Aisyah Purnama Dewi MATEMATIKA WAJIB UNT

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar berjudul “Lembar Kegiatan Siswa (LKS) Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Berbasis Teori Variasi pada Matematika Kelompok Wajib Kurikulum 2013 Untuk Siswa Kelas X SMA/MA Semester 1” dengan baik. Shalawat beserta salam tak lupa senantiasa tercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW yang telah membawa kita dari kegelapan menuju cahaya.

Bahan ajar berupa LKS dibuat untuk memfasilitasi pembelajaran siswa terutama pada pokok bahasan Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear agar siswa dapat mengembangkan diri secara aktif dan maksimal. Adapun LKS ini disusun berdasarkan teori variasi, dimana siswa akan belajar berbasis penemuan konsep matematika dengan mengamati variasi yang diberikan dan mencari pola yang ada. Sehingga siswa dapat menemukan titik-titik kritis dari suatu materi dengan cara berpikir yang telah biasa digunakan siswa dalam kehidupan sehari-hari (membandingkan, mencari pola, menghubungkan, dan menarik kesimpulan).

Sebagaimana pepatah “Tak ada gading yang tak retak”, penulis menyadari bahwa bahan ajar ini belumlah sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharap kritik dan saran demi perbaikan tugas-tugas penulis selanjutnya secara pribadi maupun kebermanfaatan bagi guru sebagai praktisi pendidikan dan siswa sebagai pengguna. Semoga bahan ajar ini dapat bermanfaat dan dimanfaatkan dengan sebaik-baiknya.

Yogyakarta, Oktober 2015 Penulis,

Aisyah Purnama Dewi

DAFTAR ISI

Hal Halaman Judul .................................................................................. i Halaman Penulis ................................................................................. ii Kata Pengantar .............................................................................. iii Daftar Isi ............................................................................. iv LKS 1: Mengenal Sistem Persamaan Linear (SPL) ..................... 5-25 LKS 2: Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) ............. 26-48 LKS 3: Mengenal & Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan

Linear Dua Variabel (SPtLDV) ....................................... 49-65 Daftar Pustaka ................................................................................. 66

LEMBAR KEGIATAN SISWA

MENGENAL

SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

Tujuan Pembelajaran

Setelah menggunakan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) 1 ini, kamu akan dapat:

 Menemukan Konsep SPLDV dan SPLTV  Menemukan Konsep Solusi pada SPLDV dan SPLTV  Menemukan Jenis SPLDV berdasarkan konstanta dan solusinya

Pengantar

Gambar 1 1 Sistem Komputer

Gambar 1 2 Ketua Kelas

Pada kehidupan sehari-hari, kita sudah terbiasa menggunakan istilah ‘sistem’. Kita menyebut kumpulan komponen yang terdiri dari perangkat keras (hardware), perangkat lunak (software), dan pengguna (brainware) sebagai sistem komputer. Selain itu, kita sudah terbiasa melihat bagan susunan kepengurusan kelas. Susunan tersebut ternyata juga mewakili suatu sistem yang disebut sistem kerja pengurus kelas. Sistem sendiri merupakan kumpulan komponen-komponen yang saling berkaitan untuk menjalankan fungsi tertentu. Lalu, apa yang dimaksud Sistem Persamaan Linear (SPL) dalam matematika? Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai hal tersebut, lakukanlah kegiatan pada LKS ini.

1. Menemukan Konsep SPLDV dan SPLTV

Aktivitas 1.1

MENEMUKAN KONSEP PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PLDV)

(CONTRAST: Membandingkan Contoh dan Bukan Contoh PLDV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 1 dan 2 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.

Perhatikan dan lengkapi tabel 1, kemudian jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.

Tabel 1 Contoh dan Bukan Contoh PLDV

No Contoh PLDV Bukan Contoh PLDV

1 Sebuah bingkai foto memiliki keliling Sebuah bingkai foto memiliki luas

80 cm. 2 375 cm .

Misalkan panjang bingkai adalah x dan Misalkan panjang bingkai adalah x dan lebar bingkai adalah y, maka hubungan lebar bingkai adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika dinyatakan sebagai model matematika

2 Terdapat dua bilangan dimana lima Terdapat dua bilangan dimana lima kali bilangan pertama sama dengan kali bilangan pertama sama dengan dua kali bilangan kedua dikurang 10. kuadrat bilangan kedua dikurang 10.

Misalkan bilangan pertama adalah x dan Misalkan bilangan pertama adalah x bilangan kedua adalah y, maka dan bilangan kedua adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model dapat dinyatakan sebagai model

matematika 5 = 2 − 10. matematika 5 = − 10.

3 Sebuah atap rumah memiliki sisi Sebuah atap rumah memiliki sisi berbentuk segitiga sama kaki dengan berbentuk segitiga siku-siku dengan keliling 17 meter.

keliling 17 meter.

Gambar 1 3 Atap Segitiga Gambar 1 4 Atap Segitiga

Sama Kaki Siku-siku

Misalkan panjang sisi sama kaki dari Misalkan panjang sisi pertama dari segitiga adalah x dan panjang alas dari segitiga adalah x , panjang sisi kedua segitiga adalah y, maka hubungan x dan dari segitiga adalah y, dan panjang sisi y dari kalimat di atas dapat dinyatakan ketiga dari segitiga adalah z, maka sebagai model matematika 2 + = hubungan x, y, z dari kalimat di atas

17. dapat dinyatakan sebagai model matematika + + = 17.

1. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh PLDV 1 pada tabel 1di atas?

Model matematika dari contoh merupakan persamaan linear dengan dua variabel, sedangkan bukan contoh merupakan bukan persamaan linear karena memuat xy sehingga pangkat tertinggi dari variabelnya adalah2.

2. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh PLDV 2 pada tabel 1di atas?

Model matematika dari contoh merupakan persamaan linear dengan dua variabel, sedangkan bukan contoh merupakan bukan persamaan

2 linear karena memuat x sehingga pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

3. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh PLDV 3 pada tabel 1 di atas?

Model matematika dari contoh merupakan persamaan linear dengan dua variabel, sedangkan bukan contoh merupakan persamaan linear dengan tiga variabel.

4. Jelaskan mengenai pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dengan kata-katamu sendiri berdasarkan jawaban-jawabanmu pada nomor sebelumnya.

Sebuah persamaan disebut Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) apabila persamaan tersebut linear yakni dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah 1, serta memiliki dua variabel.

5. Nyatakan Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dalam bentuk umum berikut.

(persamaan)

dimana

x, y : variabel

a : koefisien dari x

b : koefisien dari y

c : konstanta persamaan.

MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PLDV)

(GENERALIZATION: Membawa Representasi Lain dari Solusi PLDV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 3 dan 4 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat. Perhatikan persoalan berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.

