6. Portofolio Replikasi
Misalkan diberikan data pergerakan harga saham selama 52 minggu, seperti pada gambar berikut ini:
Gambar 9 Harga saham vs waktu
Dari harga saham di atas, diperoleh portofolio replikasi seperti pada Gambar 10 berikut: Tabel portofolio replikasi dapat dilihat pada Lampiran 10.
Gambar 10 Delta hedging harga opsi vs nilai portofolio
Dari gambar tersebut, dapat dilihat bahwa dengan menggunakan strategi delta hedging
diperoleh portofolio yang mereplikasi harga opsi dengan cukup baik, sehingga risiko dapat
dinormalkan.
IV. SIMPULAN DAN SARAN
Selain untuk menentukan nilai opsi, model Black-Scholes juga dapat digunakan untuk
menentukan rasio lindung nilai delta untuk opsi tipe Eropa.
Dalam karya ilmiah ini telah ditunjukkan rasio lindung nilai delta untuk opsi call dan
opsi put tipe Eropa. Rasio lindung nilai delta untuk opsi call nilainya selalu positif, yaitu
1
c
≤ Δ ≤ . Ini dikarenakan peningkatan harga aset underlying akan mempengaruhi
peningkatan harga opsi call, sehingga dapat dimengerti bahwa meningkatnya aset
underlying akan meningkatkan peluang nilai
payoff positif. Dari diagram delta untuk opsi
call tipe Eropa dapat dilihat bahwa semakin
meningkatnya harga saham akan meningkatkan nilai dari delta opsi call.
Sedangkan rasio lindung nilai delta untuk opsi put nilainya selalu negatif, yaitu
1
p
− ≤ Δ ≤ . Dari diagram delta untuk opsi put
tipe Eropa dapat dilihat bahwa semakin meningkatnya harga saham akan
meningkatkan nilai dari delta opsi put. Strategi delta hedging dapat digunakan
untuk memperoleh portofolio yang mereplikasi harga opsi dengan cukup baik.
Dari karya ilmiah ini terdapat beberapa hal yang dapat dikaji lebih lanjut oleh pihak-pihak
yang tertarik dengan bidang ilmu ini, antara lain adalah nilai opsi call dan opsi put untuk
opsi tipe Amerika dan teknik mengendalikan risiko yang lain, seperti gamma, theta, vega
dan rho.
V. DAFTAR PUSTAKA
Amelia I. 2005. Penilaian Variable Purchase
Options dengan menggunakan Formula
Black-Scholes [skripsi]. Bogor: Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian
Bogor.
Bahri AS. 2005. Penilaian Opsi dan
Pengendalian Risiko dengan Menggunakan Greeks untuk Opsi Call dan
Put Eropa [skripsi]. Bogor: Jurusan
Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor.
Brealey R, Myers S. 1991. Principles of
Corporate Finance. New York: Mc Graw
Hill Book Co.
Brenner M, Subrahmanyan MG.
1994. A Simple Approach to Option Valuation and
Hedging in the Black-Scholes Model. Financial Analysis Journal 50: 25-28.
Black F, Scholes M
. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities.
Journal of Political Economy. 81: 637-654.
Chaidir, Lesmana DC, Rahmatullah F .
2008. Binomial Method for Pricing Indonesian Call Option and its Hedging
Strategy . Workshop on Financial
Engineering.
Chance DM. 2004. An Introduction to
derivatives Risk Management. Thomson, Ohio.
Chandra W.
1998. Penilaian Opsi dengan Formula Black-Scholes [skripsi]. Bogor:
Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor.
Grimmett GR, Strizaker DR.
2001. Probability and Random Processes.
New York: Clarendon Press Oxford.
Herliana L. 1999. Penilaian Opsi dengan
Model Loncatan difusi [skripsi]. Bogor: Jurusan Matematika FMIPA, Institut
Pertanian Bogor.
Higham DJ. 2004. An Introduction to
Financial Option Valuation :
Mathematics, Stochastic and Computation, Cambridge University
Press, Cambridge.
Hull JC.
1997. Options Future and Other Derivatives.
Ed.Ke-5. New Jersey: Pearson Education, Inc.
Pelletier D. 2006. Asset Pricing. North
Carolina State University.
Su T.
2003. A Note on the Derivation of Black-Scholes Hedge Ratios.
United States of America: Department of
Finance, University of Miami.
Widoatmodjo S, Lie RF, Joni R. 2005.
Forex On-line Trading. Jakarta: Elex
Media Komputindo.
Wilmott P, Howison S, Dewynne J. 1996.
The Mathematics of Financial Derivatives A Student Introduction.
Cambridge University Press, USA.
LAMPIRAN
Lampiran 1
Bukti Lema 1:
Misalkan ,
Y t g X t t
= diberikan. Perhatikan
2 2
2
, ,
,
1 2
g X t t g X t t
g X t t
dY t dt
dX t dX t
t X
X
∂ ∂
∂ =
+ +
∂ ∂
∂ 1a
dengan ,
, dX t
a X t t dt b X t t dW t
= +
. 1b Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada persamaan 1b, maka diperoleh:
2 2
2 2
2 2
2 2
, 2 , ,
, ,
dX t a
X t t dt a X t t b X t t dtdW t
b X t t dW t
b X t t dW t
b dt =
+ +
= + + =
1c
dengan
2
dt dW t dt
dtdW t =
= = dan
2
dW t dt
= .
Selanjutnya dengan menyubstitusikan dX t
dan
2
dX t ke persamaan 1a diperoleh:
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
g g
g dY t
dt adt
bdW t b dt
t X
X g
g g
g a
b dt
b dW t
t X
X X
∂ ∂
∂ =
+ +
+ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= +
+ +
∂ ∂
∂ ∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1d
Dari Definisi 6, bentuk diferensial stokastik pada persamaan 1d juga dapat dituliskan dalam bentuk integral stokastik sebagai berikut:
2 2
2
1 ,
0, 0 ,
, 2
, .
t t
g g
g g X t t
g X a X s s
b X s s
ds s
x X
g b X s s
dW s x
∂ ∂
∂ =
+ +
+ ∂
∂ ∂
∂ ∂
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
1e
Kemudian akan dibuktikan bahwa persamaan 1e berlaku. Untuk memperlihatkan bahwa persamaan 1e barlaku, cukup dilihat untuk kasus dimana
a dan b merupakan fungsi konstan terhadap t yaitu , a
t a
ω ω
= dan ,
b t
b ω
ω =
. Sedangkan untuk t yang lebih luas dapat didekati dengan menggunakan limit.
Dengan menggunakan Deret Taylor diperoleh:
2 2
2 2
2 2
2
1 ,
0, 0 2
1 2
j j
j j
j j
j j
j j
j j
g g
g g
g X t t g X
X t t
X t t
X t x
t x t
x g
t R
t ∂
∂ ∂
∂ =
+ Δ
+ Δ +
Δ Δ
+ Δ
∑ ∑
∑ ∑
∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ +
Δ +
∑ ∑
∂
1f
dengan
1 j
j j
t t
t
+
Δ = −
1 j
j j
X t X t
X t
+
Δ =
−
1 1
, ,
,
j j
j j
j j
g X t t
g X t t
g X t t
+ +
Δ =
−
2 2
j j
j
R O
X t t
= Δ
+ Δ untuk semua j .
