Langkah Induksi Langkah Induksi

Matematika Kurikulum 2013 187 Dari dua kemungkinan ini, dapat disimpulkan N 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima. Hal ini sama dengan mengatakan bahwa P N 1 bernilai benar. . Kesimpulan P Q: setiap bilangan bulat positif Q lebih dari satu habis dibagi oleh suatu bilangan prima. Ayo Menanya ? ? Setelah Anda mengamati dengan cermat langkah-langkah pembuktian pada induksi matematis kuat Contoh 3.11 dan 3.12, kemudian Anda bandingkan dengan langkah-langkah pembuktian pada induksi matematis Contoh 3.8, 3.9, dan 3.10. 6HNDUDQJ QGD EHNHUMD VHFDUD EHUNHORPSRN ± RUDQJ GDQ EXDWODK pertanyaan-pertanyaan yang berkenaan dengan induksi matematis dan induksi matematis kuat. Tuliskan pertanyan-pertaanyaan itu pada tempat kosong berikut. Ayo Menggali Informasi + = + Setelah Anda membuat pertanyaan, cobalah Anda mencoba menjawab pertanyaan tersebut. Ayo Menanya ? ? Mintalah siwa untuk berkelompok 3 – 4 orang untuk membuat pertanyaan terkait dengan induksi matematis dan induksi matematis kuat. Tulislah pertanyaan tersebut dalam kotak yang disediakan. Diharapkan pertanyan yang akan dibuat siswa adalah: 1. Apa perbedaan induksi matematis dan induksi matematis kuat? 2. Kapan menggunakan induksi matematis dan kapan menggunakan induksi matematis kuat. Ayo Menggali Informasi + = + Ajaklah siswa untuk membandingkan prinsip induksi matematis dan prinsip induksi matematis kuat. Khususnya pembuktian pada langkah induksi. Bantulah siswa apabila mengalami kesulitan dalam membandingkan kedua prinsip induksi tersebut. Selanjutnyadengan membandingkan kedua prinsip induksi tersebut dan dengan melihat penggunaan prinsip induksi tersebut dalam menyelesaikan soal, ajaklah siswa untuk memperoleh informasi kapan prinsip induksi kuat digunakan dalam pembuktian suatu pernyataan. Buku Guru Kelas XII SMAMA 188 Ayo Menalar Sekarang saatnya Anda secara berkelompok mendiskusikan dan menjawab pertanyaan berikut. 1. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematis? 2. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematis kuat? 3. Kapan kita menggunakan prinsip induksi matematis dan kapan kita menggunakan induksi matematis kuat? Tuliskan jawaban pertanyaan-pertanyaan untuk masing-masing kelompok. Mintalah bantuan gurumu apabila Anda menemukan kesulitan atau permasalahan yang berkenaan dengan pertanyaan tersebut. Ayo Mengomunikasikan Setelah diskusi kelompok Anda lakukan, sekarang coba Anda diskusikan secara klasikan untuk mencocokkan jawaban kelompok yang telah Anda buat. Mintalah masukan atau penjelasan dari gurumu apabila dalam diskusi kelas menemukan permasalahan. Setelah diskusi kelas, tuliskan kesimpulan Anda tentang hasil diskusi kelas tersebut secara individu dalam kotak berikut. .HVLPSXODQ Ayo Menalar Setelah memperoleh jawaban pertanyaan yang telah dibuat siswa, untuk lebih mempertajam pemahaman siswa, mintalah siswa secara berkelompok untuk menjawab pertanyaan berikut. 1. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematis? 2. Bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan induksi kuat? 3. Kapan kita menggunakan prinsip induksi matematis dan kapan kita menggunakan induksi matematis kuat? Mintalah siswa untuk menulis jawabannya pada kotak yang disediakan. Matematika Kurikulum 2013 189 Alternatif Penyelesaian Ayo Menalar yang diharapkan. 1. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis bahwa suatu pernyataan Pn benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa P1 benar b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila Pk benar, maka Pk+1 juga benar. c. Menyimpulkan bahwa Pn benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang diperluas bahwa suatu pernyataan Pn benar untuk setiap bilangan asli n ≥ m adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa Pm benar b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k ≥ m, apabila Pk benar, maka Pk+1 juga benar. c. Menyimpulkan bahwa Pn benar untuk setiap bilangan asli n ≥ m. 2. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat bahwa suatu pernyataanPn benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa P1 benar b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, jika P1, P2, …, Pk benar, maka Pk+1 juga benar. c. Menyimpulkan bahwa Pn benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat yang diperluas, bahwa suatu pernyataan Pn benar untuk setiap bilangan asli n ≥ m adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa Pm benar b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n ≥ m, apabila Pm, Pm+1, …, Pk benar, maka Pk+1 juga benar. c. Menyimpulkan bahwa Pn benar untuk setiap bilangan asli n. 3. Induksi matematis kuat digunakan apabila dalam langkah pembuktian pernyataan Pk+1 benar tidak hanya memerlukan kebenaran Pk tetapi juga kebenaan Pn untuk n sebelum k. Sedangkan induksi matematis digunakan apabila dalam langkah pembuktian pernyataan Pk+1 benar hanya memerlukan kebenaran Pk. Buku Guru Kelas XII SMAMA 190 Latihan 3.2 1. a. Apakah kalian dapat membuktikan pernyataan Q 4 Q 2 habis dibagi 12 untuk semua bilangan asli Q dengan menggunakan induksi matematis seperti biasanya ? b. Cobalah untuk membuktikan pernyataan Q 4 Q 2 habis dibagi 12 untuk semua bilangan asli Q dengan menggunakan induksi matematis kuat. 2. Buktikan hasil-hasil berikut dengan menggunakan induksi kuat a. Misalkan 1 1 1 3 4 1, 2, 12 Q Q Q x x x x x dengan Q adalah bilangan asli. Buktikan : x Q+1 d 1, untuk semua bilangan asli Q. b. Misalkan x = 1, x 1 = 1, x Q+1 = x Q + x Q1 dengan Q adalah bilangan asli. Buktikan : x Q+1 d 2 Q , untuk semua bilangan asli Q. c. x + \ adalah faktor dari x 2 Q \ 2 Q , untuk setiap bilangan asli Q. d. Misalkan barisan a 1 , a 2 , a 3 GLGH¿QLVLNDQVHEDJDLEHULNXW a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, dan a Q = a Q1 + a Q2 + a Q3 . Buktikan bahwa a Q 2 Q . 3. Perhatikan kembali barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … di mana dua suku pertama adalah 1 dan 1, dan sebarang suku selanjutnya adalah jumlah dua suku sebelumnya. Kita menyatakan suku ke-n dari barisan ini sebagai F Q . Jadi, F 1 = 1, F 2 = 1, dan F Q = F Q-1 + F Q-2 . Buktikan suku ke-n barisan ini dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai 1 1 1 5 1 5 2 2 5 Q Q Q F § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ , untuk semua Q bilangan asli. PDWL: suku-suku barisan Fibonacci merupakan bilangan Asli, tapi dalam rumus tersebut memuat bilangan irasional 5 , mungkinkah?. Dalam matematika, dapat terjadi sesuatu yang kelihatannya secara intuisi tidak mungkin, namun dapat terjadi. Alternatif Penyelesaian Latihan 3.2 1.a. Tidak bisa.

