11
sedangkan { } berupa matrik kolom yaitu ‘gaya’ yang bekerja pada nodal. Gaya
dapat berupa gaya atau kalor.
Dalam menyelesaikan masalah fisik yang berhubungan dengan persamaan differensial, cara terbaiknya adalah :
1. Mencari solusi analitisnya. Pada banyak kondisi, solusi analitis sulit
diperoleh, sehingga digunakan metode numerik untuk mencari solusi pendekatannya.
2. Beberapa prosedur untuk mendapatkan penyelesaiann persamaan
differensial dengan metode numerik adalah : a.
Metode beda hingga b.
Metode varisional c.
Metode Residual Berat Dari ketiga metode tersebut, akan menggunakan metode residual berat yaitu
metode Galerkin.
2.6. Elemen Linier 1 Dimensi
Pada bagian ini akan dibahas pembagian daerah satu dimensi menjadi elemen- elemen linier dan mengembangkan persamaan untuk satu elemen. Persamaan
elemen ini digeneralisasi untuk memperoleh persamaan kontinu sebagian untuk daerah satu dimensi tersebut.
Daerah satu dimensi merupakan segmen garis atau suatu garis. Pembagian segmen garis menjadi elemen-elemen yang lebih kecil dengan
menggunakan nodal. Ketentuan untuk elemen dan nodal adalah :
1. Nomor nodal dengan urutan dari kiri ke kanan
2. Nomor elemen dengan urutan dari kiri ke kanan; di dalam tanda kurung
-- Sedangkan ketentuan penempatan nodal :
1. Tempatkan nodal-nodal dengan lebih rapat pada daerah di mana
parameter yang tidak diketahui berubah dengan cepat dan tempatkan
12
nodal-nodal secara berjauhan jika
unknown parameter
nya konstan atau relative konstan.
2. Tempatkan nodal di manapun terdapat perubahan nilai koefisien D dan
Q. 3.
Tempatkan nodal di manapun jika diinginkan mengetahui nilai �
Elemen linier 1 dimensi adalah garis dengan panjang L dengan nodal pada ujung-ujungnya. Nodal dinyatakan dengan I dan j dan nilai nodal
dengan �
i
dan �
j
. Elemen linier 1 dimensi ditunjukkan pada Gambar 2.2.
�
2
Gambar 2.2. Elemen Linier
Parameter �
berubah secara linier antara nodal i dan j. Persamaan �
adalah : � = � + � 14
Koefisien a
1
dan a
2
ditentukan dari nilai kondisi nodal : �
= Φ
i
di x = X
i
� =
Φ
j
di x = X
j
sehingga diperoleh Φ
i
= a
1
+ a
2
X
i
dan Φ
j
= a
1
+ a
2
X
j
15 Eliminasi persamaan 15, maka dapat diperoleh
� =
Φ −Φ X
−
dan �
=
Φ −Φ −
16 L
� = � + �
�
1
13
Substitusi persamaan 16 ke 14 diperoleh : � =
− �
Φ +
− �
Φ 17
Dengan L = X
j
- X
i
Persamaan 17 adalah bentuk fungsi interpolasi elemen hingga standar. Fungsi linear x pada persamaan 17 adalah fungsi bentuk yang
dinyatakan dengan N dan tanda indeks yang sesuai dengan nodalnya. Fungsi bentuk pada persamaan 17 dinyatakan dalam N
i
dan N
j
sebagai berikut :
=
− �
dan
=
− �
Sehingga dapat ditulis : � = Φ + Φ
dan dinyatakan dalam bentuk persamaan matrik sebagai : � = [ ]{Φ}
dengan [ ] = [
] merupakan vector baris fungsi bentuk dan
{Φ} = {
Φ
i
Φ
}
merupakan vector kolom yang memuat nilai-nilai nodal elemen. Fungsi bentuk mempunyai karakteristik sebagai berikut :
1. Fungsi bentuk bernilai 1 Φ = pada nodalnya dan bernilai nol 0 di nodal
yang lain. 2.
Jumlah 2 fungsi bentuk = 1, untuk kasus elemen linear 1 dimensi. 3.
Fungsi bentuk merupakan polynomial dengan bentuk yang sama dengan persamaan interpolasi awal.
4. Turunan fungsi bentuk terhadap x = 0 untuk elemen linear 1 dimensi
Berikut ini gambar fungsi bentuk linear dan
:
Gambar 2.3 Fungsi Bentuk Linear X
X
14
Contoh Ilustrasi :
Elemen 1 dimensi digunakan untuk mendekati distribusi temperatur pada sirip. T pada nodal i dan j adalah 120
o
C dan 90
o
C. Tentukan T pada titik yang berjarak 4 cm dari titik asal dan gradient T dalam elemen tersebut. Koordinat
nodal i dan j masing-masing adalah 1,5 dan 6 cm dari titik asal Penyelesaian :
� =
� =
i j
1,5
6
Gambar 2.4. Elemen Satu Dimensi untuk Pendekatan Distribusi Temperatur
Temperatur � dalam elemen ditentukan dengna persamaan 17 :
� = −
Φ + x − X
L Φ Data elemen :
X
i
= 1,5 cm X
j
= 6,0 cm Φ
i
= 120
o
C Φ
j
= 90
o
C x = 4,0 cm L = 4,5 cm
Diperoleh : � =
− ,
+
− , ,
= 103,3
o
C
15
Gradien temperature adalah turunan Φ terhadap x
Φ =
Φ − Φ
Diperoleh
Φ
=
9 − ,
= − ,
�
� ��
Persamaan kontinu sebagian untuk 1 dimensi disusun dengan menghubungkan beberapa persamaan linear. Persamaan linear tersebut dapat
ditulis sebagai berikut:
� =
�
Φ +
�
Φ
18 Dengan :
�
=
− −
��
�
=
− −
19 Indeks e menunjukkan elemen. Nilai i,j dan e ditentukan dari grid elemen
hingga. Misalkan batang termal seperti pada Gambar 2.4
Persamaan untuk tiap elemen : �
= Φ +
Φ �
= Φ +
Φ �
= Φ +
Φ �
= Φ +
Φ
1 2 3 4 Gambar 2.5 Batang Termal dengan Beberapa Elemen
temperatur
16
e i
j 1
1 2
2 2
3 3
3 4
4 4
5 Tabel 2.1. Data Elemen
Perhatikan bahwa N
2 1
dan N
2 2
adalah persamaan yang berbeda. =
− −
�� =
− −
Masing-masing persamaan pada persamaan 2.7 berlaku untuk elemen yang sesuai dan tidak dapat dipakai di luar elemen yang bersangkutan. Untuk
selanjutnya, jika persamaan dalam bentuk �
= N Φ + Φ maka N
i
dan N
j
yang dimaksud adalah N
i e
dan N
j e
sedangkan Φ dan Φ menyatakan nilai-
nilai nodal elemen e.
2.7. Elemen Hingga
