notasi, asumsi mengenai opsi, penilaian opsi, dan Greeks.
2.1 Proses Stokastik
Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah
yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.
Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut.
Definisi 1 Ruang contoh Ruang contoh adalah himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan
Ω
.
[Grimmett dan Stirzaker, 2001] Definisi 2 Kejadian
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh
Ω
.
[Grimmett dan Stirzaker, 2001]
Definisi 3 Medan-
σ
Medan- σ adalah himpunan
-
yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari
ruang contoh
Ω
yang memenuhi syarat- syarat berikut:
1.
∅ ∈ -
. 2. Jika A ∈
- maka
c
A ∈
- , dengan
c
A menyatakan komplemen dari himpunan
A
. 3. Jika
1 2
3
, ,
, A A A
∈ …
- , maka
1 i
i
A
∞ =
∈
∪ - .
[Hogg et al, 1995]
Definisi 4 Ukuran Peluang Ukuran peluang
P
pada ruang ukuran ,
Ω - adalah fungsi
: [0,1]
P →
-
yang memenuhi:
1.
0, 1 P
P ∅ =
Ω = .
2.
Jika
1 2
3
, ,
, A A A
… adalah himpunan anggota-anggota
-
yang saling lepas, yaitu
i j
A A
∩ = ∅ , untuk setiap
, i j
dengan
i j
≠
maka:
1 1
i i
i i
P A
P A
∞ ∞
= =
= ∑ ∪
. Pasangan ,
, P
Ω -
disebut dengan ruang peluang probability space.
[Grimmett dan Stirzaker, 2001]
Proses stokastik didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 5 Proses stokastik
Proses stokastik
{ }
, X
X t t T
= ∈
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh
Ω
ke suatu ruang state S .
2.2 Gerak Brown
Proses stokastik
{ }
, X
X t t T
= ∈
disebut
gerak Brown jika: 1.
X =
. 2.
Untuk
1 2
n
t t
t …
, peubah acak
1
, 1, 2,
,
i i
X t X t
i n
−
− =
… saling bebas.
3. Untuk
0, t
X t berdistribusi normal
dengan rataan 0 dan varian
2
t
σ . 2.3
Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1.
Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak
X
dapat dinyatakan sebagai berikut: dX t
adt bdW t
= +
1 adt disebut sebagai komponen deterministik
dan bdW t menyatakan komponen
stokastik, serta W t adalah proses Wiener,
sedangkan a
dan b masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari
X
. Untuk proses stokastik yang didefinisikan
pada ruang probabilitas , , F P
Ω berlaku hal
berikut: Misalkan
W t adalah proses Wiener
pada , , F P
Ω . Integral stokastik adalah
proses stokastik X t
dengan bentuk: ,
, .
t t
X t X
a X s s ds b X s s dW s
= + ∫
+ ∫ 2
2.4 Proses Itô
Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi
dari peubah acak
X
dan waktu
t
. Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut:
, ,
dX t a X t t dt
b X t t dW t =
+
3
Lema 1 Lema Itô
Misalkan proses
X t
memenuhi persamaan 3 dan fungsi
, Y t
g X t t =
adalah kontinu serta turunan-turunan
,
t
g X t t ,
,
X
g X t t
, ,
XX
g X t t
kontinu, maka
, Y t
g X t t =
memenuhi persamaan berikut:
2
, ,
1 ,
2 dY t
g X t t dt g
X t t dX t x
t g
X t t dX t xx
= +
+ 4
dengan
2 ,
, 2
X XX
dg dg
d g t
dt dX
dX
g g
g
= =
=
dan
2
dt dW t dt
dtdW t =
= =
2
dW t dt
= Bukti: lihat Lampiran 1.
2.5 Model untuk Harga Saham
Harga saham yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai suatu
proses stokastik. Selain itu diasumsikan tidak ada pembayaran dividen atas saham.
Misalkan X t
mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan 1. Persamaan ini
dapat dikembangkan menjadi persamaan 2. Selanjutnya akan ditentukan model dari
proses harga saham S . Misalkan S t
adalah harga saham pada waktu
t
. Mengingat proses Itô, perubahan
S t akan memiliki nilai
harapan drift rate
S
μ . Parameter
μ
menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan
S t dt
μ
disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga
dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah
S t dW t
σ
, dengan
σ menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham
mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga
saham dapat dinyatakan sebagai berikut:
dS t S t dt
S t dW t
μ σ
= +
5
2.6 Persamaan Diferensial Stokastik PDS dari Harga Saham
Pada bagian ini diberikan bentuk PDS bagi suatu peubah yang nilainya bergantung
pada harga saham S t dan waktu
t
. Perubahan nilai
S t tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan lema Itô.