Perhatikan bahwa: 1. lim
lim ,
,
j j
j j
t t
j j
j j
t
g g
X t X t
t X t
x x
g X s s dX s
x
Δ → Δ →
∂ ∂
Δ =
Δ ∑
∑ ∂
∂ ∂
= ∂
∫
2. lim lim
, ,
j j
j j
t t
j j
j j
t
g g
t X t
t t
t t
g X s s ds
s
Δ → Δ →
∂ ∂
Δ = Δ
∑ ∑
∂ ∂
∂ =
∂
∫
3. Dari persamaan 3 diperoleh
1
.
j j
j j
j j
j
X t X t
X t a
t b
W t
+
Δ =
− =
Δ + Δ Maka,
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
lim lim
2 lim
2 lim
j j
j j
j j
j j
j t
t j
j j
j j
j j
j j
j t
t j
j j
j
g g
X t a
t a b
t W t
b W t
x x
g g
a t
a b t
W t x
x
Δ → Δ →
Δ → Δ →
∂ ∂
Δ =
Δ +
Δ Δ
+ Δ
∑ ∑
∂ ∂
∂ ∂
= Δ
+ Δ
Δ ∑
∑ ∂
∂
2 2
2 2
lim
j j
t j
j
g b
W t x
Δ →
∂ +
Δ ∑
∂
diperoleh,
2 2
2 2
2 2
2 2
.
lim
t j
j t
j j
g g
a t
a ds
x x
Δ →
∂ ∂
Δ =
∑ ∂
∂
∫
Karena
2 2
2 2
lim
j j
t j
j
g a
t x
Δ →
∂ Δ
= ∑
∂ maka dapat disimpulkan untuk
j
t Δ → berlaku
2 2
g x
∂ ≠
∂ dan
2
a ≠ sehingga
2
dt = .
Juga diperoleh:
2 2
2 2
lim
t j
j j
j t
j j
g g
a b t
W t ab
dsdW s x
x
Δ →
∂ ∂
Δ Δ
= ∑
∂ ∂
∫
dan berlaku
2 2
lim 0,
j j
j j
t j
j
g a b
t W t
x
Δ →
∂ Δ
Δ =
∑ ∂
maka dapat disimpulkan bahwa untuk
j
t Δ → berlaku
a ≠ ,
b ≠ dan
2 2
g x
∂ ≠
∂ sehingga
dtdW t = .
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa:
2 2
2 2
2 2
2
lim
.
t j
j t
j j
g g
b W t
b ds
x x
Δ →
∂ ∂
Δ =
∑ ∂
∂
∫
Misalkan
2 2
2
, ,
g u t
X t t b t
x
ω
∂ =
∂ .
j j
u u t
= Perhatikan
2 2
2 2
, i
i j
j j
j j
j i
j j
j i j
W t t
W t t
E u
W t u
t E u u
Δ −Δ
Δ −Δ
Δ −
Δ =
∑ ∑
∑
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎡ ⎤
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎝ ⎠
⎣ ⎦
untuk i j
,
2 i
j i
i
u u W t
t Δ
− Δ ,
2 j
j
W t t
Δ − Δ adalah saling bebas. Akibatnya nilai
ekspektasi perkaliannya adalah nol. Begitu pula untuk i j
. Untuk
i j
= diperoleh:
2 2
2 2
4 2
2 2
2 2
2
2 3
2
j j
j j
j j
j j
j j
j j
j j
j
E u W t
t E u
E W t
W t t
t E u
t t
t Δ
− Δ =
Δ − Δ
Δ + Δ ∑
∑ =
Δ − Δ
+ Δ ∑
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎣ ⎦
2 2
2
j j
j
E u t
= Δ
∑
⎡ ⎤ ⎣ ⎦
untuk t j
Δ → diperoleh:
2 2
lim 2
0.
j j
t j
j
E u t
Δ →
Δ =
∑
⎛ ⎞
⎡ ⎤ ⎜
⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
Karena
2 2
j j
j j
j j
j j
j j
j j
u W t
u t
u W t
u t
Δ −
Δ = ⇔ Δ
= Δ =
∑ ∑
∑ ∑
maka
2
lim
.
t j
j t
j j
u W t
u s ds
Δ →
Δ =
∑
∫
Jadi, dapat disimpulkan bahwa:
2
. dW t
dt =
Dari hal di atas juga dapat disimpulkan bahwa untuk
j
t Δ → maka
R → .
Dengan menyubstitusikan hasil yang diperoleh ke persamaan 1f, dapat disimpulkan bahwa persamaan 1e berlaku.
Dengan demikian, Lema 1 terbukti.
[Hull, 1997]
Lampiran 2
Bukti Teorema 2.1:
Diasumsikan bahwa model dari harga saham dapat dinyatakan sebagai berikut: .
dS t S t dt
S t dW t μ
σ =
+ 2a
Misalkan ,
Y t g S t t
= , berdasarkan Lema Itô maka berlaku:
2 2
2
1 2
g g
g dY t
dt dS t
dS t t
s X
∂ ∂
∂ =
+ +
∂ ∂
∂ 2b
dengan mengkuadratkan kedua ruas pada persamaan 2a di atas maka diperoleh
2
dS t sebagai
berikut:
2 2
2 2
2 2
2 2
.
2 dS t
S t dt S t dW t
S t dt
S t dt S t dW t S t
dW t μ
σ μ
μ σ
σ =
+ =
+ +
Diketahui bahwa
2
dt = ,
dt dW t = dan
2
dW t dt
= .
Maka
2 2
2
. dS t
S t dt
σ =
2c Dengan menyubstitusi persamaan 2a dan 2c pada persamaan 2b akan diperoleh:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 .
2 g
g g
dY t dt
S t dt S t dW t
S t dt
t s
s g
g g
g dt
S t dt
S t dW t
S t dt
t s
s s
g g
g g
S t S t
dt S t
dW t t
s s
s μ
σ σ
μ σ
σ μ
σ σ
∂ ∂
∂ =
+ +
+ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= +
+ +
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= +
+ +
∂ ∂
∂ ∂
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎝ ⎠
Jadi, Teorema 2.1 terbukti.
[Hull, 1997]
Lampiran 3
Bukti Teorema 2.2:
Untuk ,
ln Y t
g S t t S t
= =
, berdasarkan Lema Itô maka diperoleh:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
ln ln
1 ln
2 1
1 1
2 1
1 1
2 1
g g
g dY t
dt dS t
dS t t
s s
S t S t
S t dY t
dt dS t
dS t t
s s
dS t dS t
S t S t
S t dt S t dW t
S t dt S t dW t
S t S t
S μ
σ μ
σ ∂
∂ ∂
= +
+ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ =
+ +
∂ ∂
∂ =
− =
+ −
+ =
2 2
2
1 1
2 1
2 2
2 .
