Stabilitas Efisiensi pada Data Envelopment Analysis dangan Variasi Lokal

STABILITAS EFISIENSI PADA DATA ENVELOPMENT ANALYSIS DENGAN VARIASI LOKAL
TESIS
Oleh ISNAINI HALIMAH RAMBE
127021011/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014

STABILITAS EFISIENSI PADA DATA ENVELOPMENT ANALYSIS DENGAN VARIASI LOKAL
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh: ISNAINI HALIMAH RAMBE
127021011/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014

Judul Tesis

: STABILITAS EFISIENSI PADA DATA ENVELOP-

MENT ANALYSIS DENGAN VARIASI LOKAL

Nama Mahasiswa : Isnaini Halimah Rambe

Nomor Pokok

: 127021011

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota

Ketua Program Studi (Prof. Dr. Herman Mawengkang)

Dekan (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 5 Juni 2014

Telah diuji pada Tanggal 5 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, MSc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc 3. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

PERNYATAAN STABILITAS EFISIENSI PADA DATA ENVELOPMENT ANALYSIS
DENGAN VARIASI LOKAL TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 5 Juni 2014 Penulis, Isnaini Halimah Rambe
i

ABSTRAK Tesis ini mengembangkan sebuah pendekatan analisis yang telah ditingkatkan pada UPK yang efisien ketika ketidakpastian data terjadi secara lokal. Teknik analisis sensitifitas ini digunakan untuk mengevaluasi stabilitas dari UPK efisien dengan memperburuk sebuah kelas UPK secara bersamaan dan orientasi yang sama untuk mempertahankan UPK yang dievaluasi tetap pada frontier efisien. Pendekatan ini dikembangkan dari analisis sensitifitas DEA yang biasa digunakan dimana variasi data diandaikan terjadi pada UPK tunggal yang dievaluasi ataupun pada keseluruhan UPK. Analisis ini memungkinkan para pengambil keputusan untuk mengambil tindakan tepat ketika menghadapi kemungkinan variasi lokal. Kata kunci: Efisiensi, DEA, Analisis sensitifitas, Variasi lokal.
ii

ABSTRACT This thesis developed an improved sensitivity analysis approach in the efficient Decision-Making Units (DMUs) when the data uncertainty occured locally. This technique consider the stability of an efficient DMU by deteriorating a class of DMUs simultaneously in the same directions to keep the test DMU remains on the efficient frontier. The new approach generalizes the usual DEA sensitivity analysis in which the data variations are considered either on the single test DMU or on the all over DMUs. This enables the decision maker to take suitable actions that meet the possible local variations. Keyword: Efficiency, DEA, Sensitivity analysis, Local variations.
iii

KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul STABILITAS EFISIENSI PADA DATA ENVELOPMENT ANALYSIS DENGAN VARIASI LOKAL. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Pertama yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU sekaligus Penguji Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Penguji Pertama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
iv

Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2012 yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada Ibunda tercinta Mega Hayati, BA dan Ayahanda (Alm) Kosim Rambey, S.H yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Tak lupa pula kepada abangda Rahmad Syahroni, S.H, M.H serta adik-adikku Musa Ansari Rambe, S.H., Fitri Rowiyah Rambe, Raja Ahmad P Rambe dan Harvina Assyifa Rambe yang telah memberikan semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih juga buat Muhammad Romi Syahputra, S.Si yang telah memberikan semangat dan motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Terima kasih kepada sahabat-sahabatku serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasajasa mereka yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima kasih.
Medan, 5 Juni 2014 Penulis,
Isnaini Halimah Rambe
v

RIWAYAT HIDUP Isnaini Halimah Rambe dilahirkan di Medan pada tanggal 4 Desember 1989 dari pasangan Bapak Kosim Rambey, S.H & Ibu Mega Hayati, BA. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar Negeri 112143 Rantauprapat, Kecamatan Rantau Utara, Kabupaten Labuhan Batu tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Rantau Selatan tahun 2005, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 3 Plus Rantau Utara tahun 2008. Pada tahun 2008 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Sumatera Utara fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu (S-I) dan lulus tahun 2012. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Juli 2013, penulis bekerja sebagai staf pengajar di YPSA sebagai guru bidang studi matematika.
vi

DAFTAR ISI

PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Rumusan Masalah 1.2 Tujuan Penelitian 1.3 Manfaat Penelitian 1.4 Langkah-langkah Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Data Envelopment Analysis (DEA) 2.2 Analisis Frontier 2.3 Analisis Sensitifitas BAB 3 MODEL-MODEL DATA ENVELOPMENT ANALYSIS 3.1 Model DEA CCR (Charnes-Cooper-Rhodes) 3.2 Model DEA BCC (Banker-Charnes-Cooper)

Halaman
i ii iii iv vi vii ix x
1
4 4 4 5
6
6 8 9
11
11 13

vii

3.3 Model Super Efisiensi
BAB 4 STABILATAS EFISIENSI PADA DATA ENVELOPMENT ANALYSIS
4.1 Model Analisis Sensitifitas 4.2 Daerah Stabilitas 4.3 Contoh Persoalan
BAB 5 KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA

15
16 16 18 23 34 35

viii

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

4.1 Data input-output 16 rumah sakit di Taiwan

4.2 Efisiensi rumah sakit di Taiwan

4.3 Wilayah stabilitas H7

Halaman 24 32 33

ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor 2.1 Kurva frontier

Judul

Halaman 9

x

ABSTRAK Tesis ini mengembangkan sebuah pendekatan analisis yang telah ditingkatkan pada UPK yang efisien ketika ketidakpastian data terjadi secara lokal. Teknik analisis sensitifitas ini digunakan untuk mengevaluasi stabilitas dari UPK efisien dengan memperburuk sebuah kelas UPK secara bersamaan dan orientasi yang sama untuk mempertahankan UPK yang dievaluasi tetap pada frontier efisien. Pendekatan ini dikembangkan dari analisis sensitifitas DEA yang biasa digunakan dimana variasi data diandaikan terjadi pada UPK tunggal yang dievaluasi ataupun pada keseluruhan UPK. Analisis ini memungkinkan para pengambil keputusan untuk mengambil tindakan tepat ketika menghadapi kemungkinan variasi lokal. Kata kunci: Efisiensi, DEA, Analisis sensitifitas, Variasi lokal.
ii

ABSTRACT This thesis developed an improved sensitivity analysis approach in the efficient Decision-Making Units (DMUs) when the data uncertainty occured locally. This technique consider the stability of an efficient DMU by deteriorating a class of DMUs simultaneously in the same directions to keep the test DMU remains on the efficient frontier. The new approach generalizes the usual DEA sensitivity analysis in which the data variations are considered either on the single test DMU or on the all over DMUs. This enables the decision maker to take suitable actions that meet the possible local variations. Keyword: Efficiency, DEA, Sensitivity analysis, Local variations.
iii

BAB 1
PENDAHULUAN
Perkembangan sektor industri sejalan dengan perkembangan metode dalam pengambilan keputusan. Tidak jarang hal tersebut juga mengubah sudut pandang para pelaku industri. Dewasa ini, para pelaku industri mulai mempertimbangkan cara menjalankan industri seefisien mungkin. Efisiensi merupakan salah satu parameter kinerja yang menggambarkan kinerja secara keseluruhan dari suatu organisasi. Kemampuan menghasilkan output yang maksimum dengan input yang ada merupakan ukuran kinerja yang diharapkan. Pada saat dilakukan pengukuran efisiensi, suatu organisasi dihadapkan pada bagaimana mendapatkan tingkat output yang optimum dengan tingkat input yang ada.

