,y adalah persamaan homogen yang berderajat sama yaitu dua.
2 2
x y
- 1 dx +
2
x xy
dy = 0 Dengan transformasi xv = y dan dy = xdv + vdx, diperoleh
v
2
– 1dx + vxdv + vdx = 0
v
2
+ v
2
– 1dx + vxdv = 0
x dx
+
1 2
2
v
vdv
= 0
x dx
+
1 2
2
v
vdv
= C
Ln │x│+ ¼ Ln │2v
2
– 1│= ln C
x
4
2v
2
-1 = C
x
4
2 2
2
2 x
x y
= C
2x
2
y
2
– x
4
= C 2. 3x – 2y
dx dy
- 3y = 0 dengan y1 = 1
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
34
Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena Mx,y dan Nx,y adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.
3x – 2ydy – 3ydx = 0
3
y x
– 2dy – 3dx = 0 Dengan transformasi x = uy dan dx = udy + ydu
3u – 2dy – 3udy + ydu = 0
3u – 2 – 3udy – 3ydu = 0 2
y dy
+ 3 du = 0
2
y dy
+
3 du = C
2 Ln │y│+ 3u = C
Ln y
2
= C-3u y
2
= e
c-3yx
Karena y1 = 1 maka 1
2
= e
c-311
didapat C = 3 sehingga selesaiannya dinamakan selesaian khusus integral khusus yaitu y
2
= e
3-3yx
Latihan soal 1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan
derajatnya. a. fx,y = x + 2y
b. fx,y = e
xy
c. fx,y =
xy y
x 3
2 2
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
35
d. fx,y = sinx+y + cos
2
xy e. fx,y = xy – y
2
+ 3x
2
f. fx,y =
2 2
y x
x
g. fx,y = x + y cosx.
2. Tentukan selesaian persamaan differensial homogen berikut ini. a. xy + y
2
dx – x
2
dy = 0 dengan y2 = 1 b.
dx dy
=
xy y
x 3
2 2
c. 2x-5y dx + 4x-y dy = 0, dengan y1 = 1 d. x-y dx + x dy = 0, dengan y0 = 0
e. x
3
+y
3
dx – 3xy
2
dy = 0 f. x dy – y dx -
dy y
x
2 2
= 0 g.
dx dy
=
x y
- tgn
x y
h. y’ =
3
2 2
y x
xy
dengan y2 = 1 jawab : 2x
2
- y
2
= cy
6
karena y2 = 1 maka C = 7. i. y’ =
y x
y x
2 2
dengan y1 = 3
j.
dt dx
=
2 2
t x
xt
k. y
2
dx + x
2
–y
2
dy = 0 dengan y2 = 0
2.4 Persamaan Mx,y dan Nx,y Linear, tetapi Tidak Homogen