2 S t dt
S t dW t S t
dt t
S t dt
dW t dt
dt dW t
μ σ
σ μ
σ σ
σ μ
σ +
− =
+ −
= −
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Karena μ dan
σ
konstan, maka dapat disimpulkan bahwa
Y
adalah gerak Brown dengan rataan
2
2 σ
μ − dan varian
2
σ . Berdasarkan persamaan 4,
dS S
merupakan tingkat pengembalian dari harga saham. Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah dt
μ . Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat deterministik adalah pengembalian dari sejumlah
dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga diganti dengan r . Karena
Y
berubah dari 0 sampai
T
dan
Y
mengikuti gerak Brown, maka
Y
berdistribusi normal dengan: rataan =
2
2 r
T σ
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan varian =
2
. T
σ Misalkan pada waktu
t = , nilai
ln Y
S =
dan pada waktu
T
nilai
ln
T
Y S
=
, maka pada selang waktu 0 sampai dengan
T
, ln
ln
T
S S
− adalah berdistribusi normal dengan rataan dan
varian seperti di atas, sehingga diperoleh:
2
ln ln
, 2
T
S S
N r
T T
σ σ
− −
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∼
atau dapat dituliskan ln
T
S berdistribusi normal dengan
2
.
ln ln
, 2
T
S N
S r
T T
σ σ
+ −
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
∼
Dengan demikian ln
T
S berdistribusi normal dengan
rataan :
2
ln 2
S r
T
m
σ +
−
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠
dan standar deviasi :
.
T
s
σ
=
Jadi Teorema 2.2 terbukti.
[Hull, 1997]
Lampiran 4
Bukti Teorema 2.3:
Berdasarkan Teorema 2.1, V memenuhi persamaan:
2 2
2 2
1 .
2 V
V V
V dV
S S
dt S
dW t t
S S
S μ
σ σ
∂ ∂
∂ ∂
= +
+ +
∂ ∂
∂ ∂
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎝ ⎠
4a Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada
saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli suatu opsi dan menjual V
S ∂
∂ saham.
Misalkan π adalah nilai portofolio yang didefinisikan oleh
. S
V V
S π
∂ = −
∂ 4b
Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai
. d
dS
V dV
S π
∂ =
− ∂
4c Diketahui bahwa harga saham memenuhi sifat persamaan 5:
. dS t
S t dt S t dW t
μ σ
= +
Dengan menyubstitusikan persamaan 5 dan 4a ke dalam 4c diperoleh
2 2 2
2 2
2 2 2
1 2
1 2
V V
V d
S S
Sdt SdW t
t S
S V
V V
V V
V dt
S dt
S dt
S dW t
S dt
S dW t
t S
S S
S S
V V
S dt
S dt
S S
V V
dt S
dW t S
S
V dt
t
μ σ
μ σ
μ σ
σ μ
σ μ
μ
π σ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∂ ∂
∂ +
+ +
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ =
+ +
+ +
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= −
+ ∂
∂
∂ ∂
= +
− ∂
∂ −
∂ ∂
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
1 2
1 2
1 2
.
V V
S dW t
S dW t
S S
V V
S t
S
V S
dt S
V V
dt S
dt t
S dt
σ σ
σ
σ σ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∂ ∂
− ∂
∂ = +
∂ ∂
= +
∂ ∂
∂ +
+ ∂
∂ ∂
+ +
∂ ∂
4d
Return dari investasi sebesar
π pada saham tidak berisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar r dt
π dalam selang waktu dt . Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari persamaan 4d, yaitu:
2 2 2
2
1 2
.
V V
S t
S
r dt dt
σ
π
⎛ ⎞
∂ ∂
= +
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠
4e Substitusikan persamaan 4b ke dalam persamaan 4e, diperoleh
2 2 2
2
1 2
V V
V V
S S
S t
S
r dt
dt
σ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ∂
∂ ∂
− =
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ∂
∂ ∂
⎝ ⎠
⎝ ⎠
sehingga
2 2
2 2
1 0.
2 V
V V
rS S
rV t
S S
σ ∂
∂ ∂
+ +
− =
∂ ∂
∂ Jadi, Teorema 2.3 terbukti.
[Hull, 1997]
Lampiran 5
Bukti Teorema 3.1:
Untuk sebuah opsi call tipe Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah
ˆ[max , 0].
T
E S
K −
5a Didefinisikan
T
g S adalah fungsi kepekatan peluang dari
T
S , maka
.
ˆ[max , 0]
T T
T T
K
E S
K S
K g S dS
∞
− =
−
∫
5b Berdasarkan bukti Teorema 2.2 diperoleh ln
T
S berdistribusi normal dengan
rataan :
2
ln 2
S r
T
m
σ +
−
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠
5c
dan standar deviasi :
T
s
σ
=
. 5d
Selanjutnya didefinisikan sebuah peubah Q dengan
.
ln
T
S m
Q
s
− =
5e Substitusikan m dari persamaan 5c dan persamaan 5d ke dalam persamaan 5e, sehingga
diperoleh
2
1 1
ln ln
. 2
T
Q S
S r
T T
T σ
σ σ
= −
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Jika a dan b suatu kostanta serta X suatu peubah acak maka: •
E aX b
aE X b
+ =
+ •
2
Var aX b
a Var X +
=
2 2
2
1 1
ln ln
2 1
1 ln
ln 2
1 1
ln ln
. 2
T T
T
E Q E
S S
r T
T T
E S
S r
T T
T E
S S
r T
T T
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
− −
= −
− −
= −
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
5f
Berdasarkan bukti Teorema 2.2 diperoleh ln
ln
T
S S
− berdistribusi normal dengan
rataan =
2
2 r
T σ
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
5g dan
varian =
2
. T
σ 5h
Substitusikan persamaan 5g dan 5h ke dalam persamaan 5f, diperoleh
2 2
1 1
2 2
E Q r
T r
T T
T σ
σ σ
σ =
− −
− =
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2
2 2
1 1
ln ln
2 2
1 ln
ln 1
1
T
T
Var Q Var
S S
r T
T T
Var S
S T
T T
σ σ
σ
σ σ
σ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
= −
− −
= −
= =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan
h Q , yaitu:
2
2
.
1 2
Q
h Q e
π
−
=
5i Persamaan 5e dinyatakan menjadi
.
Q T m
T
S e
σ +
=
5j Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan 5b, dari integral menurut
T
S menjadi
integral menurut Q adalah sebagai berikut: Jika
T
S
= ∞
, maka Q = ∞ . Jika
T
K
S
=
, maka
Q T m
K e
σ +
=
sehingga ln K
m Q
T σ
− =
. Dengan menggunakan persamaan 5i, 5j, perubahan batas integral dan misalkan
T
s
σ
=
, maka persamaan 5b menjadi:
ln ln
ln
ˆ[max , 0]
Qs m T
K m s
Qs m K m
s K m
s
E S
K e
K h Q dQ e
h Q dQ K
h Q dQ
∞ +
− ∞
∞ +
− −
− =
− =
−
∫ ∫
∫
5k
sedangkan
2 2
2 2
2 2
2 2 2
[ 2
] 2 2
[ ] 2
2
1 2
1 2
2 .