Pada umumya para pelaku industri mengharapkan dapat mencapai kondisi ideal. Kondisi ideal adalah suatu kondisi dengan nilai efisiensi sama dengan 1 atau 100%. Hal ini berarti jumlah keluaran yang dihasilkan sama dengan jumlah masukan yang digunakan. Namun pada kenyataannya kondisi ideal tersebut sangat sulit untuk dicapai karena terdapat faktor yang mempengaruhi. Salah satunya yakni output yang dihasilkan tidak sebanding dengan input yang ada.
Karena kondisi efisien 100% sangat sulit untuk dicapai maka dilakukan pengukuran efisiensi yang bersifat relatif. Hal ini berarti nilai efisiensi suatu objek tidak dibandingkan dengan kondisi ideal (100%), namun dibandingkan dengan nilai efisiensi objek lain. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengukur efisiensi relatif adalah metode Data Envelopment Analysis (DEA) yang diperkenalkan oleh Charnes et al. (1978). Pada DEA, objek yang sedang dievaluasi nilai efisiensinya disebut dengan Unit Pembuat Keputusan (UPK). Sebuah UPK dianggap bertanggung jawab atas pengolahan input menjadi output dan kinerjanya dievaluasi. DEA melakukan kajian menggunakan beberapa UPK yang memiliki karakteristik sama.
DEA merupakan metode non-parametrik yang didasarkan pada program linier dan menggunakan pendekatan berorientasi data. Tujuan utama DEA adalah untuk memperoleh UPK terbaik diantara UPK-UPK yang ada. DEA mengklasifikasikan UPK menjadi dua kelas, yakni efisien dan tidak efisien. Pada dasarnya
1

2

prinsip kerja DEA adalah membandingkan data input dan output dari suatu UPK dengan data input dan output dari UPK lainnya. Aplikasi model DEA telah digunakan sebagai pengukuran pada berbagai disiplin ilmu pengetahuan dan berbagai kegiatan operasional seperti yang ditunjukkan oleh Cooper et al. (2000).

Para peneliti di sejumlah bidang menyadari bahwa DEA adalah suatu metode

yang sangat baik dan mudah digunakan untuk proses operasional dalam menge-

valuasi kinerja UPK, Charnes et al. (1991). Ukuran efisiensi UPK yang diperke-

nalkan oleh Charnes et al.(1978) dikenal dengan model DEA CCR. Model ini dapat

dihitung dengan menyelesaikan permasalahan pemrograman berikut:

max h0 =

s r=1

ur

yro

m i=1

vixio

s.t.

s r=1

ur

yrj

m i=1

vi

xij

≤

1, j

=

1, . . . , n

ur, vj ≥ r, r = 1, . . . , s; i = 1, . . . , m

(1.1)

ur dan vi merupakan bobot output dan input dari output ke-r dan input ke-i. Subscript nol menyatakan UPK yang dievaluasi, dengan xij adalah input yang diamati dengan tipe ke-i dari UPK ke-j, xij > 0 dan i = 1, 2, . . . , m dan j = 1, 2, . . . , n. Demikian juga yrj adalah nilai output yang diamati dengan tipe ke-r dari UPK ke-j dan yrj > 0 untuk i = 1, 2, . . . , m dan j = 1, 2, . . . , n.
Salah satu permasalahan yang ada dalam DEA adalah adanya faktor ketidakpastian yang dapat mempengaruhi nilai efisiensi yang diperoleh. Sebagai contoh bila ditinjau dari lingkungan produksi, ketika melakukan kegiatan produksi terjadi kerusakan pada mesin. Hal tersebut dapat menurunkan jumlah produksi serta keterlambatan jadwal produksi. Selain itu output yang dihasilkan tidak sebanding dengan input yang ada. Ketidakpastian pada output dan/atau input menyebabkan data bervariasi. Variasi data bisa saja terjadi pada UPK efisien maupun UPK tidak efisien. Hal ini memberikan efek terhadap pengukuran efisiensi dalam DEA. Sehingga perlu dilakukan evaluasi untuk menilai kestabilan efisiensi UPK.
Untuk mengatasi hal tersebut, Charnes et al. (1985) memperkenalkan suatu analisis, yakni analisis sensitifitas. Analisis ini mengkaji pengaruh ataupun perubahan yang disebabkan variasi output tunggal terhadap efisiensi kinerja suatu UPK. Analisis sensitifitas diaplikasikan pada model DEA CCR. Tujuan akhir analisis sensitifitas adalah untuk memperoleh informasi tentang kisaran variasi yang

3

diperbolehkan pada data sehingga tidak mengubah nilai efisiensi UPK yang dievaluasi. Dengan demikian, UPK dapat meningkatkan serta mempertahankan kondisi efisien, Zhu (1996).

Penelitian tentang analisis sensitifitas pada DEA dengan model dan pola variasi data yang berbeda terus berkembang. Charnes dan Neralic (1990) menggunakan analisis sensitifitas pada DEA model additive. Penelitian ini mengkaji stabilitas efisiensi UPK dengan kehadiran variasi data yang bersamaan pada semua input dan/atau semua output UPK efisien. Thompson et al. (1994) serta Seiford dan Zhu (1998) mengkaji stabilitas efisiensi pada DEA model CCR. Variasi terjadi pada seluruh UPK efisien dan datanya menurun sedangkan pada seluruh UPK tidak efisien datanya meningkat secara bersamaan.

Andersen dan Petersen (1993) memperkenalkan model ’Extended DEA Measure’ (EDM) yang merupakan perluasan dari DEA model additive. Model ini dapat digunakan untuk meranking unit-unit efisien. Model EDM juga dikenal dengan model Super Efisiensi. Charnes et al (1996) mengembangkan sebuah teknik analisis sensitifitas pada DEA model super-efisiensi. Teknik tersebut digunakan untuk variasi data dimana perubahan proporsional dan bersamaan diasumsikan pada semua input dan output. Charnes et al. (1996) memberikan formulasi berikut untuk menghitung daerah stabilitas efisiensi pada model additive.

