2.5.3 Macam-macam Graf
a. Graf Berdasarkan Bobot
Berdasarkan bobot, graf dapat dikelompokan menjadi dua macam, yaitu graf berbobot dan graf tidak berbobot. Bobot disini dapat direpresentasikan
sebagai jumlah interaksi, kekuatan hubungan, jarak suatu node, atau yang lainnya. Sedangkan graf tidak berbobot hanya merepresentasikan suatu
hubungan antar node-nya saja.
Gambar 2.13 Graf tidak berbobot
Gambar 2.14
Graf berbobot
b. Graf Berdasarkan Arah
Graf berdasarkan arah dapat di kelompokan menjadi 2 macam, yaitu graf berarah dan graf tidak berarah. Graf berarah tersebut merepresentasikan arah
relasi yang terjadi antar node.
Gambar 2.15 Graf tidak berarah
Gambar 2.16
Graf berarah
2.5.4 Representasi Graf
Ada dua cara merepresentasikan sebuah graf Adamchik, 2005 1.
Adjacency lists Representasi ini secara visual lebih mudah dimengerti, akan tetapi kurang
bagus untuk dioperasikan bila vertex yang dimiliki terlalu banyak. Biasanya adjacency lists direpresentasikan seperti bentuk array.
Gambar 2.17 Gambar kiri merupakan graf G, gambar kanan merupakan adjacency
lists. Kerugian potensial dari representasi adjacency-daftar adalah bahwa tidak ada
cara cepat untuk menentukan apakah ada edge diantara dua simpul. 2.
Adjacency matrix Representasi ini baik digunakan untuk representasi graf didalam komputer.
Kekurangan dari adjacency lists dapat ditutupi dengan adjacency matrix. Adjacency matrix adalah matriks dari v x v dimana,
Mi,j{ 1,jika ada � diantara dan j; 0,jika tidak ada � diantara dan
Gambar 2.18 Gambar kiri merupakan graf G, gambar kanan merupakan matriks
2.5.5 Random Graph
Dalam matematika, random graph adalah istilah umum untuk menyebut distribusi probabilitas lebih grafik. Random graph dapat
digambarkan hanya dengan distribusi probabilitas, atau dengan proses acak yang menghasilkan graf tersebut. Teori random graph terletak di
persimpangan antara teori graf dan teori probabilitas. Dari perspektif matematika, random graph digunakan untuk menjawab pertanyaan tentang
sifat-sifat grafik khas. Aplikasi praktis ditemukan di semua daerah di mana jaringan yang kompleks perlu dimodelkan - sejumlah besar model random
graph sehingga diketahui, mencerminkan beragam jenis jaringan yang kompleks yang dihadapi di daerah yang berbeda. Dalam konteks matematika,
random graph mengacu hampir secara eksklusif pada Erdös-Rényi model random graph. Dalam konteks lain, model grafik dapat disebut sebagai
random graph. Sebuah random graph diperoleh dengan memulai dengan satu set n
simpul terisolasi dan menambahkan tepi berturut-turut antara mereka secara acak. Tujuan dari penelitian di bidang ini adalah untuk menentukan pada
tahap apa properti tertentu dari grafik cenderung timbul. [2] model grafik acak yang berbeda menghasilkan distribusi probabilitas yang berbeda pada grafik.
Paling sering dipelajari adalah yang diusulkan oleh Edgar Gilbert, dinotasikan G n, p, di mana setiap kemungkinan tepi terjadi secara independen dengan
probabilitas 0 p 1. Probabilitas mendapatkan satu grafik acak tertentu dengan m tepi adalah
dengan notasi . Sebuah
model terkait erat, model Erdös-Rényi dilambangkan G n, M, memberikan probabilitas yang sama untuk semua grafik dengan tepat M tepi. Dengan 0 ≤
M ≤ N, G n, M memiliki elemen dan setiap elemen terjadi dengan
probabilitas .