Qs m Q
Qs m
Q s m s
m s Q s
m s
e h Q
e e
e e
e h Q
s π
π π
+ −
+ +
− − +
+ +
− − +
= =
= =
− 5l
Substitusi persamaan 5l ke dalam persamaan 5k, diperoleh
2
2 ln
ln
ˆ[max , 0]
T
m s K m
s K
m s
E S
K e
h Q s dQ
K h Q dQ
∞ ∞
+ −
−
− =
− −
∫ ∫
. Jika
N x menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif, maka
2
2 2
2 ln
ln
2 2
.
ln ln
1 1
ln ln
m s K m
s K
m s
m s m s
e h Q
s dQ K
h Q dQ
K m
K m
e N
s K
N s
s K
m K
m e
N s
K N s
s
∞ ∞
+ −
−
+ +
− −
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
− −
= −
− −
− ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎛
⎞ ⎛
⎞ −
+ −
+ =
+ −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
∫ ∫
Peubah
m
dan
s
persamaan di atas disubstitusikan dengan persamaan 5c dan 5d, maka diperoleh
2 2
2 2
2
2 ln
ln 2
2
ln ln
ln ln
2 2
ln
m s K m s
K m s m
T
m T
e h Q s dQ K
h Q dQ
K S
r T
K S
r T
e N
T KN
T T
S K
e N
σ
σ
σ σ
σ σ
σ
∞ ∞
+ −
− +
+
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
− −
− +
+ − −
+ + −
= +
−
=
∫ ∫
2 2
2
2 2
2
ln 2
2
ln ln
2
m T
S r
T T
r T
K KN
T T
S S
r T
K K
e N
KN T
σ
σ σ
σ σ
σ
σ σ
+
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
+ − +
+ − −
+ + =
−
2
2 1
2
2
2
.
m T
r T
T
e N d
KN d
σ
σ σ
+
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎞ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎠ ⎝
⎠ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎝
⎠ ⎣
⎦
+ −
= −
5m
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call tipe Eropa yang dilambangkan dengan
c
adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai
ˆ[max , 0]
T
rT
c e
E S
K
−
= −
. 5n Dengan substitusi persamaan 5m dan persamaan 5n diperoleh model Black-Scholes untuk
opsi call tipe Eropa tanpa membayar dividen pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu
1 2
rT
c S N d
Ke N d
−
= −
dengan
2 1
ln 2
S K
r T
d T
σ σ
+ +
= dan
2 2
.
ln 2
S K
r T
d T
σ σ
+ −
= Jadi, Teorema 3.1 terbukti.
[Hull, 1997]
Lampiran 6
Bukti Teorema 3.2:
Misalkan seorang investor mempunyai portofolio yang terdiri atas Δ aset, opsi call dan opsi put
. Investor tersebut membeli sejumlah Δ aset dan satu put dan juga menjual satu call. Opsi call dan opsi put tersebut mempunyai waktu jatuh tempo yang sama, yaitu t
T = . Nilai opsi tersebut
pada waktu jatuh tempo yang sama adalah K . Misalkan π adalah nilai dari portofolio ini. Maka
nilai portofolio yaitu: .
S p
c π =
+ − Pembayaran payoff portofolio di atas pada saat jatuh tempo adalah:
max , 0
max , 0.
T T
T
S K
S S
K +
− −
− Persamaan di atas dapat dituliskan juga dalam dua bentuk sebagai berikut:
1.
Untuk
T
S K
maka diperoleh
T T
S K
S K
+ −
− = .
2.
Untuk
T
S K
maka diperoleh
T T
S S
K K
+ − −
= .
Dari kedua bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa pada saat jatuh tempo, jika nilai
T
S lebih
besar ataupun lebih kecil dari K , nilai dari pembayaran portofolio investor tersebut akan selalu K . Untuk tingkat suku bunga yang bebas risiko r dan dengan tidak adanya konsep arbitrase, nilai
sekarang present value dari payoff portofolio di atas adalah
rT
Ke
−
. Apabila konsep arbitrase berlaku, jika payoff portofolio investor tidak sama dengan
rT
Ke
−
, maka seorang arbitraser mempunyai kesempatan untuk membeli dan menjual opsi dan saham dan
pada saat yang sama ia meminjam sejumlah uang. Dalam hal ini, arbitraser tersebut dapat memperoleh keuntungan pada saat itu dengan pembayaran sebesar nol di masa yang akan datang.
Jadi, dapat
disimpulkan bahwa:
.
rT
S p
c Ke
−
+ − = Dengan demikian, Teorema 3.2 terbukti.
[Hull, 1997]
Lampiran 7
Bukti Teorema 3.3:
Dengan menggunakan persamaan put-call parity:
rT
S p
c Ke
−
+ − =
sehingga
1 2
1 2
1 2
2 1
[1 ]
[1 ]
.
rT rT
rT rT
rT
p S N d
Ke N d
Ke S
S N d
Ke N d
S N d
Ke N
d Ke
N d
S N d
− −
− −
−
= −
+ −
= − −
+ −
= − −
+ −
= −
− −
Jadi, Teorema 3.3 terbukti.
Lampiran 8
Bukti Teorema 3.4:
Didefinisikan
2
2
1 2
N x n x
x
x
e
π
−
∂ =
= ∂
dimana n x
merupakan fungsi kepekatan peluang dari N x
. Untuk memperoleh hedge ratio terlebih dahulu kita membuktikan,
1 2
.
rT
S n d Ke
n d
−
= 8a
Perhatikan
2 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1 1
1 2
2 2
2 ln
2 2
2 ln 2
2 2
d d
d d
d d
d d
T d
d T
T d
T S
K r
T T
T T
S K
r T
T T
T σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ −
= −
+ =
− +
+ −
= −
+ +
= −
+ +
− =
=
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ln 2
S K
rT +
2 2
1 2
2 ln 2
. d
d S
K rT
= +
+ 8b
Dari persamaan 8b diperoleh
2 1
1 2
2 2
2 2
2
2 2ln
2 ln
2 ln
ln
1 2
1 2
1 2
.
d
rT d
S K
rT S
K rT
d S
K rT
S n d S
e S
e S
e e
S n d e Ke
n d π
π π
−
− −
− −
− −
− −
+ −
= =
= =
=
Dari persamaan 8b sekarang dapat dibuktikan hedge ratio untuk opsi call, sebagai berikut:
1 2
1 1
1
1 2
1 1
2 2
1 1
2 1
2 1
1 2
1 1
2 1
. .
. .
. .
.
rT
rT rT
S N d Ke
N d C
S S
N d d
N d d
N d S
Ke d
S d
S d
d N d
S n d Ke
n d S
S d
d N d
S n d S n d
S S
d d
N d S n d
− −
−
∂ −
∂ =
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= +
− ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ =
+ −
∂ ∂
∂ ∂
= +
− ∂
∂ ∂
− =
+ ∂
1 1
1
1 1
1 1
1 1
. .
.0 .
S d
d T
N d S n d
S T
N d S n d
S N d
S n d N d
σ σ
∂ −
+ =
+ ∂
∂ =
+ ∂
= +
= Jadi, Teorema 3.4 terbukti.
Lampiran 9
Bukti Teorema 3.5:
Untuk memperoleh hedge ratio untuk opsi put dapat menggunakan persamaan put-call parity, sebagai berikut:
rT
S p
c Ke
−
+
− = sehingga
1 1.
1`
rT
c Ke
S p
S S
c S
N d
−
∂ + −
∂ =
∂ ∂
∂ = +
− ∂
= −
Jadi, Teorema 3.5 terbukti.
Lampiran 10
Tabel Portofolio Replikasi Waktu
Harga Opsi Call
Harga Saham
Delta Nilai
Portofolio Saham
Cash
0 2.091934023 42
0.9672887 2.091934023
40.6261255 -38.534192 1 2.656504702 42.5757003
0.9901817 2.648802441
42.1576807 -39.508878 2 3.07275785
42.9945758 0.9963867
3.063565291 42.8392223 -39.775657
3 2.780508171 42.7007718 0.9926357
2.770822893 42.3863097 -39.615487
4 2.705737209 42.6253942 0.9912322
2.696000402 42.2516626 -39.555662
5 2.817362031 42.7378874 0.9932502
2.807507317 42.4494148 -39.641908
6 3.263221735 43.1855863 0.9977867
3.252184254 43.0900031 -39.837819
7 2.269365372 42.1824519 0.9771768
2.251270111 41.2197137 -38.968444
8 2.773459022 42.6936699 0.9925126
2.750820533 42.374004 -39.623183
9 2.90489627 42.8259581
0.9945288 2.882118189
42.5916489 -39.709531 10 2.770143033 42.6903288
0.992454 2.747230985
42.3681884 -39.620957 11 2.666230114 42.5855211
0.9903977 2.643214147
42.1766039 -39.53339
12 2.181599473 42.0924339 0.9726734
2.15486175 40.9421919
-38.78733 13 3.012264637 42.9338456
0.9957962 2.97328054
42.753362 -39.780081 14 3.095865554 43.0177649
0.9965915 3.056847032
42.8711398 -39.814293 15 2.423496437 42.3396481
0.9835279 2.381041623
41.6422252 -39.261184 16 3.324587495 43.2470777
0.9981183 3.273523869
43.1657007 -39.892177 17 2.55790368
42.4760024 0.987734
2.503899521 41.9549902 -39.451091
18 2.907795548 42.8288732 0.9945671
2.85244203 42.5961897 -39.743748
19 2.934623335 42.8558429 0.9949104
2.879265142 42.6377257 -39.758461
20 2.774433807 42.694652 0.9925297
2.718894701 42.3757103 -39.656816
21 2.874127981 42.795014 0.9941067
2.818506945 42.5428116 -39.724305
22 3.170863079 43.0929959 0.9971856
3.114732695 42.971715 -39.856982
23 2.884430618 42.805377 0.9942512
2.827923289 42.5592986 -39.731375
24 3.157860522 43.079956 0.9970899
3.1009238 42.9545897 -39.853666
25 3.314397615 43.2368683 0.9980666
3.257379504 43.1532753 -39.895896
26 2.73276104 42.6526497
0.9917649 2.674290381
42.3014023 -39.627112 27 2.219266329 42.1311184
0.9746934 2.15705397
41.0649226 -38.907869
28 2.730584676 42.6504552 0.9917231
2.66324809 42.2974429
-39.634195 29 3.167475925 43.0895991
0.997161 3.09875726
42.9672659 -39.868509
30 2.440563986 42.3569963 0.9841246
2.368234305 41.6845603
-39.316326 31 3.149442988 43.0715136
0.9970264 3.071408382
42.943436 -39.872028
32 2.672594715 42.5919469 0.9905368
2.593267763 42.1888905
-39.595623 33 2.964716299 42.8860842
0.9952721 2.884621556
42.6833224 -39.798701
34 2.190968024 42.1020631 0.9731886
2.10430726 40.9732467
-38.868939 35 2.367085213 42.2822315
0.9814124 2.279645025
41.4963062 -39.216661
36 2.379139439 42.294511 0.9818836
2.291696347 41.5282852
-39.236589 37 2.24751296
42.1600771 0.9761212
2.159697818 41.1533442 -38.993646
38 2.651263517 42.5704069 0.9900635
2.560229426 42.1474072
-39.587178 39 2.168712474
42.07918 0.9719507
2.073883623 40.8988877
-38.825004 40 2.906769114 42.8278412
0.9945536 2.80154539
42.5945833 -39.793038
41 2.350337431 42.2651607 0.9807399
2.241929468 41.4511274
-39.209198 42 3.260485177 43.1828436
0.9977707 3.141937684
43.0865769 -39.944639
43 2.766374754 42.6865317 0.992387
2.646732247 42.3615584
-39.714826 44 2.6919037
42.6114363 0.9909477
2.572208536 42.2257048 -39.653496
45 3.219502795 43.1417646 0.9975186
3.097736061 43.0347123
-39.936976 46 3.169097968 43.0912258
0.9971728 3.047322668
42.9693975 -39.922075
47 2.495719747 42.4129897 0.9859241
2.371004113 41.8159889
-39.444985 48 2.888231143 42.8091994
0.9943037 2.761636806
42.565346 -39.803709
49 2.550343591 42.4683476 0.9875256
2.422726644 41.9385798
-39.515853 50 2.902405761 42.8234538
0.9944957 2.773403093
42.5877401 -39.814337
51 2.419800617 42.3358902 0.9833961
2.288523161 41.6329501
-39.344427 52 2.973287155 42.8946954
0.9953707 2.838050011
42.6961244 -39.858074
PENENTUAN HEDGE RATIO UNTUK OPSI CALL DAN OPSI
PUT TIPE EROPA DENGAN MENGGUNAKAN MODEL BLACK-SCHOLES
GITA ANDRIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
2009
ABSTRACT
GITA ANDRIANI. Determination of Hedge Ratio for European Call and Put Option with Black-
Scholes Model. Supervised by DONNY CITRA LESMANA and RETNO BUDIARTI.
One of the alternative investment that offered in the world market is derivative product. A derivative product, such as option, represents a financial instrument which value is based on
certain asset value which is called underlying asset. Option is a contract between two parties the holder and the seller where the holder has the right to buy or sell the underlying asset by a certain
date for a certain price. This paper will study European option calculated by using Black-Scholes model to obtain value of call and put option. One of the usefulness of Black-Scholes formula is as
a mean to control the risk of portfolio. Generally, the technique to control the risk is called sensitivity of option value Greeks. Greeks consist of delta, gamma, theta, vega, and rho. In this
paper, we only examine delta hedging to obtain the portfolio that replicate option price.
