13
Maka skripsi hal 54.
Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya
Distribusi probabilitas fungsi densitas merupakan representasi dari populasi yang dicirikan dengan suatu konstanta yang disebut parameter.
Definisi 2.10
Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan karakteristik populasi.
Definisi 2.11
Statistik adalah sebarang fungsi dari elemen pada sampel random yang tidak bergantung pada paremeter yang tidak diketahui. Contohnya
̅
∑
Definisi 2.12
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai ∫
14
Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistik karena dapat di- gunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit
momen, variansi, mean dan momen.
Teorema 2.3
Fungsi Gamma memiliki sifat 1.
untuk setiap Bukti
Berdasarkan definisi 2.12
∫
Misalkan maka
dan maka
∫
[ ]
∫
[ ]
∫
[ ]
∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
[ ] { [
]}
2. dengan n bilangan bulat positif
Bukti Berdasarkan sifat Gamma
Sehingga diperoleh
Berdasarkan definisi 2.12 maka diperoleh
∫
∫
[ ]
16
diperoleh
3. √
Bukti Akan di buktikan bahwa
√
Berdasarkan definisi 2.12
∫ Misalkan
∫
∫
Ketika maka
Sehingga diperoleh ∫
[ ]
[ ] [
]
∫ ∫
17
∫ ∫ Integral tersebut diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi
integral polar. Misalkan
maka
[ ]
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Misalkan ∫
[ ]
√ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Definisi 2.13
Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter
jika dan hanya jika fungsi probabilitas adalah
{
dengan ∫
1. Mean
Jika
berdistribusi Gamma dengan parameter , maka
Bukti
Berdasarkan definisi 2.6
∫
∫ Berdasarkan definisi fungsi probabilitas
∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
∫ 2.1
∫
∫
Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan persamaan 2.1
Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka , maka diperoleh
2. Variansi
Jika Y berdistribusi Gamma dengan parameter , maka variansi dari
distribusi Gamma adalah
Bukti
Berdasarkan teorema 2.1
∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
∫
∫
Berdasarkan persamaan 2.1 dan teorema 2.3, maka diperoleh
Maka
3. Fungsi Pembangkit Momen
Berdasarkan definisi 2.9, maka
21
∫ [
]
∫
∫
∫
∫
Berdasarkan definisi 2.12 dan persamaan 2.1, maka diperoleh
C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
Definisi 2.14
Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter
, bila fungsi probabilitasnya:
{ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
dengan adalah parameter bentuk shape parameter dan adalah parameter skala
scale parameter.
Akan ditunjukkan berdasarkan definisi 2.4 bahwa persamaan di atas merupakan
fungsi probabilitas. Jelas bahwa untuk setiap . Selanjutnya akan
ditunjukkan bahwa ∫
Misalkan maka
∫ ∫
∫ [
]
Jadi terbukti bahwa adalah fungsi probabilitas
Definisi 2.15
Bila telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull seperti yang diberikan
pada definisi 2.14 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka
∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
∫ [
]
Misalkan
∫
∫ [ ]
[ ]
Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah
1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
Sifat-sifat statistis dari distribusi Weibull antara lain adalah rata-rata mean, variansi dan fungsi pembangkit momen moment generating function
24
a. Mean
Berdasarkan definisi 2.6
∫
∫
Misalkan maka
dan ∫
∫
∫
berdasarkan fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh
b. Variansi
Berdasarkan teorema 2.1
∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
∫
Misalkan maka
∫
∫
∫
Berdasarkan subsitusi fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh
[ ]
c. Momen Moment
Berdasarkan definisi 2.8 momen ke-
didefinisikan sebagai
Maka, momen ke- dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah
26
∫
∫
Misalkan maka
dan
∫
∫
Berdasarkan definisi 2.12, maka diperoleh
2. Grafik Distribusi Weibull
Grafik dari distribusi Weibull sangat beragam. Grafik distribusi Weibull bergantung pada nilai parameter
dan yang dipilih, sehingga grafik akan memiliki berbagai macam bentuk. Jika parameter yang akan diubah-ubah adalah
parameter skala dengan menganggap parameter bentuk konstan, maka akan diperoleh grafik fungsi probabilitas
. Hal ini juga terjadi ketika PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
0.0 0.5
1.0 1.5
2.0 2.5
.0 .5
1 .0
1 .5
2 .0
2 .5
f x
a=0.5 a=1
a=1.5 a=5
grafik fungsi distribusi Weibull
f x
parameter yang diubah adalah parameter bentuk dan mengganggap parameter skala konstan.
Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan
dan
Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa nilai
yang berbeda-beda akan membentuk grafik yang berbeda-beda pula. Ketika
maka akan diperoleh
grafik dari distribusi Eksponensial. Gambar 2.1 diproduksi dari program R pada lampiran A.1.
Teorema 2.4
Misalkan , jika
maka berdistribusi Chi Squre dengan derajat
bebas .
Bukti Fungsi probabilitas dari
adalah
√
28
√ √ √
√ √
[ √
√ ]
√ √
√
√
√
√
√ √
√
Sehingga diperoleh adalah fungsi probabilitas dari distribusi Gamma
dengan dan
dan juga adalah fungsi probabilitas distribusi Chi
Square dengan derajat bebas . Maka fungsi pembangkit momen dari adalah
29
Teorema 2.6 Misalkan
variabel random independen berdistribusi Normal dengan dan
untuk dan misalkan
adalah konstanta. Jika
∑ maka
variabel random berdistribusi Normal dengan
∑
dan ∑
Bukti Karena
berdistribusi Normal dengan dan
, fungsi pembangkit momen
adalah
Maka fungsi pembangkit momen dari adalah
Karena variabel random independen, maka variabel random
juga independen untuk
, maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
∑ ∑
merupakan FPM dari distribusi Normal dengan rata-rata rata-rata ∑ dan variansi
∑ Maka berdasarkan teorema ketunggalan
berdistribusi Normal dengan rata-rata ∑
dan variansi ∑
Teorema 2.6
Misalkan adalah variabel random independen dengan
. Jika ∑
, maka
berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
Bukti
Berdasarkan teorema 2.4 fungsi pembangkit momen dari adalah
Karena independen, maka
31
adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan
dan atau
dan juga fungsi pembangkit momen dari distribusi Chi Square dengan derajat bebas
. Sehingga menurut teorema ketunggalan
Teorema 2.7
Jika dan adalah matriks simetri idempoten dengan rank maka
Bukti Karena
simetri maka dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal maka diperoleh
[ ]
Selanjutnya, karena idempoten maka nilai akar karakteristiknya adalah dan ,
maka dapat dipilih sedemikian sehingga
Dimensi dari matriks identitas akan sama dengan rank dari , karena banyaknya akar
tak nol adalah rank dari matriks dan karena trace dari matriks adalah jumlah dari akar, maka dimensi juga sama dengan trace dari
. Misalkan
32
Maka berdasarkan teorema 2.5
Misalkan distribusi dari menggunakan transformasi dari . Karena matriks
ortogonal, maka invers dari sama dengan transpose dari
Maka diperoleh
∑
∑
∑
adalah jumlah kuadrat dari variabel normal standar. Berdasarkan teorema 2.6 maka
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas
D. Pendugaan Parameter
Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukurdata empiris yang
33
berasal dari sampel random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel.
Definisi 2.16
Penduga estimator adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengu-
kuran yang termuat di dalam sampel. Pendugaan dibagi menjadi dua yaitu penduga titik point estimation dan
penduga selang interval estimation. 1.
Penduga Titik Point Estimator Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya
menduga parameter yang sebenarnya. 2.
Penduga Interval Interval Estimator Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang
besar akan memuat parameter yang sebenarnya.
E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik
Definisi 2.17
Misalkan ̂ adalah penduga titik dari parameter , maka ̂ adalah penduga tak bias
jika ̂ .
34
Definisi 2.18
Bias dari penduga titik
̂ didefinisikan sebagai ̂ ̂–
Definisi 2.19
Rata-Rata Kuadrat Galat Mean Square Error dari penduga titik
̂ adalah
̂ ̂ Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga
̂ adalah fungsi dari variansi dan biasnya.
Teorema 2.8
̂ ̂ ̂ Bukti
̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ [
̂ ̂ ]
̂ ̂ ̂ [ ̂] ̂
̂ [ ̂] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
F. Metode Kuadrat Terkecil
Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat dependen;
dengan satu atau lebih variabel bebas independen;
.
Definisi 2.20
Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
dengan pengamatan ke- variabel dependen
= intersep intercept = parameter regresi slope
= pengamatan ke- variabel independen
= galat error dari pengamatan ke- Metode Kuadrat Terkecil Least Square Method merupakan salah satu metode
yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi. Misalkan
sampel random berukuran n dari sebuah
populasi, berdasarkan definisi 2.20 maka persamaan garis regresinya adalah
Metode Kuadrat Terkecil bertujuan menentukan penduga dari yaitu
̂ ̂
. Dengan asumsi persamaan regresi akan di duga oleh
36
̂ ̂
̂ .
Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan penduga dari yang akan meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat Sum of Square Error.
Definisi 2.21
Jumlah kuadrat galat Sum of Squares Error didefinisikan sebagai ∑
̂ ∑[
̂ ̂
]
Jumlah Kuadrat Galat minimum diperoleh dengan menggunakan turunan parsial terhadap
̂ ̂
maka
̂ ∑ [
̂ ̂
] ̂
∑ [ ̂
̂ ]
∑ ̂
̂ ∑
∑ ̂
̂ ∑
∑ ̂
̂ ∑
2.2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
̂ ∑ [
̂ ̂
] ̂
∑ {[ ̂
̂ ]
}
∑ ̂
∑ ̂
∑
∑ ̂
∑ ̂
∑
∑ ̂
∑ ̂
∑ 2.3
Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.2 dan persamaan 2.3
maka diperoleh
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ 2.4
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
2.5 Penduga
̂ dan
̂
pada persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 adalah penduga yang
memiliki jumlah kuadrat galat paling minimum, karena
̂
dan
̂
dan
̂
dan
̂
maka ̂ dan
̂ adalah titik minimum.
38
1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil
Sifat dari penduga Metode Kuadrat Terkecil dalam Regresi Linear Sederhana adalah
a. Penduga
̂ dan
̂ tak bias, yaitu
̂ untuk
. Bukti
Sebuah penduga dikatakan merupakan penduga tak bias jika ̂ . Dan
mengunakan fakta bahwa .
Berdasarkan persamaan 2.4
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
39
Maka ̂
adalah penduga tak bias bagi .
Berdasarkan persamaan 2.5
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
Maka ̂
adalah penduga tak bias bagi .
40
b. ̂
dengan
∑ ̅
dan adalah parameter yang tidak
diketahui. Bukti
Persamaan 2.5 dapat ditulis dalam bentuk seperti dibawah ini
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ̅ ∑
∑ ̅ ∑
Berdasarkan lampiran A.2, bentuk alternatif dari
̂ adalah
Jika ∑
̅ , maka diperoleh
̂ ∑
̅ ̅
∑ ̅
∑ ̅
̅ ̅
∑ ̅
̂ ∑
̅ ∑
̅ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
c. ̂
dengan
∑ ∑
̅
dan adalah parameter yang
tidak diketahui. Bukti
Berdasarkan persamaan 2.3
̂ ∑
̅ ∑
̅
∑ ̅
∑ ̅
∑ ̅
∑ ̅
∑ ̅
∑ ̂
∑ ̂
∑
∑ ̂
∑ ̂
∑
̅ ̅ ̂ ̅ ̂
̅ ̅ ̂
̂ ̅
2.6 ̅ ̂
∑ ∑
̅ ∑
̅ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Karena dan
independen dimana , maka
̅ ̂
dari persamaan 2.6 diperoleh
̂ ̅ ̂
̅ ∑
∑ ̅
̅
̂ ̅ ̂
̅ ̅ ̂
̅ ̅ ̂ ̅
̅ ̅ ̂
̅ ̅ ̂ ̅
∑ ̅
̅ ̅ ̂
̅ ∑
̅ ∑
̅ ̅
∑ ̅
∑ ̅ ̅
̅ ∑
̅ ∑
∑ ̅
43
d. ̂
̂ dengan
̅ ∑
̅
dan adalah parameter yang
tidak diketahui. Bukti
Berdasarkan persamaan 2.6, diperoleh
̂ ̅ ̂
̅ ∑
̂ ̅
̅ ̅ ̂ ̅
̂ ̅ ̅
