9 masalahnya adalah mana “yang baik diambil” pada sifat-sifat matematika.
Sayangnya, karena kompleksitas umum dari persamaan Navier-Stokes yaitu
nonlinier, tingkat-kedua, persamaan differensial parsial kompleksitas tersebut tidak dapat dikerjakan dengan penyelesaian yang sangat baik kecuali pada
beberapa permasalahan. Namun, pada beberapa permasalahan yang solusinya telah diperoleh dan dibandingkan dengan hasil eksperimen, ternyata hasilnya
hampir dapat diterima. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes dibuat sebagai pendekatan persamaan differensial untuk fluida Newtonian tak
termampatkan.
Dari sisi koordinat polar silinder tabung, persamaan Navier-Stokes dapat ditulis sebagai :
terhadap r �
� �
+
� �
+
�
� ��
−
�
+
� �
= −
� ��
+ �� + [
� �
�
� �
− +
� ��
−
�
�
��
+
� �
]
terhadap �
�
�
�
+
�
�
�
+
�
�
�
��
+
�
+
�
�
�
= −
� �
+ ��
�
+ [
� �
�
�
�
�
−
�
+
�
�
��
+
� ��
+
�
�
�
]
terhadap z �
�
�
�
+
�
�
�
+
�
�
�
��
+
�
�
�
= −
� �
+ �� + [
� �
�
�
�
�
+
�
�
��
−
�
�
��
+
�
�
�
]
2.5. Metode Elemen Hingga
Hidayat 2005 dalam bukunya yang berjudul “Teori dan Penerapan Metode Elemen Hingga”, disampaikan bahwa Metode Elemen Hingga merupakan
prosedur numerik yang diterima secara luas untuk menyelesaikan persamaan differensial dalam teknik dan fisika. Metode ini menjadi dasar komputasional
10
dari system computer untuk perancangan. MEH mempunyai kemampuan yang sangat baik untuk menyelesaikan persoalan transien satu dimensi dan dua
dimensi.
Metode Elemen Hingga MEH merupakan prosedur numerik untuk menyelesaikan permasalahan fisik yang diatur dengan persamaan diferensial
atau teorema energi. Karakteristik MEH yang membedakan dengan prosedur numerik lainnya adalah :
1. MEH menggunakan penyelesaian integral untuk menghasilkan sistem
persamaan aljabar 2.
MEH menggunakan fungsi-fungsi kontinu sebagian
continuous piecewise smooth functions
untuk mendeteksi kuantitas atau beberapa kuantitas yang tidak diketahui
Secara umum MEH terdiri dari lima langkah dasar : 1.
Mendiskritisasikan daerah-daerah yang meliputi langkah-langkah penempatan titik-titik nodal, penomoroan titik-titik nodal dan
penentuaan koordinatnya. 2.
Menentukan derajat atau orde persamaan pendekatan : linear atau kuadratik. Persamaan harus dinyatakan sebagai fungsi nodal.
Persamaan ditentukan untuk tiap elemen. 3.
Menyusun system persamaan-persamaan. 4.
Menyelesaikan system persamaan-persamaan. 5.
Menghitung kuantitas yang dicari. Kuantitas dapat merupakan komponen tegangan,
heat flow, fluid velocities
, dan lain-lain.
Persamaan dalam MEH biasanya berbentuk : [ ]{ } = { }
dengan [ ] merupakan matrik bujur sangkar yang disebut matrik kekakuan, { }
merupakan vector kolom dengan komponen matrik berupa nilai nodal yang tidak diketahui. Nilai nodal dapat berupa simpangan atau temperature,
11
sedangkan { } berupa matrik kolom yaitu ‘gaya’ yang bekerja pada nodal. Gaya
dapat berupa gaya atau kalor.
Dalam menyelesaikan masalah fisik yang berhubungan dengan persamaan differensial, cara terbaiknya adalah :
1. Mencari solusi analitisnya. Pada banyak kondisi, solusi analitis sulit
diperoleh, sehingga digunakan metode numerik untuk mencari solusi pendekatannya.
2. Beberapa prosedur untuk mendapatkan penyelesaiann persamaan
differensial dengan metode numerik adalah : a.
Metode beda hingga b.
Metode varisional c.
Metode Residual Berat Dari ketiga metode tersebut, akan menggunakan metode residual berat yaitu
metode Galerkin.
2.6. Elemen Linier 1 Dimensi
