16
e i
j 1
1 2
2 2
3 3
3 4
4 4
5 Tabel 2.1. Data Elemen
Perhatikan bahwa N
2 1
dan N
2 2
adalah persamaan yang berbeda. =
− −
�� =
− −
Masing-masing persamaan pada persamaan 2.7 berlaku untuk elemen yang sesuai dan tidak dapat dipakai di luar elemen yang bersangkutan. Untuk
selanjutnya, jika persamaan dalam bentuk �
= N Φ + Φ maka N
i
dan N
j
yang dimaksud adalah N
i e
dan N
j e
sedangkan Φ dan Φ menyatakan nilai-
nilai nodal elemen e.
2.7. Elemen Hingga
Persamaan elemen hingga diperoleh dari perumusan Galerkin. Penyelesaian integral residual barat
weighted residual integral
menghasilkan satu persamaan nodal yang dipakai secara berulang-ulang untuk menghasilkan
system persamaan-persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear diperoleh dari penyelesaian integral
residual berat : − ∫
�
+ =
�
20 Dengan fungsi berat yang disusun menggunakan fungsi bentuk N
i
dan N
j
. Metode elemen hingga dengan fungsi berat Galerkin menentukan fungsi berat
untuk nodal s, W
s
, terdiri dari fungsi-fungsi bentuk untuk nodal s. Misalkan fungsi berat untuk nodal 3 pada
grid
linear, seperti pada Gambar 2.6, terdiri dari fungsi-fungsi bentuk untuk nodal 3 :
= {
≤ ≤ ≤ ≤
21
17
Atau secara umum untuk fungsi berat W
s
:
= {
� �+
≤ ≤ ≤ ≤
22
�
=
−
− �
dan
�+
=
−� − �
Gambar 2.6.. Fungsi Berat untuk Nodal 3
18
Gambar 2.7. Fungsi-fungsi Berat untuk a Nodal Pertama ,b Nodal Bagian Dalam c Nodal Terakhir dalam Grid 1 Dimensi
Fungsi berat untuk nodal pertama : W
1
x = N
1 1
dan untuk nodal terakhir : W
p
x = N
p
p-1 23
Selanjutnya selesaikan integral residual berat dengan menggunakan urutan nodal r,s dan t. Persamaan 3.1 menjadi :
R
s
= R
s e
+ R
s e+1
= − ∫ [
�
+ ] − ∫ [
�
+ ]
+
= 24
Karena fungsi berat W
s
= 0 untuk x X
r
dan x X
t
maka W
s
x terdiri dari 2 persamaan terpisah dalam interval X
r
≤ x ≤ X
t
. R
s e
dan R
s e+1
adalah kontribusi elemen e dan e+1 kepada persamaan residual R
s
pada nodal s.
Perhatikan persamaan integral 24 dan persamaan turunan sebagai berikut :
�
=
�
+
� � �
=
�
+
� �
25
�
=
�
−
� � �
=
�
−
� �
26
19
Substitusi ke persamaan 24 diperoleh :
− ∫
� +
= −
�
| + ∫
� �
27 Untuk elemen e sedangkan untuk elemen e+1 :
− ∫
� +
= −
�
| + ∫
� � +
28 Telah diketahui sebelumnya bahwa
=
− −
, dan
�
| =
− −
�
−
− −
�
=
�
|
=
Persamaan residual menjadi :
= +
+
= − ∫
�
+
�
= +
+
= −
�
|
=
+ ∫
� �
− +
� +
|
=
+ ∫
� �
−
+
29 Penyelesaian persamaan integral dalam persamaan 29 :
Dimulai dari elemen e .
� = Φ + Φ
� =
−�
�
Φ +
− �
Φ
30 dengan :
20
=
− �
,
�
=
�
31 dan
�
�
=
�
−Φ + Φ
32 Substitusi dan penyelesaian integral memberikan :
∫
� �
=
� �
−Φ + Φ
33 dan
∫ =
��
34 Maka untuk elemen e diperoleh :
= −
�
|
=
+
� �
−Φ + Φ −
��
35 Untuk elemen e+1
�
+
= Φ + Φ �
+
=
−�
�
Φ +
− �
Φ
36 dengan :
+
=
− �
;
�
�+
= −
�
37 dan
�
�+
=
�
−Φ + Φ
38 Penyelesaian integral menghasilkan :
∫
� �
=
� �
Φ + Φ
39
∫ =
��
40 Kontribusi elemen e+1 terhadap persamaan residual :
+
=
�
|
=
+
� �
Φ + Φ −
��
41
21
Persamaan residual untuk nodal s :
=
� +
|
=
−
�
|
=
−
� �
Φ [
D L
e
+
D L
e+
] Φ −
D L
e+
Φ −
��
−
�� +
=
42 D dan Q adalah konstanta yang sama seperti ditentukan pada persamaan :
�
+ =
Suku ERROR pada persamaan 42 :
� +
|
=
−
�
|
=
Adanya suku ini menunjukkan bahwa metode elemen hingga merupakan pendekatan. Jika suku error dihilangkan, maka persamaan residual untuk nodal
s adalah : = −
� �
−
Φ
−
+ [
� �
−
+
� �
] Φ −
� �
Φ
+
−
�� −
−
��
=
Contoh penerapan persamaan 44 pada analisis batang tumpuan sederhana dengan momen terkonsentrasi pada ujung-ujungnya. Persamaan differensial
pengatur untuk semua defleksi pada batang adalah : �
�
− =
E D
Q L
1 2,4 x 10
10
- 10
6
200 2
4,0 x 10
10
- 10
6
200 3
4,0 x 10
10
- 10
6
200 4
2,4 x 10
10
- 10
6
200 Tabel 2.2. Data Elemen
22
Bentuk persamaan 44 dengan Q dan L konstan adalah :
=
−�
− −
+�
−
+ � − �
+
�
− =
Y = nilai defleksi nodal �
Gambar 2.8. Batang Tumpuan Sederhana Persamaan residual untuk nodal 2,3 dan 4 adalah :
R
2
= - 1,2 Y
1
+ 3,2 Y
2
– 2,0 Y
3
+ 2 = 0 R
3
= - 2,0 Y
2
+ 4,0 Y
3
– 2,0 Y
4
+ 2 = 0 R
4
= - 2,0 Y
3
+ 3,2 Y
4
– 1,2 Y
5
+ 2 = 0 untuk 3 persamaan ini 10
8
‘dihilangkan’ Tumpuan pada kedua ujung batang menunjukkan Y 0 = Y 800 cm = 0
sehingga kondisi batas Y
1
= 0 dan Y
5
= 0, selanjutnya diperoleh set persamaan :
R
2
= 3,2 Y
2
– 2,0 Y
3
= - 2 R
3
= -2,0 Y
2
+ 4,0 Y
3
- 2,0 Y
4
= - 2 R
4
= - 2,0 Y
3
+ 3,2 Y
4
= - 2
23
Diselesaikan dan diperoleh : Y
2
= -2,50 cm Y
3
= -3,0 cm Y
4
= -2,5 cm a. Perhitungan defleksi di x = 300 cm, berada pada elemen 2
Y
2
= N
2 2
Y
2
+ N
3 2
Y
3
=
− −
+
− −
Diketahui X
2
= 200 cm ; X
3
= 400 cm Maka nilai simpangan di x = 300 cm :
=
– −
− , +
− −
− ,
= - ½ 2,5 + 3,0 = - 2,75 cm b. Perhitungan
slope
di elemen 1 : =
�
− + =
− , −
= - 0,0125 cm cm Sistem persamaan-persamaan linear pada contoh di atas dapat dinyatakan
dalam notasi matrik : { } = [
, −
− −
− ,
] { } − { −
− −
} = { } atau dalam bentuk persamaan matrik {R} = [K] {Y}
– {F} = {0} dengan [K] menyatakan matrik system, {Y} menyatakan vektor simpangan, {F}
menyatakan vektor gaya luar dan {R} menyatakan vektor residu untuk tiap elemen.
2.8. Formula Weak