∆∗ = Min∆

(1.2)

subject to

λjxij − ∆ ≤ xio,

j∈D,j=o

λjyrj + ∆ ≥ yro,

j∈D,j=o

λj = 1
j∈D,j=o

∆ ≥ 0; λj ≥ 0; j = o.

i = 1, 2, · · · , m; i = 1, 2, · · · , s;

Nilai optimal ∆∗ adalah jarak stabilitas dalam ∞-norm. peningkatan absolut input dan penurunan absolut output dianggap hanya untuk UPKo.
Seiford dan Zhu (1998) mengkaji stabilitas UPK efisien pada DEA model Super Efisiensi. Analisis sensitifitas yang dilakukan berdasarkan suatu skenario terburuk. Skenario ini mengakibatkan efisiensi UPK yang dievaluasi menurun sementara efisiensi UPK lainnya meningkat. Pada penelitian mereka, Model Super

4
Efisiensi digunakan untuk memperoleh daerah stabilitas setiap UPK efisien untuk mempertahankan efisiensi.
Ketidakpastian tidak hanya bisa terjadi secara individu ataupun bersamaan, ketidakpastian juga mungkin terjadi pada beberapa UPK saja. Ketidakpastian ini mengakibatkan variasi lokal pada data. Variasi lokal memberikan pengaruh perubahan terhadap efisiensi suatu UPK.
1.1 Rumusan Masalah Salah satu permasalahan pada DEA yang sudah banyak diteliti adalah kemungkinan terjadi ketidakpastian data pada UPK, baik secara keseluruhan maupun individu. Namun, ketidakpastian tersebut juga mungkin terjadi pada beberapa UPK saja. Hal ini menyebabkan variasi lokal yang dapat mempengaruhi efisiensi dari UPK yang sudah efisien.
1.2 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian ini antara lain sebagai berikut:
1. untuk menentukan daerah stabilitas efisiensi dari UPK efisien dengan adanya kendala variasi lokal.
2. untuk melihat pengaruh kehadiran variasi lokal pada nilai efisiensi.
1.3 Manfaat Penelitian Manfaat dari hasil penelitian antara lain sebagai berikut:
1. Analisis ini memberikan pertimbangan yang lebih baik dalam pengambilan keputusan. Sehingga dapat membantu berbagai kalangan atau instansi dalam mengambil keputusan.
2. Memberikan informasi kepada para unit pengambil keputusan dalam mengambil tindakan tepat untuk mempertahankan ataupun meningkatkan efisiensi.

5
3. Penelitian ini diharapkan dapat memotivasi penelitian lebih lanjut untuk mengembangkan model-model terbaru dalam menghadapi persoalan stabilitas efisiensi pada DEA.
1.4 Langkah-langkah Penelitian Penelitian ini merupakan studi literatur yang membahas tentang stabilitas efisiensi pada DEA dengan adanya variasi lokal. Adapun langkah-langkah yang akan penulis lakukan adalah sebagai berikut:
1. Penulis terlebih dahulu menentukan model DEA yang akan digunakan dalam penelitian ini dari berbagai literatur yang terkait.
2. Setelah memperoleh model DEA yang dimaksud, penulis akan menguji efisiensi dari UPK menggunakan analisis sensitifitas pada DEA dengan adanya variasi lokal.
3. Langkah terakhir yang akan dilakukan adalah menentukan daerah stabilitas efisiensi sehingga UPK yang efisien tetap efisien ketika terjadi variasi lokal.

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Sumanth (1984) dalam bukunya menjelaskan bahwa efisiensi berhubungan dengan seberapa baik kita menggunakan sumber daya yang ada untuk mendapatkan suatu hasil. Secara matematis efisiensi merupakan rasio antara output dan input. Namun, perhitungan efisiensi di atas masih belum cukup untuk perhitungan efisiensi suatu organisasi atau perusahaan, yang pada kenyataannya tidak hanya melibatkan satu macam input dan menghasilkan satu macam output saja. Suatu organisasi atau perusahaan sebenarnya berhubungan dengan bermacam-macam sumber daya baik input maupun output yang berbeda. Kenyataan seperti di atas menyebabkan kondisi ideal, yaitu suatu kondisi dimana nilai efisiensi 1 atau 100% sangat sulit untuk dicapai. Sehingga dilakukan pengukuran efisiensi relatif pada perusahaan yang sejenis.
Perusahaan sejenis berarti perusahaan yang memiliki jenis input dan output yang sama. Sangat tidak mungkin dilakukan pengukuran efisiensi relatif antara pabrik gula dengan pabrik baja karena memiliki jenis input dan output berbeda. Metode yang dapat digunakan untuk pemecahan masalah pengukuran efisiensi ini adalah metode Data Envelopment Analysis (DEA).

2.1 Data Envelopment Analysis (DEA)

Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan sebuah pemrograman linier matematika yang dikembangkan oleh Charnes et al (1978) untuk mengukur efisiensi relatif Unit Pembuat Keputusan (UPK). Pendekatannya berdasarkan pada konsep efisiensi. DEA merupakaan sebuah pendekatan non-parametrik yang menghitung tingkat efisiensi menggunakan program linier untuk setiap unit sampel. DEA mengukur efisiensi UPK oleh perbandingan dengan skenario terbaik dalam sampel untuk memperoleh efisiensi yang terukur.

Konsep pengukuran yang digunakan dalam DEA adalah dengan memban-

dingkan output yang dihasilkan dengan input yang ada.

Ef isiensi

=

output input

(2.1)

6

7
Nilai efisiensi suatu unit berkisar antara 0 sampai dengan 1. UPK dikatakan efisien jika :
1. Dari segi orientasi output Efisiensi naik bila output naik saat input tetap atau output tetap saat input turun.
2. Dari segi orientasi input Efisiensi naik bila input tetap saat output naik atau input turun saat output tetap.
Istilah-istilah yang digunakan pada DEA antara lain :
1. Input Sesuatu yang dibutuhkan untuk kemudian diolah dan menjadi suatu produk yang bernilai.
2. Output Sesuatu yang dapat dihasilkan dari sejumlah input yang tersedia
3. Unit Sesuatu yang dinilai dan dibandingkan antara input dan output sehingga diperoleh nilai efisiensi relatifnya
4. Efisensi Relatif Efisiensi suatu unit bila dibandingkan dengan unit-unit lain yang memiliki input dan output dengan jenis yang sama dalam treatment tertentu
5. Bobot Pemberian nilai untuk suatu faktor yang memberikan makna bahwa faktor tersebut mempengaruhi efisiensi sebesar nilai bobotnya.
DEA bila diartikan secara harfiah berarti analisa data terbungkus. Disebut demikian karena bila hasil dari perhitungan efisiensi telah diperoleh kemudian diplot dalam suatu grafik, maka nilai-nilai terluar yang dihubungkan akan melingkupi atau membungkus nilai-nilai tertentu. Nilai-nilai efisiensi yang terhubung tersebut membentuk suatu kurva yang disebut dengan kurva frontier.