̂ ̅ ̂
̅ maka
̂ ̂
[ ̂ ̂
] [ ̅ ̂
̅ ̂ ]
̅ ̂ ̅ ̂
karena [ ̂
] ̅ ̂
̅ ̂ ̅
∑ ̅
44
e. Penduga tak bias dari
adalah dengan
∑ [ ̂
̂ ]
. Bukti
Akan dibuktikan adalah penduga tak bias dari
[ ]
[∑[ ̂
̂ ]
]
[∑[ ̅ ̂
̅ ̂ ]
]
[∑ ̅ ̂
̅ ]
[∑ ̅
̂ ̅
̂ ̅
̅]
karena ∑
̅ ̅
∑ ̅
̂ , maka diperoleh
[∑ ̅
̂ ̅
]
∑ [ ̅
] ∑
̅ ̂
karena ∑
̅ ∑
̅ , maka diperoleh
45
∑ ̅
∑ ̅
̂
Untuk sebarang variabel random berlaku
[ ] , maka
diperoleh ∑[
[ ]
] [ ̅ [ ̅]
]
∑ ̅
̂ [ ̂
]
∑[ ]
̅
∑ ̅
∑ ̅
∑[ ]
̅ ̅
∑ ̅
∑ ∑
̅
̅ ∑
̅
∑ ̅
∑ ̅
46
Karena ∑
̅ ∑
̅ , maka diperoleh
∑ ̅
[∑ ̅
]
∑ ̅
∑ ̅
Maka adalah penduga tak bias dari
. Jika
untuk berdistribusi Normal, maka
f. ̂
dan ̂
berdistribusi Normal. Bukti
Pada model regresi linear sederhana , bentuk galat
tidak bergantung pada dengan rata-rata dan variansi
. Bentuk dari distribusi sampling untuk ̂
dan ̂
bergantung pada distri- busi dari galat
. Maka jika berdistribusi Normal, maka
berdistribusi Normal dengan rata-rata
dan variansi , karena
̂ dan
̂ adalah
fungsi linear dari , maka
̂ berdistribusi Normal dengan rata-rata
47
dan variansi
∑ ∑
̅
dan ̂ berdistribusi Normal dengan rata-rata
dan variansi
∑ ∑
̅
.
g. Variabel random
berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas .
Bukti Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
Jika ditulis ke dalam bentuk matriks, maka model regresi linear sederhana dapat ditulis sebagai
[ ] [
] [ ] [
]
Bentuk lain dari model regresi linear sederhana adalah
dengan [
] [ ] [
] dan [ ]
Penduga kuadrat terkecil dari yaitu ̂, dapat dinotasikan dengan notasi
matriks ̂
Penduga dari regresi linear sederhana adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
̂ ̂ Galat dari model regresi linear sederhana adalah
̂
dengan adalah matriks simetri idempoten.
Akan dibuktikan adalah matriks simetri dan idempoten
Bukti
[ ]
Jadi adalah matriks simetri.
49
Jadi adalah matriks idempoten.
Akan dibuktikan
̂
Akan dibuktikan
Statistik didefinisikan sebagai
50
∑
Akan dibuktikan berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
Variabel random berdistribusi normal standar dengan rata-rata nol dan
variansi . Karena matriks
adalah matriks simetri dan idempoten, maka
berdasarkan teorema 2.7 berdistribusi Chi Square dengan derajat
bebas .
Jadi berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
h. Statistik
tidak bergantung pada ̂
dan ̂
Bukti PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
∑ [ ̂
̂ ]
∑ [ ̅ ̂
̅ ̂ ]
∑ [ ̅ ̂
̅ ̂ ]
∑ [ ̅ ̂
̅]
∑ ̅
̂ ̅
̅ ̂ ̅
∑ ̅
̂ ̅
̅ ̂ ̅
̅
∑ ̅
̂ ̅
̅
karena ̂
∑ ̅
∑ ̅
, maka diperoleh
∑ ̅
∑ ̅
∑ ̅
̅ ̅
∑ ̅
̅ ∑
̅ ∑
̅ ̅
∑ ̅
Jadi, tidak bergantung pada
̂ dan
̂
Contoh 2.1
Auditor sering diminta untuk membandingkan hasil audit dari item penyimpanan buku atau terdaftar. Jika sebuah perusahaan selalu memperbaharui penyimpanannya
52
dan buku up to date, maka pasti terdapat hubungan linear antara nilai audit dan nilai buku. Sebuah perusahaan mengambil sampel sepuluh item inventori dan memperoleh
nilai audit dan buku yang diberikan pada tabel di bawah ini.
Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku
Item Nilai Audit
Nilai Buku 1
9 10
2 14
12 3
7 9
4 29
27 5
45 47
6 109
112 7
40 36
8 238
241 9
60 59
10 170
167 Gunakan model
untuk data di dalam tabel tersebut. Jawab
Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 diperoleh
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
53
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
Jadi, penduga kuadrat terkecil dari dan
adalah ̂
dan ̂
Sehingga diperoleh model persamaan regresi
Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3.
G. Uji Kolmogorov Smirnov
Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data atau variabel random. Uji kecocokan
goodness of fit test biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang tidak diketahui untuk menguji hipotesis nol bahwa fungsi distribusi
yang tidak diketahui sebenarnya dikenal atau diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Kecocokan goodness of fit dapat di uji dengan berbagai metode, diantaranya uji
Kolmogorov Smirnov, uji Chi Square dan uji Anderson Darling. Pada tugas akhir ini, hanya akan dibahas uji kecocokan dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov.
Pada dasarnya uji kecocokan berdasarkan pada salah satu dari dua elemen distribusi, yaitu fungsi distribusi kumulatif Cumulative Ditribution Function atau
54
fungsi probabilitas Probability Density Function. Uji Chi Square berdasarkan pada fungsi probabilitas sedangkan uji Kolmogorov Simirnov dan uji Anderson Darling
berdasarkan pada fungsi distribusi kumulatif. Uji Kolmogorov Smirnov disarankan pertama kali oleh Kolmogorov pada tahun 1933.
Misalkan variabel random berasal dari distribusi yang tidak
diketahui , dan misalkan
adalah statistik terurut. akan diuji hipotesis bahwa
adalah sama dengan suatu distribusi tertentu .
Definisi 2.22
Statistik uji Kolmogorov Smirnov didefinisikan sebagai
2.7 [
]
[ ]
dengan ,
adalah fungsi distribusi empiris. Fungsi distribusi empiris berguna sebagai penduga dari fungsi distribusi yang tidak diketahui
.
Definisi 2.23
Misalkan adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris
di definisikan sebagai
55
{ Hipotesis uji Kolmogorov Smirnov adalah
untuk setiap dengan
adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan
Jika lebih dari
yang diberikan oleh tabel Kolmogorov Smirnov maka ditolak pada tingkat signifikansi
.
H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov
Uji Kolmogorov Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data berdistribusi Weibull atau tidak. Uji distribusi Weibull dengan Kolmogorov Smirnov
dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Weibull. Langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov untuk distribusi Weibull adalah sebagai
berikut 1.
2. Tentukan tingkat signifikansi
3. Statistik uji
56
4. Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar
5. Hitunglah
berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull 6.
Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah fungsi distribusi empiris
7. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah nilai
dan , dan tentukan maksimum
dari 8.
Daerah keputusan : ditolak jika
9. Kesimpulan
Contoh 2.2 Diberikan data dalam tabel 2.2 di bawah ini. Ujilah apakah data tersebut berdistribusi
Weibull dengan .
Tabel 2.2 Data Contoh 2.2
No 1
2 3
4 5
6 1.43
4.115 7.578
8.02 10.429
11.722
Jawab 1.
2. 3.
Statistik uji PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
4.
Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull
adalah
5. Daerah keputusan :
di tolak jika 6.
Perhitungan
1 1.43
0.091 0.167
0.000 0.075
0.091 2
4.115 0.315
0.333 0.167
0.019 0.148
3 7.578
0.566 0.500
0.333 -0.066
0.233 4
8.02 0.593
0.667 0.500
0.073 0.093
5 10.429
0.718 0.833
0.667 0.115
0.051 6
11.722 0.771
1.000 0.833
0.229 -0.062
Maksimum 0.229
0.233
7. Kesimpulan
Karena maka
diterima. Data tersebut berdistribusi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
I. Metode Kemungkinan Maksimum Maximum Likelihood Estimation Method
Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola.
Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna.
Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel random menghasilkan dua bola merah. Dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah
pada kotak haruslah dua atau tiga jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel
tanpa pengembalian. Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah
Jika terdapat tiga bola merah pada kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara acak adalah
Oleh karena itu dipilih tiga sebagai penduga dari banyaknya bola merah pada kotak karena tiga merupakan penduga yang memaksimumkan probabilitas dari
sampel yang diamati bandingkan dengan dua yang probabilitasnya lebih kecil.
59
Kemungkinan terdapat dua bola merah pada kotak juga benar, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan lebih untuk tiga bola merah dalam kotak. Contoh
ini mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini disebut Metode
Kemungkinan Maksimum Maximum Likelihood Method. Metode Kemungkinan Maksimum pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher
pada tahun 1912. Metode ini menghasilkan penduga yang sangat baik bagi untuk
sampel yang sangat besar.
Definisi 2.24
Misalkan adalah variabel random kontinu berukuran
dengan fungsi probabilitas
dan adalah parameter yang tidak diketahui, fungsi likelihood dari sampel random adalah densitas bersama dari
variabel random dan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan dengan
dan didefinisikan sebagai
∏
Definisi 2.25
Penduga Kemungkinan Maksimum Maximum Likelihood Estimator ̂
dari memaksimumkan likelihood
| atau ekuivalen dengan memaksimumkan log- likelihood
| dengan . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi
likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk :
Nilai parameter dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-
likelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE
̂ merupakan penyelesaian dari persamaan berikut :
Misalkan terdapat parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter
dengan Metode Kemungkinan Maksimum
dengan
Contoh 2.3
Misalkan adalah sampel random berdistribusi Normal dengan mean
dan variansi . Temukan
̂ dan ̂ dengan menggunakan Metode Kemungkinan
Maksimum. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Jawab adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan mean
dan variansi
maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai
√ [
]
berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh
| |
| |
√ √
[ ∑
]
Fungsi log-likelihood dari persamaan diatas adalah [
] { [
∑ ]}
[ ]
∑
∑
Penduga kemungkinan maksimum dari dan
adalah penduga yang memaksimum- kan
[ ], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap dan
, maka diperoleh
62
[ ]
∑
[ ]
∑
Jika turunan parsial terhadap dan
disamakan dengan nol, maka akan diperoleh ∑
∑
∑ ∑
̅
∑
∑
∑
∑
dengan subsitusi ̅ ke persamaan maka diperoleh
63
∑ ̅
Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk dan
adalah ̅ dan
∑ ̅
.
J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana
Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
Tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana adalah untuk menduga vektor parameter
[ ]
Untuk mencari Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan
dengan meng- gunakan asumsi bahwa galat
independen dan berdistribusi Normal . Misalkan
variabel random independen dan berdistribusi Normal
untuk . Fungsi probabilitas dari distribusi Normal dengan mean
dan variansi adalah
√ [
]
Berdasarkan definisi 2.24 diperoleh
∏ √
[ ]
64
√ ∏ [
]
√ [
∑ ]
Maka diperoleh fungsi log-likelihood sebagai berikut [
] { √
[ ∑
]}
√ ∑
∑
∑
Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan
dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial
[ ] terhadap
, dan dan menyamakan dengan
nol, maka diperoleh [
∑ ]
∑
∑ 2.9
65
[ ∑
]
∑
∑ 2.10
[ ∑
]
∑ 2.11
Berdasarkan persamaan 2.9 diperoleh
∑
∑
∑ ∑
2.12
Berdasarkan persamaan 2.10 diperoleh
∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
∑ ∑
∑ 2.13
Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.12 dan 2.13, maka
diperoleh ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ 2.14
∑ ∑
∑ ∑
∑ 2.15
Berdasarkan persamaan 2.11 diperoleh
∑
∑
∑
∑ 2.16
Persamaan 2.14 dan 2.15 menunjukkan bahwa Pendugaan Kemungkinan Maksimum
dari regresi linear sederhana menghasilkan penduga estimator yang sama dengan penduga yang dihasilkan dengan Metode Kuadrat Terkecil. Penduga Kemungkinan
67
Maksimum dari yang ditulis dalam persamaan 2.16 adalah rata-rata kuadrat galat
sampel.
K. Metode Newton Raphson
Metode Newton Raphson adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear. Dalam menduga parameter menggunakan
Metode Kemungkinan Maksimum menghasilkan fungsi log-likelihood yang non linier, maka penyelesaian dari fungsi tersebut diselesaikan dengan menggunakan
metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson merupakan penerapan dari deret Taylor.
Misalkan mempunyai akar pada suatu interval real dan akan dicari nilai
pendekatan akarnya. Deret Taylor disekitar
adalah
Untuk yang cukup dekat dengan
maka suku-suku nonlinear dapat diabaikan, maka akan diperoleh pendekatan
Jika adalah akar dari maka
68
Oleh karena itu diperoleh skema iterasi ke metode Newton Raphson adalah
Contoh 2.34
Tentukan akar persamaan nonlinear dengan metode Newton Raphson
jika diketahui nilai awal dengan toleransi
Jawab Diketahui
maka
Diketahui skema iterasi metode Newton Raphson adalah
Ketika maka diperoleh
Ketika maka diperoleh
69
Ketika maka diperoleh
Ketika maka diperoleh
Ketika maka diperoleh
70
Karena , maka akar persamaan fungsi
adalah
Di bawah ini adalah program menghitung akar persamaan menggu-
nakan R. newton-functionf,tol=1e-7, x0 = 1, N = 100{
+ h -1e-7 + i = 1; x1 = x0
+ p = numericN + while i = N {
+ df.dx = fx0 + h - fx0h + x1 = x0 - fx0 df.dx
+ p[i] = x1 + i = i + 1
+ if absx1 - x0 tol break + x0 = x1
+ } + returnp[1 : i-1]
+ } f - functionx{x2-3}
71
h -1e-7 df.dx - functionx{fx + h - fx h}
df.dx1;df.dx2 [1] 2
[1] 4 app - newtonf, x0 = 1
app [1] 2.000000 1.750000 1.732143 1.732051 1.732051
fapp[lengthapp] [1] 4.440892e-16
72
BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE
KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM
A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
Definisi 3.1
Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter
bila fungsi probabilitasnya
{ ,
, selainnya dengan
adalah parameter bentuk shape parameter dan adalah parameter skala scale parameter
B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
Pendugaan parameter distribusi Weibull dapat dilakukan dengan berbagai metode, diantaranya adalah Metode Kuadrat Terkecil Least Square Method.
Metode Kuadrat Terkecil merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi linear.
Model regresi linear didefinisikan sebagai 3.1
73
dengan pengamatan ke- variabel dependen
= intersep intercept = gradien slope
= pengamatan ke- variabel independen galat error dari observasi ke- di mana memuat setiap faktor selain
yang mempengaruhi
Metode kuadrat
terkecil akan
menentukan penduga
dari ̂
̂ yang akan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan
adalah sampel random dengan ukuran dari distribusi dan
misalkan adalah nilai dari sebuah sampel random. Untuk menduga para-
meter distribusi Weibull, perlu diketahui fungsi distribusi kumulatifnya. Berdasarkan
definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter
adalah
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull merupakan fungsi non linear. Transformasi logaritma dilakukan untuk mendekati Metode Kuadrat Terkecil.
74
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
3.2
Persamaan 3.2 dapat dinyatakan dalam bentuk regresi linear sederhana yaitu:
3.3 dengan
, ,
Diasumsikan bahwa nilai harapan galat dari populasi sama dengan nol sehingga diperoleh penduga regresi linear sederhana adalah
̂ ̂
̂ 3.4
dengan ̂= penduga model estimator
̂ = penduga dari
̂ = penduga dari
75
Misalkan adalah statistik terurut dari
dan misalkan adalah observasi terurut.
pada persa- maan 3.2 tidak diketahui, maka menurut Ivana Pobocikova Pobocikova, I., and
Sedliackova, Z. 2014. Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 883:4137-4149, nilai dari
di estimasi dengan mean rank yaitu ̂
3.5
dengan adalah x urutan ke-i.
Berdasarkan persamaan
2.4 dan
persamaan 2.5
penduga dari
̂ dan
̂ dari parameter regresi
dan adalah
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ̂
∑ ∑
∑ ∑
∑ Selanjutnya nilai
dan disubsitusikan ke persamaan
2.4 dan persamaan 2.5.
76 ̂
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
3.6
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
3.7
Karena ̂
adalah penduga maka
̂ ̂ 3.8
Karena ̂
adalah penduga dari maka penduga dari adalah ̂
̂ ̂
̂
̂ ̂
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ̂
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI