Fungsi Autokorelasi ACF Fungsi Autokorelasi Parsial PACF Metode Box Jenkins

14 data belum stasioner secara rata-rata maupun varians maka dilakukan transformasi data dan dilanjutkan dengan proses differencing.

2.4 Fungsi Autokorelasi ACF

Fungsi autokorelasi berarti hubungan korelasi terhadap diri sendiri, yaitu korelasi antara suatu hasil observasi dengan hasil observasi itu sendiri namun dengan time lag yang berbeda misal � dengan �+ . Menurut [12] autokorelasi pada lag ke- untuk suatu observasi deret waktu dapat diduga dengan koefisien autokorelasi sampel. � = � − �+ − � − �=1 � − 2 � �=1 , = 0,1,2, … 2.6 Dimana � = koefisien korelasi untuk lag periode ke- � = nilai observasi pada periode ke- � �+ = nilai observasi pada periode ke- � + = rata-rata nilai observasi Menurut [13], karena � merupakan fungsi terhadap lag ke- maka hubungan antara autokorelasi dengan lagnya dapat disebut sebagai fungsi autokorelasi. 15 Untuk memeriksa apakah suatu � berbeda secara nyata dari nol, dapat digunakan rumus kesalahan standar dari � yakni � = 1 �. Sehingga seluruh nilai korelasi dari barisan data yang random tidak berautokorelasi signifikan akan terletak di dalam daerah nilai tengah nol ditambah atau dikurangi nilai z- � pada taraf signifikansi 95 yakni 1,96 kali kesalahan standard.

2.5 Fungsi Autokorelasi Parsial PACF

Fungsi autokorelasi parsial menyatakan hubungan antara suatu hasil observasi dengan hasil observasi itu sendiri. Autokorelasi parsial pada lag ke- dinyatakan sebagai korelasi antara � dan �− setelah dihilangkannya efek dari variabel- variabel � −1 , �−2 , … , � − +1 . Levinson 1940 dan Durbin 1960 memberikan metode yang efisien untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan Yule-Walker untuk mendapatkan nilai autokorelasi parsial sebagai berikut. ∅ = � − ∅ −1, � − −1 =1 1 − ∅ −1, � −1 =1 2.7 Dimana ∅ = koefisien autokorelasi parsial untuk lag periode ke- . ∅ = ∅ −1, − ∅ ∅ −1, −1 , = 1,2, … − 1 16

2.6 Metode Box Jenkins

Metode Box-Jenkins atau sering disebut sebagai ARIMA Autoregressive Intergrated Moving Average merupakan integrasi dari beberapa model runtun waktu yang terlebih dahulu ada. Model Autoregressif pertama kali diperkenalkan oleh Yule 1926 dan dikembangkan oleh Walker 1931, sedangkan model Moving Average pertama kali digunakan oleh S lutzky 1937. Kemudian dasar- dasar teoritis untuk kombinasi dari kedua model ini ARMA dihasilkan oleh Wold 1938. Keseluruhan metode ini kemudian dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins 1976, dan nama mereka sering disinonimkan dengan metode ARIMA itu sendiri. 2.6.1 Proses Autoregressif AR Proses autoregressif memiliki arti regresi pada diri sendiri. Lebih spesifik, proses autoregresif � orde � menyatakan persamaan[7]: � = ∅ 1 �−1 + ∅ 2 �−2 + ⋯ + ∅ � � −� + � 2.8 Dimana diasumsikan bahwa � stasioner dan � = 0 Jadi, nilai barisan � adalah kombinasi linier dari sejumlah � nilai � terakhir di masa lampau ditambah sebuah � yang menyatakan sesuatu yang tidak dapat dijelaskan oleh nilai- nilai � di masa lampau tersebut. Selain itu � merupakan variabel acak yang independent dengan rata-rata nol. 17 Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk proses AR � secara umum dapat diperoleh sebagai berikut[7]: � = ∅ 1 � −1 + ∅ 2 � −2 + ⋯ + ∅ � � −� , untuk ≥ 1 2.9 dan varians dari proses AR � adalah[7]: = � 2 1 − ∅ 1 � 1 − ∅ 2 � 2 − ⋯ − ∅ � � � Dengan mengganti = 1,2, … , � dan � = 1 serta � − = � pada persamaan di atas maka diperoleh Persamaan Yule-Walker sebagai berikut: � 1 = ∅ 1 + ∅ 2 � 1 + ⋯ + ∅ � � � −1 � 2 = ∅ 1 � 1 + ∅ 2 + ⋯ + ∅ � � � −2 2.10 � � = ∅ 1 � �−1 + ∅ �−2 + ⋯ + ∅ � Jika diberikan nilai ∅ 1 , ∅ 2 , …, ∅ � , sistem persamaan linier ini dapat diselesaikan untuk mendapatkan � 1 , � 2 , … , � 1 dan untuk � pada orde yang lebih tinggi. Untuk keperluan identifikasi model, jika suatu deret waktu memiliki grafik fungsi autokorelasi yang turun secara eksponensial dan fungsi autokorelasi parsial terputus pada lag ke-p, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan kedalam proses AR �. 18

2.6.2 Proses Moving Average MA

Bentuk umum untuk proses MA dengan orde , ditulis MA diberikan oleh � = � − � 1 � −1 − � 2 �−2 − ⋯ − � �− 2.11 Yakni, nilai barisan � adalah kombinasi linier dari sejumlah � terakhir di masa lampau. Secara umum rumus untuk mencari nilai autokorelasi untuk proses MA secara umum dapat diperoleh sebagai berikut [7]: � = −� + � 1 � +1 + � 2 � +2 + ⋯ + � − � 1 + � 1 2 + � 2 2 + ⋯ + � 2 , = 1,2, …, 2.12 = 0 untuk ≥ + 1 Sebagai pelengkap, varians dari proses MA adalah[7]: = 1 + � 1 2 + � 2 2 + ⋯ + � 2 � 2 Sekali lagi untuk keperluan identifikasi, jika suatu deret waktu memiliki grafik fungsi autokorelasi yang terputus pada lag ke-q dan fungsi autokorelasi parsial turun secara eksponensial, maka deret waktu tersebut dapat dimasukkan kedalam proses MA . 19

2.6.3 Proses Campuran Autoregressif dan Moving Average ARMA

Jika diasumsikan bahwa suatu deret berkala memiliki model yang sebagian merupakan proses Autoregressif dan sebagian yang lain merupakan proses Moving Average maka deret tersebut akan memiliki model yang secara umum berbentuk[7]: � = ∅ 1 �−1 + ∅ 2 �−2 + ⋯ + ∅ � � −� + � − � 1 �−1 − � 2 � −2 − ⋯ − � �− Yakni � merupakan proses campuran Autoregressif Moving Average dengan orde � dan atau biasa disingkat dengan nama ARMA �, .

2.6.4 Operator Backshift

Operator backshift yang dinyatakan dengan B merupakan sebuah operator dengan penggunaan sebagai berikut[12]: �� � = � �−1 Dengan kata lain, notasi � yang dipasang pada � � mempunyai pengaruh menggeser data satu periode ke belakang. Operator backshift sering digunakan untuk menggambarkan proses pembedaan differencing untuk membuat data yang rata-ratanya tidak stasioner menjadi lebih dekat ke bentuk stasioner. Berikut ini gambaran pembedaan menggunakan operator backshift. Misalkan � � ′ merupakan pembedaan pertama dari � � 20 � � ′ = � � − � �−1 � � ′ = � � − �� � = 1 − � � � Perhatikan bahwa pembedaan pertama dinyatakan dengan 1 − � . Untuk pembedaan orde kedua perhatikan penggambaran berikut: � � = �′ � − �′ � −1 = � � − � �−1 − � �−1 − � �−2 = � � − 2� �−1 − � �−2 = 1 − 2� + � 2 � � = 1 − � 2 � � Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua dinya takan dengan 1 − � 2 , hal ini penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan orde kedua tidak sama dengan pembedaan kedua.

2.6.5 Model Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA

Suatu deret berkala � dikatakan mengikuti model Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA jika pembedaan orde ke- dari � merupakan proses ARMA yang stasioner yakni � � = 1 − � � . Karena � � adalah proses ARMA �, , maka � dapat disebut sebagai proses ARIMA �, , . Dalam bentuk operator backshift model ARIMA dapat ditulis sebagai berikut, 21 ∅ � 1 − � � = � � � dimana ∅ � = 1 − ∅ 1 � − ∅ 2 � 2 − ⋯ − ∅ � � � adalah operator backshift proses AR � � = 1 − � 1 � − � 2 � 2 − ⋯ − � � � � adalah operator backshift proses MA 1 − � = operator differencing ordo ke- .

2.6.6 Konstanta pada Model ARIMA

Asumsi dasar yang selalu dipakai oleh semua model, dimulai dari model AR hingga model ARIMA, adalah bahwa model - model tersebut stasioner dan memiliki rata – rata nol. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana jika model – model tersebut memiliki nilai rata – rata konstan bukan nol. Model stasioner ARMA � � yang memiliki rata – rata konstan bukan nol dapat dibentuk sebagai berikut[7]: � � − = ∅ 1 � � −1 − + ∅ 2 � � −2 − + ⋯ + ∅ � � � −� − + � − � 1 �−1 − � 2 �−2 − ⋯ − � �− Atau � � = ∅ 1 � � −1 + ∅ 2 � � −2 + ⋯ + ∅ � � � −� + � + � − � 1 � −1 − � 2 �−2 − ⋯ − � �− Dimana � = − ∅ 1 + ∅ 2 + ⋯ + ∅ � 22

2.7 Model