2.6. Pendekatan Numerik pada CFD
Pemodelan dengan metode komputasi pada dasarnya menggunakan persamaan dasar dinamika fluida, momentum, dan energi. Persamaan-persamaan
ini merupakan pernyataan matematis untuk tiga prinsip dasar fisika : 1. Hukum Kekekalan Massa The Conservation of Mass
Konsep utama hukum ini adalah laju kenaikan massa dalam volume kontrol adalah sama dengan laju net aliran massa fluida ke dalam elemen batas. Secara
sederhana dapat ditulis.
. .
m m
t M
out in
∑ −
∑ =
∂ ∂
2.55
Secara umum hukum kekekalan massa The Conservation of Mass 3 dimensi dapat ditulis dengan persamaan sebagai berikut.
=
∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ z
y x
z w
y v
x u
t ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ 2.56
Gambar 2.15 Hukum Kekekalan Massa pada Sebuah Elemen Fluida 3 Dimensi Himsar Ambarita, 2010
Universitas Sumatera Utara
2. Hukum Kekekalan Momentum The Conservation of Momentum Hukum kekekalan momentum ini merupakan interpretasi dari hukum ke-2
Newton arah sumbu-x yaitu :
x x
ma F
= ∑
2.57
Gambar 2.16 Hukum Kekekalan Momentum Arah Sumbu-x pada Sebuah Elemen Fluida 3 Dimensi Himsar Ambarita, 2010
Secara umum hukum kekekalan momentum The Conservation of Momentum arah sumbu-x 3 dimensi dapat ditulis dengan persamaan sebagai
berikut.
x zx
yx xx
f z
y x
x Dt
Du ρ
τ τ
σ ρ
ρ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= 2.58
Dengan cara dan bentuk yang sama persamaan kekekalan momentum 3 dimensi arah sumbu-y dan arah sumbu-z dapat ditulis dengan persamaan sebagai
berikut.
Universitas Sumatera Utara
x zx
yx xx
f z
y x
x Dt
Du ρ
τ τ
σ ρ
ρ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
=
y zy
yy xy
f z
y x
x Dt
Dv ρ
τ σ
τ ρ
ρ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= 2.59
dan
z zz
yz xz
f z
y x
y Dt
Dw ρ
σ τ
τ ρ
ρ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= 2.60
3. Hukum kekekalan Energi The Conservation of Energy Hukum ini merupakan aplikasi dari hukum ketiga fisika termodinamika
yaitu laju perubahan energi dalam suatu elemen adalah sama dengan jumlah net fluks panas yang masuk ke dalam elemen dan kerja yang dikenakan pada elemen
tersebut. Pernyataan ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan :
. .
.
W Q
E +
=
2.61
Gambar 2.17 Kerja yang Dikenakan pada Sebuah Elemen Arah Sumbu-x Himsar Ambarita, 2010
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.18 Fluks Panas yang melintasi permukaan sebuah elemen Himsar Ambarita, 2010
Secara umum kerja yang dikenakan arah sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z dapat ditulis dengan persamaan sebagai berikut.
V f
u z
u y
u x
u x
u W
x zx
yx xx
x
δ ρ
σ τ
σ ρ
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
.
2.62a
V f
u z
v y
v x
v y
v W
y zy
zx xy
y
δ ρ
τ σ
τ ρ
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
.
2.62b
V f
u z
w y
v x
w z
w W
z zy
yz xz
z
δ ρ
σ τ
τ ρ
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
.
2.62c
Universitas Sumatera Utara
Sedangkan persamaan fluks Panas yang melintasi permukaan sebuah elemen dapat ditulis dengan persamaan.
V z
T k
z y
T k
y x
T k
x q
Q
δ ρ
∂ ∂
∂ ∂
+
∂
∂ ∂
∂ +
∂ ∂
∂ ∂
+ =
. .
2.63
Dengan mensubstitusi persamaan 2.62 dan 2.63 ke dalam persamaan 2.61 di atas akan diperoleh sebuah persamaan 2.64 untuk hukum kekekalan
energi di mana i, j, k = 1, 2, 3 yang menunjukkan arah sumbu-x, -y, dan –z.
φ ρ
ρ ρ
ρ
+ +
∂ ∂
−
∂
∂ ∂
∂ =
∂ ∂
+ ∂
∂
.
q x
u x
T k
x x
cT t
cT
i i
i i
i
2.64
Di mana Φ adalah fungsi dissipasi dengan bentuk sebagai berikut.
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+
∂
∂ +
∂ ∂
+
∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
y w
z v
x w
z u
x v
y u
z w
y v
x u
z w
y v
x u
µ µ
φ 2.65
2.6.1.Metode Diskritisasi pada
Pada dasarnya, hanya menghitung pada titik-titik simpul mesh geometri, sehingga pada bagian di antara titik simpul tersebut harus dilakukan interpolasi
untuk mendapatkan nilai kontinyu pada sluruh domain. Terdapat beberapa skema interpolasi yang sering digunakan yaitu :
-
First-order upwind scheme
Universitas Sumatera Utara
Skema interpolasi yang paing ringan dan cepat mencapai konvergen, tetapi ketelitiannya hanya orde satu. Ketika skema ini dipilih, nilai bidang
f
φ dalah sama dengan nilai pusat sell
φ dalam sell upstream. Skema ini memungkinkan digunakan pada penyelesaian berbasis tekanan dan
rapatan density. -
Second-order upwind scheme
Menggunakan persamaan yang lebih teliti sampai orde 2, sangat baik digunaan pada mesh tritet dimana arah aliran tidak sejajar dengan mesh. Karena metode
interpolasi yang digunakan lebih rumit, maka lebih lambat mencapai konvergen.
Ketika skema ini dipilih, nilai bidang
f
φ dikomputasi mengikuti bentuk :
→
∇ +
=
γ φ
φ φ
. , SOU
f
2.66 Dimana,
φ dan φ
∇
adalah nilai pusat sell dan gradient dalam sell upstream, dan
→
γ adalah vektor perpindahan dari pusat luasan sell upstream ke bidang pusat luasan.
-
Quadratic Upwind Interpolation QUICK scheme
Diaplikasikan untuk mesh quadhex dan hybrid, tetapi jangan digunakan untuk elemen mesh tri, dengan alian fluida yang berputarswirl. Ketelitiannya
mencapai orde 3 pada ukuran mesh yang seragam. Untuk bidang
e
pada gambar, jika aliran dari kiri ke kanan, seperti itu nilai dapat ditulis seperti itu
nilai dapt ditulis sebagai berikut;
+ −
+ +
− +
+ +
+ =
w s
s s
P s
s s
s E
s s
s P
s s
s
c u
c c
u c
u d
c d
d c
d
φ φ
φ φ
θ φ
2 1
4
2.67
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.19 volume kontrol satu dimensi
Universitas Sumatera Utara
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Kategori