b. Langkah Induksi

Untuk setiap bilangan asli k ≥ 6 , misalkan P6, P7, ..., Pk −1, Pk benar. Artinya, n 4 − n 2 habis dibagi 12 untuk n = 6, 7, ..., k − 1, k. Akan ditunjukkan Pk + 1 benar, artinya k + 1 4 − k + 1 2 habis dibagi 12. Karena n 4 − n 2 habis dibagi 12 untuk n = 6, 7, ..., k − 1, k. maka k − 5 4 − k − 5 2 juga habis dibagi 12. Perhatikan bahwa k + 1 4 − k + 1 2 = k − 5 + 6 4 − k − 5 + 6 2 = k − 5 4 + 24k − 5 3 + 216k − 5 2 + 864k − 5 + 1.296 − [k − 5 2 + 12k − 5 + 36] = k − 5 4 − k − 5 2 + 24k − 5 3 + 216k − 5 2 + 853k − 5 + 1.260. = k − 5 4 − k − 5 2 + 12[2k − 5 3 + 18k − 5 2 + 71k − 5 + 105. Karena k − 5 4 − k − 5 2 juga habis dibagi 12 maka k + 1 4 − k + 1 2 = k − 5 4 − k − 5 2 + 12[2k − 5 3 + 18k − 5 2 + 71k − 5 + 105 Juga habis dibagi 12. Jadi Pk + 1 benar. Matematika Kurikulum 2013 191 2. a. Langkah Induksi