“Ibu ingin membeli dua jenis buah untuk acara di rumah dengan total berat 5 kg. Buah yang ibu pilih adalah apel dan jeruk. Berapa kemungkinan berat masing-masing jenis buah yang dapat dibeli ibu?”

1. Misalkan berat apel adalah x dan berat jeruk adalah y, dapatkah kamu menentukan model matematika dari persoalan di atas?

Misalkan berat apel adalah x dan berat jeruk adalah y, maka model matematika dari persoalan di atas adalah + = 5.

2. Isilah tabel berikut dengan mengganti nilai variabel-variabel dari persamaan yang kamu temukan.

Berat apel

3. Nyatakan kemungkinan jawaban (solusi) dari berat apel dan berat jeruk sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi persamaan.

4. Gambarlah setiap pasangan variabel x dan y dari tabel berat apel dan jeruk sebagai sebuah titik pada bidang koordinat kartesius di bawah ini. Hubungkan titik-titik tersebut.

5. Berapa banyak kemungkinan jawaban (solusi) dari berat apel dan berat jeruk bila dilihat dari grafik yang kamu buat? Jelaskan.

Terdapat banyak kemungkinan jawaban karena grafik merupakan garis lurus.

6. Jelaskan mengenai solusi Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dengan kata- katamu sendiri berdasarkan jawaban-jawabanmu pada nomor sebelumnya.

Solusi Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) merupakan himpunan pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi persamaan. Terdapat banyak kemungkinan solusi dari PLDV.

Aktivitas 1.2

MENEMUKAN KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

(CONTRAST: Membandingkan Contoh dan Bukan Contoh SPLDV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 5 dan 6 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.

Perhatikan Tabel 2 dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.

Tabel 2 Contoh dan Bukan Contoh SPLDV

No Contoh SPLDV Bukan Contoh SPLDV

1 Andi dan Rahmat pergi ke pasar untuk Andi dan Rahmat pergi ke pasar untuk

menggantikan ibu mereka berbelanja. menggantikan ibu mereka berbelanja. Andi membeli dua ikat bayam dan satu Andi membeli dua ikat bayam dan satu kotak tahu seharga Rp. 9.000,-, kotak tahu seharga Rp. 9.000,-, sedangkan Rahman membeli satu ikat sedangkan Rahman membeli satu ikat bayam dan tiga kotak tahu seharga Rp. bayam dan tiga buah tempe seharga 17.000,-.

Rp. 17.000,-.

2 Terdapat sebuah persegi panjang Terdapat sebuah persegi panjang dengan keliling 38 cm. Panjang dengan keliling 42 cm. Luas persegi

persegi panjang sama dengan tiga kali 2 panjang tersebut adalah 84 cm . lebarnya ditambah 3.

1. Isilah tabel berikut dengan model matematika dari Tabel 2.

Model Matematika Contoh SPLDV Model Matematika Bukan Contoh SPLDV

1 Misalkan harga satu ikat bayam adalah Misalkan harga satu ikat bayam x dan harga satu kotak tahu adalah y, adalah x, harga satu kotak tahu adalah maka model matematika dari y, dan harga sebuah tempe adalah z, persoalan di atas adalah 2 + = maka model matematika dari 9000 dan + 3 = 17000.

persoalan di atas adalah 2 + = 9000 dan + 3 = 17000.

2 Misalkan panjang persegi panjang Misalkan panjang persegi panjang adalah x dan lebar persegi panjang adalah x dan lebar persegi panjang adalah y, maka model matematika dari adalah y, maka model matematika dari persoalan di atas adalah 2 + 2 = 38 persoalan di atas adalah 2 + 2 = dan 2 = 3 + 3.

38 dan

2. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh 1 pada tabel di atas?

Model matematika dari contoh 1 terdiri dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama yaitu x,y , sedangkan bukan contoh terdiri dari dua persamaan linear dengan tiga variabel yaitu x,y,z.

3. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh 2 pada tabel di atas?

Model matematika dari contoh terdiri dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama yaitu x,y , sedangkan bukan contoh terdiri dari sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan tidak linear dengan variabel yang sama yaitu x,y.

4. Jelaskan mengenai Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan kata- katamu sendiri berdasarkan jawaban-jawabanmu pada nomor sebelumnya.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan himpunan beberapa Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) yang saling berkaitan.

5. Nyatakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dalam bentuk umum berikut.

(persamaan 1)

= (persamaan 2)

a, d : koefisien dari x

b, e

: koefisien dari y

c,f

: konstanta persamaan.

Aktivitas 1.3

MENEMUKAN KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

Perhatikan contoh persoalan sehari-hari mengenai Sistem Persamaan Linear berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.

“Sebuah keluarga memiliki tiga orang anak, yakni anak pertama yang bernama Ara, anak kedua yang bernama Bara, dan anak terakhir yang bernama Dara. Jumlahan umur Ara,

Bara, dan Dara adalah 20 tahun. Selisih umur Ara dan Dara sama dengan umur Bara, sedangkan jumlahan umur Ara dan Bara sama dengan empat kali umur Dara.”

1. Buatlah model matematika dari persoalan di atas. Nyatakan setiap persamaan dalam bentuk yang seragam.

Misalkan umur Ara dari segitiga adalah x , umur Bara adalah y, dan umur Dara adalah z, maka hubungan x, y, z dari kalimat di atas dapat dinyatakan

sebagai model matematika + + = 20, − − = 0, dan + −

2. Persoalan di atas merupakan contoh persoalan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Jelaskan pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan bahasamu sendiri.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan himpunan beberapa Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV) yang saling berkaitan.

3. Nyatakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV) dalam bentuk umum berikut.

+ = (persamaan 1)

=ℎ (persamaan 2)

+ + = (persamaan 3)

dimana x,y,z

: variabel

a,e,i

: koefisien dari variabel x

b,f,j

:koefisien dari variabel y

c,g,k

: koefisien dari variabel z

d,h,l

: konstanta persamaan.

2. Menemukan Konsep Solusi pada SPLDV dan SPLTV

Aktivitas 2.1

MENEMUKAN KONSEP SOLUSI PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

(CONTRAST: Membandingkann Contoh dan Bukan Contoh Solusi SPL; GENERALIZATION: Menampilkan Representasi Grafik dari Solusi SPL)

Perhatikan Tabel 3 dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.

