Pengertian Segi Empat Tali Busur Sifat-Sifat Segi Empat Tali Busur

159 Lingkaran Perhatikan sudut keliling ‘ ABC dan ‘ ADC. 1 ABC AOD DOC 2 1 ADC AOB BOC 2 ‘ u ‘ ‘ ‘ u ‘ ‘ Dengan demikian diperoleh 1 1 ABC ADC AOD DOC 2 2 AOB BOC 1 AOD DOC AOB BOC 2 1 360 2 180 ‘ ‘ u ‘ ‘ u ‘ ‘ u ‘ ‘ ‘ ‘ u q q Sekarang, perhatikan sudut keliling ‘ BAD dan ‘ BCD. 1 BAD BOC COD 2 1 BCD BOA AOD 2 ‘ u ‘ ‘ ‘ u ‘ ‘ Dengan demikian, diperoleh 1 1 BAD BCD BOC COD 2 2 BOA AOD 1 BOC COD BOA AOD 2 1 360 2 180 ‘ ‘ u ‘ ‘ u ‘ ‘ u ‘ ‘ ‘ ‘ u q q Jadi, ‘ ABC + ‘ ADC = 180 o dan ‘ BAD + ‘ BCD = 180 o . Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur adalah 180 o . Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.23. Pada gambar di samping, p QS adalah diameter lingkaran sekaligus diagonal segi empat PQRS. Karena ‘ QPS dan ‘ QRS adalah sudut keliling, maka besar ‘ QPS = ‘ QRS = 90 o . Segi empat PQRS selanjutnya disebut segi empat tali busur siku-siku. A D C O B Gambar 6.22 P S R O Q Gambar 6.23 160 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Segi empat tali busur yang salah satu diagonalnya merupakan diameter lingkaran disebut segi empat tali busur siku-siku. Perhatikan Gambar 6.24. Pada gambar tersebut, KM dan LN adalah diameter lingkaran, ‘ KLM dan ‘ KNM adalah sudut keliling yang menghadap diameter KM , sedangkan ‘ LKN dan ‘ LMN adalah sudut keliling yang menghadap diameter LN . Dengan demikian, ‘ KLM = ‘ KNM = ‘ LKN = ‘ LMN = 90 o . Karena keempat sudutnya siku-siku, akibatnya KL NM, KN LM, KL = NM , dan KN = LM , dengan KM dan LN adalah diagonal-diagonal segi empat KLMN. Dengan kata lain, segi empat KLMN adalah suatu persegi panjang. Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan di- ameter lingkaran akan membentuk bangun persegi panjang. Selanjutnya, bagaimanakah jika kedua diagonal segi empat tali busur merupakan diameter lingkaran dan saling berpotongan tegak lurus? Bangun apakah yang terbentuk? Apakah terbentuk bangun persegi panjang? Agar kalian dapat menjawabnya, perhatikan Gambar 6.25. Pada Gambar 6.25, AC dan BD adalah diameter lingkaran dengan AC BD A . Karena ‘ ABC, ‘ BCD, ‘ CDA, dan ‘ DAB adalah sudut-sudut keliling yang menghadap diameter, besar ‘ ABC = ‘ BCD = ‘ CDA = ‘ DAB = 90 o . Sekarang, perhatikan BOC. Jika BOC kita putar sejauh 90 o berlawanan arah putaran jarum jam dengan titik O sebagai titik putar maka diperoleh OB OC, OC OD, dan BOC COD o o ‘ o ‘ . Dengan demikian, BC CD o atau BC CD . Analog dengan cara di atas, dapat ditunjukkan bahwa CD DA AB , sehingga BC CD DA AB . Dengan kata lain, segi empat ABCD adalah bangun persegi. Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus akan membentuk bangun persegi. N M L O K Gambar 6.24 B C D O A Gambar 6.25 161 Lingkaran Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Perhatikan gambar di bawah. ABCD adalah segi empat tali busur de- ngan ‘ ABC = 80 o dan ‘ ADC = 100 o . Tentukan a. besar ‘ BCD; b. besar ‘ BAD. 2. F G H O E 75 o Perhatikan gambar di atas. a. Jika ‘ EOF = 75 o , tentukan besar sudut yang lain. b. Apakah jenis FOG? c. Bangun apakah EFGH? 3. P S R O Q 35 o Perhatikan gambar di atas. Diketahui PR dan QS adalah diameter lingkaran. a. Jika ‘ OPS = 35 o , tentukan besar sudut yang lain. b. Bangun apakah PQRS? c. Sebutkan dua pasang segitiga pada segi empat PQRS yang sama dan sebangun. O A B D C 4. K L M O N Dari gambar di atas, KLMN adalah segi empat tali busur dengan diagonal KM dan LN merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus. a. Tentukan besar semua sudut pada segi empat KLMN. b. Bangun apakah KLMN? c. Jika panjang jari-jari lingkaran adalah r, tentukan luas segi empat KLMN. 5. C D A O B F E G H Perhatikan gambar di atas. Diketahui ABCD adalah segi empat tali busur dengan ‘ DCG, ‘ ADH, ‘ BAE, dan ‘ CBF adalah sudut luar segi empat ABCD. a. Buktikan bahwa besar ‘ DCG = ‘ BAD. b. Jika ‘ ABC = 80 o , tentukan besar sudut yang lain. 162 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

F. SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR

PENGAYAAN Dua tali busur dari sebuah lingkaran dapat berpotongan di dalam lingkaran atau berpotongan di luar lingkaran pada perpanjangan kedua tali busur itu. Agar kalian lebih memahaminya, perhatikan Gambar 6.26 berikut. Pada Gambar 6.26 a, tali busur AC dan BD berpotongan di dalam lingkaran, sedangkan Gambar 6.26 b menunjukkan tali busur DG dan EF berpotongan pada perpanjangan kedua tali busur itu di luar lingkaran. Pada bagian ini kita akan menentukan besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam atau di luar lingkaran.

1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di Dalam Lingkaran

Perhatikan Gambar 6.27. Lingkaran dengan pusat di titik O dengan titik E adalah titik potong antara tali busur AC dan BD . Dari gambar tersebut tampak bahwa ‘ AEB, ‘ BEC, ‘ CED, dan ‘ AED adalah sudut di dalam lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan antara tali busur AC dan BD . Dari gambar tersebut diperoleh a. ‘ BDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC, sehingga 1 BDC= BOC; 2 ‘ u ‘ b. ‘ ACD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD, sehingga 1 ACD= AOD. 2 ‘ u ‘ Perhatikan bahwa ‘ BEC adalah sudut luar CDE, sehingga o o o BEC = 180 CED 180 180 CDE ECD CDE ECD ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ C D A O B E Gambar 6.27 C D A O B E F G D O E H Gambar 6.26 a b 163 Lingkaran BDC+ ACD 1 1 BOC AOD 2 2 1 BOC AOD 2 ‘ ‘ § · § · u ‘ u ‘ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ u ‘ ‘ Analog dengan cara di atas, maka diperoleh 1 AEB AOB COD 2 1 CED COD AOB 2 1 AED AOD BOC 2 ‘ u ‘ ‘ ‘ u ‘ ‘ ‘ u ‘ ‘ Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu. Gambar 6.28 Pada gambar di atas, dike- tahui besar ‘ POQ = 60 o dan besar ‘ ROS = 230 o . Tentukan besar ‘ PTQ. Penyelesaian: 1 PTQ POQ ROS 2 1 60 130 2 95 ‘ u ‘ ‘ u q q q Q P R S O T

2. Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan Di Luar Lingkaran

Perhatikan Gambar 6.29 berikut. Titik O adalah titik pusat lingkaran, sedangkan LK dan MN adalah dua tali yang jika diperpanjang akan berpotongan di titik P, di mana titik P di luar lingkaran, sehingga terbentuk ‘ KPN.