8
UPK yang terletak pada kurva frontier dikatakan efisien dalam mendistribusikan input dan memproduksi output sedangkan UPK yang tidak terletak pada kurva frontier dianggap tidak efisien. Nilai-nilai yang terbungkus inilah yang masih harus ditingkatkan efisiensinya. Hal ini dapat dilakukan dengan mencari penyebab yang mungkin ditimbulkan oleh input atau output dari UPK dan menetapkan target agar efisiensinya dapat ditingkatkan dengan berorientasi pada UPK yang nilai efisiensinya lebih baik.
Dalam mengevaluasi efisiensi UPK pada DEA, perlu diperhatikan:
1. Kebutuhan nilai input dan output untuk masing-masing UPK
2. DMU memiliki proses yang sama yang menggunakan jenis input dan jenis output yang sama
3. Mendefinisikan nilai efisiensi relatif masing-masing UPK melalui rasio antara penjumlahan bobot input dengan penjumlahan bobot output
4. Nilai efisiensi berkisar antara 0 dan 1
5. Nilai bobot yang diperoleh dari hasil pemrograman dapat digunakan untuk memaksimumkan nilai efisiensi relatif
2.2 Analisis Frontier
Garis frontier adalah suatu garis yang dihubungkan oleh titik-titik terluar suatu analisis grafik yang menunjukkan kondisi efisien yang dapat dicapai. Kurva yang dibentuk oleh garis tersebut dinamakan Efficient Frontier (permukaan efisien). Efficient frontier pertama kali dikemukakan oleh Markowitz (1952) dalam makalah pertamanya yang memuat teori portofolio.
Khalid dan Battall (2006) menerangkan kurva f rontier melalui contoh permasalahan berikut. Andaikan terdapat 5 UPK (A, B, C, D, E) yang masing-masing menggunakan 2 input X1 dan X2 untuk menghasilkan Y output. Data-data dari input dan output yang berhubungan dengan unit tersebut menentukan tingkat efisiensi dari UPK seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.1 UPK A, C, dan D dikatakan efisien karena terletak pada kurva frontier, sedangkan B dan E tidak efisien karena tidak terletak pada kurva efisien.

9
Gambar 2.1 Kurva frontier Pada penelitiannya, Khalid dan Battall (2006) menggunakan DEA dalam mengukur dan menganalisa nilai efisiensi relatif dari 24 institusi bank islamic. Efisiensi diperoleh dengan menemukan sebuah kombinasi dari input-input yang membuat perusahaan dapat memproduksi output yang diinginkan dengan biaya minimum. Penelitian ini menggunakan Model DEA CCR.
2.3 Analisis Sensitifitas Analisis sensitifitas pada DEA dirancang untuk mempelajari pengaruh perubahan dalam parameter model linear programming terhadap solusi optimum. Analisis ini memberikan karakteristik dinamis pada model sehingga memungkinkan seorang analis untuk mempelajari perilaku solusi optimum sebagai hasil dari perubahan dalam parameter model. Tujuan akhir dari analisis ini adalah untuk memperoleh informasi tentang solusi optimum yang baru dan yang dimungkinkan (yang bersesuaian dengan perubahan dalam parameter tersebut) dengan perhitungan tambahan yang minimal.
Permasalahan sensitifitas adalah seberapa besar perubahan yang diizinkan dalam parameter model sehingga tidak mempengaruhi solusi optimumnya. Sasaran analisis sensitivitas adalah menentukan kisaran variasi dalam parameter yang akan membuat solusi optimum tidak berubah.

10

Dalam praktiknya, analisis sensitifitas diterapkan pada berbagai model DEA dengan kendala variasi data. Variasi data terjadi akibat unsur ketidakpastian pada data UPK. Variasi data dapat terjadi pada satu UPK, keseluruhan, ataupun beberapa UPK.

Pada tulisan ini, penulis akan membahas permasalahan dari sebuah UPKo yang efisien ketika data dari subset tertentu pada UPK, termasuk UPKo, secara bersamaan diperburuk pada nilai yang sama. Karena peningkatan output atau pun

penurunan input tidak dapat memperburuk efisiensi suatu UPK, maka data diubah

dengan memberikan variasi ke atas pada input atau memberikan variasi ke bawah

pada output dalam sebuah subset UPK. Andaikan P dan U menyatakan himpunan

yang mengindikasikan seluruh UPK dimana datanya masing-masing terganggu dan

tidak terganggu. I dan O masing-masing mengindikasikan input dan output yang

berubah. berikut:

Pada tulisan ini, data pada seluruh UPKj di P divariasikan sebagai

 xˆij = xij + ∆, ∆ ≥ 0,
xˆij = xij,

i∈I i ∈/ I

(2.2)

dan  yˆrj = yrj − δ, yrj ≥ δ ≥ 0, r ∈ O

yˆrj = yrj,

r ∈/ O

(2.3)

Penulis menggunakan model DEA additive untuk mempelajari stabilitas efisiensi UPK ketika data dari sebuah subset UPK yang diberikan (termasuk UPK yang diuji efisiensinya) diubah secara bersamaan dan data pada UPK lainnya dipertahankan. Dari model Super efisiensi yang diperluas, penulis memperkenalkan model program non-linier yang nilai optimalnya menghasilkan daerah stabilitas untuk UPK yang diuji. Kondisi cukup dan perlu untuk mempertahankan efisiensi UPK yang diuji tetap pada frontier diberikan dengan mempertimbangkan jenis perubahan data.

BAB 3 MODEL-MODEL DATA ENVELOPMENT ANALYSIS

Pada bab ini akan dipaparkan beberapa model DEA yang digunakan untuk permasalahan stabilitas efisiensi serta materi-materi lainnya yang juga berhubungan dan mendukung dalam menyelesaikan persoalan DEA.

