dan dan persamaan 2.5. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
79 [
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
]
̂ [ ∑
̂ ∑ ̂
] 3.9
Dengan diduga dengan ̂
dari persamaan 3.5
Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull ̂
̂
̂
̂
̂
80
Contoh 3.1
Tabel di bawah ini adalah data rata-rata kecepatan angin per bulan dalam satuan pada daerah Kolkata. Data ini di ambil mulai pada tanggal 1 Maret 2009 sampai 31
Maret 2009 Bhattacharya, P. 2010. A Study On Weibull Distribution For Estimating The Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 52:234:241.
Dugalah parameter distribusi Weibull dan ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan uji Kolmogorov-Smirnov
Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan ms di Kolkata
Maret, 2009 Kecepatan angin
ms Maret, 2009
Kecepatan angin ms
1 0.56
17 0.28
2 0.28
18 0.83
3 0.56
19 1.39
4 0.56
20 1.11
5 1.11
21 1.11
6 0.83
22 0.83
7 1.11
23 0.56
8 1.94
24 0.83
9 1.11
25 1.67
10 0.83
26 1.94
11 1.11
27 1.39
12 1.39
28 0.83
13 0.28
29 2.22
14 0.56
30 1.67
15 0.28
31 2.22
16 0.28
81
Jawab
Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9
a.
̂ ∑
∑ ∑
∑ ∑
̂ [
∑ ̂ ∑
̂ ]
Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull [
]
Penyelesaian Contoh 3.1 dengan program R pada lampiran A.4.
Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan
82
Gambar 3.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan
dan diproduksi dengan program R pada
lampiran A.5
b. Akan di uji apakah data kecepatan angin tersebut berdistribusi Weibull
dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
Langkah- langkah pengujian 1.
dengan dan
2. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
3. Statistik uji
4.
Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull
adalah
5. Daerah keputusan :
ditolak jika 6.
Perhitungan
0.28 1
0.08 0.03
0.00 -0.05
0.08 0.28
2 0.08
0.06 0.03
-0.02 0.05
0.28 3
0.08 0.10
0.06 0.01
0.02 0.28
4 0.08
0.13 0.10
0.05 -0.01
0.28 5
0.08 0.16
0.13 0.08
-0.05 0.56
6 0.25
0.19 0.16
-0.05 0.08
0.56 7
0.25 0.23
0.19 -0.02
0.05 0.56
8 0.25
0.26 0.23
0.01 0.02
0.56 9
0.25 0.29
0.26 0.04
-0.01 0.56
10 0.25
0.32 0.29
0.08 -0.04
0.83 11
0.43 0.35
0.32 -0.07
0.10 0.83
12 0.43
0.39 0.35
-0.04 0.07
0.83 13
0.43 0.42
0.39 -0.01
0.04 0.83
14 0.43
0.45 0.42
0.03 0.01
0.83 15
0.43 0.48
0.45 0.06
-0.03 0.83
16 0.43
0.52 0.48
0.09 -0.06
1.11 17
0.60 0.55
0.52 -0.05
0.08 1.11
18 0.60
0.58 0.55
-0.02 0.05
84
0.5 1.0
1.5 2.0
.2 .4
.6 .8
xi
F0
grafik F0xi grafik Fnxi
1.11 19
0.60 0.61
0.58 0.01
0.02 1.11
20 0.60
0.65 0.61
0.05 -0.01
1.11 21
0.60 0.68
0.65 0.08
-0.05 1.11
22 0.60
0.71 0.68
0.11 -0.08
1.39 23
0.74 0.74
0.71 0.00
0.03 1.39
24 0.74
0.77 0.74
0.04 0.00
1.39 25
0.74 0.81
0.77 0.07
-0.04 1.67
26 0.84
0.84 0.81
0.00 0.03
1.67 27
0.84 0.87
0.84 0.03
0.00 1.94
28 0.91
0.90 0.87
0.00 0.04
1.94 29
0.91 0.94
0.90 0.03
0.00 2.22
30 0.95
0.97 0.94
0.02 0.01
2.22 31
0.95 1.00
0.97 0.05
-0.02 maksimum
0.11 0.10
Gambar 3.2 grafik
dan
diproduksi dengan program R dilampirkan pada lampiran A.6
7. Kesimpulan
Karena maka
diterima. Data tersebut berdistribusi
dengan dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum
Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah Metode Kemungkinan Maksimum Maksimum Likelihood Estimation. Prinsip dasar dari metode ini adalah
menentukan penduga parameter ̂, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Metode
ini dapat dilakukan karena distribusi data diketahui. Untuk itu sebagai langkah awal perlu diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull dengan dua parameter.
Berdasarkan definisi 3.1, fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dua parameter
adalah
{ ,
, selainnya
berdasarkan definisi 2.24 fungsi likelihood adalah
∏
Dengan demikian fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter dapat dituliskan sebagai berikut:
86
∏ [ ∑
]
Oleh karena itu diperoleh ∏
∏ [ ∑
] 3.10
Metode Kemungkinan Maksimum mengestimasi ̂ dan ̂ untuk parameter dan
yang memaksimumkan fungsi dalam persamaan 3.10 atau ekuivalen dengan memaksimumkan logaritma dari fungsi dalam persamaan 3.10 yang biasa disebut
dengan fungsi log-likelihood dan didefinisikan sebagai berikut [
∏ [ ∑
] ]
[ ] [∏
] [ [ ∑ ]]
∑ ∑
3.11
Dengan mencari turunan parsial terhadap
dan dari persamaan 3.11 dan nilai dari
kedua turunan disamakan dengankan nol, maka akan diperoleh
[ ∑
∑ ]
87
∑ ∑
∑ ∑
[ ]
∑ ∑
∑
[ ∑
∑ ]
∑
Jika turunan parsial pada persamaan 3.13 diselesaikan maka akan diperoleh
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
persamaan 3.14 disubsitusikan kedalam persamaan 3.12 maka akan diperoleh
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Persamaan 3.15 tidak dapat diselesaikan secara analitik, oleh karena itu harus
diselesaikan secara numerik terhadap . Dalam hal ini, digunakan metode Newton
Raphson untuk memperoleh solusi numerik dari . Rumus iterasi untuk metode
Newton Raphson di definisikan sebagai
Misalkan ∑
∑ ∑
Maka diperoleh ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
Berdasarkan rumus iterasi Newton Raphson, maka diperoleh ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
Misalkan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
∑ ∑
∑ ∑
Maka, rumus iterasi di atas dapat ditulis menjadi
Nilai awal yang digunakan pada pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah bilangan Real tak negatif yang tidak sama dengan nol.
Dalam skripsi ini, penulis menggunakan nilai yang diperoleh dalam pendugaan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil sebagai nilai awal Pobocikova, I., and
Sedliackova, Z. 2014. Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 883:4137-4149.
Contoh 3.2 Berdasarkan data pada Contoh 3.1, carilah penduga dari parameter dengan menggu-
nakan Metode Kemungkinan Maksimum. Jawab
Pendugaan parameter dari data pada Contoh 3.1 menggunakan program R. Berikut
ini adalah hasil pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Maksimum yang diperoleh dari program R pada lampiran A.7 dengan nilai awal
dan dan dengan 3 iterasi.
Maximum Likelihood estimation Newton-Raphson maximisation, 3 iterations
Return code 1: gradient close to zero Log-Likelihood: -23.45415
2 free parameters Estimates:
Estimate Std. error t value Pr t [1,] 1.9228 0.2776 6.927 4.29e-12
[2,] 1.1720 0.1173 9.988 2e-16 Signif. codes: .
. . 5 . . Penduga
dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum adalah ̂ dan ̂ , maka diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull
[ ]
92
0.5 1.0
1.5 2.0
.1 .2
.3 .4
.5 .6
.7
xi fM
L E
dist Weibul data asli
Gambar 3.3 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan
dan
diproduksi dengan program R pada lampiran A.8
Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat Mean Square Error dalam membandingkan Metode Kemungkinan Maksimum dan Metode
Kuadrat Terkecil untuk menduga parameter distribusi Weibull Lei,Y. 2008. Eva- luation of The Three Methods For Estimating The Weibull Distribution Parameters of
Chinese pine. Journal of Forest Science. 5412:566-571. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga dan didefinisikan sebagai
∑[ ̂ ]
3.17
dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
̂ ̂
̂
Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat paling minimum.
Berdasarkan pendugaan pada data Contoh 3.1 menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil, diperoleh dan , dan menggunakan Metode
Kemungkinan Maksimum diperoleh dan . MSE digunakan
untuk membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi data pada Contoh 3.1. Berdasarkan persamaan 3.17, maka MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah
∑[ ̂ ]
MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah
∑[ ̂ ]
Perhitungan MSE dengan program R pada lampiran A.9.
94
Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat MSE, MSE yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kuadrat Terkecil. Maka metode yang terbaik
dalam menduga parameter distribusi Weibull dari data pada Contoh 3.1 adalah
Metode Kuadrat Terkecil. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95