Langkah Induksi Kelas 12 SMA Matematika Guru

Matematika Kurikulum 2013 191 2. a. Langkah Induksi Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P1, P2, …, Pk −1, Pk benar. Artinya, x 2 ≤ 1, x 3 ≤ 1, …, x k ≤1, x k+1 ≤ 1. Akan ditunjukkan Pk+1 benar, yaitu x k+2 ≤ 1. Perhatikan bahwa x k+2 = 1 3 4 3 1 4 1 7 1 12 12 12 k k x x + + ⋅ + ⋅ ≤ ≤ ≤ . Jadi Pk+1 benar. b. Langkah Induksi Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P1, P2, …, Pk −1, Pk benar. Artinya, x 2 ≤ 2 1 , x 3 ≤ 2 2 , ..., x k ≤ 2 k+1 , x k+1 ≤ 2 k Akan ditunjukkan Pk+1 benar, yaitu x k+2 ≤ 2 k+1 . Perhatikan bahwa x k+2 = x k+1 + x k ≤ 2 k + 2 k −1 ≤ 2 k +2 k = 2 k+1 . Jadi Pk+1 benar. c. Langkah Induksi Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P1, P2, …, Pk benar. Artinya x + y adalah faktor dari x 2k − y 2k untuk k = 1, 2, ..., k − 1, k. Akan ditunjukkan Pk+1 benar. Perhatikan bahwa x 2k+1 − y 2k+1 = x 2k+2 − y 2k+2 = x 2k − y 2k x 2 − y 2 − x 2k y 2 + x 2 y 2k = x 2k − y 2k x 2 − y 2 − x 2 − y 2 x 2k −2 − y 2 k −2 = x 2k − y 2k x 2 − y 2 − x 2 − y 2 x 2k −1 − y 2k −1 . Karena x + y adalah faktor dari x 2k − y 2k dan juga x + y adalah faktor dari x 2k+1 − y 2k+1 , maka x 2k − y 2k = Pxx + y dan x 2k −1 − y 2k −1 = Qxx + y untuk suatu suku banyak Px dan Qx. Akibatnya x 2k −1 − y 2k −1 = Pxx + yx 2 − y 2 − x 2 − y 2 Qxx + y = x + yPxx + yx 2 − y 2 − x 2 − y 2 Qx. Ini mengatakan x + y adalah faktor dari x 2k+1 − y 2k+1 . Jadi Pk+1 benar. Buku Guru Kelas XII SMAMA 192

d. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P1, P2, ..., Pk − 1, Pk benar. Artinya, a 1 ≤ 2 1 , a 2 ≤ 2 2 , ..., a k −1 ≤ 2 k-1 , a k ≤ 2 k Akan ditunjukkan Pk + 1 benar, yaitu a k −1 ≤ 2 k-1 . Perhatikan bahwa a k −1 = a k + a k −1 + a k −2 ≤ 2 k + 2 k −1 + 2 k −2 = 2 k + 1 2 2 k + 1 4 ∙ 2 k ≤ 2 k+1 . Jadi Pk − 1 benar.

3. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P1, P2, ..., Pk − 1, Pk benar. Artinya, rumus tersebut benar untuk i ≤ k, yaitu 1 1 1 5 1 5 2 2 , 1, 2, ..., . 5 i i i F i k     + − −         = = Akan ditunjukkan Pk − 1 benar, yaitu 1 1 1 1 1 1 5 1 5 2 2 5 k k k F + + +     + − −         = Untuk n ≥ 3, dengan menggunakan persamaan F n = F n −1 + F n −2 , maka F k +1 = F k + F k-1 = 1 1 1 1 1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 5 5 k k k k + +         + − − + − −                 + = 1 1 1 1 1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 5 k k k k − −             + − + − − − −                             = 1 1 1 1 1 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 1 2 2 2 2 5 k k − −         + + + − − − +                 Matematika Kurikulum 2013 193 = 1 1 1 1 1 1 1 5 2 2 5 4 1 5 2 2 5 4 2 4 2 4 5 k k − −         + + + − − − +                 = 1 1 1 1 1 1 1 5 1 2 5 5 1 5 1 2 5 5 2 4 2 4 5 k k − −         + + + − − − +                 = 1 2 1 2 1 1 1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 5 k k − −         + + − − −                 = 1 1 1 1 1 5 1 5 2 2 5 k k + +     + − −         Jadi Pk − 1 benar.