3.1 Model DEA CCR (Charnes-Cooper-Rhodes)

Pada DEA, hal yang biasa dilakukan adalah mengevaluasi n unit produktif atau biasa disebut UPKs, dimana setiap UPK menggunakan m input untuk memproduksi s output. Esensi dari model DEA dalam mengukur efisiensi unit produktif terletak pada memaksimumkan tingkat efisiensiya. Akan tetapi, nilai kendala yang memenuhi kondisi tingkat efisiensi tiap unit tidak lebih dari satu. Modelnya harus memuat semua karakteristik yang mempertimbangkan bobot setiap input dan output lebih besar dari nol. Model yang demikian didefiniskan oleh:

maximize

i uiyiq j vj xjq

(3.1)

subject to

i uiyik j vj xjk

≤ 1,

ui ≥ ε

vj ≤ ε

k = 1, 2, · · · , n
i = 1, 2, · · · , s j = 1, 2, · · · , m

Model (3.1) dapat diubah ke bentuk model program linier kemudian ditransformasikan ke dalam sebuah matriks seperti pada persamaan (3.2).

maximize z = uT Yq

(3.2)

subject to

vT Xq = 1 uT Y − vT Xq ≤ 0 u≥ε v≤ε

11

12

Model (3.2) sering disebut dengan model DEA CCR primer (Charnes, Cooper, Rhodes). Sedangkan model dualnya dapat dinyatakan sebagai berikut:

maximize f = θ − ε(eT s+ + eT s−)

(3.3)

subject to

Y λ − s+ = Yq Xλ + s− = θXq λ, s+, s− ≥ 0

(3.4)

dimana λ = (λ1, λ2, · · · , λn), λ ≥ 0 adalah sebuah vektor yang menggambarkan unit produktif, s+ dan s− adalah vektor tambahan dari variabel input dan output, eT = (1, 1, · · · , 1) dan ε merupakan sebuah konstanta yang lebih besar dari nol, yang biasaya bernilai sekitar 10−6 atau 10−8.

Efendi (2012) melakukan skenario transformasi model multiplier ke model envelopment pada DEA untuk mendapatkan nilai efisiensi optimal. Pada penelitiannya, model DEA pada persamaan (3.1) diberikan kondisi sebagai berikut:
m
vixio = 1.
i=1
Sehingga diperoleh model pemrograman linier yang ekivalen dengan permasalahan DEA.

Pembagi dalam ukuran efisiensi dibuat sama dengan satu dan permasalahan linier yang telah ditransformasikan dapat ditulis dengan:

maximize subject to

s
ur yro
r=1 sm
uryrj − vixij ≤ 0, j = 1, 2, . . . , n
r=1 i=1 m
vixio = 1
i=1

ur, vi ≥ 0, r = 1, 2, · · · s; i = 1, 2, . . . m

(3.5)

Model (3.5) sering disebut Model DEA CCR M ultiplier yang berorientasi pada input-output. Optimasi dilakukan dengan memilih bobot u dan v yang menghasilkan nilai perbandingan output per input terbesar. Permasalahan ini dapat

13

ditulis untuk setiap U P Ko sebagai berikut:

θo∗ subject to

= min θo
n
λjyrj ≥ yro, r = 1, 2, · · · , s
j=1 n
λjxij ≤ θoxio, i = 1, 2, · · · , m
j=1

λj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n

(3.6)

Permasalahan pada model (3.6) memperoleh solusi optimal θ∗ yang merupakan nilai efisiensi teknis atau efisiensi CCR untuk U P Ko tertentu. Jika ada himpunan bobot positif yang membuat θo∗ = 1, maka UPK dikatakan relatif efisien. Nilai efisiensi ini disebut juga dengan nilai efisiensi teknis atau efisiensi CCR. Untuk mendapatkan nilai efisiensi keseluruhan dari UPK, dapat diperoleh dengan mengulangi proses pada persamaan (3.6) untuk tiap U P Kj = 1, 2, · · · , n. Nilai θ selalu lebih kecil atau sama dengan satu.

UPK yang relatif efisien akan terlihat dimana kombinasi input-output terletak pada tapal batas efisien (efficient frontier).

θo∗ subject to

m

= min θo − ǫ

s−i +

s+r

i=1 r=1

n

λjyrj − s+r = yro, r = 1, 2, · · · , s

j=1

n

λjxij + si− = θoxio, i = 1, 2, · · · m

j=1

λj ≥ 0, j = 1, 2, · · ·

(3.7)

3.2 Model DEA BCC (Banker-Charnes-Cooper)
Banker et al. (1984) dalam penelitiannya memperkenalkan model BCC. Pada Model CCR (3.6) variable returnnya belum terskala, sehingga perlu ditambahkan kondisi convexity pada bobot λ, yaitu dengan memasukkan batasan berikut:
n
λj = 1.
j=1

14

Hasil Model DEA yang memberikan variabel return terskala inilah yang disebut model BCC. Model yang berorientasi pada input-output untuk U P Ko dapat dinyatakan seperti pada persamaan (3.8).

θo∗ subject to

= min θo
n
λjyrj ≥ yro, r = 1, 2, · · · , s
j=1 n
λjxij ≤ θoxio, i = 1, 2, · · · , m
j=1 n
λj = 1
j=1

λj ≥ 0, j = 1, 2, · · · , n

(3.8)

Nilai efisiensi BCC diperoleh dengan menjalankan model (3.8) untuk setiap

UPK. Nilai efisiensi pengukuran kinerja BCC disebut nilai efisiensi teknis murni

( pure technical efficiency ), hal ini terkait dengan nilai-nilai yang diperoleh yang

memperbolehkan variabel return terskala, sehingga skala yang ada dapat terelimi-

nasi. Dari model (3.8), untuk mendapatkan nilai efisiensi diberikan model berikut:

θo∗ subject to

m
= min θo − ǫ( s−i + sr+)
i=1 r=1 n
λjyrj − sr+ = yro, r = 1, 2, · · · s
j=1 n
λjxij + si− = θoxio, i = 1, 2, · · · m
j=1 n
λj = 1
j=1

(3.9)

λj ≥ 0, j = 1, 2, · · ·

Dari model (3.9) dapat diketahui bahwa:

1. U P Ko adalah efisien jika dan hanya jika θ∗ = 1 dan s−i ∗ = s+r ∗ = 0 untuk semua i dan r.
2. U P Ko adalah efisien lemah jika dan hanya jika θo∗ = 1 dan s−i ∗ = 0 dan/atau sr+∗ = 0 untuk semua i dan r dalam alternatif optimal yang sama.

15
3.3 Model Super Efisiensi
Model Super Efisiensi pertama kali diperkenalkan oleh Andersen dan Petersen (1993). Model ini dapat digunakan untuk merangking semua unit bahkan unitunit yang efisien. Ide dasar Model Super Efisiensi adalah membiarkan nilai efisiensi UPK yang dievaluasi lebih besar dari 1 atau 100%. Model DEA Super Efisiensi dikategorikan dalam dua orientasi seperti pada model (4.1) dan (4.2).

Berorientasi output.

Max γ subject to

n
λjxj ≤ xo
j=1,j=o n
λjyj ≥ γyo
j=1,j=o
γ, λj ≥ 0; j = o.

Berorientasi input

Min ρ subject to

n
λjxj ≤ ρxo
j=1,j=o n
λjyj ≥ yo
j=1,j=0
ρ, λj ≥ 0; j = o.

(3.10) (3.11)

BAB 4
STABILATAS EFISIENSI PADA DATA ENVELOPMENT ANALYSIS

Pada bab ini akan diperkenalkan analisis sensitifitas baru untuk model additive pada DEA. Model pemrograman non-linier dikembangkan untuk menentukan daerah stabilitas dari suatu UPK efisien yang dievaluasi. Selain itu, pada bab ini juga diberikan pembuktian beberapa sifat yang berhubungan dengan stabilitas.
4.1 Model Analisis Sensitifitas
Charnes dan Neralic (1990) mempartisi seluruh UPK ke dalam empat himpunan, yaitu E, E’, F, dan N. Himpunan E dan E’ digolongkan ke dalam UPK efisien dsedangkan F dan N tidak efisien. UPK pada E’ merupakan kombinasi linier dari setiap UPK di E. UPK tersebut akan tidak efisien jika terjadi sejumlah peningkatan input dan/atau penurunan pada output. Pendekatan yang dilakukan penulis memfokuskan pada stabilitas UPK yang berada di himpunan E (Extremly Efficient).
Berdasarkan perubahan mutlak yang diberikan pada data, penulis akan mengukur kestabilitasan dari tiap UPK menggunakan model yang aditif. Asumsikan UPKo telah efisien dan data mengalami perubahan seperti terlihat pada persamaan (2.2). Pertidaksamaan (4.1)-(4.4) merupakan model aditif yang telah dimodifikasi untuk mengukur stabilitas dari UPKo terhadap perubahan data yang terjadi.

∆∗t+1 = Min ∆ subject to

t = 0, 1, 2, · · ·

(4.1)

λjxij +

λj(xij + ∆∗t ) ≤ xio + ∆, i ∈ I

j∈U

j∈P,j=o

(4.2)

λjxij ≤ xio,
j∈D,j=o

i ∈/ I

(4.3)

λjyrj ≥ yro,
j∈D,j=o

r = 1, 2, · · · , s (4.4)

λj = 1
j∈D,j=o
∆ ≥ 0; λj ≥ 0, j = o

16

17
Nilai optimal ∆t∗+1 merupakan maksimum inkremen pada input UPKo sementara data telah ditingkatkan dengan unit ∆∗ seperti terlihat pada persamaan (2.2). Proses ini diinisialisasi dengan mengambil nilai ∆o∗ = 0 dan secara iteratif dilakukan proses perhitungan hingga diperoleh nilai optimal yang cenderung konvergen.
Berikut ini beberapa hal yang harus diperhatikan sebelum melakukan proses iteratif.

1. Sebagai langkah awal, ambil ∆0∗ = 0 pada persamaan (4.1) untuk mengukur radius dari stabilitas jika perubahan data muncul pada UPKo saat data pada UPK lain dipertahankan. Berdasarkan hasil pada Charnes et al. (1978), diperoleh ∆∗1 ≥ 0 jika UPKo ekstrim efisien.
2. Andaikan ∆t∗ = ∆t∗−1 pada langkah t. Untuk langkah t + 1, dari model pada persamaan (4.1), dengan mengatur semua variabel dengan solusi optimal, persamaan (4.2) menjadi sebagai berikut:

λj∗xij +

λj∗(xij + ∆t∗) ≤ xio + ∆∗t+1, i ∈ I.

j∈U

j∈P,j=o

Hal ini mengakibatkan

λ∗j xij +

λj∗(xij + ∆t∗−1) ≤ xio + ∆∗t+1 −

λj∗(∆t∗ − ∆t∗−1), i ∈ I.

j∈U

j∈P,j=o

j∈P,j=o

Sehingga,

∆∗t + 1 −

λj∗(∆∗t − ∆t∗−1),

j∈P,j=o

kemudian layak untuk model pada persamaan (4.1) pada langkah t. Dengan demikian

∆t∗ ≤ ∆∗t + 1 −

λ∗j (∆t∗ − ∆∗t−1) ≤ ∆∗t + 1.

j∈P,j=o

Hal ini menunjukkan bahwa barisan nilai-nilai optimal {∆∗|t = 1, 2, · · · } non-decreasing pada t. Barisan tersebut konvergen jika barisannya berbatas atas,

18

dengan kata lain cenderung tak berhingga dan UPKo selalu stabil. Hasilnya, model (4.1) dikembangkan ke dalam program non-linier:

∆∗ = M in ∆

Subject to

λjxij +

λj(xij + ∆) ≤ xio + ∆, i ∈ I;

j∈U

j∈P,j=o

λjxij ≤ xio,
j∈D,j∈/o

i ∈/ I;

λjyrj ≥ yro,
j∈D,j∈/o

r = 1, 2, · · · , s;

λj = 1;
j∈D,j∈/o

∆ ≥; λj ≥ 0, j ∈/ o.

(4.5)

Untuk suatu UPKo yang diberikan, diasumsikan bahwa model tersebut layak untuk penelitian ini.

4.2 Daerah Stabilitas
Dalam penelitian ini, penentuan daerah stabilitas merupakan masalah yang sangat penting. Dalam menentukan daerah stabilitas, perlu diperhatikan beberapa hal seperti, keberagaman data pada UPK, baik UPK yang efisien maupun yang tidak dan sebagainya. Sifat-sifat daerah stabilitas input dari UPKo ditunjukkan oleh teorema 4.1.
Teorema 4.1 Diberikan data yang bervariasi pada input seperti (2.2), sebuah UPKo yang efisien tetap pada f rontier efisien jika dan hanya jika ∆ ∈ [0, ∆∗], dimana ∆∗ adalah nilai optimal untuk model pada persamaan (4.5).
Bukti. Berikut ini diberikan Model DEA untuk mengevaluasi UPKo dimana UPKj inputnya berubah dengan nilai xij + ∆ untuk semua j ∈ P.

19

θ∗ subject to

= Min θ

λjxij +

λj(xij + ∆∗) + λo(xio + ∆∗)

j∈U

j∈P,j=o

≤ θ(xio + ∆∗), i ∈ I

λjxij + λoxio ≤ θxio,
j∈D,j=o

i ∈/ I

λjyrj + λoyro ≥ yro,
j∈D,j=o

r = 1, 2, · · · , s

λj + λo = 1
j∈D,j=o
λj ≥ 0; λo ≥ 0; θ ≥ 0.

