dan dan persamaan 2.5. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil

79 [ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ] ̂ [ ∑ ̂ ∑ ̂ ] 3.9 Dengan diduga dengan ̂ dari persamaan 3.5 Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 80 Contoh 3.1 Tabel di bawah ini adalah data rata-rata kecepatan angin per bulan dalam satuan pada daerah Kolkata. Data ini di ambil mulai pada tanggal 1 Maret 2009 sampai 31 Maret 2009 Bhattacharya, P. 2010. A Study On Weibull Distribution For Estimating The Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 52:234:241. Dugalah parameter distribusi Weibull dan ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan uji Kolmogorov-Smirnov Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan ms di Kolkata Maret, 2009 Kecepatan angin ms Maret, 2009 Kecepatan angin ms 1 0.56 17 0.28 2 0.28 18 0.83 3 0.56 19 1.39 4 0.56 20 1.11 5 1.11 21 1.11 6 0.83 22 0.83 7 1.11 23 0.56 8 1.94 24 0.83 9 1.11 25 1.67 10 0.83 26 1.94 11 1.11 27 1.39 12 1.39 28 0.83 13 0.28 29 2.22 14 0.56 30 1.67 15 0.28 31 2.22 16 0.28 81 Jawab Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 a. ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ̂ [ ∑ ̂ ∑ ̂ ] Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull [ ] Penyelesaian Contoh 3.1 dengan program R pada lampiran A.4. Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan 82 Gambar 3.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan diproduksi dengan program R pada lampiran A.5 b. Akan di uji apakah data kecepatan angin tersebut berdistribusi Weibull dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. Langkah- langkah pengujian 1. dengan dan 2. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 83 3. Statistik uji 4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah 5. Daerah keputusan : ditolak jika 6. Perhitungan 0.28 1 0.08 0.03 0.00 -0.05 0.08 0.28 2 0.08 0.06 0.03 -0.02 0.05 0.28 3 0.08 0.10 0.06 0.01 0.02 0.28 4 0.08 0.13 0.10 0.05 -0.01 0.28 5 0.08 0.16 0.13 0.08 -0.05 0.56 6 0.25 0.19 0.16 -0.05 0.08 0.56 7 0.25 0.23 0.19 -0.02 0.05 0.56 8 0.25 0.26 0.23 0.01 0.02 0.56 9 0.25 0.29 0.26 0.04 -0.01 0.56 10 0.25 0.32 0.29 0.08 -0.04 0.83 11 0.43 0.35 0.32 -0.07 0.10 0.83 12 0.43 0.39 0.35 -0.04 0.07 0.83 13 0.43 0.42 0.39 -0.01 0.04 0.83 14 0.43 0.45 0.42 0.03 0.01 0.83 15 0.43 0.48 0.45 0.06 -0.03 0.83 16 0.43 0.52 0.48 0.09 -0.06 1.11 17 0.60 0.55 0.52 -0.05 0.08 1.11 18 0.60 0.58 0.55 -0.02 0.05 84 0.5 1.0 1.5 2.0 .2 .4 .6 .8 xi F0 grafik F0xi grafik Fnxi 1.11 19 0.60 0.61 0.58 0.01 0.02 1.11 20 0.60 0.65 0.61 0.05 -0.01 1.11 21 0.60 0.68 0.65 0.08 -0.05 1.11 22 0.60 0.71 0.68 0.11 -0.08 1.39 23 0.74 0.74 0.71 0.00 0.03 1.39 24 0.74 0.77 0.74 0.04 0.00 1.39 25 0.74 0.81 0.77 0.07 -0.04 1.67 26 0.84 0.84 0.81 0.00 0.03 1.67 27 0.84 0.87 0.84 0.03 0.00 1.94 28 0.91 0.90 0.87 0.00 0.04 1.94 29 0.91 0.94 0.90 0.03 0.00 2.22 30 0.95 0.97 0.94 0.02 0.01 2.22 31 0.95 1.00 0.97 0.05 -0.02 maksimum 0.11 0.10 Gambar 3.2 grafik dan diproduksi dengan program R dilampirkan pada lampiran A.6 7. Kesimpulan Karena maka diterima. Data tersebut berdistribusi dengan dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 85 C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah Metode Kemungkinan Maksimum Maksimum Likelihood Estimation. Prinsip dasar dari metode ini adalah menentukan penduga parameter ̂, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Metode ini dapat dilakukan karena distribusi data diketahui. Untuk itu sebagai langkah awal perlu diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull dengan dua parameter. Berdasarkan definisi 3.1, fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dua parameter adalah { , , selainnya berdasarkan definisi 2.24 fungsi likelihood adalah ∏ Dengan demikian fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter dapat dituliskan sebagai berikut: 86 ∏ [ ∑ ] Oleh karena itu diperoleh ∏ ∏ [ ∑ ] 3.10 Metode Kemungkinan Maksimum mengestimasi ̂ dan ̂ untuk parameter dan yang memaksimumkan fungsi dalam persamaan 3.10 atau ekuivalen dengan memaksimumkan logaritma dari fungsi dalam persamaan 3.10 yang biasa disebut dengan fungsi log-likelihood dan didefinisikan sebagai berikut [ ∏ [ ∑ ] ] [ ] [∏ ] [ [ ∑ ]] ∑ ∑ 3.11 Dengan mencari turunan parsial terhadap dan dari persamaan 3.11 dan nilai dari kedua turunan disamakan dengankan nol, maka akan diperoleh [ ∑ ∑ ] 87 ∑ ∑ ∑ ∑ [ ] ∑ ∑ ∑ [ ∑ ∑ ] ∑ Jika turunan parsial pada persamaan 3.13 diselesaikan maka akan diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 88 persamaan 3.14 disubsitusikan kedalam persamaan 3.12 maka akan diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 89 Persamaan 3.15 tidak dapat diselesaikan secara analitik, oleh karena itu harus diselesaikan secara numerik terhadap . Dalam hal ini, digunakan metode Newton Raphson untuk memperoleh solusi numerik dari . Rumus iterasi untuk metode Newton Raphson di definisikan sebagai Misalkan ∑ ∑ ∑ Maka diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Berdasarkan rumus iterasi Newton Raphson, maka diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Misalkan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 90 ∑ ∑ ∑ ∑ Maka, rumus iterasi di atas dapat ditulis menjadi Nilai awal yang digunakan pada pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah bilangan Real tak negatif yang tidak sama dengan nol. Dalam skripsi ini, penulis menggunakan nilai yang diperoleh dalam pendugaan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil sebagai nilai awal Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. 2014. Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 883:4137-4149. Contoh 3.2 Berdasarkan data pada Contoh 3.1, carilah penduga dari parameter dengan menggu- nakan Metode Kemungkinan Maksimum. Jawab Pendugaan parameter dari data pada Contoh 3.1 menggunakan program R. Berikut ini adalah hasil pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 91 Maksimum yang diperoleh dari program R pada lampiran A.7 dengan nilai awal dan dan dengan 3 iterasi. Maximum Likelihood estimation Newton-Raphson maximisation, 3 iterations Return code 1: gradient close to zero Log-Likelihood: -23.45415 2 free parameters Estimates: Estimate Std. error t value Pr t [1,] 1.9228 0.2776 6.927 4.29e-12 [2,] 1.1720 0.1173 9.988 2e-16 Signif. codes: . . . 5 . . Penduga dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum adalah ̂ dan ̂ , maka diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull [ ] 92 0.5 1.0 1.5 2.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 xi fM L E dist Weibul data asli Gambar 3.3 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan diproduksi dengan program R pada lampiran A.8 Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat Mean Square Error dalam membandingkan Metode Kemungkinan Maksimum dan Metode Kuadrat Terkecil untuk menduga parameter distribusi Weibull Lei,Y. 2008. Eva- luation of The Three Methods For Estimating The Weibull Distribution Parameters of Chinese pine. Journal of Forest Science. 5412:566-571. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga dan didefinisikan sebagai ∑[ ̂ ] 3.17 dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 93 ̂ ̂ ̂ Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat paling minimum. Berdasarkan pendugaan pada data Contoh 3.1 menggunakan Metode Kuadrat Terkecil, diperoleh dan , dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh dan . MSE digunakan untuk membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi data pada Contoh 3.1. Berdasarkan persamaan 3.17, maka MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah ∑[ ̂ ] MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah ∑[ ̂ ] Perhitungan MSE dengan program R pada lampiran A.9. 94 Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat MSE, MSE yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kuadrat Terkecil. Maka metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dari data pada Contoh 3.1 adalah Metode Kuadrat Terkecil. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 95

BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

Pada BAB IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter pada kasus data kecepatan angin. Terdapat dua data yang digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Weibull, yaitu data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu, Nigeria dan data rata-rata kecepatan angin di Sumenep, Jawa timur. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu merupakan data yang dikutip dari jurnal “Weibull Distribution Based On Model For Prediction Of Wind Potential in Enugu, Nigeria ”. Sedangkan data rata-rata kecepatan angin per bulan di Sumenep dikutip dari jurnal “Permodelan Kecepatan Angin Rata-Rata di Sumenep menggunakan Mixture of ANFIS ”. A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Least Square Method Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu Tabel di bawah ini menyajikan data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu. Data yang dipakai adalah data rata rata kecepatan angin dalam periode 13 tahun 1995-2007 dengan jumlah sampel . Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan 1995-2007 Tahun Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agst Sep Okt Nov Des 1995 2.4 3.0 2.8 3.3 3.0 3.0 2.7 2.7 2.7 2.5 2.0 2.0 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1996 2.7 3.0 3.1 2.7 2.3 2.6 2.2 2.6 2.1 2.1 1.5 2.7 1997 3.2 2.6 2.3 2.1 1.9 2.0 2.5 3.2 2.3 2.1 2.5 2.6 1998 3.0 2.3 3.2 3.0 2.4 2.3 2.8 2.4 2.1 2.1 2.1 2.6 1999 2.7 1.7 3.1 2.6 2.2 2.4 2.6 2.7 2.3 1.9 2.2 3.2 2000 2.6 2.1 2.8 2.5 2.1 2.4 2.4 2.1 2.1 2.0 2.5 2.0 2001 2.1 2.6 2.9 2.8 2.8 2.5 2.6 2.5 2.4 2.2 2.5 1.8 2002 2.3 3.5 2.5 2.5 1.9 2.3 2.9 2.5 2.4 2.1 1.7 2.2 2003 3.2 2.6 2.8 3.1 2.6 2.3 2.8 2.5 2.5 2.1 1.7 2.4 2004 2.6 2.7 3.6 2.9 2.6 2.3 2.6 2.7 2.3 2.1 1.7 2.5 2005 2.5 3.0 2.9 3.3 2.5 2.4 2.7 2.7 2.5 2.0 1.9 2.8 2006 2.6 2.9 2.9 2.9 2.5 2.5 2.6 2.8 2.5 2.0 1.8 2.1 2007 3.2 2.8 3.0 3.0 2.5 2.5 2.4 2.5 2.3 1.8 1.8 2.7 1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah fungsi non linear, oleh karena itu dilakukan transformasi ke fungsi linear dengan menggunakan transformasi logaritma. Berdasarkan persamaan 3.2, transformasi logaritma dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah [ ] Data kecepatan angin yang mengikuti distribusi Weibull akan ditransformasikan dalam bentuk regresi linear sederhana yang diberikan oleh dengan rata-rata kecepatan angin , , , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI misalkan untuk [ ] Dengan langkah yang sama, maka di dapatkan dan sampai dengan dan 2. Estimasi Parameter Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 penduga dari dan adalah ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ̂ [ ∑ ̂ ∑ ̂ ] maka diperoleh ̂ ̂ [ ] Penyelesaian dengan program R pada lampiran A.10. 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 0. 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. xi fL S data asli dist. Weibull Jadi penduga dan adalah ̂ dan ̂ Dengan demikian fungsi probabilitas dari distribusi Weibull adalah [ ] Gambar 4.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan diproduksi dengan program R yang pada lampiran A.11 B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu. Prinsip dasar dari Metode kemungkinan Maksimum adalah menduga parame- ter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Berdasarkan persamaan 3.10, fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∏ [ ∑ ] Berdasarkan persamaan 3.16 dan persamaan 3.14 penduga dari diperoleh dengan metode Newton Raphson dengan menggunakan rumus iterasi dengan ∑ ∑ ∑ ∑ dan penduga dari adalah ∑ Pendugaan parameter dari data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dengan Metode Kemungkinan Maksimum dilakukan dengan menggunakan program R. Nilai awal yang digunakan pada iterasi Newton Raphson adalah nilai dan yang diperoleh dengan menduga data yang sama tetapi menggunakan Metode Kuadrat Terkecil, yaitu dan . Berikut ini adalah hasil pendugaan parameter dari data kecepatan angin per bulan di Enugu yang diperoleh dengan program R pada lampiran A.12.