Misalkan diberikan suatu peubah Y t yang
bergantung pada peubah harga saham S t
dan waktu
t
. Berdasarkan Hull 1997, apabila harga saham
S t mengikuti model saham 5, maka bentuk PDS untuk
Y t ditentukan oleh teorema berikut:
Teorema 2.1 Misalkan diberikan
, Y t
g S t t =
dengan
[
0, t
∈ ∞
dan S t memiliki diferensial
stokastik 5, maka persamaan diferensial stokastik bagi fungsi
Y t dapat dinyatakan dalam bentuk:
2 2
2 2
1 2
g g
g dY t
S t S t
dt S
t S
g S t
dW t S
μ σ
σ ∂
∂ ∂
= +
+ ∂
∂ ∂
∂ +
∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
6
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 2. 2.7 Definisi, Notasi, dan Asumsi Opsi
Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan
adalah opsi. Untuk lebih memahami bagian ini,
didefinisikan beberapa hal yang perlu diperhatikan.
Definisi 6
Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak
untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan,
pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan.
Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put.
Definisi 7
Opsi call adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli aset
yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu.
Opsi put adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual aset
yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu.
Menurut waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi tipe
Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak
jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Amerika adalah opsi yang dapat dieksekusi sebelum
kontrak jatuh tempo. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas opsi tipe Eropa.
Definisi 8
Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk
mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak
dibuat.
[Wilmott et al, 1996]
Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi, yaitu:
1. Harga saham saat ini S 2. Harga eksekusi K, yang merupakan
harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak opsi harga
exercise atau harga strike.
3. Waktu jatuh tempo T. 4. Volatilitas dari harga saham
σ, yang merupakan sebuah ukuran tingkat
ketidakpastian mengenai pergerakan saham di masa yang akan datang.
5. Tingkat suku bunga r. 6. Dividen yang dibayarkan atas saham.
Dalam merumuskan nilai opsi, Fisher Black dan Myron Scholes 1973
menggunakan beberapa asumsi, sebagai berikut:
1. Sebaran harga saham adalah lognormal
dan varian dari return pada saham adalah konstan.
2. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe Eropa.
3. Tidak ada biaya transaksi untuk menjual atau membeli saham atau opsi.
4. Tidak ada pembayaran dividen pada saham.
5. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah tindakan
membeli sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama
menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga
memperoleh keuntungan tanpa risiko.
6. Investor diperbolehkan meminjam sejumlah dana untuk membeli saham
pada tingkat suku bunga bank. 7. Tingkat suku bunga bebas risiko jangka
pendek diketahui dan nilainya konstan. Harga saham diasumsikan sebagai proses
stokastik dan berdasarkan asumsi 1, sebaran lognormal untuk harga saham dapat diketahui.
Sehingga diperoleh teorema berikut:
Teorema 2.2 Logaritma harga saham pada saat jatuh tempo
mempunyai sebaran normal dengan:
rataan :
2
ln 2
S r
T
σ μ
= +
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dan varian :
2
Var T
σ =
.
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 3. 2.8 Penilaian Opsi
Dengan asumsi di atas, nilai opsi hanya bergantung pada harga saham, waktu, dan
parameter lain yang nilainya konstan. Penilaian opsi merupakan suatu masalah
yang berkembang cukup lama dalam finansial. Terdapat suatu riset yang memfokuskan
mengenai ada atau tidaknya hubungan antara harga saham dan kontrak opsi yang tertulis
pada saham tersebut. Masalah ini dipecahkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada
tahun 1973, yang kemudian modelnya dikenal dengan model Black-Scholes, sehingga
diperoleh teorema berikut ini: Teorema 2.3
Misalkan
, V S t menyatakan nilai opsi pada
waktu t . Maka V memenuhi persamaan diferensial parsial Black-Scholes:
2 2 2
2
1 0.
2 V
V V
rS S
rV t
S S
σ
∂ ∂
∂ +
+ −
= ∂
∂ ∂
7
[Hull, 1997]
Bukti: lihat Lampiran 4. Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila
T
S K
maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor
memperoleh keuntungan sebesar
T
S K
− .
Sebaliknya apabila
T
S K
≤ pada saat jatuh
tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena
investor akan memperoleh kerugian sebesar
T
K S
− . Untuk kondisi ini opsi tidak
mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat
dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai
berikut:
max , 0
T
c S
K =
− . 8
Gambar 1 Diagram payoff opsi call tipe Eropa
Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila
T
S K
maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya
karena investor memperoleh keuntungan sebesar
T
K S
− . Sebaliknya apabila
T
S K
≥ pada saat jatuh tempo, maka pemegang
kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh
kerugian sebesar
T
S K
− . Untuk kondisi ini
opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh
tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak
sebagai berikut: max
, 0
T
p K
S =
− . 9
Gambar 2 Diagram payoff opsi put tipe
Eropa 2.9
Greeks
Salah satu kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai alat untuk
mengendalikan risiko hedging dalam suatu opsi pada portfolio. Dalam setiap mengukur
nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa
variabel seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu.
Teknik mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi
Greeks. Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat
perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan
delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan rata-
rata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap
volatilitas. Sedangkan Rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku
bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta.
III. PEMBAHASAN