Tabel 3 Solusi dan Bukan Solusi SPL

No SPL

Bukan Solusi SPL

Solusi SPL

1 Andi dan Rahmat pergi ke pasar Solusi dari SPLDV di Solusi dari SPLDV untuk menggantikan ibu mereka samping

bukanlah tersebut adalah

berbelanja. Andi membeli dua (2500, 3500). Harga (2000, 5000). Harga ikat bayam dan satu kotak tahu satu

ikat

bayam satu ikat bayam

seharga Rp. 9.000,-, sedangkan bukanlah Rp. 2.500,- adalah Rp. 2.000,- Rahman membeli satu ikat dan harga satu kotak dan harga satu bayam dan tiga kotak tahu tahu bukanlah Rp. kotak tahu adalah seharga Rp. 17.000,-. Harga 3.500,-.

Rp. 5.000,-. satu ikat bayam dan satu kotak tahu adalah .............dan ...........

Solusi dari SPLDV di samping

bukanlah

(1000, 7000). Harga satu

ikat

bayam

bukanlah Rp. 1.000,- dan harga satu kotak tahu bukanlah Rp. 7.000,-.

2 Sebuah keluarga memiliki tiga Solusi dari SPLTV di Solusi dari SPLTV orang anak, yakni anak pertama samping bukanlah (10, di samping adalah yang bernama Ara, anak kedua

5, 3). Umur Ara, Bara, (10, 6, 4). Umur

yang bernama Bara, dan anak dan Dara berturut-turut Ara, Bara, dan Dara terakhir yang bernama Dara. bukanlah 10 tahun, 5 berturut-turut Jumlahan umur Ara, Bara, dan tahun, dan 3 tahun.

adalah 10 tahun, 6 Dara adalah 20 tahun. Selisih tahun, dan 4 tahun.

umur Ara dan Dara sama Solusi dari SPLTV di dengan umur Bara, sedangkan samping bukanlah (12, jumlahan umur Ara dan Bara

5, 3). Umur Ara, Bara,

sama dengan empat kali umur dan Dara berturut-turut

Dara. Umur Ara, Bara, dan Dara bukanlah 12 tahun, 5 berturut-turut adalah ..., ..., dan tahun, dan 3 tahun. ... tahun.

1. Mengapa pasangan berurutan (2500, 3500), (1000, 7000) bukanlah solusi dan (2000, 5000) ialah solusi dari SPL 1 pada tabel 3 di atas?

Pasangan berurutan (2500, 3500) dan (1000, 7000) bukanlah solusi dari

SPL 1 karena tidak memenuhi semua persamaan linear dari SPLDV ketika disubtitusikan nilainya ke persamaan. Pasangan berurutan (2000, 5000) adalah solusi dari SPL 1 karena memenuhi semua persamaan linear dari SPLDV ketika disubtitusikan nilainya ke persamaan.

2. Jelaskan pengertian solusi SPLDV dengan melengkapi kalimat di bawah ini.

Solusi SPLDV adalah nilai x, y yang memenuhi seluruh persamaan linear dari SPLDV. Solusi dari SPLDV dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan x dan y yaitu (x, y) atau juga dapat dinyatakan

dengan himpunan penyelesaian, HP = {(x, y)}.

3. Mengapa pasangan berurutan (10, 5, 3) dan (12, 5, 3) bukanlah solusi dari SPL

2 pada tabel 3 di atas?

Pasangan berurutan (10, 5, 3) dan (12, 5, 3) bukanlah solusi dari SPL 2 karena tidak memenuhi semua persamaan linear dari SPLTV ketika disubtitusikan nilainya ke persamaan.

4. Jelaskan pengertian solusi SPLTV dengan melengkapi kalimat di bawah ini.

Solusi SPLTV adalah nilai x, y, z yang memenuhi seluruh persamaan linear dari SPLTV. Solusi dari SPLTV dapat dinyatakan sebagai

pasangan berurutan x, y, z yaitu (x, y, z) atau juga dapat dinyatakan dengan himpunan penyelesaian, HP = {(x, y, z)}.

5. Buatlah grafik dari SPLDV pada tabel di atas, lalu tentukan posisi (2500, 3500), (1000, 7000) dan (1000, 5000). (Buatlah grafik dengan mencari titik potong persamaan dengan sumbu x dan y)

6. Berdasarkan grafik SPLDV yang kamu buat, dimanakah letak solusi SPLDV dan bukan solusi SPLDV tersebut?

Solusi SPLDV terletak pada kedua garis pembentuk SPLDV, sedangkan bukan solusi SPLDV terletak hanya di salah satu garis pembentuk SPLDV maupun tidak di kedua garis SPLDV.

3. Menemukan Jenis SPLDV Berdasarkan Konstanta dan Solusinya

Aktivitas 3.1

MENEMUKAN JENIS SPLDV BERDASARKAN KONSTANTANYA Perhatikan Tabel 4 di bawah ini dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. (SEPARATION: Membuat salah satu komponen tetap yakni koefisien variabel dan

membuat komponen lain bervariasi yakni konstanta persamaan)

Tabel 4 SPLDV Homogen dan Non-Homogen

No SPLDV Homogen SPLDV Non-Homogen

1. Berdasarkan tabel di atas, apakah SPLDV Homogen?

SPLDV Homogen adalah salah satu jenis SPLDV yang semua konstanta persamaannya bernilai 0 secara bersamaan.

2. Tentukan bentuk umum SPLDV Homogen berdasarkan pengertian SPLDV yang kamu buat pada nomor sebelumnya.

dimana x, y

: variabel

a, c

: koefisien dari x

b, d

: koefisien dari y

3. Berdasarkan tabel di atas, apakah SPLDV Non-Homogen?

SPLDV Homogen adalah salah satu jenis SPLDV yang semua konstanta persamaannya tidak bernilai 0 secara bersamaan.

4. Bentuk umum dari SPLDV Non-Homogen adalah

dimana x, y

: variabel

a, c

: koefisien dari x

b, d

: koefisien dari y

e,f

: konstanta persamaan dengan nilai tidak sama

dengan 0 secara bersamaan.

Aktivitas 3.2

SOLUSI SPLDV HOMOGEN

Perhatikan Tabel 5 berikut dan jawablah pertanyaan di bawah ini. (FUSION: Menggabungkan dua aspek kritis, yakni jenis SPLDV berdasarkan konstantanya

dan konsep solusi)

Tabel 5 Solusi SPLDV Homogen

No SPLDV Bersolusi Trivial SPLDV Bersolusi Non-Trivial

3+6=0 Solusi SPLDV adalah (0, 0).

Solusi SPLDV adalah (0, 0), (2, 1), (-1, 1/2 ), dsb.

Solusi SPLDV adalah (0, 0), (1, -3), Solusi SPLDV adalah (0, 0).

(-2, 6), dsb.

Solusi SPLDV adalah (0, 0). Solusi SPLDV adalah (0, 0), (3, -2), (-3, 2), dsb.

1. Berdasarkan tabel di atas, apakah yang dimaksud SPLDV Homogen bersolusi trivial?

SPLDV Homogen bersolusi trivial adalah SPLDV Homogen yang

solusinya hanyalah (0,0).

2. Berdasarkan tabel di atas, apakah yang dimaksud SPLDV Homogen bersolusi non- trivial?

SPLDV Homogen bersolusi non-trivial adalah SPLDV Homogen yang

solusinya banyak.

3. Jika terdapat SPLDV

1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 adalah koefisien dari

= 0 dengan a

variabel x,y, kapankah solusi SPLDV tersebut trivial?

SPLDV Homogen tersebut akan bersolusi trivial jika ≠ .

4. Jika terdapat SPLDV

1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 adalah koefisien dari

= 0 dengan a

variabel x,y, kapankah solusi SPLDV tersebut non-trivial?

SPLDV Homogen tersebut akan bersolusi non-trivial jika = .

GRAFIK SPLDV HOMOGEN

(GENERALIZATION : Membawa Representasi Grafik) Perhatikan Tabel 5 pada bagian sebelumnnya. Buatlah grafik dua SPLDV bersolusi trivial dan dua SPLDV bersolusi non-trivial dari Tabel 5.(Petunjuk: buatlah grafik persamaan dengan menentukan dua titik dari masing-masing persamaan)

No Grafik SPLDV Bersolusi Trivial Grafik SPLDV Bersolusi Non-Trivial

1. Berdasarkan grafik pada tabel 5 di atas, kapankah sebuah SPLDV Homogen akan memiliki solusi trivial? (Hubungkan dengan gradien)

SPLDV Homogen akan memiliki solusi trivial jika gradien kedua garis

pembentuk SPLDV tidak sama.

2. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Homogen akan memiliki solusi non-trivial? (Hubungkan dengan gradien)

SPLDV Homogen akan memiliki solusi non-trivial jika gradien kedua garis

pembentuk SPLDV sama, sehingga kedua garis berhimpit.

SOLUSI SPLDV NON-HOMOGEN

(FUSION: Menggabungkan dua aspek kritis, yakni jenis SPLDV berdasarkan konstantanya dan konsep solusi) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 7, 8, dan 9 pada Tes Pemahaman Awal berdasarkan konsep koefisien dan konstanta SPLDV dengan tepat.

Perhatikan tabel jenis SPLDV Homogen berikut dan isilah titik-titik di bawah ini.

Tabel 6 Solusi SPLDV Non-Homogen

No SPLDV Bersolusi

SPLDV Tidak Tunggal

SPLDV Bersolusi Banyak

Memiliki Solusi

1. Jika terdapat SPLDV

1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 adalah koefisien dari

= dengan a

variabel x,y dan c 1 ,c 2 adalah konstanta persamaan, kapankah solusi SPLDV tersebut tunggal?

SPLDV tersebut akan bersolusi tunggal jika ≠ ≠ .

2. Jika terdapat SPLDV

1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 adalah koefisien dari

= dengan a

variabel x,y dan c 1 ,c 2 adalah konstanta persamaan, kapankah SPLDV tersebut memiliki solusi banyak?

SPLDV tersebut akan bersolusi banyak jika = = .

3. Jika terdapat SPLDV

1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 adalah koefisien dari

= dengan a

variabel x,y dan c 1 ,c 2 adalah konstanta persamaan, kapankah SPLDV tersebut tidak memiliki solusi?

SPLDV tersebut tidak memiliki solusi jika = ≠ .

GRAFIK SPLDV NON-HOMOGEN

(GENERALIZATION: Membawa Representasi Grafik)

Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 7, 8, dan 9 pada Tes Pemahaman Awal berdasarkan grafik SPLDV dengan tepat

Perhatikan Tabel 6 pada bagian sebelumnya. Buatlah grafik masing-masing satu SPLDV bersolusi tunggal, banyak, dan tidak memiliki solusi dari Tabel 6.(Petunjuk: buatlah grafik persamaan dengan menentukan dua titik potong pada sumbu x dan y dari masing-masing persamaan)

1 Grafik SPLDV Bersolusi Tunggal

2 Grafik SPLDV Bersolusi Banyak

3 Grafik SPLDV Tidak Memiliki Solusi

1. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi tunggal?

SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi tunggal jika garis pembentuk SPLDV berpotongan di satu titik.

Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV

2. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi banyak?

SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi banyak jika garis pembentuk

SPLDV berhimpit.

3. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Non-Homogen tidak memiliki solusi?

SPLDV Non-Homogen tidak memiliki solusi jika garis pembentuk SPLDV sejajar.

Latihan Soal

Selesaikan persoalan-persoalan berikut sesuai dengan petunjuk pada setiap nomor.

1. Identifikasi sistem persamaan berikut dengan membubuhi tanda (√)

Alasan Sistem Persamaan Bukan

SPLDV SPLTV

SPL

SPL tersebut dapat = −12

dinyatakan sebagai x + 0y = 2 0x + y = −12.

SPL mengandung sebuah + =2

persamaan tidak linear, yaitu +=4

+ = 2 atau = 2. −1

SPL tersebut terdiri dari dua =2

+3 persamaan linear dengan dua

3 − = 11 variabel. 2−=0

SPL tersebut terdiri dari dua +=0

persamaan linear dengan tiga variabel. 2−=0

SPL mengandung sebuah persamaan tidak linear, yaitu

+=0 + y = 2 atau

2. Tentukan nilai a sehingga sistem persamaan berikut memiliki penyelesaian tak trivial.

A gar sistem persamaan memiliki solusi tak trivial, maka gradien dari persamaan linear pembentuk sistem haruslah sama,

Maka, nilai a haruslah 2 atau 4 untuk memperoleh sebuah sistem

persamaan dengan solusi tak trivial.

3. Buatlah sebuah sistem persamaan linear yang memiliki banyak solusi jika salah satu persamaannya adalah = −5 + 4. Jelaskan.

Sistem persamaan linear akan memiliki banyak solusi jika = =

dengan a, b, d, e adalah koefisien dari variabel x,y dan c,f adalah konstanta persamaan dari. Sehingga untuk membuat sebuah sistem persamaan linear

yang memiliki banyak solusi jika salah satu persamaannya adalah = −5 + 4 dibutuhkan persamaan lain yaitu

+4, dimana m adalah konstanta.

4. Buatlah model matematika dari persamaan berikut dan tentukan jenis solusinya tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dahulu. “Seorang desainer ingin mencetak hasil desainnya dengan dua jenis kertas, kertas reguler dan mengkilat. Dia pergi ke percetakan dan menemukan dua jenis paket untuk mencetak pada kertas reguler dan mengkilat. Setiap paket menawarkan jumlah pencetakan yang berbeda untuk setiap jenis kertasnya. (Lihat tabel)”

Harga

Reguler

Mengkilat

30 45 Rp. 465.000,-

10 15 Rp. 150.000,-

Misalkan harga sebuah pencetakan dengan kertas reguler adalah x dan harga sebuah pencetakan dengan kertas mengkilat, maka model matematika dari persoalan di atas adalah

30 + 45 = 465.000

10 + 15 = 150.000 . . Dari model di atas kita dapat menemukan bahwa = ≠

. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa SPLDV di atas tidak memiliki

solusi. Dengan kata lain, kita tidak dapat menentukan harga sebuah pencetakan dengan kertas reguler maupun sebuah pencetakan dengan

kertas mengkilat.

24

LEMBAR KEGIATAN SISWA MENEMUKAN SOLUSI SPL DENGAN BERBAGAI METODE

Tujuan Pembelajaran

Setelah menggunakan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) 2 ini, kamu akan dapat:

 Menemukan Solusi dari SPLDV dan SPLTV dengan Eliminasi, Subtitusi, dan Determinan  Menyajikan serta Menyelesaikan Permasalahan Sehari-hari tentang SPLDV dan SPLTV

Pengantar

Gambar 2 1 Dayung Sampan

Dengan mempelajari tentang Sistem Persamaan Linear (SPL) kita dapat menyelesaikan banyak permasalahan sehari-hari, salah satunya masalah tentang kecepatan dayung sampan. Pada LKS 1, kita sudah dapat menggunakan salah satu cara menyelesaikan SPLDV, yakni dengan menggambar grafik. Solusi SPLDV merupakan titik potong dari garis-garis pembentuk sistem persamaan linear. Namun demikian, metode ini tidaklah efektif untuk menyelesaikan SPLDV tertentu. Selain itu, kita juga akan kesulitan untuk membuat grafik SPLTV untuk menentukan titik potongnya. Hal inilah yang mendasari kita untuk mempelajari metode lain untuk menyelesaikan SPLDV maupun SPLTV melalui LKS ini.

2. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Eliminasi

Aktivitas 1.1

MENEMUKAN KONSEP ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

(CONTRAST: Membandingkan Metode Eliminasi dan Bukan Metode Eliminasi) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.

“Maya ingin membuat dua jenis souvenir dari limbah plastik untuk dijual pada pekan kewirausahaan, yakni tempat pensil dan tas laptop. Maya pernah bekerja selama tiga jam dan berhasil membuat dua tempat pensil dan satu tas laptop. Pada waktu yang lain, Maya juga pernah bekerja selama 4 ½ jam dan

Gambar 2 2 Souvenir Limbah Plastik berhasil membuat dua tempat pensil dan dua tas laptop.”

1. Bagaimana model matematika dari persoalan di atas?

Misalkan waktu membuat tempat pensil adalah x, waktu membuat tas laptop adalah y, maka model dari persoalan dapat dinyatakan sebagai berikut.

2. Buatlah grafik dari persoalan di atas.

3. Dapatkah kamu menggunakan metode grafik untuk mengetahui waktu yang diperlukan untuk membuat tempat pensil maupun tas laptop dengan tepat? Jelaskan.

Tidak, karena perkiraan solusi dari SPLDV tersebut adalah pecahan. Sehingga

kita akan kesulitan menentukan letak solusi dengan tepat.

4. Aldi ingin membantu Maya untuk menentukan waktu pembuatan sebuah tas laptop. Dia mengatakan, “Jika dua tempat pensil beserta satu tas laptop membutuhkan 3 jam untuk dibuat dan dua tempat pensil beserta dua tas laptop membutuhkan 4 ½ jam untuk dibuat, maka waktu pembuatan sebuah tas laptop adalah 4 ½ dikurang 3, yakni 1 ½ jam.” Apakah jawaban Andi benar? Jelaskan.

Jawaban Aldi benar karena perbedaan persamaan pertama dan kedua hanyalah terletak pada jumlah tas laptop yang dibuat, yakni hanya selisih satu buah.

Sehingga cara berpikir Aldi tersebut adalah benar.

5. Jika jawaban Aldi benar, cobalah kaitkan metode yang Aldi gunakan untuk menentukan waktu pembuatan sebuah tas laptop dengan operasi matematika untuk menemukan sebuah metode baru dalam menyelesaikan SPLDV, lalu carilah waktu yang dibutuhkan Maya untuk membuat tempat pensil.

Jika = 1,5, maka 2 + 2(1,5) = 4,5 ⇒ 2 = 1,5

Sehingga waktu yang dibutuhkan untuk membuat sebuah tempat pensil adalah 0,75 jam, waktu yang dibutuhkan untuk membuat sebuah tas laptop

adalah 1,5 jam.

6. Cek kebenaran solusi yang kamu temukan.

Solusi dari persoalan di atas adalah (0,75, 1,5). Selanjutnya ganti nilai variabel untuk mengecek kebenaran solusi.

Jika (0,75, 1,5), maka 2(0,75) + 2(1,5) = 4,5. (benar) Jika (0,75, 1,5), maka 2(0,75) + (1,5) = 3. (benar)

Sehingga dapat disimpulkan bahwa solusi yang ditemukan adalah benar.

7. Metode yang kamu temukan di atas disebut dengan metode eliminasi. Jelaskan pengertian metode eliminasi dengan kata-katamu sendiri berdasarkan jawabanmu pada nomor-nomor sebelumnya.

Metode eliminasi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan SPL dengan menghilangkan salah satu variabel guna memperoleh nilai dari variabel lainnya.

Aktivitas 1.2

MENGGUNAKAN

MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN A)

ELIMINASI

UNTUK

(SEPARATION: Memisahkan koefisien variabel dari elemen lainnya) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.

“Selama perlombaan dayung sampan, seorang peserta mendayung sampan sejauh 1,2 kilometer melawan arus selama 3 jam dan 1,2 kilometer mengikuti arus selama 2 jam. (Lihat ilustrasi di bawah ini). Jika kecepatan arus dianggap konstan, tentukan kecepatan rata-rata sampan ketika di air dan kecepatan arus air. Petunjuk: jarak tempuh (d) sama dengan kecepatan (r) dikali waktu tempuh (t), = × .”

Gambar 2 3 Dayung Sampan

1. Gunakan persamaan berikut untuk membuat model matematika dari persoalan di atas dengan memisalkan x sebagai kecepatan rata-rata sampan dan y sebagai kecepatan arus air.

Saat Melawan Arus

Kecepatan rata-rata sampan − Kecepatan arus = Kecepatan kayak saat melawan arus

Saat Mengikuti Arus

Kecepatan rata-rata sampan + Kecepatan arus = Kecepatan kayak saat mengikuti arus

Misalkan x adalah kecepatan rata-rata sampan dan y adalah kecepatan arus.

Saat Melawan Arus

= × ⇒ 1,2 = × 3 ⇔ = 0,4 Berdasarkan perhitungan di atas, kita dapat menemukan kecepatan kayak saat melawan arus adalah 0,4, sehingga model matematika dari kondisi saat kayak melawan arus adalah − = 0,4.

Saat Mengikuti Arus

= × ⇒ 1,2 = × 2 ⇔ = 0,6 Berdasarkan perhitungan di atas, kita dapat menemukan kecepatan kayak saat melawan arus adalah 0,6, sehingga model matematika dari kondisi saat kayak melawan arus adalah + = 0,6.

2. Selesaikan model dari persoalan di atas dengan dua cara pada kolom berikut. (jika memungkinkan)

Mengeliminasi x terlebih dahulu Mengeliminasi y terlebih dahulu

= 0,5 ⇒ = 0,6 − 0,5 = 0,1 Maka kecepatan rata-rata sampan

Maka kecepatan rata-rata sampan adalah 0,5 dan kecepatan arus adalah

adalah 0,5 dan kecepatan arus adalah 0,1. 0,1.

Kita dapat mengeliminasi x terlebih dahulu dengan operasi pengurangan,

sedangkan kita dapat mengeliminasi y terlebih dahulu dengan operasi .....................

3. Perhatikan persamaan-persamaan berikut dan tentukan jenis operasi yang digunakan untuk mengeliminasi salah satu variabel secara langsung.

a. Gunakan operasi penjumlahan untuk mengeliminasi y terlebih dahulu.

b. Gunakan operasi pengurangan untuk mengeliminasi y terlebih dahulu.

c. Gunakan operasi penjumlahan untuk mengeliminasi m terlebih dahulu.

d. Gunakan operasi pengurangan untuk mengeliminasi m terlebih dahulu.

4. Berdasarkan jawaban pada nomor-nomor sebelumnya, sebutkan operasi yang dapat digunakan pada metode eliminasi.

Operasi yang dapat digunakan adalah operasi penjumlahan dan pengurangan.

5. Apa yang perlu diperhatikan untuk memilih operasi dalam mengeliminasi suatu variabel?

Hal yang perlu diperhatikan adalah koefisien dari variabel SPLDV.

MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN B)

(SEPARATION: Memisahkan koefisien variabel tertentu dari elemen lainnya) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 10 atau 11 dengan menggunakan eliminasi pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.

Perhatikan SPLDV berikut, lalu jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.

1. Selesaikan SPLDV di atas dengan mengeliminasi variabel y terlebih dahulu. Gunakan operasi penjumlahan atau pengurangan untuk melakukannya.

Langkah 1

Langkah 3

Langkah 2

Langkah 4

2. Operasi apa yang kamu gunakan untuk menyelesaikan SPLDV di atas?

Operasi penjumlahan berulang sebanyak 3 kali.

3. Dapatkah kamu memandang operasi yang kamu gunakan sebelumnya sebagai operasi lain yang lebih sederhana?

Kita dapat memandang operasi penjumlahan berulang sebanyak 3 kali sebagai

perkalian dengan 3.

4. Selesaikan kembali SPLDV dengan operasi yang baru saja kamu temukan.

14 = 42 ⇒ = 3 = 3 ⇒ 5(3) + 6 = 3 ⇒ = −2 Sehingga solusi dari SPLDV adalah (3,-2).

MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN C)

(FUSION: Memperhatikan semua elemen SPLDV karena nilai koefisien x saling prima dan nilai koefisien y juga saling prima) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 10 atau 11 dengan menggunakan eliminasi pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.

Perhatikan SPLDV berikut dan tentukan solusinya dengan eliminasi.

(Petunjuk: gunakan operasi perkalian terlebih dahulu untuk mengeliminasi salah satu variabel)

= −3 ⇒ 3 + 4(−3) = −6 ⇒ = 2. Sehingga solusi dari SPLDV adalah (2, -3).

Aktivitas 1.3

MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 12 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.

Perhatikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLDV) berikut dan selesaikanlah dengan mengikuti langkah-langkah di bawah ini.

Langkah pertama : Eliminasi variabel z terlebih dahulu dari SPLTV

Eliminasi z dengan mengoperasikan persamaan (i) dan (ii). Beri nama persamaan baru yang terbentuk dari operasi persamaan (i) dan (ii) dengan persamaan (iv).

Eliminasi z dengan mengoperasikan persamaan (ii) dan (iii). Beri nama persamaan baru yang terbentuk dari operasi persamaan (ii) dan (iii) dengan persamaan (v).

Langkah ke-2 : Eliminasi variabel y dari SPLDV (iv) dan (v) untuk menemukan nilai x

Langkah ke-3 : Temukan nilai dari y dan z menggunakan nilai x yang telah diketahui

4. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Subtitusi

Aktivitas 2.1

MENEMUKAN KONSEP SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

(CONTRAST: Membandingkan Metode Subtitusi dengan Tingkatan Berbeda) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah

ini.

Persoalan SPLDV 1

Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan kedua-duanya dikurangi 5, maka pecahan itu akan sama dengan .

Persoalan SPLDV 2

Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan kedua-duanya dikurangi 5, maka pecahan itu akan sama dengan . Jika pembilang dan penyebut kedua-duanya ditambah 1, maka

pecahan itu akan sama dengan .

1. Tentukan nilai penyebut dari pecahan pada persoalan SPLDV 1 saat diketahui pembilangnya bernilai 2.

Misalkan pembilang pecahan adalah x dan penyebut pecahan adalah y, maka

model matematika dari persoalan SPLDV 1 adalah = . Jika y=2, maka

kita tinggal mengganti nilai y dengan 2 untuk memperoleh nilai x, sehingga =−+5=.

2. Buatlah model matematika dan tentukan nilai pecahan pada SPLDV 2 menggunakan metode yang sama dengan metode yang kamu terapkan saat menyelesaikan SPLDV 1. (Petunjuk: buatlah model matematika pada SPLDV 2 serupa dengan model matematika SPLDV 1)

Misalkan pembilang pecahan adalah x dan penyebut pecahan adalah y, maka model matematika dari persoalan SPLDV 2 adalah:

Dengan menggunakan metode yang sama saat menyelesaikan persoalan SPLDV 1, kita dapat mensubtitusikan nilai y dari persamaan pertama ke

persamaan kedua. = 2 − 5 ⇒ 3 − 2(2 − 5) = −1 ⇒ 3 − 4 + 10 = −1 ⇒ =

Sehingga nilai pecahannya adalah .

3. Metode yang kamu temukan di atas disebut dengan metode subtitusi. Jelaskan pengertian metode subtitusi dengan kata-katamu sendiri berdasarkan jawabanmu pada nomor-nomor sebelumnya.

Metode subtitusi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan SPL dengan

mengganti nilai salah satu variabel ke nilai variabel yang lain guna menemukan nilai dari variabel lain tersebut.

Aktivitas 2.2

MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

(BAGIAN A)

(SEPARATION: Memisahkan variabel tertentu dari aspek lainnya) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah

ini. “Dua kali umur Damar ditambah umur Mayang adalah 27, sedangkan empat kali umur

Damar dikurang lima kali umur Mayang adalah 5. Misalkan x adalah umur Damar dan y adalah umur Mayang, tentukan umur keduanya.”

1. Bagaimana model matematika dari persoalan di atas?

Misalkan x adalah umur Damar dan y adalah umur Mayang, maka sistem persamaan linear dari persoalan di atas adalah

2. Selesaikan model matematika dari persoalan di atas dengan dua cara (jika memungkinkan) pada kolom berikut.

Mensubtitusikan variabel yang Mensubtitusikan variabel yang mengandung x dahulu

mengandung y dahulu

Jika 2 + = 27 ⇒ 2 = 27 − , maka Jika 2 + = 27 ⇒ = 27 − 2 , maka 4−5=5⇒2 ( (2 ) )−5=5

Maka umur Damar adalah 10 tahun dan Maka umur Damar adalah 10 tahun dan umur Mayang adalah 7 tahun. umur Mayang adalah 7 tahun.

3. Perhatikan persamaan-persamaan berikut dan tentukan variabel yang efektif disubtitusikan terlebih dahulu.

a. 3 + 4 = 10

2 − 4 = 5 c. −5 + 4 = 3 +2=6

b.

d. 3 − 11 = 14

Poin a: subtitusikan 4 ke salah satu persamaan untuk mencari x.

Poin b: subtitusikan ke persamaan pertama untuk mencari y. Poin c: subtitusikan 4 ke persamaan pertama untuk mencari n.

Poin d: subtitusikan 3 ke persamaan kedua untuk mencari n.

4. Secara umum, apa yang perlu diperhatikan untuk memilih variabel yang disubtitusikan terlebih dahulu?

Kita dapat memilih variabel yang disubtitusikan terlebih dahulu dengan memperhatikan koefisien dari setiap variabel dan memilih variabel yang koefisiennya saling berkelipatan untuk mempermudah perhitungan.

MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN B)

(FUSION: Memperhatikan semua elemen SPLDV karena nilai koefisien x saling prima dan nilai koefisien y juga saling prima) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 10 atau 11 dengan menggunakan subtitusi pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.

Selesaikanlah SPLDV berikut dengan metode subtitusi.

Jika 3 − 12 = 9 ⇒ =

= 4 + 3, maka

Jika = −1,maka = 4(−1) + 3 = −1. Sehingga solusi dari SPLDV adalah (-1,-1).

Aktivitas 2.3

MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 12 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.

Perhatikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLDV) berikut dan selesaikanlah dengan mengikuti langkah-langkah di bawah ini.

Langkah pertama : Subtitusikan nilai z dari persamaan (i) ke persamaan lainnya

Subtitusikan nilai z dari persamaan (i) ke persamaan (ii) dan namai SPLDV yang baru terbentuk dengan persamaan (iv).

Subtitusikan nilai z dari persamaan (i) ke persamaan (iii) dan namai SPLDV yang baru terbentuk dengan persamaan (v).

Langkah ke-2 : Selesaikan SPLDV dari persamaan (iv) dan (v) untuk menemukan nilai x dan y dengan subtitusi

Langkah ke-3 : Temukan nilai dari z dengan nilai x dan y yang telah diketahui

Latihan Soal

Selesaikanlah persoalan-persoalan berikut.

1. Selesaikan sistem persamaan di bawah ini. −4=2

a. 6+2=4

b.

c. 2( − ) + 3 − 2 = − 3 = 3 − =2+3

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis 3 + 2 − 7 = 0 dan 5 − − 3 = 0 serta tegak lurus dengan garis + 3 − 6 = 0.

3. Jika tiga garis lurus: + 2 + 3 = 0; + + 1 = 0; 2 + 3 + 4 = 0 melalui sebuah titik yang sama, tentukan nilai a.

4. Tentukan solusi dari (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan berikut dan tentukan nilai dari ( + ): .

5. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Determinan (Aturan Cramer)

Aktivitas 3.1

MENEMUKAN KONSEP DETERMINAN MATRIKS 2x2 DIKAITKAN DENGAN SPLDV

(SEPARATION: Memisahkan koefisien variabel tertentu dan konstanta persamaan dari aspek lainnya)

Pada bab sebelumnya, kamu telah mempelajari tentang matriks dan determinan matriks. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut.

Perhatikan matriks di atas dan Tabel 1. Temukan konsep determinan yang dikaitkan dengan SPLDV melalui menjawab pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.

Tabel 7 Determinan dan SPLDV

SPLDV Determinan (D) Determinan X (D x ) Determinan Y (D y )

1. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk umum +

= , tentukan D.

2. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk +

umum +

= , tentukan .

= = ce-bf, dengan kata lain untuk mencari nilai D x kita harus

mengganti nilai koefisien x pada D dengan konstanta persamaan.

3. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk umum +

= , tentukan .

= = af-cd, dengan kata lain untuk mencari nilai D y kita harus

mengganti nilai koefisien y pada D dengan konstanta persamaan.

MENGAITKAN SOLUSI DARI BENTUK UMUM SPLDV DENGAN DETERMINAN MATRIKS

(GENERALIZATION: Merepresentasikan solusi bentuk umum SPLDV dalam bentuk matriks)

Perhatikan bentuk umum dari SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.

SPLDV bentuk umum

dengan a 1 ,a 2 ,b 1 ,b 2 adalah koefisien variabel x,y dan c 1 ,c 2 adalah konstanta persamaan.

1. Selesaikan SPLDV di atas menggunakan metode eliminasi atau subtitusi pada kolom di bawah ini.

Langkah 1.

Langkah 2.

Sehingga solusi dari SPLDV di atas adalah ( , )

2. Nyatakan solusi dari SPLDV di atas dalam bentuk untuk mmatriks untuk menemukan sebuah aturan dalam mencari solusi SPLDV yang disebut aturan Cramer.

− dan −

Aktivitas 3.2

MENEMUKAN KONSEP DETERMINAN MATRIKS 3x3 DIKAITKAN DENGAN SPLTV

(SEPARATION: Memisahkan koefisien variabel tertentu dan konstanta persamaan dari aspek lainnya)

Pada bab sebelumnya, kamu telah mempelajari tentang matriks dan determinan matriks. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut.

Perhatikan matriks di atas dan Tabel 2. Temukan konsep determinan yang dikaitkan dengan SPLTV melalui menjawab pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.

Tabel 8 SPLTV dan Determinan

SPLTV

= Determinan (D)

Determinan x (D x )

Determinan y (D y )

Determinan z (D z )

1. Jika SPLTV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk +

umum +

= , tentukan D.

2. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk umum +

= , tentukan .

= ℎ .dengan kata lain untuk mencari nilai D y kita harus mengganti

nilai koefisien y pada D dengan konstanta persamaan.

3. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk +

umum +

= , tentukan .

= ℎ .dengan kata lain untuk mencari nilai D y kita harus

mengganti nilai koefisien y pada D dengan konstanta persamaan.

4. Jika SPLDV pada tabel tersebut dinyatakan dalam bentuk +

umum +

= , tentukan .

= ℎ .dengan kata lain untuk mencari nilai D z kita harus

mengganti nilai koefisien z pada D dengan konstanta persamaan.

MENGAITKAN SOLUSI DARI BENTUK UMUM SPLTV DENGAN DETERMINAN MATRIKS

(GENERALIZATION: Merepresentasikan solusi bentuk umum SPLTV dalam bentuk matriks)

Perhatikan bentuk umum dari SPLTV berikut dan isilah titik-titik di bawah ini. Bentuk umum SPLTV

dengan , , , , , , , , adalah koefisien variabel x,y,z dan , , adalah konstanta persamaan.

1. Nilai

dari

SPLTV

di

atas adalah

) . Nyatakan nilai z dalam

bentuk matriks.

2. Prediksi nilai variabel x dan y berdasarkan aturan yang kamu temukan pada nomor 1.

Latihan Soal

Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan determinan.

Buatlah model matematika dari persoalan berikut dan selesaikan menggunakan metode yang telah kamu pelajari, baik menggunakan subtitusi, eliminasi, ataupun determinan (aturan Cramer).

1. Angga anak Pak Purwoko memiliki setumpuk kartu. Keseluruhan kartu dapat dipilah menjadi dua bagian menurut bentuknya. Satu jenis berbentuk persegi yang di dalamnya terdapat gambar seekor kerbau dan empat ekor burung. Satu

Gambar 2 4 Kartu Persegi dan Segitiga

Berapa banyak kartu persegi dan segitiga yang harus diambil dari tumpukan kartu agar jumlah gambar kerbau 33 dan jumlah gambar burung 100.

2. Sebuah perahu yang bergerak searah arus sungai dapat menempuh jarak 46 km dalam 2 jam. Jika perahu tersebut bergerak berlawanan dengan arah arus sungai dapat menempuh jarak 51 km dalam 3 jam. Berapa kecepatan perahu dan kecepatan aliran air sungai?

3. Setiap simbol pada gambar di bawah ini mewakili sebuah bilangan. Jumlah bilangan pada setiap baris terdapat di kolom kanan dan jumlah bilangan setiap kolom terdapat di baris bawah. Tentukan bilangan pengganti simbol-simbol.

Gambar 2 5 Simbol yang Mewakili

Bilangan

Rangkuman

Apa yang telah kamu pelajari?

Isilah titik-titik di bawah ini untuk merangkum hal yang telah kamu pelajari melalui LKS ini.

9. Metode eliminasi dalam menyelesaikan SPL adalah ..............................................

10. Metode subtitusi dalam menyelesaikan SPL adalah ..............................................

11. Metode determinan (aturan Cramer) dalam menyelesaikan SPL adalah

dengan aturan sebagai berikut.

… dan =

untuk mencari solusi SPLDV. Sedangkan aturan untuk mencari solusi SPLTV adalah

LEMBAR KEGIATAN SISWA

SISTEM PERTIDAKSAMAAN

LINEAR DUA VARIABEL

Tujuan Pembelajaran

Setelah menggunakan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) 3 ini, kamu akan dapat:

 Menemukan Konsep SPtLDV  Menentukan Daerah Penyelesaian SPtLDV  Menyajikan dan Menyelesaikan Persoalan Sehari-hari tentang

SPtLDV

Pengantar

Gambar 3 1 Perumahan

Dengan mempelajari tentang Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) kita dapat menyelesaikan banyak permasalahan sehari-hari. Permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan mempelajari topik ini adalah menyangkut permasalahan sistem linear dengan syarat-syarat tertentu. Salah satunya adalah masalah tentang pembangunan perumahan dengan keterbatasan lahan dan sumber daya. Untuk mengetahui hal ini lebih lanjut, lakukanlah kegiatan pada LKS ini.

1. Menemukan Konsep SPtLDV

Aktivitas 1.1

MENEMUKAN KONSEP PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV)

(CONTRAST: Membandingkan Contoh dan Bukan Contoh PtLDV) Lewati bagian ini bila siswa dapat menjawab soal 13 pada Tes Pemahaman Awal dengan tepat.

Perhatikan dan lengkapi tabel 1, kemudian jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.

Tabel 9 Contoh dan Bukan Contoh PtLDV

No Contoh PtLDV Contoh PLDV

1 Keliling bingkai lukisan berbentuk Keliling bingkai lukisan berbentuk persegi panjang bukanlah 80 cm.

persegi panjang adalah 80 cm.

Gambar 3 2 Lukisan 1 Gambar 3 3 Lukisan 2 Misalkan panjang bingkai adalah x dan

lebar bingkai adalah y, maka hubungan Misalkan panjang bingkai adalah x dan x dan y dari kalimat di atas dapat lebar bingkai adalah y, maka hubungan dinyatakan sebagai model matematika x dan y dari kalimat di atas dapat

2 + 2 ≠ 80 dinyatakan sebagai model matematika

2 Lama perjalanan udara dari kota A Lama perjalanan udara dari kota A ke kota B ditambah perjalanan darat ke kota B ditambah perjalanan darat menuju kota C adalah paling lama 5 menuju kota C adalah 5 jam jam perjalanan.

perjalanan.

Misalkan lama perjalanan udara dari A Misalkan lama perjalanan udara dari A ke B adalah x dan lama perjalanan darat ke B adalah x dan lama perjalanan darat dari B ke C adalah y, maka hubungan x dari B ke C adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika dinyatakan sebagai model matematika

3 Paman harus mengeluarkan uang Paman harus mengeluarkan uang minimal Rp. 1.600.000,- setiap sebesar Rp. 1.600.000,- setiap bulannya

untuk dua kali penyuntikan sapi dan satu kali penyuntikan sapi dan satu kali penyuntikan

untuk

dua

kali bulannya