TURUNAN FUNGSI BEBERAPA VARIABEL

6.6 Menentukan Jenis Titik Ekstrim

Jika titik T (x 0 ,y 0 ,z 0 ) adalah titik stasioner dari fungsi z = f (x, y) dan berlaku  ∂ z 

 z  = 0 dan ∂

 y 

serta diskriminan fungsi f = ∆ , dimana 2  2 ∂ 2 f ∂ 2 f

maka berlaku ketentuan sebagai berikut:

1. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan ∂ 2 f < 0 atau ∂ 2 f < 0, maka T adalah titik maksimum

2. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan ∂ 2 > 0 atau f > 0, maka T adalah titik minimum

3. Jika di T berlaku ∆ < 0, maka T bukan titik ekstrim

4. Jika di T berlaku ∆ = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T

Contoh : Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x +y Jawab: Hitung turunan parsialnya, yaitu:

Titik stasioner didapat dari

= 0 dan ∂ = 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau y = 0,

2 sedangkan z = x 2 +y = 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner (0, 0, 0). Tentukan jenis titik stasioner ini,

maksimum atau minimum. Di titik (0, 0, 0) diperoleh ∂ ∆ z = 4 > 0, = 2 > 0 maka sesuai ketentuan di

atas, disimpulkan titik tersebut minimum.

6.7 Turunan Parsial Fungsi Parameter

Jika diketahui suatu fungsi z = f (x, y) dimana x = f(t) dan y = f(t) maka turunan parsial z terhadap parameter t adalah:

Contoh ∂ z

2 2 1. Tentukan 2 jika z – 3xy + 2yz + 5 = 0, x = t – 5t +7, dan y = sin t ∂ t

Jawab : Persamaan di atas adalah persamaan implisit. Diturunkan diperoleh: ∂ z

3 2z y – 3y + 2y =0 → (2z + 2y) = 3y → =

3 x − 2 z 2z

– 3x + 2z + 2y

→ (2z + 2y)

= 3x – 2z

2. Diketahui suatu persamaan volume silinder v = πR 2 T, dimana R = jari-jari lingkaran silinder dan T = tinggi silinder Jika pada silinder itu berlaku bahwa tingginya

berkurang dengan kecepatan 0,3 cm/detik, dan jari-jarinya bertambah dengan T kecepatan 0,5 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume silinder pada saat

R tingginya 10 cm dan jari-jari 7 cm.

Silinder

Jawab: v = πR 2 T maka = 2πRT dan = πR sedangkan

∂ T = – 0,3 cm/dt dan R ∂

= 0,5 cm/dt

Jadi kecepatan berubahnya volume silinder ∂ v

= 2 + = 2πRT 0,5 + πR (– 0,3) ∂ t

untuk T = 10 cm dan R = 7 cm maka ∂ v

2 3 = 2π 7 10 0,5 – π 7 0,3 = (70 – 14,7) π = 55,3π cm /dt ∂ t

6.8 Diferensial Total

Jika z = f (x, y) maka diferensial total dari fungsi tersebut adalah dz = ∂ z

dx + ∂ dy ∂ x

Artinya, jika pada x terjadi perubahan sebesar dx dan pada y terjadi perubahan sebesar dy maka pada z akan terjadi perubahan sebesar dz sebesar persamaan di atas.

Contoh:

1. Di lapangan akan dibuat empat persegi panjang dengan panjang 421 m dan lebar 314 m, setelah dipatok dan diukur kembali, diperoleh data baru panjangnya berubah menjadi 421,02 m dan lebarnya menjadi 313,97 m. Berapa perubahan (kesalahan) yang terjadi pada luasnya? Jawab: Luas = panjang x lebar. Misal Luas = L, panjang = x, dan lebar = y, maka L = xy

∂ L = y dan ∂ L = x, dx = 421,02 – 421 = 0,02 m dan dy = 313,97 – 314 = – 0,03 m ∂ x

∂ y ∂ L dx

∂ L dL = 2 + dy = y dx + x dy = 314 . 0,02 + 421 (– 0,03) = – 6,35 m ∂ x

2. Tentukan nilai taksiran ( 4 , 02 ) 1 , 1 sampai 3 desimal. Jawab :

Ambil harga bulat, x = 4 maka dx = 4,02 – 4 = 0,02 dan y = 1 maka dy = 1,1 – 1 = 0,1

Fungsi tersebut adalah z = x y

turunan parsialnya 1 = y x = 1. 4 = 1 dan =x ln x = 4 ln 4 = 4 ln 4

∂ z dz = z dx ∂ +

dy = y y − 1 x y dx + x ln x dy = 1. 0,02 + 4 ln 4. 0,1 ≈ 0,575

1 , 1 Jadi 1 ( 4 , 02 ) =4 + dz = 4 + 0,575 = 4,575 Check : 4,02 1,1 = 4,620071092