y
3
t = [a
1
x
1
t + a
2
x
2
t] = [a
1
x
1
t + a
2
x
2
t]
2
= a
1 2
x
1 2
t + 2a
1
a
2
x
1
tx
2
t + a
2 2
x
2 2
t 1.8
Sebaliknya, kombinasi linier dari kedua keluaran dalam 1.7 menghasilkan keluaran : ay
1
t + ay
2
t = a
1
x
1 2
t + a
2
x
2 2
t 1.9
Karena ruas kanan dari persamaan 1.8 dan 1.9 tidak sama , maka sistem tersebut
non-linier
Dengan cara yang sama soal c dan d dapat anda gunakan sebagai latihan. Kuliah ini diarahkan pada sistem yang dibentuk oleh rangkaian listrik, karena itu
perlu diketahui, semua sistem yang dibentuk oleh rangkaian listrik akan merupakan sistem linier, dengan syarat :
1. Rangkaian listriknya tidak mengandung sumber tak bebas. 2. Rangkaian listriknya mengandung sumber tak bebas yang bergantungnya linier.
1.2.2 Sistem Invarian waktu dan varian waktu
Sistem dinamakan invarian waktu, jika karakteristik masukan-keluaran tidak berubah menurut waktu. Secara terperinci, anggaplah keluaran yt adalah transformasi
dari xt, sehingga dapat kita tulis : yt =
[xt] 1.10
Sekarang anggap sinyal masukan yang sama ditunda k sekon untuk menghasilkan xt- k, dan juga dipakai sistem yang sama. Jika karakteristik sistem tidak berubah dengan
waktu, maka keluaran sistem akan menjadi yt-k, yakni keluaran akan sama seperti respons terhadap xt, kecuali bahwa ia akan ditunda k sekon, yang sama dengan
penundaan masukannya. Karen itu dapat kita definisikan sistem invarian waktu sebagai berikut.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
4
Teorema : Suatu sistem adalah invarian waktu jika dan hanya jika
xt
yt akan mamberikan
xt-k
yt-k untuk setiap sinyal masukan xt dan setiap pergeseran k sekon.
Untuk keperluan uji coba respons sistem dari xt-k atau [xt]
dinotasikan dengan yn,k , sehingga dapat ditulis :
yt,k = [xt]
Sekarang dapat kita katakan suatu sistem invarian waktu, jika dan hanya jika : yt,k = yt-k
Contoh soal :
Selidikilah apakah sistem-sistem dibawah ini invarian waktu atau varian waktu ?
a
yt = [xt] = xt – xt-1
b
yt = [xt] = t xt
c
yt = [xt] = x-t
d
yt = [xt] = xt cos
o
t
Jawab :
a yt,k = xt-k – xt-k-1
1.11 yt-k = xt-k – xt-k-1
1.12
Ruas kanan persamaan 1.11 dan 1.12 identik, maka sistem tersebut invarian waktu
b yt,k = t xt-k
1.13 yt,k = t-k xt-k
1.14
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Said Attamimi MT.
SINYAL DAN SISTEM
5
Karena ruas kanan persamaan 1.13 dan 1.14 berbeda, maka sistem tersebut varian waktu
c yt,k = x-t-k
1.15 yt-k = x -t-k = x-t+k
1.16
Karena ruas kanan persamaan 1.15 dan 1.16 berbeda, maka sistem tersebut varian waktu
d yt,k = xt-k cos
o
t 1.17
yt-k = xt-k cos
o
t-k
Karena ruas kanan persamaan 1.15 dan 1.16 berbeda, maka sistem tersebut varian waktu
Sistem yang dibentuk oleh rangkaian listrik akan selalu merupakan sistem invarian waktu, dengan syarat resistor, induktor dan kapasitor bukan merupakan besaran yang
berubah terhadap waktu. Sistem linier dan dan sekaligus invarian waktu disebut sistem LTI linier, time
invarian
1.2.3 Sistem Statis dan Dinamis
