Distribusi Probabilitas Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya

13 Maka skripsi hal 54. Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya

Distribusi probabilitas fungsi densitas merupakan representasi dari populasi yang dicirikan dengan suatu konstanta yang disebut parameter. Definisi 2.10 Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan karakteristik populasi. Definisi 2.11 Statistik adalah sebarang fungsi dari elemen pada sampel random yang tidak bergantung pada paremeter yang tidak diketahui. Contohnya ̅ ∑ Definisi 2.12 Fungsi Gamma didefinisikan sebagai ∫ 14 Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistik karena dapat di- gunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit momen, variansi, mean dan momen. Teorema 2.3 Fungsi Gamma memiliki sifat 1. untuk setiap Bukti Berdasarkan definisi 2.12 ∫ Misalkan maka dan maka ∫ [ ] ∫ [ ] ∫ [ ] ∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15 [ ] { [ ]} 2. dengan n bilangan bulat positif Bukti Berdasarkan sifat Gamma Sehingga diperoleh Berdasarkan definisi 2.12 maka diperoleh ∫ ∫ [ ] 16 diperoleh 3. √ Bukti Akan di buktikan bahwa √ Berdasarkan definisi 2.12 ∫ Misalkan ∫ ∫ Ketika maka Sehingga diperoleh ∫ [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ 17 ∫ ∫ Integral tersebut diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar. Misalkan maka [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Misalkan ∫ [ ] √ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18 Definisi 2.13 Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter jika dan hanya jika fungsi probabilitas adalah { dengan ∫ 1. Mean Jika berdistribusi Gamma dengan parameter , maka Bukti Berdasarkan definisi 2.6 ∫ ∫ Berdasarkan definisi fungsi probabilitas ∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 19 ∫ 2.1 ∫ ∫ Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan persamaan 2.1 Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka , maka diperoleh 2. Variansi Jika Y berdistribusi Gamma dengan parameter , maka variansi dari distribusi Gamma adalah Bukti Berdasarkan teorema 2.1 ∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 20 ∫ ∫ Berdasarkan persamaan 2.1 dan teorema 2.3, maka diperoleh Maka 3. Fungsi Pembangkit Momen Berdasarkan definisi 2.9, maka 21 ∫ [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ Berdasarkan definisi 2.12 dan persamaan 2.1, maka diperoleh C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Definisi 2.14 Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter , bila fungsi probabilitasnya: { PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 22 dengan adalah parameter bentuk shape parameter dan adalah parameter skala scale parameter. Akan ditunjukkan berdasarkan definisi 2.4 bahwa persamaan di atas merupakan fungsi probabilitas. Jelas bahwa untuk setiap . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ∫ Misalkan maka ∫ ∫ ∫ [ ] Jadi terbukti bahwa adalah fungsi probabilitas Definisi 2.15 Bila telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull seperti yang diberikan pada definisi 2.14 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka ∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 23 ∫ [ ] Misalkan ∫ ∫ [ ] [ ] Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah 1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Sifat-sifat statistis dari distribusi Weibull antara lain adalah rata-rata mean, variansi dan fungsi pembangkit momen moment generating function 24 a. Mean Berdasarkan definisi 2.6 ∫ ∫ Misalkan maka dan ∫ ∫ ∫ berdasarkan fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh b. Variansi Berdasarkan teorema 2.1 ∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25 ∫ Misalkan maka ∫ ∫ ∫ Berdasarkan subsitusi fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh [ ] c. Momen Moment Berdasarkan definisi 2.8 momen ke- didefinisikan sebagai Maka, momen ke- dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah 26 ∫ ∫ Misalkan maka dan ∫ ∫ Berdasarkan definisi 2.12, maka diperoleh 2. Grafik Distribusi Weibull Grafik dari distribusi Weibull sangat beragam. Grafik distribusi Weibull bergantung pada nilai parameter dan yang dipilih, sehingga grafik akan memiliki berbagai macam bentuk. Jika parameter yang akan diubah-ubah adalah parameter skala dengan menganggap parameter bentuk konstan, maka akan diperoleh grafik fungsi probabilitas . Hal ini juga terjadi ketika PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 27 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 .0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 f x a=0.5 a=1 a=1.5 a=5 grafik fungsi distribusi Weibull f x parameter yang diubah adalah parameter bentuk dan mengganggap parameter skala konstan. Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa nilai yang berbeda-beda akan membentuk grafik yang berbeda-beda pula. Ketika maka akan diperoleh grafik dari distribusi Eksponensial. Gambar 2.1 diproduksi dari program R pada lampiran A.1. Teorema 2.4 Misalkan , jika maka berdistribusi Chi Squre dengan derajat bebas . Bukti Fungsi probabilitas dari adalah √ 28 √ √ √ √ √ [ √ √ ] √ √ √ √ √ √ √ √ √ Sehingga diperoleh adalah fungsi probabilitas dari distribusi Gamma dengan dan dan juga adalah fungsi probabilitas distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Maka fungsi pembangkit momen dari adalah 29 Teorema 2.6 Misalkan variabel random independen berdistribusi Normal dengan dan untuk dan misalkan adalah konstanta. Jika ∑ maka variabel random berdistribusi Normal dengan ∑ dan ∑ Bukti Karena berdistribusi Normal dengan dan , fungsi pembangkit momen adalah Maka fungsi pembangkit momen dari adalah Karena variabel random independen, maka variabel random juga independen untuk , maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30 ∑ ∑ merupakan FPM dari distribusi Normal dengan rata-rata rata-rata ∑ dan variansi ∑ Maka berdasarkan teorema ketunggalan berdistribusi Normal dengan rata-rata ∑ dan variansi ∑ Teorema 2.6 Misalkan adalah variabel random independen dengan . Jika ∑ , maka berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas Bukti Berdasarkan teorema 2.4 fungsi pembangkit momen dari adalah Karena independen, maka 31 adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan dan atau dan juga fungsi pembangkit momen dari distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Sehingga menurut teorema ketunggalan Teorema 2.7 Jika dan adalah matriks simetri idempoten dengan rank maka Bukti Karena simetri maka dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal maka diperoleh [ ] Selanjutnya, karena idempoten maka nilai akar karakteristiknya adalah dan , maka dapat dipilih sedemikian sehingga Dimensi dari matriks identitas akan sama dengan rank dari , karena banyaknya akar tak nol adalah rank dari matriks dan karena trace dari matriks adalah jumlah dari akar, maka dimensi juga sama dengan trace dari . Misalkan 32 Maka berdasarkan teorema 2.5 Misalkan distribusi dari menggunakan transformasi dari . Karena matriks ortogonal, maka invers dari sama dengan transpose dari Maka diperoleh ∑ ∑ ∑ adalah jumlah kuadrat dari variabel normal standar. Berdasarkan teorema 2.6 maka berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas D. Pendugaan Parameter Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukurdata empiris yang 33 berasal dari sampel random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel. Definisi 2.16 Penduga estimator adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengu- kuran yang termuat di dalam sampel. Pendugaan dibagi menjadi dua yaitu penduga titik point estimation dan penduga selang interval estimation. 1. Penduga Titik Point Estimator Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya. 2. Penduga Interval Interval Estimator Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter yang sebenarnya. E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik Definisi 2.17 Misalkan ̂ adalah penduga titik dari parameter , maka ̂ adalah penduga tak bias jika ̂ . 34 Definisi 2.18 Bias dari penduga titik ̂ didefinisikan sebagai ̂ ̂– Definisi 2.19 Rata-Rata Kuadrat Galat Mean Square Error dari penduga titik ̂ adalah ̂ ̂ Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga ̂ adalah fungsi dari variansi dan biasnya. Teorema 2.8 ̂ ̂ ̂ Bukti ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] ̂ ̂ ̂ [ ̂] ̂ ̂ [ ̂] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 35 F. Metode Kuadrat Terkecil Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat dependen; dengan satu atau lebih variabel bebas independen; . Definisi 2.20 Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai dengan pengamatan ke- variabel dependen = intersep intercept = parameter regresi slope = pengamatan ke- variabel independen = galat error dari pengamatan ke- Metode Kuadrat Terkecil Least Square Method merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi. Misalkan sampel random berukuran n dari sebuah populasi, berdasarkan definisi 2.20 maka persamaan garis regresinya adalah Metode Kuadrat Terkecil bertujuan menentukan penduga dari yaitu ̂ ̂ . Dengan asumsi persamaan regresi akan di duga oleh 36 ̂ ̂ ̂ . Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan penduga dari yang akan meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat Sum of Square Error. Definisi 2.21 Jumlah kuadrat galat Sum of Squares Error didefinisikan sebagai ∑ ̂ ∑[ ̂ ̂ ] Jumlah Kuadrat Galat minimum diperoleh dengan menggunakan turunan parsial terhadap ̂ ̂ maka ̂ ∑ [ ̂ ̂ ] ̂ ∑ [ ̂ ̂ ] ∑ ̂ ̂ ∑ ∑ ̂ ̂ ∑ ∑ ̂ ̂ ∑ 2.2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 37 ̂ ∑ [ ̂ ̂ ] ̂ ∑ {[ ̂ ̂ ] } ∑ ̂ ∑ ̂ ∑ ∑ ̂ ∑ ̂ ∑ ∑ ̂ ∑ ̂ ∑ 2.3 Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.2 dan persamaan 2.3 maka diperoleh ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2.4 ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2.5 Penduga ̂ dan ̂ pada persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 adalah penduga yang memiliki jumlah kuadrat galat paling minimum, karena ̂ dan ̂ dan ̂ dan ̂ maka ̂ dan ̂ adalah titik minimum. 38 1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil Sifat dari penduga Metode Kuadrat Terkecil dalam Regresi Linear Sederhana adalah a. Penduga ̂ dan ̂ tak bias, yaitu ̂ untuk . Bukti Sebuah penduga dikatakan merupakan penduga tak bias jika ̂ . Dan mengunakan fakta bahwa . Berdasarkan persamaan 2.4 ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 39 Maka ̂ adalah penduga tak bias bagi . Berdasarkan persamaan 2.5 ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Maka ̂ adalah penduga tak bias bagi . 40 b. ̂ dengan ∑ ̅ dan adalah parameter yang tidak diketahui. Bukti Persamaan 2.5 dapat ditulis dalam bentuk seperti dibawah ini ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ̅ ∑ ∑ ̅ ∑ Berdasarkan lampiran A.2, bentuk alternatif dari ̂ adalah Jika ∑ ̅ , maka diperoleh ̂ ∑ ̅ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ̅ ̅ ∑ ̅ ̂ ∑ ̅ ∑ ̅ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41 c. ̂ dengan ∑ ∑ ̅ dan adalah parameter yang tidak diketahui. Bukti Berdasarkan persamaan 2.3 ̂ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̂ ∑ ̂ ∑ ∑ ̂ ∑ ̂ ∑ ̅ ̅ ̂ ̅ ̂ ̅ ̅ ̂ ̂ ̅ 2.6 ̅ ̂ ∑ ∑ ̅ ∑ ̅ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42 Karena dan independen dimana , maka ̅ ̂ dari persamaan 2.6 diperoleh ̂ ̅ ̂ ̅ ∑ ∑ ̅ ̅ ̂ ̅ ̂ ̅ ̅ ̂ ̅ ̅ ̂ ̅ ̅ ̅ ̂ ̅ ̅ ̂ ̅ ∑ ̅ ̅ ̅ ̂ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ̅ ̅ ∑ ̅ ∑ ∑ ̅ 43 d. ̂ ̂ dengan ̅ ∑ ̅ dan adalah parameter yang tidak diketahui. Bukti Berdasarkan persamaan 2.6, diperoleh ̂ ̅ ̂ ̅ ∑ ̂ ̅ ̅ ̅ ̂ ̅ ̂ ̅ ̅ ̂ ̅ ̂ ̅ maka ̂ ̂ [ ̂ ̂ ] [ ̅ ̂ ̅ ̂ ] ̅ ̂ ̅ ̂ karena [ ̂ ] ̅ ̂ ̅ ̂ ̅ ∑ ̅ 44 e. Penduga tak bias dari adalah dengan ∑ [ ̂ ̂ ] . Bukti Akan dibuktikan adalah penduga tak bias dari [ ] [∑[ ̂ ̂ ] ] [∑[ ̅ ̂ ̅ ̂ ] ] [∑ ̅ ̂ ̅ ] [∑ ̅ ̂ ̅ ̂ ̅ ̅] karena ∑ ̅ ̅ ∑ ̅ ̂ , maka diperoleh [∑ ̅ ̂ ̅ ] ∑ [ ̅ ] ∑ ̅ ̂ karena ∑ ̅ ∑ ̅ , maka diperoleh 45 ∑ ̅ ∑ ̅ ̂ Untuk sebarang variabel random berlaku [ ] , maka diperoleh ∑[ [ ] ] [ ̅ [ ̅] ] ∑ ̅ ̂ [ ̂ ] ∑[ ] ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑[ ] ̅ ̅ ∑ ̅ ∑ ∑ ̅ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ 46 Karena ∑ ̅ ∑ ̅ , maka diperoleh ∑ ̅ [∑ ̅ ] ∑ ̅ ∑ ̅ Maka adalah penduga tak bias dari . Jika untuk berdistribusi Normal, maka f. ̂ dan ̂ berdistribusi Normal. Bukti Pada model regresi linear sederhana , bentuk galat tidak bergantung pada dengan rata-rata dan variansi . Bentuk dari distribusi sampling untuk ̂ dan ̂ bergantung pada distri- busi dari galat . Maka jika berdistribusi Normal, maka berdistribusi Normal dengan rata-rata dan variansi , karena ̂ dan ̂ adalah fungsi linear dari , maka ̂ berdistribusi Normal dengan rata-rata 47 dan variansi ∑ ∑ ̅ dan ̂ berdistribusi Normal dengan rata-rata dan variansi ∑ ∑ ̅ . g. Variabel random berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas . Bukti Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai Jika ditulis ke dalam bentuk matriks, maka model regresi linear sederhana dapat ditulis sebagai [ ] [ ] [ ] [ ] Bentuk lain dari model regresi linear sederhana adalah dengan [ ] [ ] [ ] dan [ ] Penduga kuadrat terkecil dari yaitu ̂, dapat dinotasikan dengan notasi matriks ̂ Penduga dari regresi linear sederhana adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 48 ̂ ̂ Galat dari model regresi linear sederhana adalah ̂ dengan adalah matriks simetri idempoten. Akan dibuktikan adalah matriks simetri dan idempoten Bukti [ ] Jadi adalah matriks simetri. 49 Jadi adalah matriks idempoten. Akan dibuktikan ̂ Akan dibuktikan Statistik didefinisikan sebagai 50 ∑ Akan dibuktikan berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas Variabel random berdistribusi normal standar dengan rata-rata nol dan variansi . Karena matriks adalah matriks simetri dan idempoten, maka berdasarkan teorema 2.7 berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas . Jadi berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas h. Statistik tidak bergantung pada ̂ dan ̂ Bukti PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 51 ∑ [ ̂ ̂ ] ∑ [ ̅ ̂ ̅ ̂ ] ∑ [ ̅ ̂ ̅ ̂ ] ∑ [ ̅ ̂ ̅] ∑ ̅ ̂ ̅ ̅ ̂ ̅ ∑ ̅ ̂ ̅ ̅ ̂ ̅ ̅ ∑ ̅ ̂ ̅ ̅ karena ̂ ∑ ̅ ∑ ̅ , maka diperoleh ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ̅ ̅ ∑ ̅ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ̅ ∑ ̅ Jadi, tidak bergantung pada ̂ dan ̂ Contoh 2.1 Auditor sering diminta untuk membandingkan hasil audit dari item penyimpanan buku atau terdaftar. Jika sebuah perusahaan selalu memperbaharui penyimpanannya 52 dan buku up to date, maka pasti terdapat hubungan linear antara nilai audit dan nilai buku. Sebuah perusahaan mengambil sampel sepuluh item inventori dan memperoleh nilai audit dan buku yang diberikan pada tabel di bawah ini. Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku Item Nilai Audit Nilai Buku 1 9 10 2 14 12 3 7 9 4 29 27 5 45 47 6 109 112 7 40 36 8 238 241 9 60 59 10 170 167 Gunakan model untuk data di dalam tabel tersebut. Jawab Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 diperoleh ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 53 ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Jadi, penduga kuadrat terkecil dari dan adalah ̂ dan ̂ Sehingga diperoleh model persamaan regresi Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3. G. Uji Kolmogorov Smirnov Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data atau variabel random. Uji kecocokan goodness of fit test biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang tidak diketahui untuk menguji hipotesis nol bahwa fungsi distribusi yang tidak diketahui sebenarnya dikenal atau diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Kecocokan goodness of fit dapat di uji dengan berbagai metode, diantaranya uji Kolmogorov Smirnov, uji Chi Square dan uji Anderson Darling. Pada tugas akhir ini, hanya akan dibahas uji kecocokan dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov. Pada dasarnya uji kecocokan berdasarkan pada salah satu dari dua elemen distribusi, yaitu fungsi distribusi kumulatif Cumulative Ditribution Function atau 54 fungsi probabilitas Probability Density Function. Uji Chi Square berdasarkan pada fungsi probabilitas sedangkan uji Kolmogorov Simirnov dan uji Anderson Darling berdasarkan pada fungsi distribusi kumulatif. Uji Kolmogorov Smirnov disarankan pertama kali oleh Kolmogorov pada tahun 1933. Misalkan variabel random berasal dari distribusi yang tidak diketahui , dan misalkan adalah statistik terurut. akan diuji hipotesis bahwa adalah sama dengan suatu distribusi tertentu . Definisi 2.22 Statistik uji Kolmogorov Smirnov didefinisikan sebagai 2.7 [ ] [ ] dengan , adalah fungsi distribusi empiris. Fungsi distribusi empiris berguna sebagai penduga dari fungsi distribusi yang tidak diketahui . Definisi 2.23 Misalkan adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris di definisikan sebagai 55 { Hipotesis uji Kolmogorov Smirnov adalah untuk setiap dengan adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan Jika lebih dari yang diberikan oleh tabel Kolmogorov Smirnov maka ditolak pada tingkat signifikansi . H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov Uji Kolmogorov Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data berdistribusi Weibull atau tidak. Uji distribusi Weibull dengan Kolmogorov Smirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Weibull. Langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov untuk distribusi Weibull adalah sebagai berikut 1. 2. Tentukan tingkat signifikansi 3. Statistik uji 56 4. Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar 5. Hitunglah berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull 6. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah fungsi distribusi empiris 7. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah nilai dan , dan tentukan maksimum dari 8. Daerah keputusan : ditolak jika 9. Kesimpulan Contoh 2.2 Diberikan data dalam tabel 2.2 di bawah ini. Ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan . Tabel 2.2 Data Contoh 2.2 No 1 2 3 4 5 6 1.43 4.115 7.578 8.02 10.429 11.722 Jawab 1. 2. 3. Statistik uji PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 57 4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah 5. Daerah keputusan : di tolak jika 6. Perhitungan 1 1.43 0.091 0.167 0.000 0.075 0.091 2 4.115 0.315 0.333 0.167 0.019 0.148 3 7.578 0.566 0.500 0.333 -0.066 0.233 4 8.02 0.593 0.667 0.500 0.073 0.093 5 10.429 0.718 0.833 0.667 0.115 0.051 6 11.722 0.771 1.000 0.833 0.229 -0.062 Maksimum 0.229 0.233 7. Kesimpulan Karena maka diterima. Data tersebut berdistribusi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 58 I. Metode Kemungkinan Maksimum Maximum Likelihood Estimation Method Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna. Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel random menghasilkan dua bola merah. Dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel tanpa pengembalian. Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah Jika terdapat tiga bola merah pada kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara acak adalah Oleh karena itu dipilih tiga sebagai penduga dari banyaknya bola merah pada kotak karena tiga merupakan penduga yang memaksimumkan probabilitas dari sampel yang diamati bandingkan dengan dua yang probabilitasnya lebih kecil. 59 Kemungkinan terdapat dua bola merah pada kotak juga benar, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan lebih untuk tiga bola merah dalam kotak. Contoh ini mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini disebut Metode Kemungkinan Maksimum Maximum Likelihood Method. Metode Kemungkinan Maksimum pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher pada tahun 1912. Metode ini menghasilkan penduga yang sangat baik bagi untuk sampel yang sangat besar. Definisi 2.24 Misalkan adalah variabel random kontinu berukuran dengan fungsi probabilitas dan adalah parameter yang tidak diketahui, fungsi likelihood dari sampel random adalah densitas bersama dari variabel random dan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai ∏ Definisi 2.25 Penduga Kemungkinan Maksimum Maximum Likelihood Estimator ̂ dari memaksimumkan likelihood | atau ekuivalen dengan memaksimumkan log- likelihood | dengan . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 60 Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk : Nilai parameter dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log- likelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE ̂ merupakan penyelesaian dari persamaan berikut : Misalkan terdapat parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter dengan Metode Kemungkinan Maksimum dengan Contoh 2.3 Misalkan adalah sampel random berdistribusi Normal dengan mean dan variansi . Temukan ̂ dan ̂ dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 61 Jawab adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan mean dan variansi maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai √ [ ] berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh | | | | √ √ [ ∑ ] Fungsi log-likelihood dari persamaan diatas adalah [ ] { [ ∑ ]} [ ] ∑ ∑ Penduga kemungkinan maksimum dari dan adalah penduga yang memaksimum- kan [ ], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap dan , maka diperoleh 62 [ ] ∑ [ ] ∑ Jika turunan parsial terhadap dan disamakan dengan nol, maka akan diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑ ̅ ∑ ∑ ∑ ∑ dengan subsitusi ̅ ke persamaan maka diperoleh 63 ∑ ̅ Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk dan adalah ̅ dan ∑ ̅ . J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai Tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana adalah untuk menduga vektor parameter [ ] Untuk mencari Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dengan meng- gunakan asumsi bahwa galat independen dan berdistribusi Normal . Misalkan variabel random independen dan berdistribusi Normal untuk . Fungsi probabilitas dari distribusi Normal dengan mean dan variansi adalah √ [ ] Berdasarkan definisi 2.24 diperoleh ∏ √ [ ] 64 √ ∏ [ ] √ [ ∑ ] Maka diperoleh fungsi log-likelihood sebagai berikut [ ] { √ [ ∑ ]} √ ∑ ∑ ∑ Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial [ ] terhadap , dan dan menyamakan dengan nol, maka diperoleh [ ∑ ] ∑ ∑ 2.9 65 [ ∑ ] ∑ ∑ 2.10 [ ∑ ] ∑ 2.11 Berdasarkan persamaan 2.9 diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑ 2.12 Berdasarkan persamaan 2.10 diperoleh ∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 66 ∑ ∑ ∑ 2.13 Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.12 dan 2.13, maka diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2.14 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2.15 Berdasarkan persamaan 2.11 diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑ 2.16 Persamaan 2.14 dan 2.15 menunjukkan bahwa Pendugaan Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana menghasilkan penduga estimator yang sama dengan penduga yang dihasilkan dengan Metode Kuadrat Terkecil. Penduga Kemungkinan 67 Maksimum dari yang ditulis dalam persamaan 2.16 adalah rata-rata kuadrat galat sampel. K. Metode Newton Raphson Metode Newton Raphson adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear. Dalam menduga parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum menghasilkan fungsi log-likelihood yang non linier, maka penyelesaian dari fungsi tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson merupakan penerapan dari deret Taylor. Misalkan mempunyai akar pada suatu interval real dan akan dicari nilai pendekatan akarnya. Deret Taylor disekitar adalah Untuk yang cukup dekat dengan maka suku-suku nonlinear dapat diabaikan, maka akan diperoleh pendekatan Jika adalah akar dari maka 68 Oleh karena itu diperoleh skema iterasi ke metode Newton Raphson adalah Contoh 2.34 Tentukan akar persamaan nonlinear dengan metode Newton Raphson jika diketahui nilai awal dengan toleransi Jawab Diketahui maka Diketahui skema iterasi metode Newton Raphson adalah Ketika maka diperoleh Ketika maka diperoleh 69 Ketika maka diperoleh Ketika maka diperoleh Ketika maka diperoleh 70 Karena , maka akar persamaan fungsi adalah Di bawah ini adalah program menghitung akar persamaan menggu- nakan R. newton-functionf,tol=1e-7, x0 = 1, N = 100{ + h -1e-7 + i = 1; x1 = x0 + p = numericN + while i = N { + df.dx = fx0 + h - fx0h + x1 = x0 - fx0 df.dx + p[i] = x1 + i = i + 1 + if absx1 - x0 tol break + x0 = x1 + } + returnp[1 : i-1] + } f - functionx{x2-3} 71 h -1e-7 df.dx - functionx{fx + h - fx h} df.dx1;df.dx2 [1] 2 [1] 4 app - newtonf, x0 = 1 app [1] 2.000000 1.750000 1.732143 1.732051 1.732051 fapp[lengthapp] [1] 4.440892e-16 72

BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE

KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter

Definisi 3.1 Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter bila fungsi probabilitasnya { , , selainnya dengan adalah parameter bentuk shape parameter dan adalah parameter skala scale parameter

B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil

Pendugaan parameter distribusi Weibull dapat dilakukan dengan berbagai metode, diantaranya adalah Metode Kuadrat Terkecil Least Square Method. Metode Kuadrat Terkecil merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi linear. Model regresi linear didefinisikan sebagai 3.1 73 dengan pengamatan ke- variabel dependen = intersep intercept = gradien slope = pengamatan ke- variabel independen galat error dari observasi ke- di mana memuat setiap faktor selain yang mempengaruhi Metode kuadrat terkecil akan menentukan penduga dari ̂ ̂ yang akan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan adalah sampel random dengan ukuran dari distribusi dan misalkan adalah nilai dari sebuah sampel random. Untuk menduga para- meter distribusi Weibull, perlu diketahui fungsi distribusi kumulatifnya. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull merupakan fungsi non linear. Transformasi logaritma dilakukan untuk mendekati Metode Kuadrat Terkecil. 74 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3.2 Persamaan 3.2 dapat dinyatakan dalam bentuk regresi linear sederhana yaitu: 3.3 dengan , , Diasumsikan bahwa nilai harapan galat dari populasi sama dengan nol sehingga diperoleh penduga regresi linear sederhana adalah ̂ ̂ ̂ 3.4 dengan ̂= penduga model estimator ̂ = penduga dari ̂ = penduga dari 75 Misalkan adalah statistik terurut dari dan misalkan adalah observasi terurut. pada persa- maan 3.2 tidak diketahui, maka menurut Ivana Pobocikova Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. 2014. Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 883:4137-4149, nilai dari di estimasi dengan mean rank yaitu ̂ 3.5 dengan adalah x urutan ke-i. Berdasarkan persamaan

2.4 dan

persamaan 2.5 penduga dari ̂ dan ̂ dari parameter regresi dan adalah ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Selanjutnya nilai dan disubsitusikan ke persamaan

2.4 dan persamaan 2.5.

76 ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 3.6 ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 3.7 Karena ̂ adalah penduga maka ̂ ̂ 3.8 Karena ̂ adalah penduga dari maka penduga dari adalah ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ [ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ̂ ] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI