Model Fuzzy Radial Basis Function Neural Network FRBFNN Algoritma Pembelajaran Fuzzy Radial Basis Function Neural Network

40

2. Model Fuzzy Radial Basis Function Neural Network FRBFNN

Model Fuzzy Radial Basis Function Neural Network FRBFNN mengacu pada model Radial Basis Function Neural Network RBFNN yang menggunakan fungsi basis sebagai fungsi aktivasi untuk setiap neuron pada lapisan tersembunyi. Beberapa fungsi radial basis adalah sebagai berikut Andrew, 2002: 74. a. Fungsi Gaussian �[ ] = − � − 3.1 b. Fungsi Multikuadratik �[ ] = √ − + 3.2 c. Fungsi Invers Multikuadratik �[ ] = √ � − + � 3.3 d. Fungsi Cauchy �[ ] = � − + − 3.4 dengan, = jarak pada neuron tersembunyi dari variabel input ke cluster � = nilai input himpunan fuzzy = nilai pusat pada neuron tersembunyi dari variabel input ke cluster �[� ] = fungsi aktivasi neuron tersembunyi Hasil output y yang dihasilkan dari model FRBFNN merupakan kombinasi linear dari bobot dengan fungsi aktivasi � [� ] dan bobot bias . Vektor output dirumuskan sebagai berikut Orr, 1996:11: = ∑ = � [� ] + � 3.5 41 dengan, � [� ] = − ∑ ∑ � . − . = = = jarak maksimum pada cluster ke-k . = pusat cluster ke-k untuk nilai input fuzzy ke-l dan variabel ke-j = bobot dari neuron lapisan tersembunyi ke-k menuju neuron output = bobot bias dari neuron lapisan tersembunyi ke-k menuju neuron output � = fungsi aktivasi bias dimana nilainya adalah 1 � [� ] = fungsi aktivasi neuron tersembunyi ke-k � = [ . , . , … , . , . . . , . ] merupakan vektor input berupa himpunan fuzzy = , , … banyaknya variabel X = , , … banyaknya himpunan fuzzy = , , … banyaknya neuron pada hidden layer Karena � = maka persamaan 3.5 dapat ditulis sebagai berikut: = ∑ = � [� ] + 3.6 Pada tugas akhir ini, fungsi keanggotaan yang digunakan yaitu fungsi keanggotaan segitiga, sedangkan fungsi basis sebagai fungsi aktivasi pada lapisan tersembunyi menggunakan fungsi basis Gaussian persamaan 3.1 serta menggunakan fungsi aktivasi linear persamaan 2.9 pada lapisan output.

3. Algoritma Pembelajaran Fuzzy Radial Basis Function Neural Network

FRBFNN Konsep dasar dari model Fuzzy Radial Basis Function Neural Network FRBFNN ini adalah penerapan aplikasi teori fuzzy ke dalam model dasar 42 jaringan syaraf Radial Basis Function RBF. Model Fuzzy Radial Basis Function Neural Network FRBFNN adalah model unsupervised-supervised learning Chi Hsu, 2001: 2808. Metode pembelajaran tidak terawasi unsupervised learning digunakan pada proses dari lapisan input menuju lapisan tersembunyi dan metode pembelajaran terawasi supervised learning digunakan pada proses yang terjadi dari lapisan tersembunyi menuju lapisan output Chen et al, 2005: 323. Algoritma pembelajaran FRBFNN yang pertama adalah melakukan proses fuzzifikasi yaitu mengubah nilai input yang berupa bilangan crisp menjadi bilangan fuzzy. Selanjutnya dilakukan normalisasi terhadap data input hasil fuzzifikasi tersebut. Prosedur pembelajaran FRBFNN selanjutnya mengacu pada algoritma pembelajaran RBFNN yang terbagi menjadi tiga bagian, yaitu Andrew, 2002: 80: a. Menentukan pusat dan jarak pada setiap fungsi basis. Pada penelitian ini, pusat dan jarak dari setiap fungsi basis dicari menggunakan metode K-means Clustering. Algoritma K-Means merupakan metode clustering yang pada awalnya mengambil komponen populasi untuk dijadikan pusat cluster awal. Pada tahap ini pusat cluster dipilih secara acak dari sekumpulan populasi data. Berikutnya K-Means menguji masing-masing komponen di dalam populasi data dan menandai komponen tersebut ke salah satu pusat cluster yang telah didefinisikan tergantung dari jarak minimum antar komponen dengan tiap-tiap cluster. Posisi pusat cluster akan dihitung kembali sampai semua komponen data digolongkan kedalam tiap-tiap pusat cluster dan terakhir akan terbentuk posisi pusat cluster yang baru Metisen Sari, 2015: 113. 43 Berikut ini adalah ilustrasi penggunaan algoritma K ‐means untuk menentukan cluster dari 4 buah obyek dengan 2 atribut, seperti ditunjukkan dalam Tabel 3.1 berikut. Tabel 3. 1 Tabel Sampel Data Obyek Atribut 1 X: indeks berat Atribut 2 Y: pH Obat A 1 1 Obat B 2 1 Obat C 4 3 Obat D 5 4 Clustering akan dilakukan untuk membentuk 2 cluster jenis obat berdasarkan atributnya. Langkah ‐langkah algoritma K ‐Means clustering adalah sebagai berikut: 1 Penentuan nilai awal titik tengah Misalkan obat A dan obat B masing ‐masing menjadi titik tengah centroid dari cluster yang akan dibentuk, sehingga diperoleh koordinat kedua centroid tersebut yaitu = , dan = , . 2 Menghitung jarak obyek ke centroid dengan menggunakan rumus jarak Euclid Misal akan dihitung jarak obat D ke centroid pertama = , dan centroid kedua = , dengan menggunakan jarak Euclide seperti pada persamaan 2.13. Berikut ini merupakan hasil perhitungannya: , = √ − + − = , = √ − + − = , 44 Proses perhitungan tersebut juga diterapkan untuk menghitung jarak obat A, B, C ke centroid pertama dan centroid kedua. Hasil perhitungan jarak ini disimpan dalam bentuk matriks �, dengan banyaknya cluster dan � banyak obyek. Setiap kolom dalam matriks tersebut menunjukkan obyek sedangkan baris pertama menunjukkan jarak ke centroid pertama, baris kedua menunjukkan jarak ke centroid kedua. Matriks jarak setelah iterasi ke ‐0 adalah sebagai berikut: = [ , , , ] Gambar 3.2 berikut merupakan gambar ilustrasi untuk iterasi ke- 0 pada metode K-Means clustering. Gambar 3. 2 Gambar Ilustrasi untuk Iterasi 0 3 Clustering obyek: Memasukkan setiap obyek ke dalam cluster berdasarkan jarak minimumnya. Jadi obat A dimasukkan ke cluster 1, dan obat B, C dan D dimasukkan ke cluster 2. Keanggotaan obyek ke dalam cluster dinyatakan dengan matrik, elemen dari matriks bernilai 1 jika sebuah Atribut 1 X: indeks berat A tr ib ut 2 Y : pH 45 obyek menjadi anggota grup. Berikut adalah matriks keanggotaan yang baru. � = [ ] 4 Iterasi-1, menentukan centroid: Berdasarkan anggota masing‐masing cluster, selanjutnya ditentukan centroid baru. Cluster 1 hanya berisi 1 obyek, sehingga centroidnya tetap = , . Cluster 2 mempunyai 3 anggota, sehingga centroidnya ditentukan berdasarkan rata ‐rata koordinat ketiga anggota tersebut: = + + , + + = , 5 Iterasi‐1, menghitung jarak obyek ke centroid: selanjutnya, jarak antara centroid baru dengan seluruh obyek dalam cluster dihitung kembali sehingga diperoleh matriks jarak sebagai berikut: = [ , , , , , ] 6 Iterasi‐1, clustering obyek: langkah ke‐3 diulang kembali, menentukan keanggotaan cluster berdasarkan jarak minimumnya. Berdasarkan matriks jarak yang baru, maka obat B harus dipindah ke cluster 2. Berikut adalah matriks keanggotaan yang baru. � = [ ] Gambar 3.3 berikut merupakan gambar ilustrasi untuk iterasi ke- 1 pada metode K-Means clustering. 46 Gambar 3. 3 Gambar Ilustrasi untuk Iterasi 1 7 Iterasi‐2, menentukan centroid: langkah ke‐4 diulang kembali untuk menentukan centroid baru berdasarkan keanggotaan cluster yang baru. Cluster 1 dan cluster 2 masing ‐masing mempunyai 2 anggota, sehingga centroidnya menjadi = + , + = , dan = + , + = , . 8 Iterasi‐2, menghitung jarak obyek ke centroid : ulangi langkah ke‐2, sehingga diperoleh matriks jarak sebagai berikut: = [ , , , , , , , , ] 9 Iterasi‐2, clustering obyek: mengelompokkan tiap‐tiap obyek berdasarkan jarak minimumnya, diperoleh: � = [ ] A tr ib ut 2 Y : pH Atribut 1 X: indeks berat 47 Atribut 1 X: indeks berat Gambar 3.4 berikut merupakan gambar ilustrasi untuk iterasi ke- 2 pada metode K-Means clustering. Gambar 3. 4 Gambar Ilustrasi untuk Iterasi 2 Hasil pengelompokkan pada iterasi terakhir dibandingkan dengan hasil sebelumnya, diperoleh � = � . Hasil ini menunjukkan bahwa tidak ada lagi obyek yang berpindah cluster, dan algoritma telah stabil. Hasil akhir clustering ditunjukkan dalam Tabel 3.2 berikut: Tabel 3. 2 Hasil Clustering Obyek Atribut 1 X: indeks berat Atribut 2 Y: pH Hasil cluster Obat A 1 1 1 Obat B 2 1 1 Obat C 4 3 2 Obat D 5 4 2 b. Menentukan jumlah fungsi basis neuron pada lapisan tersembunyi dilakukan dengan metode trial and error. A tr ib ut 2 Y : pH 48 c. Menentukan bobot output layer jaringan optimum. Bobot output layer jaringan optimum ditentukan dengan menggunakan metode global ridge regression. Metode global ridge digunakan untuk mengestimasi bobot dengan cara menambahkan parameter regulasi yang bernilai positif pada sum square error SSE. Estimasi bobot terbaik didapatkan dari hasil akhir dengan SSE terkecil. Untuk mendapatkan SSE terkecil, dilakukan metode untuk meminimalkan SSE yaitu dengan metode kuadrat terkecil least square yang bertujuan mempermudah dalam penyelesaian masalah optimum. Pada tugas akhir ini metode least square yang digunakan untuk menentukan nilai bobot dengan menghasilkan akurasi maksimum. Model linear yang digunakan adalah = ∑ = � [� ] + . Berikut adalah perumusan dari metode least square: �� = ∑ − ̂ = 3.7 dengan, = , , … , � banyaknya data pengamatan ̂ = nilai klasifikasi variabel output ke-i = target output ke-i Untuk menentukan nilai optimum bobot , dapat ditentukan dengan cara menurunkan SSE terhadap bobot-bobotnya, sehingga diperoleh: � � � = ∑ − = ̂ � � 3.8 Berdasarkan persamaan 3.6 diperoleh: � � = � [� ] 3.9 49 Persamaan 3.9 disubstitusikan ke persamaan 3.8 dengan hasil sama dengan nol, sehingga diperoleh: ∑ − = ̂ � [� ] = 3.10 ∑ � [� ] = ∑ ̂ = � [� ] = 3.11 ∑ � [� ] = ∑ ̂ = � [� ] = 3.12 Karena k = 1,2,...,r maka diperoleh r persamaan seperti 3.12 untuk menentukan r bobot. Untuk memperoleh penyelesaian tunggal, persamaan 3.12 ditulis dengan notasi vektor, sehingga diperoleh: � � = � �̂ 3.13 dengan, � = [ � [� ] � [� ] � [� ] ] , � = [ ] , �̂ = [ ̂ ̂ ̂ ] Karena terdapat r persamaan untuk setiap nilai k, maka persamaan 3.13 dapat ditulis sebagai berikut: [ � � � � � �] = [ � �̂ � �̂ � �̂] � � = � �̂ 3.14 dengan, � = [� � … � � � ] � = [ � [� ] � [� ] … � [� ] � [� ] � [� ] … � [� ] � [� ] � [� ] … � [� ] ] 50 Matriks � merupakan matriks fungsi aktivasi. Komponen ke-i dari y saat bobot pada nilai optimum adalah Orr, 1994: 43: � = ∑ = � [� ] = �̅ � � �̂ 3.15 dengan, �̅ � = [ � [� ] � [� ] � [� ] ] Akibat � adalah salah satu kolom dari � dan �̅ � � adalah salah satu baris dari �. Oleh karena itu, berdasarkan persamaan 3.15 diperoleh: = [ ] = [ � �̂ � �̂ � �̂] = ��̂ 3.16 Persamaan 3.16 disubstitusikan ke persamaan 3.14 menjadi: � � = � �̂ 3.17 � ��̂ = � �̂ 3.18 Jika nilai invers dari � � dapat ditentukan, maka nilai bobot optimum dapat dicari dengan: �̂ = � � − � �̂ 3.19 �̂ = � − � �̂ 3.20 �̂ merupakan nilai bobot dan A adalah matriks perkalian � dengan �. Selanjutnya ditambahkan parameter regulasi yang bernilai positif pada SSE sehingga diperoleh fungsi Orr, 1996: 24: = ∑ − ̂ + ∑ = = 3.21 51 dengan, ̂ = nilai klasifikasi variabel output ke-i = target output ke-i = , , … , � banyaknya data pengamatan = parameter regulasi = bobot dari neuron lapisan tersembunyi ke-k menuju neuron output Bobot yang optimum diperoleh dengan mendiferensialkan persamaan 3.21 dengan variabel bebas yang kemudian ditentukan penyelesaiannya untuk diferensial sama dengan nol, maka didapatkan Orr, 1996: 41-43: �� � = ∑ − � ̂ � � + = 3.22 �� � = ∑ � � − = ∑ � ̂ � � = + 3.23 Substitusikan �� � = pada persamaan 3.23 sehingga diperoleh: ∑ � � − = ∑ � ̂ � � = + = 3.24 ∑ � � − = ∑ � ̂ � � = + = 3.25 ∑ � � + = = ∑ � ̂ � � = 3.26 Misalkan � � = � [� ], maka didapatkan: ∑ � [� ] + = = ∑ � ̂� [� ] = 3.27 sehingga dalam notasi vektor adalah sebagai berikut: � � + �̂ = � �̂ 3.28 52 Dengan, � = [ � [� ] � [� ] � [� ] ] , � = [ ] , �̂ = [ ̂ ̂ ̂ ] Terdapat r persamaan untuk setiap nilai k, maka persamaan 3.28 dapat ditulis sebagai berikut: [ � � � � � �] + [ ̂ ̂ ̂ ] = [ � �̂ � �̂ � �̂] � � + �̂ = � �̂ 3.29 dengan, = parameter regulasi �̂ = vektor bobot klasifikasi �̂ = vektor target klasifikasi � = Matriks fungsi aktivasi dengan {� } = sebagai kolom = perkalian matriks fungsi aktivasi dan vektor bobot Matriks � merupakan matriks fungsi aktivasi. Komponen ke-i dari y saat bobot pada nilai optimum adalah Orr, 1994: 43: [� ] = ∑ ̂ � [� ] = �̅ �̂ = 3.30 dengan, �̅ � = [ � [� ] � [� ] � [� ] ] 53 � = [ ] = [ �̅ ̂ �̅ ̂ �̅ ̂] = ��̂ 3.31 Berdasarkan definisi-definisi yang telah disebutkan di atas diperoleh: � �̂ = � � + �̂ 3.32 = � ��̂ + �̂ = � � + �̂ Jadi diperoleh perasamaan normal untuk bobot pengklasifikasian sebagai berikut: �̂ = � � + � − � �̂ 3.33 Metode Global Ridge Regression digunakan untuk menentukan estimasi bobot optimum. Pada tugas akhir ini, kriteria pemilihan model digunakan yaitu kriteria Generalised Cross-Validation GCV untuk menghitung prediksi error. Rumus untuk kriteria GCV adalah sebagai berikut Orr, 1996: 20. �̂ ��� = ̂ � � ̂ � 3.34 dengan, � = � − � � � � − � � � = banyak data P = matriks proyeksi ̂ = vektor target klasifikasi 54

B. Prosedur Pemodelan Fuzzy Radial Basis Function Neural Network