(4.6)
(4.7) (4.8)

Andaikan solusi optimal untuk model pada persamaan (4.6) adalah (λ∗j,λ∗o,θ∗). Asumsikan UPKo terletak di dalam f rontier, diperoleh θ∗ < 1 dan λ∗ = 0. Dengan mengatur seluruh variabel dengan solusi optimal pada model (4.6), pertidaksamaan (4.7) dan (4.8) memberikan hasil sebagai berikut:

λ∗j xij +

λ∗j (xij + θ∗∆∗) ≤

λ∗j xij +

λj∗(xij + ∆∗)

j∈U

j∈P,j=o

j∈U

j∈P,j=o

≤ θ∗(xio + ∆∗) ≤ xio + θ∗ + ∆∗,

i∈I

λ∗j (xij ≤ θ∗xio ≤ xio,
j∈D,j=o

i∈I

Hal ini berarti bahwa (λj, ∆) = (λj∗, θ∗∆∗) merupakan sebuah solusi yang layak untuk model pada persamaan (4.5). Oleh karena itu, θ∗∆∗≥∆∗, sebagai contoh θ∗≥1. Hal ini merupakan suatu kontradiksi. Jadi, UPKo tetap pada f rontier efisien jika ∆=∆∗.
Sebaliknya, asumsikan UPKo tetap pada f rontier efisien jika inputnya ditingkatkan seperti pada persamaan (2.2) dengan ∆ unit, dan ∆ > ∆∗.

20

Model pada persamaan (4.5) dapat dinyatakan kembali sebagai berikut:

ρ∗ subject to

= Min ρ

(4.9)

λjxij +

λj((xij + ∆) + ρ) ≥ (xio + ∆) + ρ,

j∈U

j∈P,j=o

i∈I

(4.10)

λjxij ≤ xio,
j∈D,j=o

i ∈/ I;

λjyrj ≥ yro,
j∈D,j=o

r = 1, 2, · · · , s;

λj = 1
j∈D,j=o
λj ≥ 0; j = o; ρ : bebas dalam tanda.

(4.11)

Karena UPKo terletak pada f rontier efisien, maka ρ∗≥ 0. Hal ini berakibat bahwa ρ∗+∆ ≥ ∆ > ∆∗. Tetapi, berdasarkan model pada persamaan (4.5), nilai optimalnya haruslah ∆∗. Dengan demikian, ρ∗ + ∆ = ∆∗. Hal ini juga merupakan suatu kontradiksi. Sehingga, UPKo tetap efisien hanya jika ∆ ≤ ∆∗.
Teorema 4.1 menggambarkan bahwa minimisasi dari model (4.5) memberikan increment maksimum yang mungkin dari input seperti pada persamaan (2.2) terhadap semua UPK di P untuk mempertahankan UPKo tetap pada f rontier efisien ketika input dari UPK lainnya konstant.

Anggap terdapat suatu permasalahan dimana telah terjadi perubahan data output seperti pada persamaan (2.3). Gunakan model DEA berikut ini seperti model dimana UPKo yang diuji tidak termasuk dalam himpunan acuan untuk menentukan daerah stabilitas dari output.

δ∗ subject to

= Min δ

λjyrj +

λj(yrj − δ) ≥ (yro − δ), r ∈ O

j∈U

j∈P,j=o

λjyrj ≥ yro,
j∈D,j=o

r ∈/ O;

λjxij ≤ xio,
j∈D,j=o

i = 1, 2, · · · , m;

λj = 1
j∈D,j=o
δ ≥ 0; λj ≥ 0; j = o.

(4.12)

21

Pertama-tama ditunjukkan bahwa model pada persamaan (4.12) adalah translation invarariant.

Lemma 4.1 Model pada persamaan (4.12) adalah translation invariant.

Bukti. Karena

λj = 1, maka Lemma 4.1 terbukti.

j∈D,j=o

Teorema 4.2 Diberikan data yang bervariasi pada output seperti (2.3), UPKo yang efisien tetap pada efisien f rontier jika dan hanya jika δ ∈ [0, δ∗], dimana δ∗ adalah nilai optimal pada model pada persamaan (4.12).

Bukti. Pertama ditunjukkan bahwa UPKo tetap pada f rontier jika δ = δ∗. Oleh Lemma 4.1, data output dapat disesuaikan sehingga yro > 2δ∗ dan hal ini berarti δ∗/(yko − δ∗) < 1, ∀ r∈ O. Model DEA berikut ini menunjukkan bahwa UPKo dalam evaluasi dan UPKj merubah outputnya dengan nilai yrj − δ∗ ∀ j ∈ P.

φ∗ = Max φ

(4.13)

subject to

λj yrj +

λj(yrj − δ∗) + λo(yro − δ∗)

j∈U

j∈P,j=o

≥ φ(yro − δ∗), r ∈ O

(4.14)

λj yrj + λoyro ≥ φyro,
j∈D,j=o
λj xij + λoxio ≤ xio,
j∈D,j=o
λj + λo = 1
j∈D,j=o
λj ≥ 0; λo ≥ 0; φ ≥ 0.

r ∈/ O;

(4.15)

i = 1, 2, · · · , m;

Andaikan solusi optimal pada model (4.13) adalah (λ∗j , λ∗o, φ∗). Asumsikan UPKo ditempatkan di dalam f rontier, maka φ∗ > 1 dan λo∗ = 0. Hal ini berakibat bahwa: φ∗ > δ∗/(yro − δ∗) dan φ∗yro − δ∗φ∗ − δ∗ > 0, ∀ r ∈ O. Dengan mengatur
semua variabel dengan solusi optimal pada model (4.13), pertidaksamaan (4.14)
dan (4.15) memberikan hasil sebagai berikut:

λ∗j yrj +

λ∗j (yrj − δ∗/φ∗) ≥

λ∗j yrj +

λj∗(yrj − δ∗) ≥ φ∗(yro − δ∗)

j∈U

j∈P,j=o

j∈U

j∈P,j=o

= yro − δ∗/φ∗ + (φ∗yro − δ∗φ∗ − δ∗)(1 − 1/φ∗) ≥ yro − δ∗/φ∗,

∀r ∈ O,

λ∗j (yrj ≥ φ∗yro ≥ yro,
j∈D,j=o

∀r ∈/ O.

22

Hal ini berarti bahwa (λj, δ) = (λ∗j, δ∗/φ∗) adalah solusi layak untuk model (4.12). Dengan demikian δ∗/φ∗ ≥ δ∗, φ∗ ≤ 1. Hal ini merupakan sebuah kontradiksi. Jadi, UPKo tetap pada f rontier efisien jika δ = δ∗.
Sebaliknya, asumsikan bahwa UPKo tetap pada f rontier efisien jika outputnya diturunkan seperti pada persamaan (2.3) dengan δ unit, dan δ > δ∗.

