notasi, asumsi mengenai opsi, penilaian opsi, dan Greeks.
2.1 Proses Stokastik
Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah
yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.
Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut.
Definisi 1 Ruang contoh Ruang contoh adalah himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan
Ω
.
[Grimmett dan Stirzaker, 2001] Definisi 2 Kejadian
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh
Ω
.
[Grimmett dan Stirzaker, 2001]
Definisi 3 Medan-
σ
Medan- σ adalah himpunan
-
yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari
ruang contoh
Ω
yang memenuhi syarat- syarat berikut:
1.
∅ ∈ -
. 2. Jika A ∈
- maka
c
A ∈
- , dengan
c
A menyatakan komplemen dari himpunan
A
. 3. Jika
1 2
3
, ,
, A A A
∈ …
- , maka
1 i
i
A
∞ =
∈
∪ - .
[Hogg et al, 1995]
Definisi 4 Ukuran Peluang Ukuran peluang
P
pada ruang ukuran ,
Ω - adalah fungsi
: [0,1]
P →
-
yang memenuhi:
1.
0, 1 P
P ∅ =
Ω = .
2.
Jika
1 2
3
, ,
, A A A
… adalah himpunan anggota-anggota
-
yang saling lepas, yaitu
i j
A A
∩ = ∅ , untuk setiap
, i j
dengan
i j
≠
maka:
1 1
i i
i i
P A
P A
∞ ∞
= =
= ∑ ∪
. Pasangan ,
, P
Ω -
disebut dengan ruang peluang probability space.
[Grimmett dan Stirzaker, 2001]
Proses stokastik didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 5 Proses stokastik
Proses stokastik
{ }
, X
X t t T
= ∈
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh
Ω
ke suatu ruang state S .
2.2 Gerak Brown
Proses stokastik
{ }
, X
X t t T
= ∈
disebut
gerak Brown jika: 1.
X =
. 2.
Untuk
1 2
n
t t
t …
, peubah acak
1
, 1, 2,
,
i i
X t X t
i n
−
− =
… saling bebas.
3. Untuk
0, t
X t berdistribusi normal
dengan rataan 0 dan varian
2
t
σ . 2.3
Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1.
Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak
X
dapat dinyatakan sebagai berikut: dX t
adt bdW t
= +
1 adt disebut sebagai komponen deterministik
dan bdW t menyatakan komponen
stokastik, serta W t adalah proses Wiener,
sedangkan a
dan b masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari
X
. Untuk proses stokastik yang didefinisikan
pada ruang probabilitas , , F P
Ω berlaku hal
berikut: Misalkan
W t adalah proses Wiener
pada , , F P
Ω . Integral stokastik adalah
proses stokastik X t
dengan bentuk: ,
, .
t t
X t X
a X s s ds b X s s dW s
= + ∫
+ ∫ 2
2.4 Proses Itô
Kategori