Buku Guru Kelas XII SMAMA
186
Contoh 3.12
Tunjukkan bahwa setiap bilangan bulat Q yang lebih dari satu habis dibagi
oleh suatu bilangan prima.
Bukti
Misalkan P Q bilangan bulat positif Q lebih dari satu habis dibagi oleh suatu
bilangan prima.
. Langkah Dasar
Jelas bahwa 2 habis dibagi oleh suatu bilangan prima, yaitu 2 itu sendiri. Jadi P2 bernilai benar.
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli N 1, misalkan P2, P3, ..., PN 1, PN bernilai
benar. Artinya semua bilangan bulat postif yang lebih dari satu sampai dengan bilangan asli
N, habis dibagi oleh suatu bilangan prima. Akan dibuktikan bahwa P
N 1 bernilai benar. Artinya bilangan asli N 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.
Perhatikan bilangan asli N 1. Terdapat dua kemungkinan untuk bilangan ini.
a. N 1 adalah suatu bilangan prima, sehingga ia k + 1 habis dibagi oleh
bilangan prima N 1 itu sendiri.
b. N 1 bukan suatu bilangan prima. Maka N 1 dapat difaktorkan menjadi
hasil kali dua bilangan asli yang lebih dari satu dan kurang atau sama dengan
N, yaitu N 1 = N
1
u N
2
dengan 1 N
1
, N
2
d N
Dengan menggunakan pemisalan bahwa semua bilangan bulat postif yang lebih dari satu dan kurang atau sama dengan
N habis dibagi oleh suatu bilangan prima, sedangkan 1 N
1
, N
2
d N maka
N
1
habis dibagi oleh suatu bilangan prima, misalkan p
1,
dan juga N
2
habis dibagi oleh suatu bilangan prima, misalkan p
2
. Dengan demikian,
N
1
= p
1
u Q
1
dan N
2
= p
2
u Q
2
dan untuk suatu bilangan asli
Q
1
, Q
2
. Oleh karena itu, diperoleh N + 1 = N
1
u N
2
= p
1
u Q
1
u p
2
u Q
2
. Ini berarti
N 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima p
1
atau p
2
.
Matematika Kurikulum 2013
187
Dari dua kemungkinan ini, dapat disimpulkan N 1 habis dibagi oleh suatu
bilangan prima. Hal ini sama dengan mengatakan bahwa P N 1 bernilai benar.
. Kesimpulan
P Q: setiap bilangan bulat positif Q lebih dari satu habis dibagi oleh suatu
bilangan prima.
Ayo Menanya
? ?
Setelah Anda mengamati dengan cermat langkah-langkah pembuktian pada induksi matematis kuat Contoh 3.11 dan 3.12, kemudian Anda bandingkan
dengan langkah-langkah pembuktian pada induksi matematis Contoh 3.8, 3.9, dan 3.10.
6HNDUDQJ QGD EHNHUMD VHFDUD EHUNHORPSRN ± RUDQJ GDQ EXDWODK pertanyaan-pertanyaan yang berkenaan dengan induksi matematis dan induksi
matematis kuat. Tuliskan pertanyan-pertaanyaan itu pada tempat kosong berikut.
Ayo Menggali Informasi
+
=
+
Setelah Anda membuat pertanyaan, cobalah Anda mencoba menjawab pertanyaan tersebut.
Ayo Menanya
? ?
Mintalah siwa untuk berkelompok 3 – 4
orang untuk membuat pertanyaan terkait dengan
induksi matematis dan induksi matematis kuat.
Tulislah pertanyaan tersebut dalam kotak
yang disediakan.
Diharapkan pertanyan yang akan dibuat siswa
adalah:
1. Apa perbedaan
induksi matematis dan induksi
matematis kuat?
2. Kapan menggunakan
induksi matematis dan kapan
menggunakan induksi matematis
kuat.
Ayo Menggali Informasi
+
=
+
Ajaklah siswa untuk membandingkan prinsip induksi matematis dan prinsip induksi matematis kuat. Khususnya pembuktian pada langkah induksi.
Bantulah siswa apabila mengalami kesulitan dalam membandingkan kedua prinsip induksi tersebut.
Selanjutnyadengan membandingkan kedua prinsip induksi tersebut dan dengan melihat penggunaan prinsip induksi tersebut dalam menyelesaikan soal, ajaklah
siswa untuk memperoleh informasi kapan prinsip induksi kuat digunakan dalam pembuktian suatu pernyataan.