Dengan demikian model (4.12) dapat dinyatakan kembali sebagai berikut:

τ∗ subject to

= Min τ

(4.16)

λjyrj +

λj((yrj − δ) − τ ) ≥ (yro − δ) − τ, r ∈ O

j∈U

j∈P,j=o

λjyrj ≥ yro,
j∈D,j=o

r ∈/ O;

λj = 1
j∈D,j=o

λjxij ≤ xio, i = 1, 2, . . . , m;
j∈D,j=o
λj ≥ 0; j = o; τ : bebas dalam tanda

Karena UPKo terletak pada f rontier, maka τ ∗ ≥ 0. Hal ini berakibat bahwa τ ∗ + δ ≥ δ > δ∗. Tetapi berdasarkan model (4.12), diperoleh τ ∗ + δ = δ∗. Hal ini mengacu pada sebuah kontradiksi. Sehingga, UPKo tetap efisien hanya jika ρ ≤ ρ∗.
Teorema 4.2 memperlihatkan bahwa minimisasi dari model (4.12) memberikan decrement maksimum yang mungkin untuk setiap output individual untuk menjaga UPKo tetap pada f rontier efisien ketika output lainnya tetap.
Selanjutnya, apabila input dan output berubah dalam waktu yang bersamaan, daerah stabilitas diperoleh dengan menyelesaikan model (4.17).

23

Γ∗ subject to

= Min Γ

λjxij +

λj(xij + Γ) ≤ (xio + Γ), i ∈ I

j∈U

j∈P,j=o

λjxij ≤ xio, i ∈/ I;
j∈D,j=o

λjyrj +

λj(yrj − Γ) ≥ (yro − Γ), r ∈ O

j∈U

j∈P,j=o

λjyrj ≥ yro, r ∈/ O
j∈D,j=o

λj = 1
j∈D,j=o
Γ ≥ 0; λj ≥ 0; j ∈/ o.

(4.17)

Teorema 4.3 UPKo yang efisien tetap pada f rontier setelah perubahan data seperti pada (2.2) dan (2.3) dengan ∆ = δ = Γ, jika dan hanya jika Γ ∈ [0, Γ∗] dimana Γ∗ adalah nilai optimal pada model (4.17).

Bukti. Pembuktiannya adalah analogi terhadap pembuktian teorema 4.1 dan teorema 4.2.
Dengan demikian diperoleh kondisi cukup dan perlu untuk mempertahankan efisiensi dari sebuah UPK yang efisien dengan tipe perubahan data yang diberikan.

4.3 Contoh Persoalan
Pada penelitian ini, data yang akan dijadikan sebagai contoh diambil dari data 16 rumah sakit yang ada di Taiwan pada tahun 2001, Teng (2003). Diketahui masing-masing rumah sakit menggunakan tiga input untuk menghasilkan dua output. Berikut diberikan data input-output dari 16 rumah sakit yang ada di Taiwan.
Input : (i) Bed Pasien (BP): Jumlah tempat tidur yang disediakan oleh pihak rumah sakit.
(ii) Dokter (Dr): Jumlah dokter yang bertugas di rumah sakit.

24
(iii) Perawat (Prw): Jumlah perawat yang terdaftar dan mempunyai izin praktek di rumah sakit.
Output :
(i) UGD : Jumlah pasien yang masuk ruang UGD per bulan.
(ii) Nilai SB : Nilai terakreditasi dari kualitas kesiapsiagaan terhadap bencana.
Beberapa Rumah sakit tersebut berlokasi di empat wilayah yang berbeda, yakni utara, pusat, selatan dan timur Taiwan. Ada 6 rumah sakit umum dan 10 rumah sakit swasta. Tabel 4.1 menunjukkan data input-output, lokasi serta kepemilikan dari rumah sakit yang ada di Taiwan.
Tabel 4.1 Data input-output 16 rumah sakit di Taiwan R.S. Daerah Status BP Dr Prw UGD Nilai SB
1 Utara Umum 1670 20 40 6000 73.6 2 Utara Umum 2886 41 74 7000 73.2 3 Utara Umum 2468 20 35 7000 61.4 4 Pusat Umum 1371 12 26 4500 64.8 5 Selatan Umum 1007 16 47 4500 71.2 6 Selatan Umum 1263 22 60 6000 56.6 7 Utara Swasta 1190 40 80 12000 58.4 8 Utara Swasta 3864 50 109 13800 68.8 9 Utara Swasta 799 15 25 4500 46.0 10 Pusat Swasta 1603 30 43 13000 61.2 11 Pusat Swasta 1604 45 141 11000 63.0 12 Pusat Swasta 819 16 40 4250 64.8 13 Selatan Swasta 1358 27 46 6750 60.6 14 Selatan Swasta 2415 35 60 10000 62.4 15 Selatan Swasta 1179 22 40 6000 55.4 16 Timur Swasta 811 8 20 4000 63.8
Terlebih dahulu akan dievaluasi tingkat efisiensi dari 16 rumah sakit tersebut. Dalam hal ini penulis menggunakan sof tware LINDO untuk membantu proses perhitungan.

25
Berikut ini diberikan persamaan program linier untuk mengevaluasi 16 UPK (rumah sakit).
Evaluasi UPK 1
min THETA st. 1670U1+2866U2+2468U3+1371U4+1007U5+1263U6+1190U7+3864U8+799U9+1603U10 +1604U11+819U12+1358U13+2415U14+1179U15+811U16-1670THETA=0
Evaluasi UPK 2
min THETA st. 1670U1+2866U2+2468U3+1371U4+1007U5+1263U6+1190U7+3864U8+799U9+1603U10 +1604U11+819U12+1358U13+2415U14+1179U15+811U16-2866THETA=0

26
Evaluasi UPK 3
min THETA st. 1670U1+2866U2+2468U3+1371U4+1007U5+1263U6+1190U7+3864U8+799U9+1603U10 +1604U11+819U12+1358U13+2415U14+1179U15+811U16-2468THETA=0
Evaluasi UPK 4
min THETA st. 1670U1+2866U2+2468U3+1371U4+1007U5+1263U6+1190U7+3864U8+799U9+1603U10 +1604U11+819U12+1358U13+2415U14+1179U15+811U16-1371THETA=0
Evaluasi UPK 5
min THETA st. 1670U1+2866U2+2468U3+1371U4+1007U5+1263U6+1190U7+3864U8+799U9+1603U10 +1604U11+819U12+1358U13+2415U14+1179U15+811U16-1007THETA=0
Evaluasi UPK 6
min THETA st. 1670U1+2866U2+2468U3+1371U4+1007U5+1263U6+1190U7+3864U8+799U9+1603U10 +1604U11+819U12+1358U13+2415U14+1179U15+811U16-1263THETA