2.7 TEORI EULER
Teori tekuk kolom pertama dikemukakan oleh Leonhardt Euler pada tahun 1759. Batang dengan beban konsentris yang semula lurus dan semua seratnya
tetap elastis hingga tekuk terjadi akan mengalami lengkungan yang kecil seperti pada gambar 2.8
Gambar 2.8 Perilaku Kolom Yang Dibebani
Walaupun Euler hanya menyelidiki batang yang dijepit di salah satu ujung dan bertumpu sederhana simply supprted di ujung yang lainnya, logika yang
sama dapat diterapkan pada kolom yang berpeletakan sendi, yang tidak memiliki pengekangan rotasi dan merupakan batang dengan kekuatan tekuk terkecil. Kita
akan mendapatkan rumus-rumus gaya kritis yang dapat diterima oleh suatu batang sebelum tekuk terjadi.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.9 Kolom Euler
Di suatu titik sejarak x, momen lentur �
�
terhadap sumbu x pada batang yang sedikit melengkung adalah
�
�
= �. �
2.7.1 dan karena
�
2
� ��
2
= −
�
�
EI
2.7.2 Persamaan diferensialnya menjadi
�
2
� ��
2
= −
� EI
�
2.7.3
Harga
� ��
digantikan oleh k
�
2
� ��
2
= −�
2
� 2.7.4
2
Persamaan umum : � = �
��
2.7.5
�� ��
= � �
��
2.7.6
�
2
� ��
2
= �
2
�
��
2.7.7 �
2
�
��
+ �
2
�
��
= 0 2.7.8
Universitas Sumatera Utara
�
2
+ �
2
= 0 ������ � ± � �
Persamaan umum : � = �
1
�
���
+ �
2
�
−���
2.7.9 Seperti diketahui :
sin � =
�
��
+ �
−��
2 �
2.7.10 cos
� =
�
��
−�
−��
2
2.7.11 Persamaan umum :
� = � sin �� + � sin �� 2.7.12
Syarat batas : Pada
� = 0 … … … … … � = 0 … … … … … � = 0 � = � sin ��
2.7.13 Pada
� = � … … … … � = 0 0 =
� sin �� 2.7.14
� ≠ 0 , sin �� = 0 2.7.15
�� = 0 + �� 2.7.16
� = ��
� ,
������ � = 1,2,3 … … … Untuk n=1, maka :
� =
� �
2.7.17
�
��
��
= �
2
2.7.18
�
��
=
�
2
�� �
2
2.7.19
Universitas Sumatera Utara
atau apabila dinyatakan dalam tegangan tekan rata-rata dan � = �
�
�
2
�
��
=
�
��
�
�
=
�
2
� � �
⁄
2
2.7.20
Pendekatan Euler umumnya tidak digunakan untuk perencanaan karena tidak sesuai dengan hasil percobaan; dalam praktek, kolom dengan panjang yang
umum tidak sekuat seperti yang dinyatakan oleh Persamaan 2.7.19. Considere
dan Esengger pada tahun 1889 secara terpisah menemukan bahwa sebagian dari kolom dengan panjang yang umum menjadi inelastis
sebelum tekuk terjadi dan harga regangan diatas batas proporsional. Jadi mereka menyadari bahwa sesungguhnya kolom dengan panjang yang umum akan hancur
akibat tekuk inelastis dan bukan akibat tekuk elastis. Akan tetapi pengertian yang menyeluruh tentang kolom dengan beban
konsentris baru tercapai pada tahun 1946 ketika Shaneey menjabarkan teorinya yang ternyata sekarang benar. Ia menemukan bahwa hakekatnya kolom masih
mampu memikul beban aksial yang lebih besar walaupun telah melentur, tetapi kolom mulai melentur pada saat mencapai beban yang disebut beban tekuk, yang
menyertakan pengaruh inelastis pada sejumlah atau sama serat penampang melintang.
Elemen struktur tekan dan perilakunya terhadap beban tekan dapat diilustrasikan seperti gambar 2.8 apabila bebannya kecil elemen masih dapat
mempertahankan bentuk linearnya, begitu pula jika bebannya bertambah. Pada saat beban mencapai linearnya, begitu pula jika bebannya bertambah. Pada saat
beban mencapai taraf tertentu, elemen tersebut tiba-tiba mengalami perubahan
Universitas Sumatera Utara
seperti gambar 2.8. Hal inilah yang disebut fenomena tekuk buckling. Tekuk adalah suatu ragam kegagalan yang diakibatkan oleh ketidakstabilan suatu elemen
struktur yang dipengaruhi oleh aksi beban. Pada saat tekuk terjadi, taraf gaya internal dapat sangat rendah. Fenomena
tekuk berkaitan dengan kekuatan elemen struktur. Suatu elemen yang mempunyai kekakuan yang kecil lebih mudah mengalami tekuk dibandingkan elemen yang
mempunyai kekakuan yang besar. Semakin langsing suatu elemen struktur, semakin kecil kekakuannya.
Apabila suatu elemen struktur tekan mulai tidak stabil, seperti halnya kolom yang mengalami beban tekuk, maka elemen tersebut tidak dapat
memberikan gaya tahanan internal lagi untuk mempertahankan konfigurasi linearnya. Gaya tahanannya lebih kecil daripada beban tekuk. Pada gambar 2.8
diperlihatkan sistem yang stabil, yang tidak stabil dan berada dalam keseimbangan netral. Kolom yang tepat berada dalam keadan mengalami beban
tekuk sama saja dengan sistem yang berada dalam keadaan keseimbangan netral. Sistem dalam keadaan demikian tidak mempunyai kecenderungan
mempertahankan konfigurasi semula. Banyak faktor yang mempengaruhi beban tekuk beban ini disebut P
cr
antara lain panjang kolom, perletakan kedua ujung kolom, ukuran dan bentuk penampang kolom. Kapasitas pikul beban kolom berbanding terbalik dengan
kuadrat panjang kolom. Selain itu, faktor lain yang menentukan besarnya P
cr
adalah yang berhubungan dengan karakteristik kekakuan elemen struktur jenis material, bentuk serta ukuran penampang. Kolom cenderung menekuk ke arah
sumbu terlemah. Akan tetapi, elemen tersebut dapat juga mempunyai kekakuan
Universitas Sumatera Utara
cukup pada sumbu lainnya untuk menahan tekuk. Dengan demikian, kapasitas pikul beban elemen tekan bergantung juga pada bentuk dan ukuran penampang.
Ukuran penampang ini pada umumnya dapat dinyatakan dengan momen inersi I. Faktor lain yang sangat penting dalam mempengaruhi besarnya beban
tekuk P
cr
Kolom yang dibebani gaya tekan eksentris : adaah kondisi ujung elemen struktur. Apabila ujung-ujung suatu kolom
bebas berotasi, kolom tersebut mempunyai kemampuan pikul beban yang lebih kecil dibandingkan dengan kolom yang sama yang kedua ujungnya dalam kondisi
dijepit.
Gambar 2.10 Kolom yang dibebani gaya tekan eksentris
Lendutan di tengah bentang = y Pada jarak x dari ujung, lendutan = y
�
�
= �. �
�� �
2
� ��
2
= −�
�
= −�. �
o
Universitas Sumatera Utara
�� �
2
� ��
2
+ �. � = 0
�
2
� ��
2
+ �
�� .
� = 0 Dimana
� ��
= �
2
Maka: �
2
� ��
2
+ �
2
. � = 0
Persamaan differensial � = � cos �� + � sin ��
Syarat batas : 1.
Pada � = 0 � = �
� = � Maka
� = � cos �� + � sin ��
2. Pada � = �
� = � � = � cos �� + � sin ��
� =
�1−cos �� sin
��
=
�.2 ���
2 �� 2
sin ��
Universitas Sumatera Utara
=
�.2 ���
2 �� 2
2 sin
�� 2
cos
�� 2
= � ��
�� 2
Maka : � = � cos �� + �� ��
�� 2
� sin �� 3.
Pada � = 1 2 ⁄ �
� = �
� =
� ���
�� 2
+ ��
�� 2
. ���
�� 2
= � ���
�� 2
+
���
2 �� 2
���
�� 2
=
� ���
�� 2
= � sec
�� 2
= � sec �
1 2
�
� ��
� ����� �������� = �. �
= �. � sec �
1 2
�
� ��
�
�
���
= �
� +
� �
=
� �
+
�.� sec �
1 2
�
� ��
� � �
�
�
Dimana :
� �
= �
2
Universitas Sumatera Utara
Maka :
�
���
= �
� +
�. � sec � 1
2 � �
��� �
2
. � �
�
⁄
=
� �
1 +
�. �
�
. sec �
1 2
�
� ��
� �
2
2.8 BATAS BERLAKUNYA PERSAMAAN EULER
Kategori