ABSTRAK
GITA ANDRIANI . Penentuan Hedge Ratio untuk Opsi Call dan Opsi Put Tipe Eropa dengan
Menggunakan Model Black-Scholes. Dibimbing oleh DONNY CITRA LESMANA dan RETNO BUDIARTI
. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di bursa dunia adalah produk derivatif. Produk
derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya. Salah satu dari produk derivatif adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua
pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga dan waktu yang telah ditentukan. Pada karya ilmiah ini akan dibahas opsi tipe Eropa
yang dihitung dengan menggunakan model Black-Scholes sehingga diperoleh nilai opsi call dan opsi put. Salah satu kegunaan formula Black-Scholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan
risiko hedging dalam suatu opsi pada portofolio. Teknik untuk mengendalikan risiko secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi Greeks. Greeks ini terdiri atas delta, gamma,
theta, vega, dan rho. Pada karya ilmiah ini, Greeks yang digunakan berupa delta hedging untuk memperoleh portofolio yang mereplikasi harga opsi dengan cukup baik.
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Menurut Sharpe et al 1993, investasi adalah mengorbankan aset yang dimiliki
sekarang guna mendapatkan aset pada masa mendatang yang tentu saja dengan jumlah
yang lebih besar. Investasi dalam bidang keuangan berkaitan dengan aset-aset
keuangan, seperti investasi pada saham, obligasi, dan aset-aset keuangan lainnya.
Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor
berhati-hati dalam menginvestasikan dananya. Hal tersebut menjadi salah satu faktor
munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif
yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk derivatif.
Produk derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung
pada nilai aset yang mendasarinya. Aset yang mendasari opsi dapat berupa saham, emas,
mata uang asing, indeks saham, dan lain-lain. Produk derivatif dapat digunakan sebagai
instrumen untuk mengelola risiko dan spekulasi, serta untuk mengurangi biaya
transaksi atau untuk menghindari pajak. Salah satu dari produk derivatif adalah opsi.
Perdagangan opsi terbesar dan pertama kali dikembangkan adalah di CBOE Chicago
Board Options Exchage, USA pada tahun 1973, dan telah mencapai sukses luar biasa
dengan total perdagangan sebanyak 16 saham. Dalam lima tahun, para pemodal melakukan
perdagangan opsi mencapai lebih dari 10 juta lembar per hari Brealey and Myers, 1991.
Sejarah mengenai teori penilaian opsi di mulai pada tahun 1900, yaitu pada saat
seorang matematikawan Perancis, Louis Bachelier, menghasilkan formula penilaian
opsi. Formula Bachelier ini memiliki kelemahan karena didasarkan pada asumsi
yang kurang realistis yaitu adanya tingkat suku bunga nol dan harga saham bernilai
negatif. Formula ini kemudian diperbaiki oleh peneliti lain, diantaranya Case Sprenkle,
James Boness dan Paul Samuelson yang menggunakan asumsi bahwa harga saham
memiliki distribusi log normal hal ini menjamin bahwa harga saham selalu bernilai
positif dan tingkat suku bunga tidak nol. Pada masa sebelum tahun 1973, usaha
penilaian opsi didasarkan pada penentuan premi risiko atau besarnya risiko dari tingkat
pengembalian harga saham. Penentuan premi risiko tidaklah mudah karena premi risiko
tidak hanya menggambarkan risiko pada perubahan harga saham, namun
mengikutsertakan pula perilaku investor terhadap risiko. Untuk mengatasi masalah ini,
pada tahun 1973, Fisher Black dan Myron Scholes telah berhasil menyelesaikan masalah
tentang penilaian opsi. Hasil kerja Fisher Black dan Myron Scholes dikenal dengan
model Black-Scholes.
Salah satu kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai alat untuk
mengendalikan risiko hedging dalam suatu opsi pada portofolio. Teknik untuk
mengendalikan risiko secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi Greeks.
Greeks
ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagi berikut:
1. Menganalisis model Black-Scholes untuk menentukan nilai opsi call dan opsi put
tipe Eropa. 2. Menganalisis model Black-Scholes untuk
menentukan hedge ratio dari opsi tipe Eropa.
1.3 Sistematika Penulisan
Pada bab satu diberikan latar belakang dari permasalahan penentuan hedge ratio untuk
opsi call dan opsi put tipe Eropa. Pada bab dua diberikan landasan teori yang akan
digunakan sebagai dasar pengerjaan karya ilmiah. Sedangkan pada bab tiga akan
diberikan model Black-Scholes untuk opsi call
dan opsi put tipe Eropa dan pengertian dari rasio lindung nilai hedge ratio serta
model Black-Scholesnya. Pada bab empat akan diberikan kesimpulan yang diperoleh
selama penulisan karya ilmiah ini. Pada bab terakhir akan diberikan daftar pustaka.
II. LANDASAN TEORI
Bab ini berisi teori yang menjadi dasar pengerjaan karya ilmiah. Pada bagian pertama
sampai dengan bagian kelima disajikan proses stokastik, gerak Brown, proses Wiener, proses
Itô, aplikasi proses stokastik untuk harga saham dan persamaan diferensial parsial dari
harga saham. Pada bagian ketujuh sampai dengan bagian terakhir disajikan definisi,
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Menurut Sharpe et al 1993, investasi adalah mengorbankan aset yang dimiliki
sekarang guna mendapatkan aset pada masa mendatang yang tentu saja dengan jumlah
yang lebih besar. Investasi dalam bidang keuangan berkaitan dengan aset-aset
keuangan, seperti investasi pada saham, obligasi, dan aset-aset keuangan lainnya.
Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor
berhati-hati dalam menginvestasikan dananya. Hal tersebut menjadi salah satu faktor
munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif
yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk derivatif.
Produk derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung
pada nilai aset yang mendasarinya. Aset yang mendasari opsi dapat berupa saham, emas,
mata uang asing, indeks saham, dan lain-lain. Produk derivatif dapat digunakan sebagai
instrumen untuk mengelola risiko dan spekulasi, serta untuk mengurangi biaya
transaksi atau untuk menghindari pajak. Salah satu dari produk derivatif adalah opsi.
Perdagangan opsi terbesar dan pertama kali dikembangkan adalah di CBOE Chicago
Board Options Exchage, USA pada tahun 1973, dan telah mencapai sukses luar biasa
dengan total perdagangan sebanyak 16 saham. Dalam lima tahun, para pemodal melakukan
perdagangan opsi mencapai lebih dari 10 juta lembar per hari Brealey and Myers, 1991.
Sejarah mengenai teori penilaian opsi di mulai pada tahun 1900, yaitu pada saat
seorang matematikawan Perancis, Louis Bachelier, menghasilkan formula penilaian
opsi. Formula Bachelier ini memiliki kelemahan karena didasarkan pada asumsi
yang kurang realistis yaitu adanya tingkat suku bunga nol dan harga saham bernilai
negatif. Formula ini kemudian diperbaiki oleh peneliti lain, diantaranya Case Sprenkle,
James Boness dan Paul Samuelson yang menggunakan asumsi bahwa harga saham
memiliki distribusi log normal hal ini menjamin bahwa harga saham selalu bernilai
positif dan tingkat suku bunga tidak nol. Pada masa sebelum tahun 1973, usaha
penilaian opsi didasarkan pada penentuan premi risiko atau besarnya risiko dari tingkat
pengembalian harga saham. Penentuan premi risiko tidaklah mudah karena premi risiko
tidak hanya menggambarkan risiko pada perubahan harga saham, namun
mengikutsertakan pula perilaku investor terhadap risiko. Untuk mengatasi masalah ini,
pada tahun 1973, Fisher Black dan Myron Scholes telah berhasil menyelesaikan masalah
tentang penilaian opsi. Hasil kerja Fisher Black dan Myron Scholes dikenal dengan
model Black-Scholes.
Salah satu kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai alat untuk
mengendalikan risiko hedging dalam suatu opsi pada portofolio. Teknik untuk
mengendalikan risiko secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi Greeks.
Greeks
ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagi berikut:
1. Menganalisis model Black-Scholes untuk menentukan nilai opsi call dan opsi put
tipe Eropa. 2. Menganalisis model Black-Scholes untuk
menentukan hedge ratio dari opsi tipe Eropa.
1.3 Sistematika Penulisan
Pada bab satu diberikan latar belakang dari permasalahan penentuan hedge ratio untuk
opsi call dan opsi put tipe Eropa. Pada bab dua diberikan landasan teori yang akan
digunakan sebagai dasar pengerjaan karya ilmiah. Sedangkan pada bab tiga akan
diberikan model Black-Scholes untuk opsi call
dan opsi put tipe Eropa dan pengertian dari rasio lindung nilai hedge ratio serta
model Black-Scholesnya. Pada bab empat akan diberikan kesimpulan yang diperoleh
selama penulisan karya ilmiah ini. Pada bab terakhir akan diberikan daftar pustaka.
II. LANDASAN TEORI
Bab ini berisi teori yang menjadi dasar pengerjaan karya ilmiah. Pada bagian pertama
sampai dengan bagian kelima disajikan proses stokastik, gerak Brown, proses Wiener, proses
Itô, aplikasi proses stokastik untuk harga saham dan persamaan diferensial parsial dari
harga saham. Pada bagian ketujuh sampai dengan bagian terakhir disajikan definisi,
notasi, asumsi mengenai opsi, penilaian opsi, dan Greeks.
2.1 Proses Stokastik
Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah
yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.
Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut.
Definisi 1 Ruang contoh Ruang contoh adalah himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan
Ω
.
[Grimmett dan Stirzaker, 2001] Definisi 2 Kejadian
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh
Ω
.
[Grimmett dan Stirzaker, 2001]
Definisi 3 Medan-
σ
Medan- σ adalah himpunan
-
yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari
ruang contoh
Ω
yang memenuhi syarat- syarat berikut:
1.
∅ ∈ -
. 2. Jika A ∈
- maka
c
A ∈
- , dengan
c
A menyatakan komplemen dari himpunan
A
. 3. Jika
1 2
3
, ,
, A A A
∈ …
- , maka
1 i
i
A
∞ =
∈
∪ - .
[Hogg et al, 1995]
Definisi 4 Ukuran Peluang Ukuran peluang
P
pada ruang ukuran ,
Ω - adalah fungsi
: [0,1]
P →
-
yang memenuhi:
1.
0, 1 P
P ∅ =
Ω = .
2.
Jika
1 2
3
, ,
, A A A
… adalah himpunan anggota-anggota
-
yang saling lepas, yaitu
i j
A A
∩ = ∅ , untuk setiap
, i j
dengan
i j
≠
maka:
1 1
i i
i i
P A
P A
∞ ∞
= =
= ∑ ∪
. Pasangan ,
, P
Ω -
disebut dengan ruang peluang probability space.
[Grimmett dan Stirzaker, 2001]
Proses stokastik didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 5 Proses stokastik
Proses stokastik
{ }
, X
X t t T
= ∈
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh
Ω
ke suatu ruang state S .
2.2 Gerak Brown
Proses stokastik
{ }
, X
X t t T
= ∈
disebut
gerak Brown jika: 1.
X =
. 2.
Untuk
1 2
n
t t
t …
, peubah acak
1
, 1, 2,
,
i i
X t X t
i n
−
− =
… saling bebas.
3. Untuk
0, t
X t berdistribusi normal
dengan rataan 0 dan varian
2
t
σ . 2.3
Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1.
Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak
X
dapat dinyatakan sebagai berikut: dX t
adt bdW t
= +
1 adt disebut sebagai komponen deterministik
dan bdW t menyatakan komponen
stokastik, serta W t adalah proses Wiener,
sedangkan a
dan b masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari
X
. Untuk proses stokastik yang didefinisikan
pada ruang probabilitas , , F P
Ω berlaku hal
berikut: Misalkan
W t adalah proses Wiener
pada , , F P
Ω . Integral stokastik adalah
proses stokastik X t
dengan bentuk: ,
, .
t t
X t X
a X s s ds b X s s dW s
= + ∫
+ ∫ 2
2.4 Proses Itô
Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi
dari peubah acak
X
dan waktu
t
. Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut:
, ,
dX t a X t t dt
b X t t dW t =
+
3
Lema 1 Lema Itô
Misalkan proses
X t
memenuhi persamaan 3 dan fungsi
, Y t
g X t t =
adalah kontinu serta turunan-turunan
,
t
g X t t ,
,
X
g X t t
, ,
XX
g X t t
kontinu, maka
, Y t
g X t t =
memenuhi persamaan berikut:
2
, ,
1 ,
2 dY t
g X t t dt g
X t t dX t x
t g
X t t dX t xx
= +
+ 4
dengan
2 ,
, 2
X XX
dg dg
d g t
dt dX
dX
g g
g
= =
=
dan
2
dt dW t dt
dtdW t =
= =
2
dW t dt
= Bukti: lihat Lampiran 1.
2.5 Model untuk Harga Saham
Harga saham yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai suatu
proses stokastik. Selain itu diasumsikan tidak ada pembayaran dividen atas saham.
Misalkan X t
mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan 1. Persamaan ini
dapat dikembangkan menjadi persamaan 2. Selanjutnya akan ditentukan model dari
proses harga saham S . Misalkan S t
adalah harga saham pada waktu
t
. Mengingat proses Itô, perubahan
S t akan memiliki nilai
harapan drift rate
S
μ . Parameter
μ
menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan
S t dt
μ
disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga
dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah
S t dW t
σ
, dengan
σ menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham
mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga
saham dapat dinyatakan sebagai berikut:
dS t S t dt
S t dW t
μ σ
= +
5
2.6 Persamaan Diferensial Stokastik PDS dari Harga Saham
Pada bagian ini diberikan bentuk PDS bagi suatu peubah yang nilainya bergantung
pada harga saham S t dan waktu
t
. Perubahan nilai
S t tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan lema Itô.
Misalkan diberikan suatu peubah Y t yang
bergantung pada peubah harga saham S t
dan waktu
t
. Berdasarkan Hull 1997, apabila harga saham
S t mengikuti model saham 5, maka bentuk PDS untuk
Y t ditentukan oleh teorema berikut:
Teorema 2.1 Misalkan diberikan
, Y t
g S t t =
dengan
[
0, t
∈ ∞
dan S t memiliki diferensial
stokastik 5, maka persamaan diferensial stokastik bagi fungsi
Y t dapat dinyatakan dalam bentuk:
2 2
2 2
1 2
g g
g dY t
S t S t
dt S
t S
g S t
dW t S
μ σ
σ ∂
∂ ∂
= +
+ ∂
∂ ∂
∂ +
∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
6
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 2. 2.7 Definisi, Notasi, dan Asumsi Opsi
Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan
adalah opsi. Untuk lebih memahami bagian ini,
didefinisikan beberapa hal yang perlu diperhatikan.
Definisi 6
Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak
untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan,
pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan.
Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put.
Definisi 7
Opsi call adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli aset
yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu.
Opsi put adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual aset
yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu.
Menurut waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi tipe
Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak
jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Amerika adalah opsi yang dapat dieksekusi sebelum
kontrak jatuh tempo. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas opsi tipe Eropa.
Definisi 8
Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk
mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak
dibuat.
[Wilmott et al, 1996]
Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi, yaitu:
1. Harga saham saat ini S 2. Harga eksekusi K, yang merupakan
harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak opsi harga
exercise atau harga strike.
3. Waktu jatuh tempo T. 4. Volatilitas dari harga saham
σ, yang merupakan sebuah ukuran tingkat
ketidakpastian mengenai pergerakan saham di masa yang akan datang.
5. Tingkat suku bunga r. 6. Dividen yang dibayarkan atas saham.
Dalam merumuskan nilai opsi, Fisher Black dan Myron Scholes 1973
menggunakan beberapa asumsi, sebagai berikut:
1. Sebaran harga saham adalah lognormal
dan varian dari return pada saham adalah konstan.
2. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe Eropa.
3. Tidak ada biaya transaksi untuk menjual atau membeli saham atau opsi.
4. Tidak ada pembayaran dividen pada saham.
5. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah tindakan
membeli sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama
menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga
memperoleh keuntungan tanpa risiko.
6. Investor diperbolehkan meminjam sejumlah dana untuk membeli saham
pada tingkat suku bunga bank. 7. Tingkat suku bunga bebas risiko jangka
pendek diketahui dan nilainya konstan. Harga saham diasumsikan sebagai proses
stokastik dan berdasarkan asumsi 1, sebaran lognormal untuk harga saham dapat diketahui.
Sehingga diperoleh teorema berikut:
Teorema 2.2 Logaritma harga saham pada saat jatuh tempo
mempunyai sebaran normal dengan:
rataan :
2
ln 2
S r
T
σ μ
= +
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan varian :
2
Var T
σ =
.
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 3. 2.8 Penilaian Opsi
Dengan asumsi di atas, nilai opsi hanya bergantung pada harga saham, waktu, dan
parameter lain yang nilainya konstan. Penilaian opsi merupakan suatu masalah
yang berkembang cukup lama dalam finansial. Terdapat suatu riset yang memfokuskan
mengenai ada atau tidaknya hubungan antara harga saham dan kontrak opsi yang tertulis
pada saham tersebut. Masalah ini dipecahkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada
tahun 1973, yang kemudian modelnya dikenal dengan model Black-Scholes, sehingga
diperoleh teorema berikut ini: Teorema 2.3
Misalkan
, V S t menyatakan nilai opsi pada
waktu t . Maka V memenuhi persamaan diferensial parsial Black-Scholes:
2 2 2
2
1 0.
2 V
V V
rS S
rV t
S S
σ
∂ ∂
∂ +
+ −
= ∂
∂ ∂
7
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 4. Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila
T
S K
maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor
memperoleh keuntungan sebesar
T
S K
− .
Sebaliknya apabila
T
S K
≤ pada saat jatuh
tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena
investor akan memperoleh kerugian sebesar
T
K S
− . Untuk kondisi ini opsi tidak
mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat
dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai
berikut:
max , 0
T
c S
K =
− . 8
Gambar 1 Diagram payoff opsi call tipe Eropa
Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila
T
S K
maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya
karena investor memperoleh keuntungan sebesar
T
K S
− . Sebaliknya apabila
T
S K
≥ pada saat jatuh tempo, maka pemegang
kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh
kerugian sebesar
T
S K
− . Untuk kondisi ini
opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh
tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak
sebagai berikut: max
, 0
T
p K
S =
− . 9
Gambar 2 Diagram payoff opsi put tipe
Eropa 2.9
Greeks
Salah satu kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai alat untuk
mengendalikan risiko hedging dalam suatu opsi pada portfolio. Dalam setiap mengukur
nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa
variabel seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu.
Teknik mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi
Greeks. Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat
perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan
delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan rata-
rata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap
volatilitas. Sedangkan Rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku
bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta.
III. PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan dijelaskan model Black-Scholes yang digunakan untuk
menentukan rasio lindung nilai hedge ratio pada opsi tipe Eropa. Pada bagian pertama
akan diberikan komponen-komponen yang dimiliki oleh nilai opsi tipe Eropa.
Pada bagian kedua diberikan model Black- Scholes yang digunakan untuk menghitung
nilai opsi call dan opsi put tipe Eropa. Selain untuk menghitung nilai opsi tipe
Eropa, model Black-Scholes juga digunakan sebagai alat untuk mengendalikan risiko
hedging. Pada bagian ketiga akan dijelaskan salah satu teknik untuk mengendalikan risiko,
yaitu dengan rasio lindung nilai berupa delta hedging
. Sedangkan pada bagian terakhir akan diberikan ilustrasi dari opsi.
Harga Strike K
Harga Saham
T
S
Harga Strike K
Harga Saham
T
S
Payoff Opsi Put p
Payoff Opsi Call c
T
K S
− . Untuk kondisi ini opsi tidak
mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat
dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai
berikut:
max , 0
T
c S
K =
− . 8
Gambar 1 Diagram payoff opsi call tipe Eropa
Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila
T
S K
maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya
karena investor memperoleh keuntungan sebesar
T
K S
− . Sebaliknya apabila
T
S K
≥ pada saat jatuh tempo, maka pemegang
kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh
kerugian sebesar
T
S K
− . Untuk kondisi ini
opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh
tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak
sebagai berikut: max
, 0
T
p K
S =
− . 9
Gambar 2 Diagram payoff opsi put tipe
Eropa 2.9
Greeks
Salah satu kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai alat untuk
mengendalikan risiko hedging dalam suatu opsi pada portfolio. Dalam setiap mengukur
nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa
variabel seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu.
Teknik mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi
Greeks. Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat
perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan
delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan rata-
rata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap
volatilitas. Sedangkan Rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku
bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta.
III. PEMBAHASAN