Buku Guru Kelas XII SMAMA
206
= 1
sin 2
sin 2
k x
x +
sin 2
k x + 2 sin
2 x
cos 1
2 k
x +
= 1
sin 2
sin 2
k x
x +
sin 2
k x + sin–
2 k x
+ sin 2
2 k
x +
2 sinαcosβ = sinα – β + sinα + β =
1 sin
2 sin
2 k
x x
+ sin
2 2
k x
+ . sin –α = – sinα
Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 :
sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin kx + sink + 1x =
2 sin
2 sin
2 k
x x
+ sin
1 2
k x
+
bernilai benar.
i. Langkah induksi
Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi,
1 2
+ cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos kx = 2
1 sin
2 2sin
2 k
x x
+ .
Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu 1
2 + cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos kx + cosk + 1x =
2 3
sin 2
2sin 2
k x
x +
Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi
1 2
+ cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos kx + cosk + 1x
Matematika Kurikulum 2013
207
= 2
1 sin
2 2sin
2 k
x x
+ + cosk + 1x
= 2
1 sin
2 2sin
2 k
x x
+ +
2sin cos
1 2
2sin 2
x k
x x
+
= 2
1 sin
sin sin
2 2
2 2sin
2 k
x x
x kx
x kx
x x
+ +
− − +
+ +
= 2
1 2
1 2
3 sin
sin sin
2 2
2 2sin
2 k
k k
x x
x x
+ +
+ +
− +
= 2
3 sin
2 2sin
2 k
x x
+
Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 1
2 + cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos kx + cosk + 1x =
2 3
sin 2
2sin 2
k x
x +
bernilai benar.
j. Langkah induksi
Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi,
sin x + 2sin 2x + 3sin 3x + ... + k sin kx =
1sin sin
1 2
4sin 2
k kx
k k
x x
+ −
+
Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu sin
x + 2sin 2x + 3sin 3x + ... + k sin kx + k + 1 sink + 1x = 2sin
1 1sin
2 2
4sin 2
k k
x k
k x
x +
+ −
+ +
. Karena
Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi
Buku Guru Kelas XII SMAMA
208
sin x + 2sin 2x + 3sin 3x + ... + k sin kx + k + 1 sink + 1x
=
2
1sin sin
1 4sin
2 k
kx k
k x
x +
− +
+ k + 1 sink + 1x
=
2 2
1sin sin
1 4
1sin 1 sin
2 4sin
2 x
k kx
k k
x k
k x
x +
− +
+ +
+
=
2
1 1
1sin sin
1 4
1sin 1 [
cos ] 2
2 4sin
2 k
kx k
k x
k k
x x
x +
− +
+ +
+ −
,
sin
2
α = 1
2 –
1 2
cos2α
=
2
1sin sin
1 2
1sin 1
2 1sin
1 cos ] 4sin
2 k
kx k
k x
k k
x k
k x
x x
+ −
+ +
+ +
− +
+
=
2
1sin sin
1 2
1sin 1
1sin 1sin
2 ] 4sin
2 k
kx k
k x
k k
x k
kx k
k x
x +
− +
+ +
+ − +
− + +
, 2 sinαcosβ = sinα– β + sinα + β
=
2
sin 1
2 1sin
1 1sin
2 ] 4sin
2 k
k x
k k
x k
k x
x −
+ +
+ +
− +
+
=
2
2sin 1
1sin 2
4sin 2
k k
x k
k x
x +
+ −
+ +
.
Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : sin
x + 2sin 2x + 3sin 3x + ... + k sin kx + k + 1 sink + 1x
=
2
2sin 1
1sin 2
4sin 2
k k
x k
k x
x +
+ −
+ +
bernilai benar.
Matematika Kurikulum 2013
209
k. Langkah induksi
Untuk n = k, misalkan Pk bernilai benar. Jadi, 6k + 1 3
k
. Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu
6k+1 + 1 3
k+1
. Karena Pk benar, ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis menjadi
6k+1 + 1 = 6k + 1 + 6 3
k
+ 6. Akan ditunjukkan bahwa 3
k
+ 6 3
k+1
. Perhatikan bahwa 3
k+1
– 3
k
+ 6 = 3 . 3
k
– 3
k
– 6 = 2 . 3
k
– 6 = 6 . 3
k-1
– 6 0 untuk k
≥ 3. Berarti 3
k
+ 6 3
k+1
. Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : 6k+1 + 1 3
k+1
bernilai benar.
l. Langkah induksi
Untuk n = k, n = k+ 1, misalkan Pk dan Pk +1 bernilai benar. Jadi,
x + y adalah faktor dari x
2k
– y
2k
, dan x + y adalah faktor dari x
2k+2
– y
2k+2
. Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 2 yaitu
x + y adalah faktor dari x
2k+4
– y
2k+4
. Ekspresi x
2k+4
– y
2k+4
dapat ditulis sebagai x
2k+4
– y
2k+4
= x
2k+4
+ x
2k+2
y
2
– x
2
y
2k+2
– y
2k+4
– x
2k+2
y
2
+ x
2
y
2k+2
= x
2k+2
– y
2k+2
x
2
+ y
2
– x
2
y
2
x
2k
– y
2k
Karena Pk dan Pk +1 benar, berarti x + y adalah faktor dari x
2k
– y
2k
, dan juga faktor dari x
2k+2
– y
2k+2
. Oleh karena itu, x + y adalah faktor dari ruas kanan persamaan di atas.
Jadi, terbukti bahwa Pk + 2 : x + y adalah faktor dari x
2k+4
– y
2k+4
bernilai benar.
m. Langkah induksi
Untuk n = k , misalkan Pk bernilai benar. Jadi, berlaku x
k
≤ x. Akan ditunjukkan terbukti benar juga untuk Pk + 1 yaitu x
k+1
≤ x. Karena
Pk benar, ruas kiri pertidaksamaan di atas dapat ditulis sebagai x
k+1
= x
k
. x ≤ x. x ≤ x karena 0 x ≤ 1.
Jadi, terbukti bahwa Pk + 1 : x
k+1
≤ x bernilai benar.
Buku Guru Kelas XII SMAMA
210
2. a. m = 4, karena 34 + 25 3
4
, b. m = 5, karena 25 + 1
≤ 2
5-1
. c. m = 6, karena 6 6
3
. d. m = 103, karena 103 – 100 log103 = 2,013.
3. Langkah induksi
