II.12 Elemen Quadrilatearal Empat Node Isoparametrik
a. Koordinat Natural Dari Elemen
Elemen quadrilateral dengan empat buah node dilukiskan dalam gambar berikut ini.
Gambar 2.10 Elemen Quadrilateral Penomoran node ditentukan dalam arah lawan perputaran jarum jam CCW.
Dua sumbu Koordinat Natural s dan t berpotongan tidak harus tegak lurus. Dalam gambar diatas, akan ditentukan Koordinat Natural dari keempat node
dari elemen tersebut. Untuk itu diperhatikan Gambar 2.11 berikut ini.
Gambar 2.11 Koordinat Natural Untuk Elemen Quadrilateral
Universitas Sumatera Utara
Dalam sistem koordinat natural, keempat node dari elemen dinyatakan dalam s,t seperti Nampak pada gambar 3.12 diingatkan kembali bahwa kedua
sumbu koordinat ini tidak harus tegak lurus. Fungsi interpolasi atau fungsi displacement dalam arah x dan y adalah
us,t = N
1
u
1
+ N
2
u
2 +
N
3
u
3
+ N
4
u
4
vs,t = N
1
v
1
+ N
2
v
2 +
N
3
v
3
+ N
4
v
4
……………….2.1 Untuk Koordinat Global :
xs,t = N
1
x
1
+ N
2
x
2 +
N
3
x
3
+ N
4
x
4
ys,t = N
1
y
1
+ N
2
y
2 +
N
3
y
3
+ N
4
y
4
……………….2.2 Besarnya Shape Function untuk setiap node diperoleh dari interpolasi
Lagrange adalah 1 c . 1 D
4 1 c . 1 D
4 1 c . 1 D
4 1 c . 1 D
4 … … 2.3
Catatan: N
1
+ N
2
+N
3
+ N
4
= 1 Jumlah Shape Function dari suatu titik = 1
b. Strain Elemen – Matriks Displacement
Gunakan kembali persamaan 2.1 dan 2.2 untuk menghitung Strain dari Elemen Quadrilateral
e ec
e e
e ec Q
e e
e ec
e eD
e e
e eD Q
e e
e eD … … … … … … … … … … … 2.4
Universitas Sumatera Utara
Kedua persamaan yang terdapat pda persamaan 2.4 dalam bentuk matriks dapat ditulis
f e
ec e
ec g
e ec
e ec
e eD
e eD
e e
e e ,
- .
… … … … … … … … … … … … . 2.4
Maka : e
e e
e , -
. 1
| i | e
eD e
ec e
eD e
ec f
e ec
e eD
g … … … … … … … … . . 2.4b
Dimana : | J | = Determinan Jacobian j
e eck j
e eDk j
e eDk j
e eck
Diferensialkan persamaan 2.2 terhadap s: e
ec e
ec Q
e ec Q
e ec
Q e
ec e
ec e
l
ec
l lm
… … … … … … … … … … … 2.5
;1nopo q D p e
ec , e
eD , 0 e
eD e
ec e
l
ec
l lm
… … … … … … … … … … … 2.5
e eD
e
l
ec
l lm
… … … … … … … … … … … 2.5b
e eD
e
l
ec
l lm
… … … … … … … … … … … 2.5r
Turunan dari masing – masing Shap Function terhadap s dan t menghasilkan persamaan – persamaan berikut ini:
Universitas Sumatera Utara
e ec
1 4 1 D ,
e ec
1 4 1 c
e ec
1 4 1 D ,
e ec
1 4 1 c
e ec
1 4 1 D ,
e ec
1 4 1 c
e ec
1 4 1 D ,
e ec
1 4 1 c … … … … … … … … 2.6
Determinan Jacobian | J | dihitung sebagai berikut: | i | j
e eck j
e eDk j
e eDk j
e eck
e
l
ec
l lm
e
l
e
l lm
e
l
eD
l lm
e
l
ec
l lm
l s
l
j e
l
eD e
l
ec e
l
ec e
l
eD k
s
… … … … … … . . . . 2.7
Dalam Bentuk matriks, persamaan 2.7 ditulis sebagai
| i | f
g … … … … … … … … … … 2.7
Dimana [a] adalah matriks yang elemen – elemennya memenuhi persamaan
ls
j e
l
eD k t e
s
ec u j e
l
ec k t e
s
eD u … … … … … … … … … … 2.7b Dalam bentuk yang lebih terperinci, elemen matriks [a] masing – masing
adalah j
e eD k j
e ec k j
e ec k j
e eD k 0
j e
eD k j e
ec k j e
ec k j e
eD k
Universitas Sumatera Utara
1 4 1 c
1 4 1 D
1 4 1 D
1 4 1 Q c
1 8 1 D
j e
eD k j e
ec k j e
ec k j e
eD k 1
8 D c j
e eD k j
e ec k j
e ec k j
e eD k
1 8 c 1
Dengan seterusnya untuk semua elemen matriks [a] disimpulkan matriks [a] adalah
1 8
1 D D c
c 1 D 1
c Q 1 D Q c
c D c Q 1
D Q 1 1 c
c Q D D Q 1
… … … … … 2.8
Lihat kembali persamaan 2.4b dari persamaan tersebut ditinjau pada bagian: e
e 1
| i | e
eD e
ec e
ec e
eD … … … … … … … … … … … … … … … … 2.9 Dari persamaan 2.1 dapat ditentukan
e ec
e
l
ec
l lm
, e
eD e
l
eD
l lm
, c10 wp e
eD 0 e
ec 0oq1xy 1z 0xo q1xcn 2.5 0 q1xcn 2.5r
F bDoD cop : e
ec , e
eD , e
eD , e
ec p1 q1xn 2.9 0oq1xy 1z: e
e 1
| i |
l lm
lm
j e
l
eD e
l
ec e
l
ec e
l
eD k
s
Dalam bentuk matriks dapat ditulis: e
e 1
| i | f
g |
I
… … … … … … … … . 2.10
Universitas Sumatera Utara
Bagian kedua dari persamaan 5.4b adalah e
e 1
| i | e
eD e
ec e
ec e
eD e
e 1
| i |
l sm
lm
t e
l
eD e
s
ec e
l
ec e
s
eD u
s
Dalam Bentuk Matriks, persamaan terkahir ini ditulis sebagai e
e 1
| i | f
g |
I
… … … … … … … … . 2.11
Untuk displacement kearah vertikal =v, persamaan 2.4b diubah menjadi Ganti semua u dengan v
e e
e e ,
- .
1 | i |
e eD
e ec
e eD
e ec
f e
ec e
eD g … … … … … … … … … … … … … … . . 2.12
Dari persamaan tersebut dapat ditulis: e
e 1
| i | e
eD e
ec e
ec e
eD e
e 1
| i | f
g |
I
… … … … … … … … … 2.13
Dari persamaan 2.4b juga diperoleh: e
e 1
| i | e
eD e
ec e
ec e
eD e
e 1
| i | f
g |
I
… … … … … … … … … 2.14
Diingatkan kembail tentanf definisi dari Strain |:
Universitas Sumatera Utara
| G |
I
|
J
}
IJ
L 0on }
IJ
e e Q
e e
Ambil
~• ~J
dari persamaan 2.11 dan ambil
~\ ~I
dari persamaan 2.13 kemudian jumlahkan, maka didapatkan:
}
IJ
e e Q
e e
1 | i |
f g
Q 1
| i | f
g
F1zo ww: | G |
I
|
J
}
IJ
L €
… …
, -
. € • … … … … … … … … … . 2.15
Dari persamaan 2.10 berikut ini akan dihitung berapakah harga dari B
ij
? €
, s8
1 | i |
l ls
, ‚ 1,2,3,4 … … … … … … … … … … … … . 5.16
lm
€
,,s
0 D p ‚ 2,4,6,8 … … … … … … … … … … … . . . 5.16b ;1 w pD o ; €
„,…9†C‡
€
, s
1 | i |
l ls
, ‚ 1,2,3,4 … … … … … … … … … … … … . . 5.16r
lm
€
,s
0 D p ‚ 1,3,5,7 … … … … … … … … … … … . . . 5.160 ;1 w pD o ; €
,…C†slˆ
Universitas Sumatera Utara
Dari Persamaan 2.11 dan 2.13 diperoleh: B
3j
= B
2j+1
untuk j =1,3,5,7……………………………………..5.16e = B
1,j-1
untuk j=2,4,6,8………………………………………5.16f Agar penulisan lebih sederhana,diadakan peringksan sebagai berikut:
x
m,n
= x
m
– x
n
dan y
m,n
= y
m
- y
n
maka elemen – elemen matriks [B] dimyatakan senagai berikut: €
€ 1
8|i| c
Q D
€ €
1 8|i|
c Q D
€ €
+
1 8|i|
c Q D
€
‰
€
Š
1 8|i|
c Q D
€ €
1 8|i|
c Q D
€ €
1 8|i|
c Q D
€
+
€ 1
8|i| c
Q D
€
Š
€
‰
1 8|i|
c Q D
… … … 5.16w 0on ,
|i| 1
8 1 D
D c c 1
D 1 c Q 1
D Q c c D
c Q 1 D Q 1
1 c c Q D
D Q 1 f
g
Universitas Sumatera Utara
II.13 Program SAP 2000
Kategori