Langkah Induksi Kelas 12 SMA Matematika Guru
Matematika Kurikulum 2013
191
2. a. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P1, P2, …, Pk −1, Pk benar.
Artinya, x
2
≤ 1, x
3
≤ 1, …, x
k
≤1, x
k+1
≤ 1. Akan ditunjukkan Pk+1 benar, yaitu x
k+2
≤ 1. Perhatikan
bahwa x
k+2
=
1
3 4
3 1 4 1 7
1 12
12 12
k k
x x
+
+ ⋅ + ⋅
≤ ≤
≤ .
Jadi Pk+1 benar. b.
Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P1, P2, …, Pk −1, Pk benar.
Artinya, x
2
≤ 2
1
, x
3
≤ 2
2
, ..., x
k
≤ 2
k+1
, x
k+1
≤ 2
k
Akan ditunjukkan
Pk+1 benar, yaitu x
k+2
≤ 2
k+1
. Perhatikan
bahwa x
k+2
= x
k+1
+ x
k
≤ 2
k
+ 2
k −1
≤ 2
k
+2
k
= 2
k+1
. Jadi
Pk+1 benar. c.
Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P1, P2, …, Pk benar. Artinya x + y adalah faktor dari x
2k
− y
2k
untuk k = 1, 2, ..., k − 1, k. Akan ditunjukkan
Pk+1 benar. Perhatikan
bahwa x
2k+1
− y
2k+1
= x
2k+2
− y
2k+2
= x
2k
− y
2k
x
2
− y
2
− x
2k
y
2
+ x
2
y
2k
= x
2k
− y
2k
x
2
− y
2
− x
2
− y
2
x
2k −2
− y
2 k −2
= x
2k
− y
2k
x
2
− y
2
− x
2
− y
2
x
2k −1
− y
2k −1
. Karena
x + y adalah faktor dari x
2k
− y
2k
dan juga x + y adalah faktor dari x
2k+1
− y
2k+1
, maka x
2k
− y
2k
= Pxx + y dan x
2k −1
− y
2k −1
= Qxx + y untuk suatu suku banyak Px dan Qx.
Akibatnya x
2k −1
− y
2k −1
= Pxx + yx
2
− y
2
− x
2
− y
2
Qxx + y =
x + yPxx + yx
2
− y
2
− x
2
− y
2
Qx. Ini mengatakan x + y adalah faktor dari x
2k+1
− y
2k+1
. Jadi
Pk+1 benar.
Buku Guru Kelas XII SMAMA
192