Model terakhir dapat dilihat sebagai snapshot pada waktu tertentu M dari proses grafik acak
, yang merupakan proses stokastik yang dimulai dengan n simpul dan tidak ada ujungnya, dan di setiap langkah menambahkan
satu keunggulan baru yang dipilih seragam dari set hilang tepi. Jika bukan kita mulai dengan set tak terbatas simpul, dan lagi biarkan setiap kemungkinan
tepi terjadi secara independen dengan probabilitas 0 p 1, maka kita mendapatkan sebuah benda G disebut graf acak yang tak terbatas. Kecuali
dalam kasus-kasus sepele ketika p adalah 0 atau 1, seperti G hampir pasti memiliki
properti berikut:
Mengingat setiap
n +
elemen m
, ada c titik di V yang berdekatan dengan masing-masing
dan tidak berdekatan dengan .
Ternyata bahwa jika set titik dapat dihitung maka ada, hingga isomorfisma, hanya satu grafik dengan properti ini, yaitu grafik Rado. Jadi setiap grafik
acak tak terbatas hampir pasti grafik Rado, yang untuk alasan ini kadang- kadang disebut hanya grafik acak. Namun, hasil analog tidak berlaku untuk
grafik terhitung, dari yang ada banyak nonisomorphic grafik memuaskan properti di atas. Model lain, yang generalisasi model grafik acak Gilbert,
adalah model dot-produk acak. Sebuah dot-produk acak rekan grafik dengan masing-masing simpul vektor nyata. Probabilitas suatu uv tepi antara setiap
simpul u dan v adalah beberapa fungsi dari titik produk u • v vektor masing-
masing. Model probabilitas jaringan matriks grafik acak melalui tepi
probabilitas, yang mewakili probabilitas p_ {i, j} bahwa keunggulan e_ diberikan {i, j} ada untuk jangka waktu tertentu. Model ini dapat
dikembangkan untuk diarahkan dan diarahkan; tertimbang dan tertimbang; dan grafik statis atau dinamis struktur. Untuk M
≃ pN, di mana N adalah jumlah maksimal tepi mungkin, dua model yang paling banyak digunakan, G
n, M dan G n, p, hampir dipertukarkan.Grafik biasa acak membentuk kasus khusus, dengan sifat yang mungkin berbeda dari grafik acak pada umumnya.
Setelah kita memiliki model grafik acak, setiap fungsi pada grafik, menjadi variabel acak. Studi tentang model ini adalah untuk menentukan apakah, atau
setidaknya memperkirakan probabilitas bahwa, properti mungkin terjadi. Dalam teori grafik, model Erdös-Rényi adalah salah satu dari dua
model terkait erat untuk menghasilkan grafik acak. Mereka diberi nama oleh Paul Erdös dan Alfred Rényi, yang pertama kali memperkenalkan salah satu
model ini pada tahun 1959. Model lainnya diperkenalkan secara independen dan serentak oleh Edgar Gilbert. Dalam model yang diperkenalkan oleh Erdös
dan Rényi, semua grafik pada titik tetap diatur dengan jumlah tetap tepi. Dalam model yang diperkenalkan oleh Gilbert, setiap tepi memiliki
probabilitas tetap hadir atau tidak, secara independen dari tepi lainnya. Model ini dapat digunakan dalam metode probabilistik untuk membuktikan
keberadaan grafik memuaskan berbagai properti, atau untuk memberikan definisi yang ketat tentang apa artinya untuk properti untuk menahan untuk
hampir semua grafik. Ada dua varian terkait erat dari Erdös-Rényi ER model random
graph. Sebuah grafik yang dihasilkan oleh model binomial dari Erdös dan Rényi p=0,01. Dalam G n, M model, grafik yang dipilih seragam secara
acak dari koleksi semua grafik yang memiliki node n dan M tepi. Misalnya, dalam G 3, 2 model, masing-masing dari tiga kemungkinan grafik pada tiga
titik dan dua sisi disertakan dengan probabilitas 13. Dalam G n, p model, grafik dibangun dengan menghubungkan node secara acak. Setiap sisi
disertakan dalam grafik dengan probabilitas p independen dari setiap tepi lainnya. Ekuivalen, semua grafik dengan node n dan M tepi memiliki
probabilitas yang sama Parameter p dalam model ini dapat dianggap sebagai fungsi
pembobotan; sebagai p meningkat dari 0 ke 1, model menjadi lebih dan lebih mungkin untuk memasukkan grafik dengan lebih tepi dan kurang dan kurang
kemungkinan untuk memasukkan grafik dengan tepi yang lebih sedikit.
Secara khusus, kasus p = 0,5 sesuai dengan kasus di mana semua grafik
pada n simpul yang dipilih dengan probabilitas yang sama. Perilaku grafik acak sering dipelajari dalam kasus di mana n, jumlah simpul, cenderung tak
terhingga. Meskipun p dan M bisa diperbaiki dalam kasus ini, mereka juga dapat berfungsi tergantung pada n. Sebagai contoh, pernyataan. Hampir setiap
grafik di G n,2lnnn terhubung. cara N cenderung tak terbatas, probabilitas bahwa grafik pada n simpul dengan probabilitas tepi 2ln n n terhubung,
cenderung 1
2.5.6 Scale-Free Network Graph SFNG
Scale free network graph adalah jaringan yang mempunyai jumlah distribusi power-law, yaitu asimtotik. Artinya, fraksi Pk dari node dalam
jaringan memiliki koneksi k ke node lain berlaku untuk nilai-nilai besar k sebagai
dimana adalah parameter yang nilainya biasanya dalam kisaran 2 3, meskipun kadang-kadang mungkin berada di luar batas-batas tersebut.
Preferential Attachment dan fitness model telah diusulkan sebagai mekanisme untuk menjelaskan jumlah distribusi power-law dalam jaringan nyata. Dalam
studi tentang jaringan kutipan antara karya ilmiah, Derek de Solla Price menunjukkan pada tahun 1965 bahwa jumlah link ke kertas yaitu, jumlah
kutipan yang mereka terima-memiliki distribusi heavy-tailed menyusul distribusi Pareto atau power-law, dan dengan demikian bahwa jaringan
kutipan adalah skala bebas. Dia tidak masalah menggunakan istilah jaringan skala bebas, yang tidak diciptakan sampai beberapa decade kemudian. Dalam
sebuah makalah selanjutnya pada tahun 1976, Price juga mengusulkan mekanisme untuk menjelaskan terjadinya hukum kekuasaan di jaringan
kutipan, yang ia sebut keuntungan kumulatif tapi yang sekarang lebih dikenal dengan nama lampiran preferensial. Baru-baru ini dalam jaringan
skala bebas dimulai pada tahun 1999 dengan karya Albert-László Barabasi
dan rekan-rekannya di University of Notre Dame yang memetakan topologi sebagian dari World Wide Web, menemukan bahwa beberapa node, yang
mereka sebut hub, memiliki lebih banyak koneksi dari yang lain dan bahwa jaringan secara keseluruhan memiliki distribusi power-law dari jumlah link
yang menghubungkan ke node. Setelah menemukan beberapa jaringan lain, termasuk beberapa jaringan sosial dan biologis, juga memiliki jumlah
distribusi heavy-tailed, Barabasi dan kolaborator menciptakan istilah jaringan skala bebas untuk menggambarkan kelas jaringan yang menunjukkan
distribusi power-law. Amaral et al. menunjukkan bahwa sebagian besar jaringan dunia nyata dapat diklasifikasikan ke dalam dua kategori besar
berdasarkan jumlah distribusi derajat P k untuk k besar. Barabasi dan Albert mengusulkan mekanisme generatif untuk
menjelaskan penampilan distribusi power-law, yang mereka sebut preferential attachment dan yang pada dasarnya sama dengan yang
diusulkan oleh Price. Solusi analitik untuk mekanisme ini juga mirip dengan solusi Price diadakan pada tahun 2000 oleh Dorogovtsev, Mendes dan
Samukhin dan secara independen oleh Krapivsky, Redner, dan Leyvraz, dan kemudian dibuktikan dengan matematika Béla Bollobás. Namun, mekanisme
ini hanya menghasilkan subset spesifik jaringan di kelas skala bebas, dan banyak mekanisme alternatif telah ditemukan.
Sejarah jaringan
skala bebas
juga mencakup
beberapa ketidaksepakatan. Pada tingkat empiris, sifat skala bebas dari beberapa
jaringan telah dipertanyakan. Misalnya, tiga bersaudara Faloutsos percaya bahwa Internet memiliki distribusi power-law atas dasar data traceroute;
Namun, telah menyarankan bahwa ini adalah lapisan 3 ilusi yang diciptakan oleh router, yang mana muncul sebagai node-tingkat tinggi selama
menyembunyikan layer 2 struktur internal dari ASes interkoneksi mereka. Pada tingkat teoritis, perbaikan untuk definisi abstrak skala bebas telah
diusulkan. Misalnya, Li et al. 2005 baru-baru ini menawarkan metrics skala bebas yang berpotensi lebih tepat. Secara singkat, biarkan G adalah graf
dengan tepi set E, dan menunjukkan tingkat simpul v yaitu, jumlah tepi kejadian untuk v oleh \ deg v. Menetapkan
Ini dimaksimalkan ketika node-tingkat tinggi yang terhubung ke node- tingkat tinggi lainnya.Sekarang mendefinisikan
Dimana Smax adalah nilai maksimum s H untuk H dalam himpunan semua grafik dengan distribusi gelar identik dengan G. Ini memberikan metric
antara 0 dan 1, di mana grafik G dengan S kecil G adalah skala-kaya, dan grafik G dengan S G mendekati 1 adalah skala-bebas. Definisi ini diambil
dari kesamaan diri yang tersirat dalam nama skala-bebas.
2.5.6.1 Barabasi-Albert Model
Barabasi-Albert BA Model adalah sebuah algoritma untuk membangkitkan jaringan skala bebas dengan menggunakan mekanisme
Preferential Attachment. Jaringan skala bebas secara luas diamati dalam sistem alam dan buatan manusia, termasuk internet, world wide web, jaringan
kutipan, dan beberapa jaringan sosial. Algoritma ini dinamakan oleh penemunya yaitu Albert-László Barabasi dan Reka Albert. Banyak jaringan
diamati masuk ke dalam kelas jaringan skala bebas, yang berarti bahwa mereka memiliki power-law skala bebas distribusi derajat, sementara model
grafik acak seperti ER Model Erdös-Rényi dan Watts-Strogatz WS tidak menunjukkan power-law. Barabasi-Albert model adalah salah satu dari
beberapa model yang diusulkan yang menghasilkan jaringan skala bebas. Algoritma ini menggabungkan dua konsep umum yang penting:
pertumbuhan dan preferential attachment. Baik pertumbuhan dan preferential attachment ada secara luas di jaringan nyata. Pertumbuhan berarti bahwa
jumlah node dalam jaringan meningkat dari waktu ke waktu. Preferential attachment berarti bahwa lebih banyak node yang terhubung, maka semakin
besar kemungkinan untuk menerima link baru. Preferential attachment adalah contoh dari siklus umpan balik positif di mana variasi awalnya acak satu
simpul awalnya memiliki banyak link atau telah mulai mengumpulkan link lebih awal dari yang lain secara otomatis diperkuat, sehingga sangat besar
perbedaannya. Ini juga kadang-kadang disebut efek Matthew, yang kaya semakin kaya, dan dalam kimia autocatalysis.
Jaringan dimulai dengan jaringan terhubung awal node m . Node baru
ditambahkan ke jaringan satu per satu. Setiap node baru terhubung ke m ≤ m node yang ada dengan probabilitas yang sebanding terhadap jumlah link yang
sudah memiliki node. Secara formal, probabilitas P
i
terhadap node baru yang terhubung ke node i adalah:
Dimana ki adalah derajat simpul dari node i dan jumlah ini dibuat atas semua node yang sudah ada j yaitu hasil denominator dua kali jumlah edges
dalam jaringan. Node yang terhubung hub cenderung cepat menumpuk ketika lebih banyak link, ketika node dengan hanya beberapa link yang
mungkin untuk dipilih sebagai tujuan untuk link baru. Node baru memiliki preferensi untuk melampirkan diri untuk node yang terhubung.
2.6 Matriks Adjacency
Jenis matriks yang biasa digunakan dalam analisa jaringan sosial adalah matriks adjacency. Nilai yang ada di tiap cell menunjukkan informasi
atas hubungan atau relasi antar aktor atau individu. Matriks adjacency sangat berguna untuk melihat kedekatan antar aktor atau individu berdasarkan nilai
yang ada di tiap cell. Pada penelitian ini skala pengukuran akan menggunakan binary yang hanya memiliki nilai 0 dan 1. Nilai 0 akan merepresentasikan
tidak adanya hubungan, sedangkan nilai 1 merepresentasikan adanya hubungan antar aktor atau individu tertentu. Ada 2 tipe matriks adjacency,
yaitu symmetric dan asymmetric. Sebuah jaringan sosial dapat terdiri dari 2 tipe ini. Jika terdapat relasi pertemanan antara Bob, Carol, Alice dan Ted,
digambarkan bahwa Bob menjalin relasi dengan Carol, tetapi Carol tidak. Maka dari itu, matriks Xij tidak mungkin sama dengan matriks Xji, inilah
yang disebut dengan asymmetric.
Algoritma: Masukan: Jumlah Nodes N;
Inisialisasi jumlah nodes m0; Offset Eksponen a;
Minimum degree 1= d =m0. Keluaran: scale-
free multigraph G={0,….,N-1}, E. 1 Tambahkan nodes m0 ke G.
2 Hubungkan setiap node dalam G ke setiap node lain dalam G, buat grafik lengkap.
3 Buat node baru i. 4 Ambil node j seragam secara acak dari grafik G. Set P = k j k_tot a.
5 Ambil bilangan real R seragam secara acak antara 0 dan 1. 6 Jika P R kemudian tambahkan j ke i daftar adjacency.
7 Ulangi langkah 4 - 6 sampai i memiliki node m dalam daftar adjacencynya. 8 Tambahkan i ke daftar adjacency dari setiap node dalam daftar
adjacencynya. 9 Tambahkan i ke grafik.
10 Ulangi langkah 3-9 sampai ada N node dalam grafik.
BAB III PERANCANGAN MODEL
Pada bab ini akan dijelaskan perancangan model dan algoritma dalam mengubah graf ke dalam bentuk adjacency matriks.
3.1 Sumber Data
Dalam penelitian ini, sumber data yang digunakan adalah data berupa graf yang diubah menjadi matriks adjacency, jika memiliki relasi maka
bernilai 1, jika tidak maka bernilai 0. Data diambil dari social network facebook penulis dengan menggunakan bantuan aplikasi touchgraph.
Touchgraph adalah software manipulasi dan grafik visualisasi yang digunakan untuk mempelajari jaringan aktor sosial media.
Perangkat lunak ini menampilkan hubungan antar individu. Individu akan diwakili oleh node,
kemudian hubungan antara individu akan menjadi sebuah link. Aplikasi ini dapat memvisualisasikan jaringan pertemanan di facebook, sedangkan untuk
random graph dan scale-free network graph didapat dengan menggunakan algoritma Erdos Renyi dan Barabassi-Albert.
3.2 Perancangan Model
Perancangan model untuk merepresentasikan centrality pada jaringan manusia, random graph, dan scale-free network graph secara umum dapat
digambarkan sebagai berikut:
Data Facebook,
Random Graph,
SFNG Preprocessing
Perhitungan betweenness,
closeness, degree centrality
Hasil
Gambar 3.1 Perancangan Model
Data yang dipakai untuk melakukan perhitungan centrality pada jaringan manusia riil adalah dataset yang diperoleh dari facebook dengan
menggunakan aplikasi touchgraph yaitu berupa graf yang diubah menjadi