TURUNAN FUNGSI BEBERAPA VARIABEL
6.6 Menentukan Jenis Titik Ekstrim
Jika titik T (x 0 ,y 0 ,z 0 ) adalah titik stasioner dari fungsi z = f (x, y) dan berlaku ∂ z
z = 0 dan ∂
y
serta diskriminan fungsi f = ∆ , dimana 2 2 ∂ 2 f ∂ 2 f
maka berlaku ketentuan sebagai berikut:
1. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan ∂ 2 f < 0 atau ∂ 2 f < 0, maka T adalah titik maksimum
2. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan ∂ 2 > 0 atau f > 0, maka T adalah titik minimum
3. Jika di T berlaku ∆ < 0, maka T bukan titik ekstrim
4. Jika di T berlaku ∆ = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T
Contoh : Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x +y Jawab: Hitung turunan parsialnya, yaitu:
Titik stasioner didapat dari
= 0 dan ∂ = 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau y = 0,
2 sedangkan z = x 2 +y = 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner (0, 0, 0). Tentukan jenis titik stasioner ini,
maksimum atau minimum. Di titik (0, 0, 0) diperoleh ∂ ∆ z = 4 > 0, = 2 > 0 maka sesuai ketentuan di
atas, disimpulkan titik tersebut minimum.
6.7 Turunan Parsial Fungsi Parameter
Jika diketahui suatu fungsi z = f (x, y) dimana x = f(t) dan y = f(t) maka turunan parsial z terhadap parameter t adalah:
Contoh ∂ z
2 2 1. Tentukan 2 jika z – 3xy + 2yz + 5 = 0, x = t – 5t +7, dan y = sin t ∂ t
Jawab : Persamaan di atas adalah persamaan implisit. Diturunkan diperoleh: ∂ z
3 2z y – 3y + 2y =0 → (2z + 2y) = 3y → =
3 x − 2 z 2z
– 3x + 2z + 2y
→ (2z + 2y)
= 3x – 2z
2. Diketahui suatu persamaan volume silinder v = πR 2 T, dimana R = jari-jari lingkaran silinder dan T = tinggi silinder Jika pada silinder itu berlaku bahwa tingginya
berkurang dengan kecepatan 0,3 cm/detik, dan jari-jarinya bertambah dengan T kecepatan 0,5 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume silinder pada saat
R tingginya 10 cm dan jari-jari 7 cm.
Silinder
Jawab: v = πR 2 T maka = 2πRT dan = πR sedangkan
∂ T = – 0,3 cm/dt dan R ∂
= 0,5 cm/dt
Jadi kecepatan berubahnya volume silinder ∂ v
= 2 + = 2πRT 0,5 + πR (– 0,3) ∂ t
untuk T = 10 cm dan R = 7 cm maka ∂ v
2 3 = 2π 7 10 0,5 – π 7 0,3 = (70 – 14,7) π = 55,3π cm /dt ∂ t
6.8 Diferensial Total
Jika z = f (x, y) maka diferensial total dari fungsi tersebut adalah dz = ∂ z
dx + ∂ dy ∂ x
Artinya, jika pada x terjadi perubahan sebesar dx dan pada y terjadi perubahan sebesar dy maka pada z akan terjadi perubahan sebesar dz sebesar persamaan di atas.
Contoh:
1. Di lapangan akan dibuat empat persegi panjang dengan panjang 421 m dan lebar 314 m, setelah dipatok dan diukur kembali, diperoleh data baru panjangnya berubah menjadi 421,02 m dan lebarnya menjadi 313,97 m. Berapa perubahan (kesalahan) yang terjadi pada luasnya? Jawab: Luas = panjang x lebar. Misal Luas = L, panjang = x, dan lebar = y, maka L = xy
∂ L = y dan ∂ L = x, dx = 421,02 – 421 = 0,02 m dan dy = 313,97 – 314 = – 0,03 m ∂ x
∂ y ∂ L dx
∂ L dL = 2 + dy = y dx + x dy = 314 . 0,02 + 421 (– 0,03) = – 6,35 m ∂ x
2. Tentukan nilai taksiran ( 4 , 02 ) 1 , 1 sampai 3 desimal. Jawab :
Ambil harga bulat, x = 4 maka dx = 4,02 – 4 = 0,02 dan y = 1 maka dy = 1,1 – 1 = 0,1
Fungsi tersebut adalah z = x y
turunan parsialnya 1 = y x = 1. 4 = 1 dan =x ln x = 4 ln 4 = 4 ln 4
∂ z dz = z dx ∂ +
dy = y y − 1 x y dx + x ln x dy = 1. 0,02 + 4 ln 4. 0,1 ≈ 0,575
1 , 1 Jadi 1 ( 4 , 02 ) =4 + dz = 4 + 0,575 = 4,575 Check : 4,02 1,1 = 4,620071092