Proses Itô Model untuk Harga Saham Persamaan Diferensial Stokastik PDS dari Harga Saham

notasi, asumsi mengenai opsi, penilaian opsi, dan Greeks.

2.1 Proses Stokastik

Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu. Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut. Definisi 1 Ruang contoh Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω . [Grimmett dan Stirzaker, 2001] Definisi 2 Kejadian Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω . [Grimmett dan Stirzaker, 2001] Definisi 3 Medan- σ Medan- σ adalah himpunan - yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari ruang contoh Ω yang memenuhi syarat- syarat berikut: 1. ∅ ∈ - . 2. Jika A ∈ - maka c A ∈ - , dengan c A menyatakan komplemen dari himpunan A . 3. Jika 1 2 3 , , , A A A ∈ … - , maka 1 i i A ∞ = ∈ ∪ - . [Hogg et al, 1995] Definisi 4 Ukuran Peluang Ukuran peluang P pada ruang ukuran , Ω - adalah fungsi : [0,1] P → - yang memenuhi: 1. 0, 1 P P ∅ = Ω = . 2. Jika 1 2 3 , , , A A A … adalah himpunan anggota-anggota - yang saling lepas, yaitu i j A A ∩ = ∅ , untuk setiap , i j dengan i j ≠ maka: 1 1 i i i i P A P A ∞ ∞ = = = ∑ ∪ . Pasangan , , P Ω - disebut dengan ruang peluang probability space. [Grimmett dan Stirzaker, 2001] Proses stokastik didefinisikan sebagai berikut. Definisi 5 Proses stokastik Proses stokastik { } , X X t t T = ∈ adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S .

2.2 Gerak Brown

Proses stokastik { } , X X t t T = ∈ disebut gerak Brown jika: 1. X = . 2. Untuk 1 2 n t t t … , peubah acak 1 , 1, 2, , i i X t X t i n − − = … saling bebas. 3. Untuk 0, t X t berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian 2 t σ . 2.3 Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1. Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut: dX t adt bdW t = + 1 adt disebut sebagai komponen deterministik dan bdW t menyatakan komponen stokastik, serta W t adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari X . Untuk proses stokastik yang didefinisikan pada ruang probabilitas , , F P Ω berlaku hal berikut: Misalkan W t adalah proses Wiener pada , , F P Ω . Integral stokastik adalah proses stokastik X t dengan bentuk: , , . t t X t X a X s s ds b X s s dW s = + ∫ + ∫ 2

2.4 Proses Itô

Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t . Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut: , , dX t a X t t dt b X t t dW t = + 3 Lema 1 Lema Itô Misalkan proses X t memenuhi persamaan 3 dan fungsi , Y t g X t t = adalah kontinu serta turunan-turunan , t g X t t , , X g X t t , , XX g X t t kontinu, maka , Y t g X t t = memenuhi persamaan berikut: 2 , , 1 , 2 dY t g X t t dt g X t t dX t x t g X t t dX t xx = + + 4 dengan 2 , , 2 X XX dg dg d g t dt dX dX g g g = = = dan 2 dt dW t dt dtdW t = = = 2 dW t dt = Bukti: lihat Lampiran 1.

2.5 Model untuk Harga Saham

Harga saham yang berubah secara acak menurut waktu diasumsikan sebagai suatu proses stokastik. Selain itu diasumsikan tidak ada pembayaran dividen atas saham. Misalkan X t mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan 1. Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi persamaan 2. Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S . Misalkan S t adalah harga saham pada waktu t . Mengingat proses Itô, perubahan S t akan memiliki nilai harapan drift rate S μ . Parameter μ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan S t dt μ disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah S t dW t σ , dengan σ menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham dapat dinyatakan sebagai berikut: dS t S t dt S t dW t μ σ = + 5

2.6 Persamaan Diferensial Stokastik PDS dari Harga Saham

Pada bagian ini diberikan bentuk PDS bagi suatu peubah yang nilainya bergantung pada harga saham S t dan waktu t . Perubahan nilai S t tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan lema Itô. Misalkan diberikan suatu peubah Y t yang bergantung pada peubah harga saham S t dan waktu t . Berdasarkan Hull 1997, apabila harga saham S t mengikuti model saham 5, maka bentuk PDS untuk Y t ditentukan oleh teorema berikut: Teorema 2.1 Misalkan diberikan , Y t g S t t = dengan [ 0, t ∈ ∞ dan S t memiliki diferensial stokastik 5, maka persamaan diferensial stokastik bagi fungsi Y t dapat dinyatakan dalam bentuk: 2 2 2 2 1 2 g g g dY t S t S t dt S t S g S t dW t S μ σ σ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 [Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 2. 2.7 Definisi, Notasi, dan Asumsi Opsi Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Untuk lebih memahami bagian ini, didefinisikan beberapa hal yang perlu diperhatikan. Definisi 6 Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang telah ditentukan. Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put. Definisi 7 Opsi call adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli aset yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu. Opsi put adalah opsi yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual aset yang mendasari pada harga tertentu dan jangka waktu tertentu. Menurut waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak jatuh tempo. Sedangkan opsi tipe Amerika adalah opsi yang dapat dieksekusi sebelum kontrak jatuh tempo. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas opsi tipe Eropa. Definisi 8 Nilai opsi adalah besarnya biaya yang dikeluarkan oleh seorang investor untuk mendapatkan kontrak opsi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. [Wilmott et al, 1996] Ada beberapa hal yang mempengaruhi nilai opsi, yaitu: 1. Harga saham saat ini S 2. Harga eksekusi K, yang merupakan harga jual atau beli saham yang tercantum dalam kontrak opsi harga exercise atau harga strike. 3. Waktu jatuh tempo T. 4. Volatilitas dari harga saham σ, yang merupakan sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan saham di masa yang akan datang. 5. Tingkat suku bunga r. 6. Dividen yang dibayarkan atas saham. Dalam merumuskan nilai opsi, Fisher Black dan Myron Scholes 1973 menggunakan beberapa asumsi, sebagai berikut: 1. Sebaran harga saham adalah lognormal dan varian dari return pada saham adalah konstan. 2. Tipe opsi yang digunakan adalah tipe Eropa. 3. Tidak ada biaya transaksi untuk menjual atau membeli saham atau opsi. 4. Tidak ada pembayaran dividen pada saham. 5. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah tindakan membeli sekuritas yang berharga rendah di suatu pasar dan pada saat yang sama menjualnya dengan harga yang lebih tinggi di pasar yang berbeda sehingga memperoleh keuntungan tanpa risiko. 6. Investor diperbolehkan meminjam sejumlah dana untuk membeli saham pada tingkat suku bunga bank. 7. Tingkat suku bunga bebas risiko jangka pendek diketahui dan nilainya konstan. Harga saham diasumsikan sebagai proses stokastik dan berdasarkan asumsi 1, sebaran lognormal untuk harga saham dapat diketahui. Sehingga diperoleh teorema berikut: Teorema 2.2 Logaritma harga saham pada saat jatuh tempo mempunyai sebaran normal dengan: rataan : 2 ln 2 S r T σ μ = + − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan varian : 2 Var T σ = . [Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 3. 2.8 Penilaian Opsi Dengan asumsi di atas, nilai opsi hanya bergantung pada harga saham, waktu, dan parameter lain yang nilainya konstan. Penilaian opsi merupakan suatu masalah yang berkembang cukup lama dalam finansial. Terdapat suatu riset yang memfokuskan mengenai ada atau tidaknya hubungan antara harga saham dan kontrak opsi yang tertulis pada saham tersebut. Masalah ini dipecahkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973, yang kemudian modelnya dikenal dengan model Black-Scholes, sehingga diperoleh teorema berikut ini: Teorema 2.3 Misalkan , V S t menyatakan nilai opsi pada waktu t . Maka V memenuhi persamaan diferensial parsial Black-Scholes: 2 2 2 2 1 0. 2 V V V rS S rV t S S σ ∂ ∂ ∂ + + − = ∂ ∂ ∂ 7 [Hull, 1997] Bukti: lihat Lampiran 4. Pada waktu opsi call jatuh tempo, apabila T S K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar T S K − . Sebaliknya apabila T S K ≤ pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar T K S − . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi call pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut: max , 0 T c S K = − . 8 Gambar 1 Diagram payoff opsi call tipe Eropa Begitu juga pada waktu opsi put jatuh tempo, apabila T S K maka pemegang kontrak opsi akan mengeksekusi kontraknya karena investor memperoleh keuntungan sebesar T K S − . Sebaliknya apabila T S K ≥ pada saat jatuh tempo, maka pemegang kontrak opsi tidak akan mengeksekusi kontraknya, karena investor akan memperoleh kerugian sebesar T S K − . Untuk kondisi ini opsi tidak mempunyai nilai pada saat jatuh tempo. Jadi nilai opsi put pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak sebagai berikut: max , 0 T p K S = − . 9 Gambar 2 Diagram payoff opsi put tipe Eropa 2.9 Greeks Salah satu kegunaan formula Black- Scholes ini adalah sebagai alat untuk mengendalikan risiko hedging dalam suatu opsi pada portfolio. Dalam setiap mengukur nilai pasar dari setiap portofolio dipengaruhi oleh perubahan-perubahan dari beberapa variabel seperti harga yang mendasari, volatilitas, tingkat suku bunga dan waktu. Teknik mengendalikan risiko ini secara umum dikatakan sebagai sensitivitas nilai opsi Greeks. Greeks ini terdiri atas delta, gamma, theta, vega, dan rho. Delta adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap harga saham. Gamma adalah tingkat perubahan delta untuk suatu nilai opsi terhadap harga saham. Theta adalah tingkat perubahan rata- rata nilai opsi terhadap waktu. Vega adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap volatilitas. Sedangkan Rho adalah tingkat perubahan rata-rata nilai opsi terhadap suku bunga. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas delta.

III. PEMBAHASAN